T II A I T E

DES

ORBITES ABSOLUES DES PLANÈTES.

TRAITÉ ANALYTIQUE

ORBITES ABSOLUES

DES HUIT

PLANÈTES PRINCIPALES

HUGO GYLDÉN,

ASTRONDMI-: IJK I.' ACADtCMIF, I;UY. DIW SCIKN'CRS.

TOME I.
THEORIE GENERALE DES ORBITES ABSOLUES.

fi é>

STOCKHOLM

F. & G. BEUEK.

HKliLlN ^893 PARIS

MAYICll A MÙl.l.KI». A. HERMANN.

M»liK..i;A.K«KTilAfsB i.1 CKN'rHAI.TItVCKKUlET, S'IOriUIOI.M. s r.irK r.» I,. m.iii;"nv..

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A SA MAJESTÉ

OSCAR II

ROI DE SUÈDE ET DE NORVÈGE.

TEMOIGNAGE RESPECTUEUX
D'UNE PROFONDE RECONNAISSANCE

L'AUTEUR.

PREFACE.

Le but (lu travail dont voici le premier tome est doiible.

Ayant reconnu que les anciennes méthodes d'étudier les mouvements des
planètes ne suffisaient pas aux demandes de l'astronomie moderne, il me parais-
sait urgent de chercher des règles de calcul en vertu desquelles on pourrait
évaluer les inégalités des planètes avec une exactitude aussi parfaite qu'on
voudrail.. Cela revient il représenter ces inégalités soiis une forme qui permet
de les calculer pour toute valeur du temps. En d'autres termes, il s'agissait
d'établir des méthodes qui ne se trouveraient pas en défaut dans des cas diffi-
ciles et ne conduiraient pas à des développements divergents. Voilà le premier
objet de mon travail.

Ensuite, puisque les théories numériques des planètes principales sont in-
dispensables à l'astronomie, j'ai fait en sorte de les établir siir le fondement
des nouvelles méthodes. Mais, l'intention n'étant pas, du moins quant à présent,
de mener les calculs numériques à un tel degré de perfectionnement qu'on en
puisse se servir pour la construction des tables, je me suis borné à calculer les
inégalités avec une exactitude suffisante poiir déterminer les termes élémentaires,
ou bien, ce qui revient au même, les perturbations séculaires et les éléments
absolues.

A l'occasion des études sur les matières dont il s'agit, il était a^vantageux
de considérer aussi une autre face du grand problème des plusieiirs corps. En
effet, les perturbations séculaires montant, dans le courant des siècles, à des
quantités qvii sont comparables aux excentricités et aux inclinaisons mutuelles
des diverses orbites elliptiques de notre système planétaire, c'est improprement
que l'on considérait l'effet de ces influences comme des perturbations d'un état
moyen. On a donc abandonné la conception des ellipses képleriens, ce qui
devenait utile aussi par d'aiitres raisons, en la remplaçant par celle des orbites
absolues. Ainsi, ou a fixé une notion qui se prête mieux que la précédente
à inspirer des idées justes sur les mouvements effectifs des phinètes.

La première partie du présent ouvrage est consacré à l'exposition de la
théorie générale des orbites absolues. Quelques points qui n'y sont pas encore
traités en détail, seront repris dans les deux parties prochaines.

Dans la deuxième partie, on donnera un exposé des inégalités des huit
planètes dépendant de leurs configurations; la troisième partie renfermera, finale-
ment, la détermination des termes élémentaires et celle des valeurs uuniériques
des éléments absolus.

Un tableau de certains coefi'icients dépendant de nombres entiers sera
publié à. part.

Je dois, à cette occasion, témoigner mes vifs remercîmeuts à M. M. Cal-
L.^NDREAU, BoHLiN et DicKMAN du précicux concours qu'ils ont bien voulu me
prêter, soit quant aux matières, soit quant à la rédaction du présent volume.

Stockholm, décembre 1893.

PREMIERE PARTIE.

rHÉOEIE GÉNÉRALE DES ORBITES ABSOLUES.

LIVRE PREMIER.

Cinématique des orbites absolues.

On va traiter, dans ce livre, la théorie du mouvement dun point dont
la trajectoire ne s'écarte jamais considérablement de l'orbite vraie d'une
planète.

On y suppose cette orbite pas beaucoup différente d'un cercle et peu
inclinée sur l'écliptique, et les aires parcourues par le rayon vecteur, crois-
sant eu raison d'une certaine fonction du temps, le rapport de cette fonction
au temps étant à peu près égal à l'unité.

Quant à la forme des trajectoires, on a abandonné la conception de
l'ellipse, vu qu'on est porté à concevoir les éléments elliptiques comme
soumis à des altérations assez considérables; ou a remplacé cette courbe
par une autre dont les apsides sont mobiles.

Ces principes, s'appuyaut sur des observations et sur des théories an-
térieures, constituent la base des recherches dans le livre présent.

CHAPITRE I.
Courbes périplégmatiqiies.

I . Une courbe qui parcourt incessamment l'espace entre deux sphères
homocentriques, et qui tourne à chaque point sa concavité vers une droite,
menée par le centre de façon (piune perpendiculaire abaissée du point con-
sidéré traverse la sphère intérieure, sera appelée courbe périplégmatique.

4 Traité des Orbites des Planètes.

Fixons à ce centre l'origine des coordonnées.

(lénéralement, le ny'on vectetir d'une courbe périplégiuatique atteint,
alistractiou fuite du cas d'une courbe tracée sur une troisième sphère homo-
centrique et intermédiaire, certains maxima et miniraa dont les valeurs sont
comprises entre celles des rayons des deux sphères; mais il peut aussi arriver
que la courbe touche toujours, sans la couper, au maximum de son rayon
vecteur, la sphère extérieure, et au minimum, la sphère intérieure. Ou pour-
raitdonc distinguer deux groupes de ces courbes: l'un par la détermination
spéciale que les maxima et les minima du rayon vecteur soient toujours
éo-aux aux rayons des deux sphères; l'autre groupe renfermera les courbes
qui n'atteignent, à chaque maximum ou minimum de leur rayon vecteur,
aucune des sphères entourantes.

Eéciproquement, si l'on admet l'idée d'une distance varialjle entre les
deux sphères, on peut caractériser les deux groupes par la constance ou
par la varialjilité de l'espace dans lequel serpente la courbe périplégma-
tique, eu touchant, sans couper jamais, l'une ou l'autre des sphères, toutes
les fois que le rayon vecteur acquiert une valeur maxima ou miniraa.
En nommant diasfèine la distance entre les deux sphères et eu supposant
constante la somme de leurs rayons, on distinguera donc les courbes péri-
plégmatiques à diastème constant de pareilles courbes à diastème variable.

Concevons les courbes périplégmatiques dont la trace ne sort pas d'un
plan. Une telle courbe touche à chaque maximum ou minimum de son
rayon vecteur l'un ou l'autre des cercles entourauts, et elle tourne toujours
sa concavité vers une droite menée par le centre de la dite manière ou
bien, ce qui revient au même, vers la tangente au cercle intérieur dans
le point oîi se coupent ce cercle et le rayon vecteur.

Eu désignant par x et y les coordonnées cartésiennes dans un système
convenablement situé et par //, une fonction qui reste positive, tant que
X n'excède pas le rayon du cercle intérieur lorsqu'il est raccourci le plus
possible, la condition que la courbe tourne sa concavité vers l'axe de x
sera exprimée au moyen de l'équation

(I) >J^^=-JJ.

Par l'équation (i), on a donc établi, analytiquement, la seconde con-
dition à laquelle doit satisfaire une courbe périplégmatique; la première

Première Partie. Livre I. 5

condition, à savoir celle qui concerne la limitation du rayon vecteur, ne
peut guère s'exprimer, d'une manière aisée, en maintenant les coordonnées
rectangulaires. Eempluçons-les donc par des coordonnées polaires.

Dans ce but, désignons ])ar r le rayon vecteur, par v, l'angle que fait
le rayon vecteur avec une direction fixe et par co , l'angle entre l'axe de x
et la dite direction. Cela posé, nous aurons:

X = /■ cos (/; — o)) ; y = r sin ((; — w),

d'où l'on tire, par différentiation,

dx dr , . . ,

-r- = ~r cosio — oj) — r sin [v — co),

do dv ^ ' ^ '

dij ilr . , , , >

~ = -,-sin [v — M] + rcos(y — w).

du du ^

Par division, il en résulte finalement;

, -r- sin (y — <o) + r cos (v — w)

dij dv

-,- cos (u — (u) — r sin (v — oj)
dv

De cette expression, on déduit, après avoir effectué une seconde diffé-
rentiation, et en remplaçant le facteur — , par son expression en i> , r et -j- ,

d'r /dr\ '

d 1/ dv \'''V/

dx'

-r- cos (v — co) — r sin [v — w)
dv

Avec les expressions que nous venons d'établir, l'équation (i) prend la
forme

,, î I , cos (y — cy) — r sin (i' — (u)\

d r /dr\ ^ \dv ] .,

iv' ~ \dv/ r sin {v — cy)

OÙ l'on peut se figurer IJ comme une fonction de r et de v.

Mais l'équation à laquelle nous sommes parvenus, est susceptible d'une
simplification assez considérable. En effet, la condition de la concavité non
interrompue vers une droite qui passe par le centre dans une direction telle

6 Traité des Orbites des Plauètes.

que X reste moindre, que le rayon du cercle intérieur, est évidemment remplie
si l'on fait coiucider la dite direction avec une droite menée par le centre
perpendiculairement au rayon vecteur. Par là, on est autorisé à mettre:

u) = V — 90°,
ce qui donne:

dv' \'iv

Avant d'aller plus loin, il conviendra d'établir l'équation (2) d'une ma-
nière différente de celle que nous avons suivie. Dans ce but, désignons par

a l'angle dont la tangente trigonométrique est égale à ^ , et rappelons-nous

la formule connue

da ' dv' -\dv) '

dv ., /d

r- + -
\dv

Figurons-nous maintenant qu'on ait mené une tangente au cercle in-
térieur dans le point d'intersection avec le rayon vecteur, et désignons par ct^
l'angle que forme cette tangente avec l'axe des x. En supposant, pour un
moment, a^ constant, il sera évident que, si l'angle a — a„ tend à augmenter
avec V, de sorte que la dérivée de cet angle soit une quantité positive, la
courbe dont la tangente forme l'angle a avec l'axe des x, est concave vers
la tangente au cei'cle intérieur. Donc, si nous posons:

da r'

du .. /dr

n étant une quantité positive, nous retrouverons tout-de-suite l'équation (2).
Encore une remarque relativement à la quantité //. En désignant par
R le rayon de courbure dont l'expression connue est

n =

du'' \dvl

Première Partie. Livre I.
on aiini en vertu de l'équation (2) l'expression que voici:

(3) R-- — -

'■' + \<u,>

On conclut facilement de cette formule que moins la courbe périplég-
matique s'écarte d'un cercle, plus approcbé de l'unité sera le facteur II.

Revenons maintenant à l'équation (2) afin de chercher l'expression
analytique de la condition que le rayon vecteur soit compris entre des li-
mites finies.

L'équation dont il s'agit se met facilement sous la forme que voici:

dv r r

ou bien, si l'on désigne par p une constante, elle s'écrit aussi:

Faisons-y:

^-= I +/*; /7 = '(i +P), ■
' i'

p et P étant des nouvelles fonctions remplaçant r et //; nous aurons de la sorte

(5) S +"-■?■

Maintenant, si par l'intégration de cette équation, il résulte une ex-
pression de p dont ■ la valeur reste au dessus de — i et ne devient jamais
infinie, le rayon vecteur ne sortira en dehors des deux limites finies. En
conséquence, l'ecpiation entre p et v, obtenue par l'intégration dont il a été
question, ou plutôt, l'équation entre r et v qui en résulte se construit géomé-
triquement par une courbe périplégmatique.

Pour avoir une valeur toujours positive de //, il faut que celle de P
surpasse constamment — i . La courbe définie par l'éciuation (5) sera donc
une com'l)e périplégmatique, si l'on a toujours:

p > — I ; P > — I .

8 Traité des Orbites des Planètes.

Voilà les conditions primaires auxquelles il faut satisfaire nécessaire-
ment, mais on peut leur donner une précision encore plus grande. En
effet, pour que le rayon vecteur soit susceptible de maxima et de minima,

il faut que la seconde dérivée ^ prenne alternativement des signes opposés,

d'oîi suit la condition que les valeurs de P — p doivent osciller autour de
zéro. Mais malgré cette restriction ultérieure, la fonction P reste con-
sidérablement arbitraire, de sorte qu'on peut la choisir de plusieurs manières
assez différentes. Nous allons donc examiner, succinctement, les divers types
auxquels il y a lieu, dans la théorie des mouvements des corps célestes,
de ramener cette fonction.

2. L'équation (2) se dégage du terme dépendant de la première dé-
rivée si l'on y introduit, au lieu de v, une nouvelle variable indépendante
r dont la relation à v est exprimée par l'équation

dv — ^dT,
r

c étant une constante. Ou obtient de la sorte, en effet, l'équation

(6) ?^;- -3 =--=//■

En supposant que U soit une fonction de r seul, l'équation signalée
admet une intégrale, ù savoir:

(7) (|)-+i. _„_../->,

où l'on a désigné par h l'arbitraire introduite par l'intégration.

Pour étudier la nature des maxima et des rainima, faisons d'abord —
égal à zéro. On obtient ainsi:

(8) ^=-^'-'^f^'^'-^

équation qui doit admettre au moins une racine réelle et positive, si la con-
stante h a été choisie d'une manière convenable. Si cette équation n'admet

Première Partie. Livre I. 9

qu'une seule racine positive, ni une racine égale à zéro non plus, la courbe
définie par l'équation (5) n'atteindra jamais un maximum.

Mais l'équation (8) peut avoir plusieurs racines positives. Or, s'il y
en a deux ne renfermant pas entre elles une troisième, lesquelles rendent
le résultat de leur substitution dans la formule

alternativement positif et négatif, ces deux racines établissent un maximum
et un minimum du rayon vecteur. Et encore, ce maximum et ce minimum
ne dépendant que des constantes sont les seuls que peut atteindre le rayon
vecteur, de sorte que la courbe dont il s'agit touchera alternativement les deux
circonférences dont les rayons sont constants. Dans ce cas, la courbe définie
par l'équation (5) est donc une courbe périplégmatique à diastème constant.
Maintenons l'hypothèse que l'équation (S) admette deux racines posi-
tives dont l'une corresponde à un minimum, et l'autre à un maximum de
r, désignons-les par 1\ et r, , et mettons finalement l'équation (8) sous la
forme

('• — ''-o)(^-i — r) ^

F{r) étant une fonction de r qui ne prend pas la valeur zéro, ni une
valeur infinie autant que r reste entre r^ et r^ .
Cela étant, l'équation (7) s'éci'it ainsi:

F{r)dr

'IT = ==^= ,

\/ir — r„){)\ — r)

ce qui entraîne la suivante

,i,^é IM± .

et si l'on admet la notation

^^^_ r yj7^F{r)dr

J r^ \/{r — r J(r, — r) '

V signifiera l'angle entre deux apsides, en entendant par ce mot la direc-
tion vers un maximum ou vers un minimum du rayon vecteur.

Traité des orbites at'snlitcs. o

10 Traité des Orbites des Plauètes.

Par la formule précédente, on conclut immédiatement que l'angle entre
deux apsides consécutives est toujours constant, propriété des courbes en
question, reconnue déjà par Legenore. Mais, puisque cet angle n'est qu'ex-
ceptionnellement multiple ou une partie aliquote de la circonférence, les
apsides tombent dans toutes les directions, de sorte que la ligue périplég-
raatique se coupant, elle même, une infinité de fois, forme un réseau entre
les deux cercles.

Evidemment, la nature périplégmatique d'une courbe définie par l'équa-
tion (5) est due aux valeurs de /7 oscillant autour de l'unité. Or, si l'on
a posé:

/7 = -(i +P),

cette propriété de ïl tient d'abord aux variations du rapport - ayant l'unité

pour valeur moyenne, mais elle provient encore des changements de la fonc-
tion V qui pourraient s'écarter des deux côtés de zéro. On retrouve ainsi,
après avoir introduit la fonction p au lieu de r, la condition signalée vers
la fin du n° précédent.

Il sera quelquefois utile d'introduire une troisième variable indépendante.
Désignons-la par ?f, et par /3, une constante à choisir plus tard. Admettons
finalement la relation suivante entre v et u:

dit = — = dv,

ce qui entraîne celle-ci entre u et 7:

du = ^ ,

et nous aurons au lieii de l'équation (7) la suivante

w >(s)"--"-"''-^"',/?

Il convient d'ajouter celle-ci

(■0) (-)-._.._j,..^,,.0,„,

qui s'obtient immédiatement eu remplaçant /( ou - par v.

Preiuit'i'o Partie. Livre I. 11

3. Elucidons par rpiL'hjuL'S exemples les formules (pie nous venons
de déduire duns le n" précédent.

En admettant d'alxird la fonction // égale à zéro, Texprcssion (3)
donnant le rayon de courbure sera infinie. Il en suit (|ue la trace dé-
terminée par l'équation (7) est une droite.

Cherchons ce résultat d'une antre voie.

Puisque la condition tpie // oscille autour de l'unité n'est pas satis-
faite, on est certain dès le déhut que la trajectoire n'appartient pas à la
catégorie des courbes périplégmatiques. Mais voilà seulement un résultat
négatif: pour dévoiler la nature de la courbe, examinons l'équation (4)
après y avoir annulé la fonction //. En désignant par c^ et c^ les deux
constantes d'intégration, on obtient

ou bien, si l'on met:

- ^ C(, sin V -f- Cj cos v,
a; = r cos v ; y ^= >' sin v ,

C'est là l'équation d'une droite.

Etablissons encore l'expression de *■ en retenant r comme variable in-
dépendante.

Si l'on met, dans l'équation (7), // égal à zéro, et qu'on écrive — /* au

lieu de h , elle s'écrit ainsi :

rdr "
= = «r;

donc, en désignant par — //r,, une arbitraire, la relation finale entre r et
r sera:

Ce résultat permet une construction géométrique assez simple: en effet,
r est hypoténuse d'un triangle rectangulaire dont les cathctes sont y - et

(r — ^„)v'/'- Oii peut donc placer le système des coordonnées rectangulaires
de manière qu'on ait:

12 Traité des Orbites des Planètes.

Supposons dans un second exemple // égal à - . En introduisant cette
valeur dans l'équation (9), il viendra:

l /dr \^ h ., , 2r

et on en tire, après avoir égalé à zéro le second membre de cette équation,

l'h pli V c

La condition qu'il faut remplir pour avoir toutes les deux racines ré-
elles et positives, s'exprime au moyen des inégalités

I > '^— > o

c

ou bien, en mettant:

23 =-- «(i — e'); ^^ = a\i—e'),

par celles-ci:

I > I — e^ > o.

La formule précédente donnant les deux racines se change donc en
la suivante;

r = rt(i ± e),

et on obtiendra, après avoir adopté les valeurs

/5 = y/â; c = rt(i — e')

l'équation

dr

du =

Dans notre troisième exemple, nous allons admettre
// étant un coefficient constant.

Premièi'L' Partie. Livre I. 13

Cette expression de // dépeiidaut non seulement de r mais aussi de

-7- , il en résultera néanmoins une cfiuation différentielle (lui s'intègre immé-

diatement. En effet, si l'on introduit l'expression dont il s'agit dans l'équa-
tion (2), on en tire la suivante

dont rintcOT'ale est:

:':^)=/^v-('--:^)^).

où l'on a désigné par ji^l la constante d'intégration.
En posant :

/ ^ I ; iido == dt ,

on retombe dans les équations:

dv I Jr

dt^y ^ = v'-('--2)%

que M. PoiNCAKÉ a traité dans son mémoire «sur les courbes définies par
les équations différentielles^.

L'intégrale complète de notre équation différentielle se met sous la forme

r = 2 — cos(/iy + ^')'

C étant une seconde arbitraire. En y supposant /i incommensurable avec
la circonférence, on en déduira facilement les projjriétés de la courbe sig-
nalées par M. PoiNCARÉ, notamment celle que la courbe s'entortille autour
du centre des deux cercles en sillonnant la couronne entre eux de manière
(jue les points d'intersection remplissent entièrement cet espace.

Si l'on introduit, dans l'expression admise de fl, les valeurs de r corres-
pondant aux apsides, à savoir:

^0 = 1; ''1 = 3,

on obtient les deux résultats que voici:

/7= I-/.^ //= I +-^/ui

14 Traité des Orbites des Planètes.

Doue, si /i est moindre que Tiiuité, l;i (juantité // — i prend des valeurs
alternativement positives et nt'gatives sans que // devienne jamais négatif:
en conséquence, la courbe est périplégmatique dans le sens de ce mot que
j'ai établi dans le premier numéro. Mais si au contraire /j était plus grand
que l'unité, ou rencontrerait des valeurs négatives de /7, ce qui entraînerait
des changements dans le sens de la courbure, de sorte que la courbe serait
alternativement concave et convexe vers la circonférence intérieure: dans ce
cas, la courbe cesserait d'être périplégmatique.

4. Venons maintenant à un exemple qui présente plusieurs analogies
avec le type dernièrement considéré, mais où les courbes, contrairement à ce
qui avait lieu dans le cas de M. Poincaré, ne changent pas le sens de la
courbure. Pour y arriver, supposons:

;(

i+A(;.'-'))=('~A); + A

= L±Ap

/îj étant une constante cpie nous supposons plus petite que l'unité.

Avec cette expression, nous aurons immédiatement de ré(juation (4)
celle-ci :

d'où Ion tire, en désignant par y. et /' deux arbitraires,

/> = ;fcos[(i — c);;- — /'],
le coefficient de v étant donné eu vertu de la formule

D'un autre côté, si l'on porte la valeur adoptée de fl dans l'équation
(9), il viendra:

/9V1I-/9.) Un) - c(i-y?.r' "^ j, ''

Première Partie. Livre I.
et si l'on suppose, dans cette équatiou,

/5
il s'ensuivra:

d'où l'on tire:

du =

'W'-

r = «(i — X eoau).
Puis, eu admettant la notation

il sera facile d'obtenir les expressions

I ' y C03 w
du = — df; (i — X coiiii)dii =^ (i — c)«~^c?r

v' I — X- '

après quoi, en les intégrant, on parvient aux résultats

taug - /" = y : tang -u; ( i — ç) a - (t — rj = h — / siu u ,

la constante arbitraire, introduite par l'intégration de la seconde équation

3

différentielle, étant désignée par — (i — ç)a ''t^.

On obtient finalement r en fonction de f au moyen de l'expression

a(i — Z-)

I + xcosf

Qu'on remarque l'analogie des formules que nous venons d'établir avec
celles de notre deuxième exemple: il n'y a, en effet, entre les deux systèmes
de formules qu'une seule différence, à savoir que, dans les formules de
l'exemple présent, l'argument f remplace l'argument v figurant dans les
formules du second exemple. Cependant, la nature de la courbure, définie
par l'équation précédente, est bien différente de celle d'une ellipse; elle a
cela de commun avec l'ellipse, il est vrai, de rester toujours périplégraatique,
pourvu que l'arbitraire x soit inférieure à l'unité, mais elle jouit, comme

16 Traité des Orbites des Planètes.

les courbes de M. Poincaré, de la propriété d'avoir une infinité de points
d'intersection. Cherchons à les déterminer.

Dans ce but, concevons deux points de la courbe dont les longitudes
diffèrent, l'une de l'autre, d'un nombre entier de circonférences. En dé-
signant ces longitudes par î'^, et Vn^, k et l étant deux entiers quelconques
dont la différence sera d , de sorte qu'on ait :

h — l = d,

et par F, ,, , la valeur de «'^ , ou de v, ^ qui subsistent lorsque A' ou 1 est
égal à zéro, on aura:

ih., == 2/.-7r -f F,.,; V,., = 2/7r + F,.,.

Puis, pour établir l'égalité entre les rayons vecteurs appartenant aux longi-
tudes signalées, ce qui est nécessaire pour déterminer un point d'intersection,
il faut qu'on ait:

(i — C)?',, — /' ^ 2li7r+ {i — c)v,.t. ± /',

Il étant une troisième entière prise à volonté.
Par les relations établies, on obtient:

2(/,-±/)r + (i ± 0^..~(' + 07^ = 7^.

d'où il est immédiatement visible qu'il faut prendre les .signes supérieurs.
Cela posé, nous aurons:

r

I — Ç

Avec cette valeur, il sera facile d'arriver aux expressions:

(i-ç)r,,,-/^=[/^ + '/(i — C)]7r,
(i-c)r,,-r=[A-r/(i-c)]7r;
donc, si l'on admet It égal à /.■ + /, il viendra:

(i — ç)Vk.i — /"' = 2/,-7r — f/ç;r,
(i -C)r,, — r= 2/;r +<kr.

Première Partie. Livre I. 17

et la supposition //- égal à A" + / + i entraîne les valeurs
(i — C)w,., — /' --^ {2k + i)7r— ^/c;r,

(l —Ç)v,,— r^- (2/ + l)7r + dÇTT.

Maintenant, si nous désignons par Vj la valeur de r qui résulte de la
formule générale, en y portant les expressions signalées de l'argument, nous
aurons :

I) h = k + J,

_ a(i - x') . „ _ r (2I + d)ç7:

I + X cos dç;T ' I — ç I — ç

2) // ^ A- + / + I ,
a{l — »') jr f+TT , (2/ + d)ç7:

^ id ^ ~, : H ; ", —

I — X cos Jç~

En attribuant à // d'autres valeurs que celles qu'on a supposées ci-
dessus, on retomberait toujours dans l'un ou l'autre des cas déjà cosidérés.
Nous ne distinguons donc que ces deux cas.

Dans les formules que nous venons d'établir, / et d jjeuvent acquérir
les valeurs de tous les nombres entiei's, positifs et négatifs, zéro 3' compris.
Cependant, si l'on y fait d égal a zéro, on ne déterminera plus un point d'in-
tersection, mais bien un point sur l'un ou l'autre des cercles concentriques,
lesquels sont touchés seulement par la courbe périplégmatique; puis, en
n'admettant que les valeurs positives de d, on aura néanmoins tous les
points d'intersection, vu qu'on pourra toujours supposer k > I .

Cela étant, si l'on attribue à l les valeurs des nombres entiers, po-
sitives et négatives, et qu'on suppose d constant, ou aura une infinité de
points d'intersection, tous situés sur la circonférence d'un cercle — on peut
l'appeler isopi/cnote — dont le rayon est donné par l'une ou l'autre des
expressions précédentes de r^. Ensuite, si l'on renouvelle ce procédé avec
une autre valeur de d, on aura une nouvelle suite de points Jd'intersection
le long d'un nouvel isopycnote, et ainsi de suite. De la sorte, on obtient,
en mettant au lieu de d les nombres entiers, une infinité d'isopycnotes.

Considérons deux points sur le même isopycnote. En désignant les
deux valeurs de / ])ar l et /j, on aura les relations

V _ ^' t i_^i+J)i- . ir _ r (2/, -f d)ç7r

Traiti dea orbites absolues. o

18 Traité des Orbites des Planètes,

dont la différence est:

Faisons voir qu'on peut prendre le nombre /, de manière que la différence
que nous avons mise en évidence soit si près dun multiple de 2;r qu'on
voudra, le nombre I étant fixé. En effet, si l'on désigne par m un nouvel
entier, et par à, une quantité irrationnelle plus petite que l'unité, on peut
mettre

^'-^^ = n. + rl
I — ç

d'où :

l^—l 1 — ç l, — l

Evidemment, les nombres l^ — / et m peuvent être choisis de manière ù

rendre le rapport si approché de — ^ — que l'on voudra. Ils'ensuit, à

employer la terminologie de M. G. Cantor, que les points d'intersection
sont condensés dans toute l'étendue de l'isop^ycnote, et que les ensembles
sur les divers isopycnotes sont des images, les unes des autres. Tl est
encore évident que la condensation e.st la même dans toutes les directions.

Sur chaque rayon vecteur appartenant à an V,,,, prolongé jusqu'à la
circonférence extérieure, se trouve une infinité de points d'intersection, con-
densés dans toute l'étendue de ce rayon entre les deux circonférences en-
tourantes, mais la condensation n'est pas uniforme dans~ cette étendue.

Pour démontrer cette thèse, l'appelons-uous qu'on obtient exactement
la même valeur de F,,;, si l'on introduit, dans les formules générales, des
valeurs de / et d satisfaisant aux conditions

2/ + d = 2/, + d^ = 2/.^ + r/.^ = . . . ;

il y a donc une infinité de points d'intersectioit sur chaque rayon vecteur.

Mais, voyons encore comment sont distribués ces points sur les divers
rayons.

Dans ce but, après avoir désigné par n un nombre entier, et par s,
une quantité déterminée au moyen de la formule

((/, —d)ç^ 2)1 + 2S ,

Prcmièip Partie. Livre I. If*

de sorte qu'on a:

concevons les expressions

I + ;fCOS(i^,ç,T I + ;fCOs(iiç;:+ 2£-

On en déduit:

ax{i — /)

[cOS(7ç,T C0s(c/ÇT + 2£n-)],

' ' (i + X CO.S (/ç;,t)( I + zcos((/ç;r + 2£,t))

2ax( i — x''} siu £7T sin (t/çn- + £~)

(I + /COSrfOT)(l + XCOS (dçTZ + 2£7t))

De ces relations, il sera facile de conclure qu'on pourra choisir les
entiers n et d^ [d étant fixé) de façon f[ue la quantité s , et en conséquence,
la différence r,, — r^ soit moindre que toute quantité donnée. De là, il
se comprend que la condensation des points d'intersection s'étend sur toute
la portion du rayon vecteur comprise entre les deux circonférences.

Mais la condensation dans cette étendue n'est pas uniforme: elle est
plus grande près du cercle intérieur (ju'au voisinage du cercle extérieur,
et notamment au milieu de ces deux cercles, ce qui s'entend immédiate-
ment de la formule précédente, qui montre que la différence r,,^ — r^
prend les plus petites valeurs, lorsque i]ç~ est près d'un multiple de ~,
et les plus grandes, lorsque ce produit s'approche d'un multiple impair

de ^t:.

A chaque point oii se coupent les diverses spires de la courhe que
nous venons d'étudier dans le n° précédent, on peut mener deux tangentes
touchant l'une et l'autre partie de la trace.

Désignons généralement les angles que forment ces tangentes avec la
direction fondamentale par a, de sorte (ju'ou aura

cotang (a — v) = - -^ ,

'^ ^ ' r du

_ x(i — g)sin((i — ç)v — F)]
~ I + ;f eus [( i — ç) y — F]

20 Traité des Orbites des Planètes.

Si, dans cette formule, on introduit au lieu de (>, lune après l'autre
les valeurs v^, et ;',.*» et qu'on nomme o^., et a, ^ les valeurs que prend a
en vertu de ces deux substitutions, on parvient aux formules

tang 1 90 — (a, , — iK ,)) = = — ,

x{l — ç) sin dçr,
I + X cos dç~

tang (90° — (o(,., — (',.;)) =
desquelles on tire:

«A / + «;.t = ih., + »,.L + I 80",

ou bien, en ne tenant pas compte des révolutions entières,

«A-.i + «/.* = -Vu + ' 80°.

Tant que ç est un nombre irrationnel, ainsi que le produit çtt, l'angle
90° — (ot; , — v,:.,) ne peut pas disparaître exactement, et en conséquence,
les deux tangentes menées à un point d'intersection, ne peuvent non plus
coïncider. Mais, il y a une infinité de points d'intersection où l'angle que
forment les deux tangentes est plus petit que toute grandeur désignée.

11 s'ensuit encore que l'angle formé jjar les deux normales est divisé
par le rayon vecteur en deux parties égales.

L'expression du rayon de courbure devenant avec les valeurs sig-
nalées de v:

^ ^ t _I_ V ■<# n-rto ri n-rr ' ' '

/

I +

:x(i — ç) siurfç-\ ■

'V

■)'

\ I + xcosdçTt )

)

1

(

I +

I + /?, X cos dçn

ix{\ — Ç) siiidç;ry

Ai

.\

\ I — X cos dç- )

1

^ ' I —/9,Z cos rfÇTT - ' '

il s'ensuit que la courbure des deux spires est la même au point d'inter-
section; néanmoins, à ce point, il y a deux rayons de courbure égaux et
faisant, l'un avec l'autre, l'angle a^ , — ct;^.

Voilà l'exemple le plus simple d'une courbe périplégmatique non fer-
mée: nous en avons examiné les propriétés un peu en détail, vu que dans

Première Partie. Livre I. 21

les cas plus compliqués que nous allons envisager prochainement, les choses
seront à peu près les mêmes.

5. Si l'on admet, pour constituer une généralisation do l'exemple que
nous venons de traiter,

ou bien:

^-.^+/M^-' +/Mi-V +

p - fu> + i^y +

les y9 étant des quantités très petites, on aura encore une expression pé-
riodique de p qui reste toujours inférieure à l'unité, pourvu que les
arbitraires introduites par l'intégration acquièrent des valeurs convenables.
En effet, si Ton introduit dans l'équation (5) l'expression de P qu'on
vient d'indiquer, il en résultera:

p = X^ -{- X^ COS/' + Xj COS 2f + Z3 cos 3/' + . . . .

On y a, comme auparavant, nommé /' l'angle (1 — ç)v — V.

Les deux constantes d'intégration étant désignées par x et F, les coeffi-
cients Xg , /, , /, , . . . s'évanouissent évidemment avec x, et ils deviennent
avec cette quantité très petits; ils prennent encore, à l'exception du coeffi-
cient x^ , des valeurs très petites avec les /9 .

Ce que nous venons de dire relativement aux coefficients x découle
immédiatement de leurs expressions approchées qu'on obtient aisément.
Les voici:

[-2'(i-cr+ I -PAy-,-\^^'+-Jj~' + -

[-3'(i-c)^+ >-/5,]^3=4/53^' +

[-4^fi-c)'+ I-/Î,]/. =«-yV + ...,

22 Traité des Orlntes^ des Planète?,

auxquelles il f;iut ajouter Téquation de conclition

-(i-c)^+ i-,5, ^Ii3.^,^+li9^,^+ ...

d'où s'obtient le coefficient ç.

Je n'insiste pas à donner plus amplement la théorie du développement
dont il s'agit, théorie d'ailleurs assez connue par les travaux de plusieurs
savants. Je remarque seulement que ce développement est convergent, ce
qu'on peut conclure immédiatement des expressions par lesquelles sont
donnés les coefficients.

La trajectoire définie par l'équation

I + Jfo + ^, COS f + X^ COS 2f + ...

est une courbe périplégmatique non fermée, jouissant des propriétés prin-
cipales fjue nous avons signalées dans le u° précédent.

Pour corroborer cette assertion, cherchons d'abord les points d'inter-
section qu'ont les diverses spires de la courbe. En opérant comme dans le
n° 4, nous l'etrouvons la condition

(I - C)^>., -/■= 2h7r-{i- ç)v,,, + l\
qui nous donne, en remplaçant // par k -\- l et /. + / + i , l'un après l'autre,
i) h = k + /,

'' I + ;f„ -f >r, COS / + ;f, COS 2/' -f . . . ' ''' i — ç i — ç

2) h=^k + 1 + l
.. _ l' -f. _r+n {2l + d)Qr.

I + x„ — x^ COS f + x^ eus 2f — . . . ■' I — ç I — ç

De ces expressions, on conclut immédiatement que les points d'inter-
section sont situés sur des isopycnotes, et que ces courbes sont des cercles
ayant r,, pour rayon.

Nous ne nous arrêtons pas à établir l'expression de >v, — >'j ■ qui sera,
en effet, difféi'ente de celle donnée dans le n° précédent; il nous suffit de
remarquer que la condensation des points d'intersection le long du rayon
vecteur est plus grande vers les limites de la couronne qu'elle ne l'est à
son milieu.

Pi'omiAve Partie. Livre I.

23

Quant aux tangeutos qu'où peut mener à chaque point d'intersection,
il y en a toujours deux Les angles que fout ces tangentes avec la direc-
tion de l'origine des arcs, s'obtiennent au moyen des formules

( I — ç)(;f, sin Jçt: + 2z, sin 2 Jçtt + . . .)

tang (90° — (a^j -

- "/.»))

tang (90° — (a, , -

- 'V*))

l'on conclut:

i + X^ + X^ COS JÇTT + X., co.s 2ilç- +

( I — ç)(x^ siu ilç- + 2x^ siu 2Jçz + .

l + X^ + X^ COS (I.^TZ + X.^ e(,)S 2(/ç,T +

«*..,+ c(,., = 2 F,., + 180°.

La courbe dont nous venons d'exposer succinctement les principales
propriétés peut être considérée comme le type le plus général des courbes
périplégmatiques, résultant de l'hypothèse que /7 soit une fonction de r seul.
Dans certains cas, subordonnés à cette hypothèse, ou pourra mettre l'inté-
grale de l'équation (4) sous une forme finie, en l'exprimant au moyen de
fonctions elliptiques ou ultraelHpticiues; mais cette forme, n'offrant pas
d'intérêt à la théorie des mouvements des planètes, et du reste, ayant été
étudiée à plusieures reprises, je n'en ferai pas l'exposition quant à présent.

6. Venons maintenant à l'hypothè.se que // soit une fonction de v
seul, ne contenant que des termes périodiques.

Dans le présent ouvrage, il s'agira très souvent d'agrégats de termes
périodiques dont le nombre peut être fini ou infini, et dont les arguments
sont formés par la variable indépendante r, multipliée jiar un noml)re (|uel-
conque i^i„, auquel produit est ajouté un angle constant h,,. Je vais établir,
dès le début, une notation particulière pour signifier une telle somme, que
je nomme brièvement of/réf/iif prr'iodique. Or, en désignant par a^ , «.^ , . . .
des coefficients quelconques qui forment, si leur nombre est infini, une série
convergente, je pose:

», cos(/,'y -f ij + «., eus (;,;?' + ]>.,) +

^- V

«, sin (A,r + />,) + <i, sin (l,r + A.,) +..,== S

A,

À

/y,

h

<i^

(1

K

X.

à.

b.

(r),

("),

24 Traité des Orbites des Planètes.

ou bien, s'il n'est pas nécessaire de distinguer les divers coefficients,

rtj cos(^,v + Z*,) + . . . = G{aXb){v),
«,sin(^, .' + />,)+...- S(«Ai)(i;).

Egalement, je vais employer un symbole spécial pour dénoter un agrégat
complexe, à savoir la somme d'un agrégat C et le produit de l'agrégat corres-
pondant S par l'unité imaginaire. La notation dont je me servirai est
celle-ci :

{v) + ;s

Ca

a

K

X,

L^

h

» - E

iv),

ou plus brièvement:

C{a?.l){v) + ;S(rtA/>)(î;) = E{aXh){ir).

Dans toute expression de la nature indiquée, les éléments a seront
nommés coefficients, les éléments X, vitesses de l'argument, et les éléments
h, arguments initiaux.

Evidemment, on peut supposer tous les coefficients positifs, vu qu'il
est permis, dans le cas d'un coefficient primitivement négatif, de changer
le signe, pourvu qu'on ajoute simultanément + - à l'argument initial.

Quelquefois, il serait utile de désigner l'argument complet par un seul
symbole. Dans ce cas, les expressions précédentes peuvent être simplifiées.
En effet, si l'on admet les notations

*i =" '''i'' + ^1 ; ■'^2 =" K^' + h'^ • • • ;

on aura, ce qui est très facile à comprendre,

>') = C

o o

(0-

Dans le second membre de cette identité, on peut évidemment supprimer,
sans aucun inconvénient, les arguments initiaux, qui sont partout égaux à

iric Partie. Ijivic I.

zéro, ainsi que Tunité, qui figure, à la place de la variable indt'jjendaute,
entre les deux dernières parenthèses. De la sorte, on aura

=^ rtj cos Xj + (1.^ eos .r.j +

C

".

a

-^\

.r

et de même:

S

".

",

L^;

T.

■= fl, siu :>\ + "-i i^iii '^'.j +

Les agrégats périodiques jouissent de quelques propriétés générales,
utiles à connaître: j'en vais donner un exposé rajoide.

D'abord: on peut toujours mettre un agrégat périodique n'ayant aucune
vitesse de l'argument égale à zéro sous forme d'un produit de deux facteurs
dont l'un, le coefficient, ne passe jamais par zéro, et l'autre, un cosinus
ou un sinus, dépend d'un argument dont la vitesse est toujours différente
de zéro, et dont la partie initiale est un nouvel agrégat périodique ou du
moins, une fonction oscillant entre deux limites finies à laquelle se trouve
ajouté un multiple pair de la demicirconférence.

Désignons par X et h deux quantités constantes, réelles et encore indé-
terminées; il s'entend facilement ([u'on pont mettre:

I -1

[o) = cos(;.r + h)0

1— ;, L — x

siu(;.*' + />)S

(0

a, a,

A, — X /j — X

(")>

«, «,,

c) = Hm{Xv + b)C

Traité tles orbites absolues.

x,—x x., — x

+ cos(Ar + />)S

X,-X X,-X
b, — /; h, — h

»

('')■

26

Traité des Orbites des Planètes.

Cela étant, nous allons former deux nouvelles fonctions s et 0, en
les définissant au moyen des équations

('0

c cos ^ = C

£ sin ^ = S

h, — h h., — h

/, _ h h — b

ir),

(v),

et nous chercherons à déterminer, s'il est possible, la constante A de ma-
nière à débarasser la fonction d de tout terme de nature séculaire.
Les relations que nous venons d'établir s'écrivant ainsi

•■* = E

'" = E

on en tire:

A, —A À, —A

Jj^ — h h., — h

h— h, h — b..

^, — t h., — h

X — Al / — A,

h — h. h — h..

H,

('■'^).

(»0

Or, si nous supposons a^ plus grand que les autres coefficients et si
nous admettons les notations

nous aurons:

(12) o/^_ o;[(^_ _;),, + /,__^,] 4. log{i 4. „^e*-'-^'>"+^-''l +...Î

— log|i + a,e-'W-'-'"+'-''J + ■ .-l.

Première Partie. Livre I. 27

Le développement de cette formule s'opère de devix manières diffé-
rentes selon qu'on a:

I > a, + a, + . . .

I < î(, + «3 + . . . .

Dans le premier cas, les dcnix termes logarithmicpies se développent aisé-
ment suivant les puissances et les produits des coefficients, et il s'aperçoit
immédiatement que les développements en résultant contiendront seulement
des termes périodiques. On conclut de là que, si l'on fait A égal à A, , et
h égal à ij , l'expression de d sera un agrégat périodique sans aucim terme
constant. Les résultats de la transformation seront alors:

e'

K

11^ . . .

/, ...

/>,

IK, ...

"i

«, . .

;,,

K ■■■

_^

h^ ...

(f) = cCos(A.r + /'. + (f),

{v) = csin(/^i) + b^ + d).
Pour étudier l'autre cas, qui est, en effet, plus compliqué, faisons:

X = C

Y = S

et ensuite:

K ~~ K K — '^1

-^2 -^1 K -^1

I + X = !? cos V,

Y = U sin JJ.

;").

(«),

28 Traité des Orbites des Planètes.

Il s'entend dabord, en comparant ces expressions avec celles que nous
venons de signaler un peu plus haut, qu'on a:

= 2,[(i, — A),. + J, — i]+ 2W.

Maintenant, pour détenniner les deux fonctions ê et U, considérons

les relations

,9= = (i + X)' + Y\

^/(i + xy + Y

Par la première de ces expressions, il est visible que la fonction B'^
oscille entre une valeur minima qui est, abstraction faite du cas spécial
où l'on a:

I = «2 + C(, + . . . ,

nécessairement positive, et une valeur maxima également positive.

Désignons la première de ces valeurs par g^ , et la seconde par g^ ;
et posons:

W étant une fonction dont la valeur n'excède jamais les. limites — i et + i •
En mettant finalement:

■'7, — f/, ^ 2ii

iu + ih 1 + /î' ' ;

nous aurons:

(H) '9'=5Tt^-$^!' + ^/îTF + y9T

Puisque le coefficient y? est, excepté dans le cas spécial déjà mentionné,
moindre que l'unité, il s'ensuit de la formule trouvée qu'on peut développer

Première Partie. Livn! I.

29

les fonctions »9~\ î9~\ ... eu séries suivant les puissances croissantes de /9.
Ensuite, il sera facile, eu désignant par n un eutier quelconque, de former
le développement

r , 1 F' , 1.3 y"

U

-.+ (. + .)3±^+^^ + H^ +

qui reste toujours convergent, vu que le rapport ne surpasse jamais
l'unité positive ou négative.

Maintenant, si l'on établit les égalités

k --= À.

h = h^ + 2»-,

(15)

^-(■^o^±lJ+^s^+ai:^+-- 1

d'où l'on conclut, en choisissant les signes d'une manière convenaljle, que la

fonction â ne sort pas des limites — ^tt et +'^~-

Le résultat auquel nous sommes arrives, se retrouve d'ailleurs directe-
ment en portant dans les expressions de £cos^ et de s sin ^^ les valeurs
signalées de A et de b. On obtient ainsi:

2/(9= lot

I +

I + X

iY

I + X

qui se transforme facilement en celle-ci:
.^ , I -f X + iY

v/(i + A-)= -f Y'

loç

I + XY 4- Y' V

Il s'ensuit:

l\/(i +XY +

sin 6 =

(I + A-)'-f r^j

s/(i + xy + Y

d'où l'on retrouve immédiatement le développement dont il s'agit. Nous
déterminerons, dans une section suivante, la fonction (i d'une autre manière.

30 Traité des Orl)itcs des Planètes.

Ayant obtenu les résultats généraux que nous venons de signaler, on
eu conclut aisément que les agrégats périodiques constituent des fonctions
oscillant entre des linaites variables dont l'amplitude maxima s'exprime par
le produit 2(1^^^,, r/^ étant toujours la valeur maxima de la fonction ê''.
Or, un tel agrégat, loin d'atteindre à chaque oscillation ses limites extrêmes,
à savoir + rti y/.^ et — rt, y'i/., , n'arrive qu'aux valeurs + s, et — s^, que
prend la fonction s lorsque X^v + b^ + Û est égal à. des multiples de tt ou

de ^ /T. Mais, à chaque oscillation, l'agrégat périodique passe par zéro.

Après avoir mis au jour ces propriétés des agrégats périodiques qui
sont, en effet, les plus essentielles, revenons au cas proposé, où l'on a admis:

//=«„+ c

[v]

Eu introduisant cette expression dans l'équation (4), on arrive à une
équation diftéreutielle linéaire du deuxième ordre, dont l'intégrale s'exprime
au moyen de la formule

Cj et ("2 étant les deux constantes d'intégration, ~, un agrégat périodique,
dont la valeur n'atteint pas l'unité, et v , un coefficient constant, qui peut
être réel ou imaginaire, et qui dépend des coefficients «'„,«,,... ainsi que
des vitesses /Ij , ^^ , . . . /

Si V est réel, la fonction croît hors de toute limite finie; si au

r

contraire v est imaginaire, cette fonction passe une infinité de fois par zéro.
En conséquence: ni dans l'un, ni dans l'autre cas, la courbe qui représente
géométriquement l'intégrale indiquée, n'est une courbe périplégmatique, bien
que la fonction // puisse osciller autour de l'unité, de sorte qu'elle ne de-
vienne jamais négative, ce qui pourrait arriver, si par exemple a^ était
égal à I .

' Voir mou mémoire: Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories
des planètes, § 7.

Piomii'rc Partie. Livre I. 31

7. Une petite modification de rh\'pothèse que nous venons d'étudier
dans le u° pi'écédent, nous conduit à l'équation d'une courbe périplégina-
tique. Admettons, à cette fin,

// = '■-(.-->,
P \ Vf

A étant un agrégat périodique auquel se trouve ajoutée une constante.

Maintenant, si nous reraplayons - par i -f />, nous arriverons à
l'équation

g+(. +^),. = o.

dont l'intégrale s'obtient sous la forme

C, , C^ , z Qi V ayant les mêmes significations que dans l'exemple précédent.
Eu supposant v imaginaire, ce qui est nécessaire pour éviter les valeurs
de p croissant à l'infini, le résultat que nous venons de déduire se met sous
la forme d'un agrégat périodique, d'où l'on conclut ipie la fonction p oscille
entre des limites variables: en conséquence, le rayon vecteur, qui est donné
au moyen de l'expression

prend, lui aussi, des valeurs extrêmes dont l'amplitude est variable.
Admettons, après avoir mis h à la place de v, les notations

G, ' _,/■ . C. I ,,/•

l'expression précédente se changera alors dans la suivante:

r = ^ .

I + 7) coBivv -\- V t zdv — r j

32 Trailé des Orbites tles Planètes.

Ou s'aperçoit immédiatement que le rayon vecteur reste constamment
fini, tant que la fonction ri n'atteint pas l'unité. Four remplir cette con-
dition, il faut et il suffit que la valeur minima de i + -ï soit plus
grande que celle du produit 4CjC.j. Mais, si cette condition est satisfaite,
la trajectoire déterminée par l'équation précédente est une courbe périplég-
matique à diastème variable, pourvu qu'on ait:

En effet, l'expression précédente de // pouvant être mise sous la forme

oA

Il ^

I + p

on eu conclut que cette fonction oscille autour de l'unité sans devenir
jamais négative.

Par les considérations précédentes, on a eu l'occasion de se former une
idée des deux genres des courbes périplégmatiques : dans le premier de nos
exemples, le diastème était constant, dans l'exemple du n° présent, variable.
Mais ces deux genres de courbes jouissent d'une propriété commune, qui leur
donne un caractère spécial, à savoir celle que leur diastème dépend de telle
manière des constantes introduites par l'intégration qu'il s'annule lorsque
ces constantes disparaissent. J'ai nommé, dans quelques travaux antérieures,
ce genre de courbes périplégmatiques orbites infen>iédiaires, parce qu'elles
sont, en effet, très propres à représenter d'une manière approximative les
mouvements des corps célestes: les courljes du premier genre, les orbites
des comètes dans le voisinage d'une planète, celles du second genre, l'orbite
de la lune, ainsi que les mouvements d'autres corps célestes, dont les con-
ditions sont analogues à celles de la lune. Particulièrement, quand les
arguments dans l'expression de r se composent de deux éléments, ce mode
d'aborder les approximations destinées à faire connaître les mouvements de
l'astre considéi'é, est très fertile. Ce cas se présente toujours, lorsqu'il
s'agit d'un système de trois corps se mouvant dans un plan unique, si
l'orbite du deuxième corps autour du premier, qu'on admet en repos, est
un cercle, et que les distances du troisième corps, dont la masse est in-
sensible, à l'un des deux premiers, sont toujours petites par rapport à ses
di.stances de l'autre corps.

Première Partie. Livre I.

33

8. Je vais maintenant considérer un type des courbes périplégmatiques
à diastème variable jjIus général que celui des orbites intermédiaires: je me
proposerai, dès l'abord, de cbercber les courbes périplégmatiques dont le
diastème ne s'annule pas avec les constantes d'intégration.

L'iiypothèse le plus simple relativement a // conduisant à de telles
courbes, est celle-ci:

//

- + (A +i%m{^

A

II étant une fonction de certains coefficients con.stauts, laquelle nous allons
mettre en évidence un peu plus bas, et A , un agrégat périodique de la
forme suivante

/'i ?'.

A = C I — o-j I — (T.^ ... (/'),

où les y ain.si ([ue les a sont des petites quantités positives.

Avec l'expression établie de //, nous obtenons facilement de l'équation
(4) la suivante:

(16) S+(i-A-A^/)/> =

A.

dont l'intégrale se trouve immédiatement. En désignant par x et /" les
deux constantes d'intégration, et par c, une quantité découlant de l'équation

nous arriverons au résultat

fi. If

(■-c)%

:'/)

p^C

('0.

l — Ç l — <T^ .

-r -n, .

où les divers x sont des coefficicuts s'obtenant en vertu des expressions
que voici:

r,

^. (

I - <7,)

-(■-A-AW)'

., ^

— ffj

'-(•-A-ÂW)'

TraUc des orbites ahsolves.

34 Traité des Orbites des Planètes.

Maiutenant, si nous admettons que la fonction II soit égale à la
somme des carrés de tous les /,, et que nous posions, pour abréger,

*. = — 2^ + '^ + A.

la fonction sera H obtenue en résolvant l'équation

(^^) ^ ^ {», + liJIY' + (*, + yî^ff)^ + • • ■ •

Evidemment, si les termes de droite sont en nombre fini, l'équation
que nous venons d'établir, admet toujours une racine réelle et positive;
c'est de même si les y forment une série infinie, que nous supposons
toujours convergente comme une progression géométri([ue, supposé toutefois
que les ê soient des quantités positives. Mais aussi dans le cas où le
nombre des termes e.st infini et que parmi eux il se trouve un nombre
infini de ê négatifs, l'écpiation (i8) sera satisfaite par une valeur finie,
réelle et positive de //, et en conséquence, son membre droit, étant ex-
primé au moyen d'une série infinie, restera convergent. En voici la dé-
monstration.

Soit — //•„ la plus grande valeur négative des &, et x , une quantité plus
grande (pie >9/. alors, il s'ensuit que l'inégalité suivante subsiste:

?-■ , ri , , ri , ri + ii + ■■■

(,v, + .vY "^ {>i.^ + a;)'^ "^ ■ ■ ■ "^ (- ,% + xr -f • • ■ "^ (- ^. -f x)-' '

d'où il se dérive celle-ci:

X M M M y ^ n + n + ---_

Donc, si l'on détermine x en vertu de l'équation

qui admet nécessairement une racine réelle et positive, plus grande que
&^, et que l'on introduise cette valeur de x dans le premier membre de

Première Partie. Livre I.

l'inégalité obtenue, on aura évidemment un résultat positif, tandis qu'une
valeur de ;/;, un peu plus grande seulement que &,, rend négative la fonction

{'K + xT ■ ■ ■ (~ ^. + xY • • • •

Or, la fonction /'(./) étant continue entre .r ayant une valeur un
peu jolus grande que f)„ et x égal à un nombre excédant toute limite, on
conclut que cette fonction s'annulle pour une valeur de x comprise entre
?9, et la racine excédant &^ de l'équation précédente du troisième degré.

En multipliant l'équation (i8) par y9^, et en désignant /?.,// par x,
on retombera dans l'expression qu'on a dénotée par f{x). De là s'ensuit
déjà la réalité de la fonction H , mais il arrive aussi que l'équation dont
il s'agit a plusieurs racines positives. Dans un tel cas, qui, en effet, n'est
aucunement rare, il faut des considérations ultérieures pour décider laquelle
de ces racines il faut prendre.

Ayant établi la réalité de la fonction //, il sera facile, même sans
avoir déterminé sa valeur, de montrer la convergence de la série

y.,+y., + ...,

à cet égard il suffit de renvo^^er le lecteur au paragraplie 7 de mon mé-
moire nouvelles recherclies etc., ou bien, à une lettre adressée à M. Hermite
qui a été insérée dans les Comptes rendus de l'académie des sciences
de l'institut de France, T. 108. On y a fait voir, que la valeur
absolue de x, est moindre que

^\

Ti

ou tout au plus égale à ce nombre, ce qui conduit au théorème suivant que
je mets en évidence, eu employant une notation très utile de M. Poincaré:

X, +x, + ...<2\/^\^r. + yr. + ■■■]■

Les ;' formant une progression géométrique, il en est de même des ra-
cines cubiques y;-; on en conclut immédiatement la convergence de la série
des X.

36

Traité des Orbites des Planètes.

Si l'on avait supprimé, dans Féquation (16), le terme /î^^, qui existe
réellement toutes les fois qu'il s'agit de déterminer les mouvements des
planètes, ou n'aurait pas pu montrer la convergence de l'intégrale. Voilà
la raison pourquoi on a mis eu évidence ce terme, en établissant l'hypothèse
du cas présent. La fonction H ayant la propriété de limiter et de rendre
convergente l'expression de l'intégrale de l'équation linéaire (16), je l'ai
appelée fonction horisfique.

9. L'expression de p que nous venons de trouver dans le dernier
numéro, se met aisément sous la forme d'un seul terme périodique avec
coefficient et argument variables. Pour y arriver, introduisons les notations
suivantes, analogues à celles que nous avons employées dans le u" 6,

'9)

g ^= f] cos (tt — r) ^ z + C

r—B, r~B„

h = 7] sin (- — r) = — S

r—D, r—B„

(^),

[v]

Cela étant, nous serons conduits, immédiatement, aux expressions
20) P = V cos ((I — ç)v — tt)

et

(21)

V

I + Tj COS ((I — q)v — -)

La valeur du diastème à un instant déterminé étant donnée au moyen
de la formule

(.A r —r = ^'^ ,

{--) '1 '0 \—yj"

j'appelerai 37 fonction cliasténmtique: elle est, dans les théories des planètes,
une fonction contenant, outre une constante, seulement des termes péri-
odiques qui acquièrent des valeurs constantes lorsque les vitesses de l'argu-
ment disparaissent. Dans ce cas, toute la fonction tj, ayant une valeur

Première Partie. Livre I. 37

constante, signifie l'excentricité d'une ellipse, et les divers termes que ren-
ferme cette fonction, contribuant à l'élément mentionné, je les ai nommés
tenues éléineiiiaires. Par cette dénomination j'entends dorénavant encore tout
autre terme dont le coefficient ne s'annulle pas avec les forces troublantes.
Outre les termes élémentaires du type considéré précédemment, il y a
des termes élémentaires d'un autre type, assez différent de celui-là: on
les trouve, mis en évidence, dans l'équation (17). Si, pour élucider leur
propriété d'être élémentaires, nous admettons que les ;- et les a, ainsi que
A ^* l^j soient des quantités du premier ordre par raj^port aux forces per-
turbatrices, ce (|ui conviendrait effectivement aux choses réelles lorsqu'il
s'agit des mouvements des planètes, il serait facile de voir que les coeffi-
cients X sont des quantités non disparaissant avec ces forces. On distinguera
donc deux espèces de termes élémentaires: le premier genre est caractérisé
par un argument de la forme

(TV + -4 .

Ces termes, je les appelle termes éJémentaires du type {A). Les termes du
second genre, dont les arguments sont donnés au moyen de l'expression

( I — a)v -\- B,

seront nommés termes flémentaires du type {B).

Il s'entend facilement que la période d'un ternie du type {A) est
toujours très longue, taudis que celle d'un terme du type {B) est à peu
près égale au temps de révolution.

Mais on rencontre aussi, soit dans le développement de la fonction
perturbatrice, soit dans les expressions des inégalités, des termes dépendant
des mêmes arguments ipie les termes élémentaires, mais dont les coefficients
sont multipliés par une puissance ou par un produit des forces troublantes.
Ces termes, n'étant pas élémentaires dans le sens ordinaire du mot, je les
appelle termes sousélémentaires. et je vais distinguer des termes sousélémen-
taires de divers ordres, de sorte qu'un terme sousélémentaire serait, par
exemple, du premier ordre, si son coett'icient contenait comme facteur la
première puissance d'une masse troublante.

11 y aura lieu de distinguer des termes surélémeiitaires, dénomination par
laquelle j'entends les termes devenant infinis lorsque les masses troublantes
disparaissent. Ces ternies, ne pouvant se produii'c que passagèrement, on

38 Traité des Orbites des Planètes.

saurait toutefois les éviter par uu choix ratiounel des formules différentielles
dout l'intégration donne les inégalités.

lo. Les fonctions g et /* se déduisent, d'une manière directe, en
intégrant l'équation (i6) moyennant la variation des constantes arbitraires:
il y a toutefois une remarque à faire que nous allons indiquer d'abord.

Soit:

/' = <IU^ + ^l'J..

l'intégrale complète de l'équation

g et 11 étant deux fonctions qui prennent des valeurs constantes si R est
égal à zéro.

Eu introduisant l'expression signalée de p , ainsi que sa deuxième
dérivée, dans l'équation (23), on obtient immédiatement:

(24) tj-tv'^tvdv'^d~v\!'^tv^y-'dv)^^'

équation à laquelle doivent satisfaire les deux fonctions g et h, encore in-
déterminées. Mais puisque ces fonctions, soumises jusqu'à présent à satisfaire
une seule condition, sont au nombre de deux, on pourra les déterminer de
plusieurs modes, dont il y a seulement deux qui méritent d'être examinés ici.
D'abord, on pourra établir la condition

dq , dh

y^^Ay^d-v-""

qui entraîne immédiatement celle-ci:

dy^ dy dy,, dh „ '
dv dv du dv

Ayant détenniué les intégrales particulières v/j et y^ de manière à avoir:
dy, di/, _

y^ dv y^d^ ^ ^'

PiTmiî'i-e Partie. Livre I. 39

les deux équations, dernièremeut mises en évidence, conduisent à celles-ci:

dg
dv

-9.R, j,-y.R,

d'où l'on tire, en nommant f/^ et Ji^ les deux arbitraires,

9 = 9 a —jy-i^dv; h = li^ +J j/^Ri/v,

et encore :

(25) p = //0//1 + ^'oi'-2 — 9iJ 92^'<fi' + yjvx^'^^'-

Par l'hypothèse admise, qui fut établie par Lagrange, non seulement
la fonction p elle-même prend la même forme, soit que la fonction R soit
égale à zéro, soit (|u'elle ait une autre valeur, mais il en est de même (|uant
à la première dérivée de cette fonction. C'est aussi à cette hypothèse que
l'astronomie képlerienne doit son fondement théorique.

L'autre hyjjothèse qu'il y a lieu à examiner, est dès le début plus
générale. En désignant par X une fonction, encore tout à fait indéterminée,
nous allons mettre:

(26)

dq , dli ,

■^' dv ' ^^ dv

relation qui entraîne la suivante

(27)

dX

'hh ^l f 'i^ ^^ ^ "L'I 4. Ji
dv dv dv dv dv

De ces deux équations, il s'ensuit:

'k

^28)

dv

dh
dv

d'où l'on tire

9 = 9o

— y.

l-

' dv

dv

2/,^,

!/,?. —fy^M'V; h = h^ + y^X -\-Jy^Bdv.

En formant, avec ces valeurs de // et de // , l'expression de l'intégrale
générale, on retombe sur la formule (23), (jui ainsi est indépendante de

40 Traité des Orbites des Plauètes.

toute hj^pothèse relativement à la fonction À. Mais, à ce i[m concerne
l'expression de la première dérivée de la fonction p , on aura maintenant
un autre résultat, à savoir:

au av dv

Bien que cette formule soit un peu plus compliquée lorsque J est différent
de zéro que dans l'hypothèse de Lagrange, il paraît cependant avantageux,
pour ne pas dire nécessaire, de déterminer la fonction nommée de manière à
rendre les expressions de g et de h aussi simples que possible. Aussi dans
la théorie des inégalités séculaires exprimées au moyen de séries trigono-
métriques, les grands fondateurs de cette théorie, Lagrange et Laplace,
n'ont pas insisté sur la condition que les premières dérivées des coordonnées
d'une planète aient la même forme lorsque les éléments elliptiques épi'ouveut
seulement des altérations séculaires que dans le cas d'éléments constants.
C'est tout le contraire: pour exprimer les perturbations séculaires par des
termes périodiques, une certaine partie de la fonction perturbatrice, dite
partie séculaire, fut retranchée, de sorte qu'on pouvait établir les équations

dv ' dr '

0 et '/'' s'exprimant au moyen d'agrégats de termes sousélémentaires du type
[A) et du premier ordre.

Examinons si ces -démarches étaient conciliables avec l'hypothèse 1 = o.

Si, dans ce but, nous introduisons les valeurs de -^ et -r- dans les équa-

au dv ^

tions (26) et (27), il sera facile d'en tirer les résultats
(26') _7, = _,/_r/;4-y/,^Y'-,

27' iî + = _ ^' 0 +-^- q'.

^ ' ' dv dv dv

En différentiant la première de ces équations, et eu retranchant le
résultat de la seconde, il restera:

, , „ , dJ d(I> d'I'

^ ' dv ' dv ' dv

Premii'ro Pai-lic. Livre I.

41

Si l'on supposait que les fonctions ?/, et y^ fussent des quantités de l'ordre
zéro, et, que (l> et '/' ne continusseut que des termes sousélémentaires du
type [A) et du premier ordre, on conclurait facilement de l'équation ob-
tenue que son second membre fût une quantité du deuxième ordre. Or,
puisque nous considérons U comme un agrégat de termes sousélémentaires
du type {B) et du premier ordre, il faut que /[ soit aussi un pareil agrégat
du premier ordre.

Donc, de deux choses, l'une : la fonction  peut être égalée à zéro, il est
vrai, mais seulement à condition que les fonctions (I> et ¥ renferment des
termes d'un autre genre que ceux du type {A); de l'autre côté, on peut faire
contenir aux fonctions </> et V'", ou, ce qui revient au même, aux fonctions y et
h exclusivement des termes du type [A), mais dans ce but, il faut, qu'on ait:

(30)

(U I „ , I / d<I) d'I

(3

Ou tire de là:
X =

/«*-i/>.g+^=S>'

valeur qui, évidemment, est différente de zéro.

Si l'on inti'oduit les expressions obtenues de X et de -- dans les formules

dv

(28), on peut exprimer les différentielles de g et h au moyen de la fonction

R. On obtiendra de la sorte:

I d

d\j

dVi

ou bien:

dv 2dvr^J \ ^^ do- -^^ dvj ' ■'! '

dg
dv

(32)

2-^^ ' 2dv J ' 2dv\'''J Y^ dv' ' '^'dv',

dh I „ I fZi/, /-„, 1 d\ r f d""!! , d-h\

-5- = y.R v^ / Rdv -r\v, I '/, V. 4- V; -7-, I

dv 2''i 2dv J 2dv\-^^ J \'^ dv'' ''^ dv'J

dv

dv\

Traite lies orhilis ulisulucs

42 Traité des Orbites des Plauètes.

I I . On parvient à déterminer la fonction J de plusieurs autres ma-
nières qu'eu utilisant l'une des équations (26) ou (31): voici une voie con-
duisant très directement au résultat. Je me restreins toutefois à ne con-
sidérer qu'un seul terme de la fonction R.

En multipliant la seconde des équations (28) par i = \/ — i, et en
ajoutant ce produit à la première des équations nommées, on obtient;

[:>i> — ^y = i j-^ h '(^1 + i}/,)R-

Supposons maintenant qu'on ait:

v/, = f{v) cos (( I — c) V + â) ; //, = f{v) sin (( i — ç) ,, + Û),

f{v) et 0 étant deux fonctions des termes périodiques du type (^4); de ces
fonctions, nous considérons la première comme peu différente d'une con-
stante. Admettons ensuite:

R = ;-cos {(i — (T)v — B) = I^Je'C'-''"-^' + e-.c(i-.>,-£,j^

et désignons par (f^ et ç', deux fonctions indéterminées, encore à notre
disposition.

Maintenant, pour déterminer les fonctions g et /(, admettons l'équation

(34) '^^=U^-<f.-i<f^f^y--^'^''\

et nous aurons, en la retranchant de l'équation (33),

On peut déterminer les deux fonctions ^"^ et ç^^ qui sont encore à
notre disposition, de manière à avoir:

frf{v)é'''-'-'""'-"'''hlv = (— iM + N) e'*'-- ^-''•'•+<'-^) .
Ue la sorte, on aura, en vertu de l'équation précédente:

(35) I = —-^-\Mfim[(\ — (7)v~B) + î\^cos((i — a)v — B)].

Première Partie. Livre I. 43

Après avoir différeutic les relations précédentes, nous en tirons quatre
équations différentielles conduisant à des valeurs réelles des quatre fonctions
f^ , f 1 , ili" et N. Les voici :

IN

, dd\^, dM

dvf dv

Des deux dernières de ces équations, on déduira t'acilement les ex-
pressions de M et de N, qui j^rendi'ont, évidemment, la forme d'agrégats
de termes du type {A), pourvu que f[v) et 0 soient de tels agrégats. Les
fonctions 31 et N étant connues, ou aura immédiatement, soit les produits
Çgf{v) et <fj\v) qui entrent dans la formule (34), soit les fonctions (f^ et
ç, , dont on n'aura, cependant, pas besoin. Il serait facile d'étendre l'applica-
tion de la méthode exposée aux cas de plusieurs termes entrant dans l'ex-
pres.sion de B,.

12. 8i la fonction R contenait des termes dépendant des fonctions
// et h , les méthodes que je viens d'expliquer, dans les derniers numéros,
n'amèneraient des résultats qu'au moyen d'ajiproximations successives; pour
arriver directement au but, voici la manière de procéder.

Keprenons l'équation (24), après avoir effectué la différeutiation du
dernier terme de son premier meml^re. Nous aurons ainsi:

, , d''u , d-k , fdii, dci , di/, dh\

^•^ ' ' dv ' dv \dv dv dv dv J

et si l'on y introduit les valeurs de //, et de 1/.^ ([uo nous avons présumées
dans le n° précédent, il en résultera:

44 Traité des Orbites des Plauètes.

cos d''y^„+ sin ff V^! /'( (.') cos ( I — ç) V

+ — siii ^ T^ + COS ^ -^, / ( (M sm ( I — àv
dv dv-y^' ^ '

+ 2 j /■'(«) cos ^—(^I — C + ^^j/Xi;)siD^^COs(l —Ç)V

+ 2 j- /"(iO 8iu^- (i - c + |J)/-(.) cos^[|sm(i - ç)v

+ ,l/'(,-),iu^+ (i -c + ;[^)A^')cos^|';|Jcos(i -ç).

+ , j/-'(,) cos^- (i - r + ;^)/-(") si"^j;|^siu(i - ,)v = n.

Quelle que soit la fonction Zî, nous supposerons toujours qu'elle ait
la nature d'un agrégat périodique du type

e cos ((I — c) '^ — -E) ,

s cos E et £ sin i? étant des fonctions du type {A), c'est-à-dire, des fonctions
s'exprimant au moyen des termes du type [A). Donc, si nous posons:

R = S cos ( I — <r) t' + ) " sin ( I — ç)v ,

E et }■ seront des fonctions du type [A).

En introduisant cette valeur de B dans l'équation précédente, et en
égalant séj)arément à zéro les coefficients de cos ( i — ç)v et de sin ( i — c) v,
on parvient aux équations

f{v) cos^g + A.) sio^g + 2 j/'(.) cos^ - (, - c+ f;) /-('Osin^ jg

+ ^[r(")sin^ + (.-ç + ;;^)/-(.)cos^|g=£,

-/l")sin^g + /(.)cos^g-J/"(.)-^+^i-C+|)/Wcos^||

+ 2Jr(r)cos^-(i _ç + ^)/-(î;)sin

dh _

Prciuièie Partie. Livre I
d'où découlent facilement les suivautes:

,ZV , ,/■(«) '/;/ , / , iW\ dh

(3 7)

1-4+2 hr — , +-I — C + ^--;- = -^7-^ (■= (^os ^ — / sin â),
dv'^ l{v) dv^ \ ^ ^ dvj du /(y)^ '''

d'h , f'{v)dh l d6\dq I .„ . .

dv-^ t\v)du V (/y/ (/v t\v)

et encore, si l'on désigne par A' et Y les sommes g + /'// et // — //; ,

(38)

d'X

/■(v)

T7^+2 ':-^-; I

dv

s+

+

dH\ I <iA'

f(v) \ " ' dvj \ du

/•■(r, dt)\\dY

/■(■'^)

/■(i')

I^+/>V"

\I-i)-\e"r

J'aurai l'occasion, dans ce qui suivra, de revenir à ces équations que
j'ai déjà établies dans une note on tlie détermination of tJie Radius Vector
in tJie absolute orhit of the planets insérée dans le tome XLVII des monthly
notices of the Royal Astronomical Society.

/dp ^

i^. La relation entre la somme />^ + ( ,-) d'uo côté, et le carré de

\uuj

la fonction diastématique

de l'autre, sera d'une utilité particulière. Nous allons la chercher.
Admettons, pour abréger, les notations

A = -ç +

B

nv).

f{v) '

évidemment, les fonctions A et B sont de petites quantités du premier
oi-dre, tant que c est une telle quantité et que 0 et f{v), dont la dernière
ne diffère que très peu d'une constante, sont des fonctions du type [A).
Avec ces notations, on aura immédiatement les valeurs

(Z(/,

hi.

g-' = -(. +A'/. + /^y.; :^^ = (i+.4)i/.+%,

qui, si on les introduit dans l'expreSsion

dy dy

46 Traité des Orbites des Planètes,

conduisent à la relation

Des valeurs signalées, on obtient encore:

iv ) ^ \dv J - ' ^ ^ ^ i + A'

•'^^ + (èy = TT-Î + -^^^> + -^^(' + ^)^'-'^'^ + ^^'^' + ^'^-

Maintenant, si l'on introduit les valeurs de -~ et -~ dans l'en nation

dv dv ^

dv dv dv

il en résultera:

J = - r/(i + A);f, + h{i + A)>f^ + B{ff!j^ + /.y/J - J;

ensuite, en posant:

(;) = X + {gi/^ — hy^)A — B{f/i/^ + ////J,
on parviendra à l'expression

(39) '-£= -mi, + k/i—W-

Eu vertu de cette relation, l'expression précédente prend la forme

(40) (i + A){^) = J-A'^^-Bp.

Cela étant, il sera facile de former l'équation

(4-) ^■ + ©'-T^-^WÎ-W'

y' 2/? dp 2 A /dpy zB <-Ip_(^\2

i + A 1 + Adv ~^ i + A \dv) '^ i + a'" dv ^ '' '

Premii'ie Partie. Livre I. 47

OU bien, en considérant ré(|uation (31)1 celle-ci:

• Telle est la relation demandée, mais chercLons encore à mettre en
évidence les termes élémentaires du type {A), ainsi que les tenues sous-
élémentaires du premier ordre.

Si, dans ce but, on néglige toute quantité du deuxième ordre, on trouvera,
à l'aide de l'équation (26'):

2/ dp l dq dh\, j.

I + Adv V dv ' -"'' du,

( dq , dh\ , ., ,. / dq dh\

Mais, des trois parties mises en évidence î^u second membre, c'est seulement
la première qui contient des termes sousélémentaires, de sorte qu'on pourra,
eu ne considérant que de tels termes, mettre:

2j dû , dq dh

I + A du dv " dv

Ensuite, puisque le produit de par p -j- ne contient aucun terme

élémentaire ou sousélémantaire du premier ordre, ce qui est facile à voir,
et que la partie élémentaire du produit ^ — ;(-r-| . si l'on néffllire les

^ ' * I -f yj \dv/ ■ " °

termes du deuxième ordre, est égale à Arj'^, on parvient à établir l'ex-
pressiou que voici:

, \ 2 I (dp\'' 2 dij dh

formule qui nous sera utile plus loin.

48 Traité des Orliitcs des Planètes.

1 4. Les oi'bites absolues des planètes sont des coiu'bes périplegma-
tiquos du type que nous venons de considérer dans les n"^ 8 — 13; pour
une raison qui sera élucidée dans le troisième chapitre, nous allons toutefois
changer un peu l'expression analytique du rayon vecteur, telle qu'elle est
donnée par l'équation (21). La modification en question s'opère en rempla-
çant, dans la formule mentionnée, la constante 'p par la (piantitc variable

de sorte que nous aurons:

a(i —f)

(43)

I + 3j cos (( I — ç)v — ;t)

Eu différentiaut l'expression

a _ i + p

il viendra:

Ip I + p dyf

dv I — 7]" du ( I — ;y*)^ (^v

et encore, après une nouvelle diiïéreutiation,

r ï d'p 2 d-q' dp

17' "" I —ri' 'ch' "^ {l — fyd^Tfu

■ 2(1 +p)/d7jY l +p dY.

et si l'on introduit ces expressions dans l'équation (4), après y avoir écrit
a au lieu de p, il en résultera l'équation que voici:

UA '^> I " ^V'V I -C+/>)A¥V, .^+pdy

^^^^ dv' ^ I — fdv dv ^ (I — fy \dv / ^ I — f-dv-' ^ ' ^ P

OU bien, eu considérant la relation

irio Partie. Livre I. 4ll

'lie- ci

(I — îj")' \dv / I — îj' f^y'

Des relations signalées, il serait facile de conclure la valeur de P et
celle de //, et ensuite, d'examiner si les conditions étaient remplies pour
que la courbe définie par l'équation (43) fût péi'iplégmatique. L'équation
(45) est cependant moins convenable à l'égard de la comparaison avec
l'équation différentielle du rayon vecteur, question à laquelle nous arriverons
plus tard, en partant des équations générales de la dynamique. L'incon-
vénient qu'amène l'équation (43) tient à ce qu'elle fait figurer dans la
fonction P des termes des deux t_ypes (A) et (B) — p étant supposé
toujoui-s une fonction du type (B) — et encore, que cette fonction contient
des termes élémentaires.

Mais si l'on fait dépendre la fonction // d'une autre, X, en établissant
la relation

(46) n = -^U+x +

drf dp

+ p\ - I — yj' du <lv

2(1 — Yj")- \di! / ' (1 — )j ■■')■- \dv I I — 7^' dv''

et qu'on introduise cette expression de fl , dans l'écpiation (44), il viendra:

/ V ''Y' , 3 I dfdp ,1,3 I /drry , i dY\ .,

(47) ^^ + 3 T^^d^t + I ' + 3(7— p? (^) + 7— ^T7^ 1^ - ^'

résultat dont la comparaison avec l'équation tirée de la d3'namique se fera
très facilement.

Supposant toujours que p soit une fonction du type (B), dont la valeur
numérique reste moindre que l'unité, il est évident que X est aussi une
telle fonction, mais qui oscille entre des limites plus resserrées que ne le
fait la fonction p .

La conclusion suivante est donc légitime.

Si, après avoir établi l'équation (43), on parvient, pour déterminer p,
à uiu^ équation de la forme de l'équation (47), et qu'on trouve une ex

Tmlt,' tirs orbilcs absolues. 7

ôO Traité des Orbites des Planètes.

pression de p du type (B) conduisant à des valeurs numériques de cette
fonction sensiblement moindres que l'unité, la courbe représentée par l'équa-
tion (43) sera une courbe périplégmatique.

15. Quant à l'étude des courbes périplégmatiques de double courbure,
il suffit, pour le moment de remarquer (junne courbe dont cbaqoe élément
appartient à une courbe périplégmatique située dans un plan passant par
les deux rayons vecteurs infiniment voisins et tirés des extrémités de cet
élément, est aussi périplégmatique dans l'espace, quels que soient les déplace-
ments de ce plan autour du rayon vecteur. Cela se comprend par le fait
que la droite menée dans le plan mobile par le centre et perpendiculaire-
ment au ra^'ou vecteur, tourne avec ce plan autour de l'axe instantané,
(ju'on suppose coincider avec le dit rayon. Donc, la courbe envisagée étant
toujoui's concave vers cette perpendiculaire, elle est aussi périplégmatique
dans l'espace.

Par cette remarque, on est amené à étudier séparément la trace de la
courbe dans le plan instantané et les déplacements de ce ]jlan dans l'espace.
Cette manière de considérer les trajectoires des corps célestes fut d'abord
proposée par Lagrange dans la mécanique analytique et, après lui, employée
avec beaucoup de succès par Hansen. Mais tandis cpie Hansen considérait
toujours un sy.stème de coordonnées rectangulaires fixé dans le |)lan mol)ile,
je vais admettre des suppositions un peu plus générales, qui amèneront
quelques avantages pour le calcul des perturbations absolues

l'ieniièiu Piuti

Livre I.

51

CHAPITRE II.
Dii'ei's sj/.sfcnu'S de coordonnées.

i6. Cunside'rons d'abord deux systèmes de coordonnées rectangulaires
ayant la même origine: l'un, fixe dans l'espace, et l'autre, déterminé de
manière à avoir deux axes situés dans le plan instantané déterminé par
deux rayons vecteurs consécutifs. Désignons les coordonnées d'un point
rapportées au premier système par x , // , z, et les coordonnées du même
point rapportées au second système ])ar ç , rj , C, dont la dernière, par suppo-
sition, doit être égale à zéro. Supposons enfin que les relations linéaires
entre les coordonnées appartenant aux deux systèmes soient les suivantes:

(0

Les relations bien connues, en nombre dt
cients, étant celles-ci:

a '' -{- a'i -\- al = i ,

(a) . /5^ + /5; + /5:= I,

f + ri + n^ i-

afi+ a,/?, + c(.,;5,, = O,

(b) ar f aj^ + a.j.^ = o,

ou bien, réciproquement, les suivantes:

a^ + /5'-' + r = I,

(a') ^ 'A + /5'; + r\ == I ,

.«5 + fii + n = 1.

six, liant les neuf coeffi-

(l'O

Traité des Orbites des Plauètes.

0(7. , + /?,?, + n-, = o,

ao(, + ;9/î,_, + yy.j = o,

o(jC(,, + y9,/3, + ;-,r, = o,

on déduit immédiiitemeut des équations (i) les écjuatious réeiproques :

(!')

= a.r + 7.,// + a.,s,

Je rappelle encore les relations suivantes, aussi bien connues, mais
qui, du reste, découlent facilement des équations déjà mentionnées,

(c)

^■2 =-- ?ïx — ;5,r

(C)

/5 = «.A — «!?'.

/^2 = «iT — «ri

(c")

r = «,A — a./5i

a/î.

P-i

a,/î

Conformément à la suj^position que le plan instantané soit déterminé
moyeimant les positions de deux rayons vecteurs infiniment voisins, il faut,
tant que la trajectoire est une courbe à double courbure, considérer les
neuf coefficients a , yî , ;- , oCj , ... comme fonctions du temps t, fonctions
que nous admettons, du reste, être réelles et continues.

l'arlii'. Livre I.

53

Jjii condition ((up Irs axos des ç et des rj soient situés dans le jilan
considéré sexjorinie par léquatiou

s^= o
ou bien, ce qui revient an même, par la suivante:

(2) o = fx ^ r,!i + i\^.

ee cpii, si y , y^ , y.^ sont des constantes, est l'équation d'un plan passant
par l'origine et ex[)rimée en coordt)nnées rap])ortées aux axes fixes dans
l'espace. Que ce ])lan passe encore par un point de la courbe infiniment
voisin an point x , 1/ , s, cela s'exprime par l'équation

(3)

d.r ,hj ,hj

les dérivées étant tirées des expressions des coordonnées considérées comme
fonctions du temps.

Par ces déterminations, on a fait tc.iuruer le [ilan instantané autour
du rayon vecteur de la courbe; mais il en découle encore quelques con-
séquences que nous allons mettre en évidence.

En difïérentiant les équations (i), on obtient:

(4)

'/?

"V

<i: . <i>,

V^

dy

J,+>^ It+r ;ù + ,u C+;^ rj+-j

t ^'

^. j, + '^> ,// + ?-> ;n + ;n ^' + ,/r '^^ + ^ '-

dz d$ d-rj dÇ da., ^ d,l^ dj.^

dt = ''■-• di + '^■-' ,//, + ? '^ 7/ + ;f ^- + ,7r '^ + df ^'

et si l'on introduit ces expressions dans l'équation (3), après avoir mis:

x; = o.

il en i-ésultera réquati<:)n

^^) ° = (4'+ ^. 'df + ^^'df)^ + ['''Ji. + '^> 'dT + ^^'inh-

54

Traité des Orbites des Plauètes.

Ensuite, si l'on différentie l'cquatiou (2), et que l'on retranche du résultat
l'équatiou (3), ou obtiendra:

En y introduisant les expressions (i), on trouvera immédiatement l'équation
précédente.

17. On satisfait aux conditions (a), (b), (a') et (b') en adoptant les
expressions suivantes des neuf coefficients:

(d)

a = cos 6 cos rr -\- sin 6 sin rr cos /' .
yS = cos 0 sin n — sin 9 cos a cos /' ,
Y = sin 6 sin / ,

(d')

«j = sm 9 cos (T — cos 9 sni a cos ; ,
y5, = sin 9 sin o- + cos 9 cos a cos / ,
l ;;, = — cos 9 sin /,

(d")

«j := — sm a sm t ,
yîj = cos (T sin / ,
. j-^ = cos«,

et l'on sait que 9 et o- signi lient alors les angles entre la ligne d'intersection
des deux plans et les axes des x et des ç, et /, l'inclinaison mutuelle de
ces plans. Les arcs 9 et o- s'appellent d'ailleurs longitudes du noeud du
plan mobile sur le plan invariable, l'un compté sur le plan fixe, l'autre, sur
le plan mobile.

En difïérentiant les expressions (d), (d') et (d"), toutes les quantités
y entrant étant variables, on parvient à des formules qu'il convient de
rappeler à cette occasion. Les voici:

Piemièie Partie. Livre I. 55

du

da de

di

:

— li ~T' — ot 1 ^ —

-;'S,n^-

dt

' dt 'dt

J;9 _ _ d(j a de ^ _d

dt ~ "

''dt-^'d, + r<^o^<yjt^

dr de , . .di

du da de . di

dr = -l^^dt-^''dt-~r.''''''dt'

dj3. da , -rie , di

dr= ''^dt+^dt+r.^'o^'^j^,

dt

r

de
dt

.d,

— cos 9 cos t --

di

da^

dJ ~

-A

da

dt

-nsina'j^,

dt

«.

da
di

di

dt

. .di.

— SUl 1 -y- .
d.t

i8. Supposons maintenant que le système mobile de coordonnées soit
.invariablement lié au plan instantané, de sorte qu'aucun déplacement des
])oints fixes dans ce plan n'ait lieu relativement au système mentionné.
Pour distinguer ces coordonnées de celles qui sont rapportées à des axes,
mobiles non seulement dans l'espace, mais encore, relativement au système
fixé au plan variable, désignons par le caractère barré <t la valeur de l'angle
a , lorsqu'on le compte à partir d'une direction fixe dans le plan nommé.

Cela étant, nommons :i\ , i/^ , s^ , a , h , r , a^ , . . . ce que déviennent
$ , 7^ , C, oi , 13 , }■ , a^ , . . . lorsque, daus les formules respectives, on met
partout (T au lieu de o-, de sorte qu'on a:

a = cos 9 cos (7 + *''! 6 ^''1 (^ '-OS i,

9

etc. ...

56

Traité des Orliites des Pliiui'-te

Désignons ensuite les vitesses de rotation autour des axes formant avec le
plan instantané un système invariable, par A , /i , y, ce qui nous donnera
les expi'essions

X =

dh , dh,
'Tt'^'^df

dh.^

, de , (7c,
^'dt-^^df

-^P

de , de.

de.

''dt + "^dr + "'^dr

da

da ^

da

'dt-'^

dt

~'-lt

1 '^* r /

da^
df

1 7 ^^'^

dh

db^

dh

"dt-''^

df

-"■^dt

En introduisant, dans ces formules, les valeurs des neuf coefficients,
exprimées par les trois angles, ainsi que celles de leurs dérivées, il en
résultera :

(e)

À

di

[1 = sin o'-T^ + cos (T sin i — ,

da , .dQ

' = -dt + '''"dJ^

et, avec ces notations, s'expriment aisément les vitesses suivant les axes liés
au plan mobile. En désignant ces composantes par u , v , \v, on a les
équations connues

u = /«.", — y//j ,

V = VJ\ — ^^, ,
w = hj^ — fix^ .

Si l'on y pose, pour obtenir les équations de l'axe instantané de
rotation,

u = V = w = o.

l'artie. Livre I.

r,i

on ti'ouvera trois ('([nations, dont toutel'ois denx seulement sont indépendantes,
la troisième ne formant qu'une sim[)]e eonsé(|uenee des autres. Mais les
équations qu'on obtient ainsi sont en même temps les expiations du rayon
vecteur rapportées à des cooi'données rectan^'ulaires, ])ourvu cpie le jiniut
.r, , y, , .ï, appartienne à la trajectoire.

l'ar ce «pie nous venons de dire, il est facile ili; voir cpion fera co-
ïncider le rayon vecteur avec l'axe de rotation du |)Iau instantané, si, après
avoir fixé la condition

on étal)lit les liaisons

(7)

da

. <W

</. +*^"^',/r

o = Xji^ — iu\ ,

dont la dernière sera, en effet, identiipie avec l'éqnatiim (5), lorsqu'on }• met
.Tj et //, à la place de c et rj .

En désignant toujours par ;■ le ra_yon vecteiu", et jiar /r, l'any-le ((u'il
forme avec l'axe des .t\, de façon tpi'on ait:

;r, = r cos w ;

y. = r sui IV ,

l'éipudion (7) se remplace par celle-ci:

(8)

dont nous ferons ns;i<4'e proclininement.

Après avoir établi l'équation (6), ou bien, ce qui revient au même,
celles ci:

(f)

°- <;:+<:.■ + "^^

,]i, dji dh
= -"dt-"^dt—"^dt'

Tiait,' des orbites absolu

58 Traité des Orbites des Planètes

il sera facile de parvenir aux relations

(9)

dx, dx , di/ _ dz

dr-''dt + "^di + ''-^dt'

dy d,r dii dz

dt

dt

df

dx , dii , dz
O ^ C \- C —' — \- c — .

dt ^ 1 dt ^ •' dt

d'où l'on tire réciproquement:

(lO)

dx dx , cl y

dt= "dt + ''rfT'

^'> dt + ^^. <7r

dz dx , dy

Dans ces deux systèmes, les coordonnées jouissent de la propriété re-
marquable que leurs premières dérivées sont liées au moyen de relations
de la même forme, n'importe si les «,/;,... sont variables ou constants.
C'est en établissant d'abord ces conditions que Hansen parvint aux ex-
pressions assez utiles au calcul des formules analytiques donnant les inés^alités
des planètes, mais qui ne sont plus à tout éc^ard convenal)les, quand il s'agit
d'expressions absolues, c'est-à-dire d'expressions oii l'on a évité tout dévelop-
pement suivant les puissances du temps.

En retranchant les équations (lo) de celles qu'on va ol)tenir en formant
les différentielles totales des expressions (i), après y avoir remplacé l'angle
a par a, on retiendra:

(•0

da
dt

da
dï

da

+ ?A

■ + .'/,

+ ;'A

Première Partie. Livre I.

59

De chacune do ces équations, on pourrait, en ayant égard à l'écjuation (6),
retrouver la relation (8), mais il seusuit encore les rapports

da : (la, : da„

dh:dh-.db...

Pour les vérifier, il faut se rappeler les relations rpii découlent immé-
diatement des équations (a), à savoir:

da , du, , da„

-, db , , dh, . , (//(„

Ces équations, formant avec les équations (f) deux systèmes, chacun ren-
fermant deux équations avec trois dérivées, on eu peut éliminer une dérivée
quelconque, et on retiendra ainsi une relation entre les deux autres déi'ivées.
Eu égard aux équations (c"), ou plutôt aux équations en résultant si l'on
remplace a par «, p par b , . . . , les relations qu'on déduit de la sorte
seront obtenues sous une forme très simple: voici les exjjressions dont il s'agit:

fe)

(g')

da
'^dt

da
'■^ dt

da^
'•'dt

dh

~dt '

da.^
df '

da^
dt '

dh,

df'

dh dl

'' = '^dt -' dt

db.

Maintenant, si l'on écrit l'équation (5) de la manière suivante:

da. , da, , d<i\ , / dh , dh, . dh.,\

'dt + '^dT + '^dfh + {'dj + '''^dr-^'^drF^'

et (ju'on élimine les dérivées de a^ , a,^ , b^ , b^ eu vertu des équations (g)

60

Traité ties Orbites des Planètes.

et (g'), 011 reviendra à la première des équations (i i), et de la même ma-
nière on retrouvera les deux autres des dites équations.

19. E.^primons maintenant les coordonnées reetangidaires, rapportées
aux directions lixes, par le rayon vecteur, par la longitude du point considéré,
c'est-à-dirc! l'aug'le entre l'axe des x et la projection du rayon vecteur sur
le plan immobile, et par la latitude. En nommant / et l> ces deux angles,
nous aurons:

X = r cos b cos / ,

(.2)

// = r cosb sin/-,
,:' = /■ sin b .

De l'autre côté, si nous introduisons, dans les équations (i), au lieu
de ç , rj , C, les valeurs

/■ cos IV ;

et au lieu de et , yî , ;' , a, , . . . les expressions de a , b , c , a^
obtiendrons les relations

(13)

(14)

cos b cos / = cos 6 cos {w — o) — cos / sin 6 sin [w — a),
js b sin / = sin 6 cos (w — ''') + cos i cos 6 sin [iv — a),
sin b = sin / sin {iv — cr),
dont les deux premières se rem[ilaceront par les suivantes:
I cos b cos (/ — 6) = cos («.' — <t),
I cos b sin (/ — 9) = cos i sin (w — a).

A ]jartir d'ici, je vais enq)loyer un caractère spécial 5 pour marquer
le sinus de la latitude, de sorte que j'aurai:

(15) 3 ^ sin / sin [lU -^ a) ;

et, en dift'érentiant cette expression, j'obtiens^:

_ = sin « cos (»' — a) -—

+ cos i sin {w

d:a

sin i cos [w — t) -j,

dt

Prciiiioro Partie. Livre I.

(il

Mais, eu vi'itii dt's éi[uatioii.s ((>) et (8), les doux dei'uiei's termes de
droite se détruisent, et ou aura:

(i6)

(Iw

sin i eos(«' — a).

Kn |iartaut des équatious (12), il sera facile d'obtenir plusieurs rela-
tions utiles.

Voici d'abord les suivantes:

(17)

Ensuit

dii dx ., ,^dl

■'tt-^'dt-'"'''''^'dtr

dz dx , .db ^ „ . , , . .dl

X-, S~r- = r UOS ( "p + I" SUl U COS 0 sui i --

lit dt ai dt

dz dfl .j . dh -i ■ , , ,di

1/ -- ■^TT = '' ^^^ ' ,, '' WIU W COS (> COS / -T--

' dt lit dl dt

e, SI 1 on c(

nisidère les relations suivantes (lu'on déduit facilement:

(18)

/-/ dx

t-Kil-

c,[:k^

dt-!'^^)^

h __ dx

-,(.-,

dt -!'^dt)^

dz d,, / d,i, dx,

^'dt-'dî- 'V'^dï-i'^dr

et qu'on se ra])pelle la formule

■j dw
' df'

(|u'on oljtieut immédiatenjeut, si l'on exprime r^ et v/j en coordonnées po-
laires, ou parvient aux résultats

(>9)

, ., <U . d'W

COS b —, = cos i -r- ,
dt dt

- = (— f, cos/ + rsm/)-

= sin i cos (/ — â)

62 Traité des Orliltes des Planètes.

Dernièrement, des équations (15) et (16), on tlédnit tout de suite les
formules

dont la seconde, introduite dans la première des équations précédentes,
donne naissance à l'expression

(.0) '1^ = 1 L.U'l.

^ ' dw 1 — i'

On pourrait encore remarquer que, si l'on multipliait la seconde des
équations (19) par cos/;, et qu'on considérât la première des équations (14),
on retomberait dans l'écjuation (16).

20. Passons maintenant à l'hypothèse la plus générale concernant la
position de l'axe des f dans le plan instantané. Nous ne supposons donc plus
que la direction de l'axe dont il s'agit est invariablement liée à ce plan, mais
bien qu'elle se déplace dans ce plan, selon une loi quelconque que nous
admettons exprimée analyticjuement par une fonction du temps, toujours
finie et continue. En désignant par iV une telle fonction, généralement
différente de zéro, notre su[)position s'exprime moyennant les relations

-,, ^ do. ^ (la, , , </«.,

(^0 ^-l^cû + ^^;u +^^df

dR d,i^ dR

''dt-''^dr-''^dt

ou bien par celle

(22) iV=_- + cos*-.

En partant de là, on déduit plusieurs formules importantes remplaçant
celles que nous venons de trouver dans les deux derniers numéros, pour
l'hypothèse: ^ ^ o.

I'r<>iiiii'ii' l'artic. Livif I.
On itiira d'abord, par mi calnil assez simple:

63

(23)

et ensuite:

da , lia. , du, ,^

d/i , ,/;?, , d/l ^^„

(r)

(r)

<7«

da

'•' dt

~ y dt~' ^ ~

d:l

r-'dt'

-r„f-A-,*

' ' dt

-rf-m

Na^,

Puis, si l'on diffi'rentie les deux premières des équations (i'), et que
l'on porte, dans le résultat, les valeurs (23), il viendra:

(24)

dç ^ d,^ d,, d.

auxquelles équations il faut ajouter l'équation (3), à savoir:

dx dy dz

Des équations cjuo nous venons de mettre en évidence dernièrement,
on déduit récijiroquement les suivantes:

04

(25)

dx
dt

Traité des Orbites des Planètes.

-,i, = «. ;â + /^> ^ - ^(«.'y - Ac)

en vertu desquelles, reti'anchées des équations (4), après y avoir égalé à
zéro C et yj , on parvient aux résultats

(26)

En vertu des expressions (25), il sera facile d'obtenir encore les rela-
tions suivantes remplaçant les équations (18):

(27)

dy

dx
'dt-

'^w-; +r.(c^ + ^^)A^

dx

dz

H '^' dt

.{^'jï-^^'rr^S' + r)^,

dz

■"dt

d~

';ïï = n'dt-'idi) + '-(> +'?)^^

Puis, en nommant v Taugle entre le rayou vecteur et l'axe des f , ce qui
donne:

ç = r cosv; ri = rsinr,

. dri dç

di-'^dt

dv

dt'

£2

+ 5?^ = r\

la première des é(|uations précédentes se change en celle-ci:

Première Partie. Livre I. OT)

Mais, si l'ou se rappelle la relation

et qu'on admette la notation

dt

la comparaison du résultat obtenu tout à l'heure à la première des équa-
tions (19), nous donne sur le champ:

dw = (iv + (/(/.

On obtient ensuite, en égalant à zéro la constante arbitraire:

(28) tv = V + .(/.

Avec la notation adoptée, on tire de l'équation (22'):

dii dff , .'/6

jt--dt.+''''''dt'

et puisqu'on a:

<i>T , .de

il s'ensuivTa:

dg ^ d(i7 — ff)
dt dt '

résultat qu'on pouvait d'ailleurs prévoir en vertu de considérations assez
simples.

En intégrant, et en mettant la constante d'intégration é^ale à zéro,
il résultera, de l'équation obtenue, la suivante:

(29) ^ --= (T + .<l,

d'oîi l'on tire, en la retrancliant de ré(|uation (28),

IV 77= /' (T.

Par ces relations, il est visible que la quantité // n'est autre chose que
l'angle dans le plan instantané enti'e l'axe fixe et Taxe mobile.

Traite dcR orbites absolues. J)

(56

Traité des Orbites des Plauètes.

Avec la relation dernicreraent trouvée, ou obtieut les expressious
suivantes remplaçant les équations (15) et (16):

5 = sin / sin (r — o-),

d^ . . , s div

/s -r- = Sin î cos (v — (t)-^ ,

(30) •• dv ^ ' dv

= sin i cos (v — fr)i\ + y

et, au lieu de l'équation (8), celle-ci:

. . f .di . . , , fd/T di:/

(31) o = COS «. Sin (v — (7) -j — Sin i cos ((' — o-j I -~ + -,

2 1 . Pour déterminer la position de l'axe des ç dans le plan instan-
tané, nous allons maintenant admettre une hypothèse spéciale qui entraînera
des simplifications assez considérables de nos formules. On parvient à une
telle détermination en mettant:

ou bien:

(32) r/--=^— e.

Cela établi, on obtient de l'équation (22'):

i3)

d.;i

= — ( I — cos /)

dQ
di'

d'où l'on conclut d'abord que (/ est une quantité du deuxième ordre par
rapport à l'inclinaison mutuelle des deux plans. Dans le cas des planètes,

la différentielle - "- est très petite, et cela pour deux raisons: d'abord parce

qu'on peut choisir le plan fixe de manière à avoir les inclinaisons toujours
assez petites; et encore, parce que les déplacements du noeud sont très lents.
On obtient ensuite, en vertu des équations (14):

(34)

I cos b cos (/ — e) = cos [V — e),

I cos b siu (/ — 6) = cos / sin [v — 9) ;

Première Partie. Livre I.
pur les équations (30), celles-ci:

5 = siu i sin (y — 9),

07

(35)

il\ . . , „\ / .1.0 dQ \

V = siii / cos (v — Si — 2 sin - r -r-
dv \ 2 dv/

et enfin, par l'équation (31), lu suivante:

(36) o = cos i sin iv — 9) ^ — sin i cos (y — e) (^— + — j .

On peut encore signaler les équations suivantes qu'on tire immédiate-
ment des équations (35):

(37)

sin l sin 9 = — ,5 cos v +

sin i cos 9 = 5 sin V +

''5 .

-;-.SlU 0
dv

I — 2 sm - t"^r~

2 du

. I ., dQ

I — 2 sin - i' -T-

2 dii

Mais les simplifications les plus essentielles des relations précédentes
sont celles qu'éprouvent les formules (d), (d') et (d") par la substitution de
9 au lieu de a. En effet, au lieu d'être fonctions des trois quantités
9, <7, «, les neuf coefficients dont il s'agit ne dépendent plus, l'angle <t
étant égal à 9, que de deux variables, et nous aurons:

a = I — sm -^ r(l — cos 29j,

. 1 ., .

B = sm - i sin 29,
' 2 '

y = sin / sin 9,

[ff]

a, = sm -t sm 2t

/9j = I — sin-/^(i + cos 29),
^-j = — sin i cos 9 ,

•G8

{à")

Traité des Orbites des Planètes.
CI..J = — sin i sin 9 ,
yîj = sin i cos 6 ,

^, = I — 2 siu ' i^

Il pourrait C-tre utile d'avoir les relations entre les a , j3 , ^ , a^ , ...
d'un côté et les a , h , c , (i^ , . . . de l'autre: on les trouve aisément, en
introduisant, dans les formules (d), (d') et (d"),

il résultera ainsi:

a = a cos g -{- l> siu g ,
1^ = h cosr/ — a sin^,

r = c,

a, = «j cos^ + h^ sin (7,
13^ = b^ cos^ — a, sin^r,

A ^^ ^2 •^'^^^ — "2 ''ii^.5')
Ta ^ '''2'

a = a cos f/ — /9 sin g ,
b = /S cos g + a sin f/,

c = r

etc.

22. Par les relations que nous venons d'établir, on est parvenu à
exprimer les neuf coefficients a , (3 , . . . moyennant deux inconnues 6 et i,
tandis qu'ils en dépendaient primitivement de trois. En revanche, la fonc-
tion g, qui lie les deux systèmes de coefficients, paraît constituée de deux

ou réciproquement:

Première Partie. Livre I.

69

parties, dont l'une est de nature séculaire et l'autre, un agrégat périodique.
Dans les recherches auxquelles nous arriverons plus tard, il conviendra
cependant de séparer ces deux parties, et d'en réunir la partie séculaire avec
l'aup-le a, de manière à avoir:

(38)

cr = <T + (ij,

(j^ étant une constante de l'ordre des forces troublantes et du second degré
par rapport à l'inclinaison mutuelle des deux plans. L'agrégat périodique
faisant l'autre partie de la fonction (j , nous la nommons G, et nous aurons
ainsi :

(39)

9 ^ 9J + G-

Maintenant, si l'on introduit, dans l'équation (32), les valeurs signalées
de rr et de (/, on obtiendra immédiatement:

(40)

0- = 0 + r;.

d'où il e.st visible que le mouvement moyeu de l'angle a est toujours
même que celui de l'angle 9.

Les expressions des ci , j3 , ... deviendront maintenant celles-ci :

(t>)

(1)')

(D")

a = I — sm - j"(i — cos 26) cos 6r — sm -/' sni 29 sm u,

/? = sin - P siu 29 cos 6^+1 — sin - i^( i — cos 29) sin G,
I 2 2

y = sin i sin 9 ,
«j = sin - /' sin 29 cos G — i — sin -'^(i + cos 29) sin G ,

/5, = 1 — sin - P{ I + cos 29) cos G + sin - i'^ sin 29 sin G,

^, ^ — sin i cos 9 ,

«2 ^ — sin i sin 0 cos G — sin i cos 9 sin G ,
yîj = sin i cos 9 cos G — sin i sin 9 sin G ,
y^ = cosï,

70 Traité des Orhites des Planètes.

d'où il est aisé de voir que les neuf coefficients ne dépendent plus d'autres
arguments que de ceux qui apparaissent déjà dans les expressions de 9 et
de /. En effet, l'intégration qu'exige l'équation (33) n'introduit aucun autre
nouvel argument que gj , lequel nous avons réuni à l'angle a. Les termes
périodiques se trouvant dans l'expression de g dépendent donc seulement
des mêmes arguments que 9 et i. C'est évidemment de même quant aux
coefficients a , yî , . . . .

En considérant les relations

IV — a =- V — o- = V — 9 — G ,

on aura, en vertu des équations (14),

I cos h cos (/ — 9) = ces i^v — 9) cos G + siu (/' — 9) sin G ,

\ cos h sin (/ — 6) = cos i jsin [o — 9) cos G — cos [v — 9) sin G],

et ensuite, par l'équation (22'),

Il conviendra de noter encore les formules suivantes, qui découlent
des équations (28) et (30):

(42) w=vJ^gJ,

; = sin i sin (?; — 9 — G),

(41)

Au lieu de l'équation (8), nous aurons finalement:

(3 l 'j o = sm [v — 9 — ^'■j 7/ — sin i cos [v — 9 — "") 77 ■

Une remarque générale relativement aux formules dernièrement ob-
tenues. L'agrégat périodique G étant dans les tliéories des planètes une
très petite quantité, on pourrait développer les fonctions cos G et sin G
suivant les puissances de cet agrégat, et il n'y aurait lieu de mettre en
évidence, dans ces puissances, que les premiers termes. Il paraît toutefois
superflu d'écrire, à cette place, les formules qu'on obtiendrait ainsi.

Proniiri'o Pai'tio. r^ivio T. 71

Los formules prcccdeutes ne cluingeraient pas beaucoup si l'ou avait mis

(43) ff = o- + Jiv ,

(44) // = gv + G

au lieu des équations (38) et (39), /y étant une nouvelle constante du
même ordre que g^. En effet, l'équation (40), les neuf équations (D), (D'),
(D"), ainsi que les équations (41) et (31') et la première des équations
(30') restent inaltérées; c'est seulement l'équation (42) et la seconde des
équations (30') qui subissent une modification, du reste peu considérable.
Nous avons maintenant:

(45) w = (1 + .'/)«'.

[ j = sin i sin (c — 9 — G),

(40

— G)

ainsi que l'expression suivante de la vitesse N:

23. Le proljlème que je me propose finalement d'aborder dans le
chapitre présent, est celui-ci:

Etant donnée, par un agrégat périodique, la fonction ], trouver les ex-
pressions des fonctions trigonométriques de 6 et de i.

Mais, comme il s'agit principalement de mettre en évidence les termes
élémentaii'es que nous supposons contenus dans les expressions cherchées,
admettons dès le délnit qu'on ait la fonction 5 donnée par le développement

(47) ,^ = isin((i + -)r — 0) + j,sin((i + T^)v — Sj + ...,

les c, ainsi que les r et les 8, étant des constantes, dont t et les premiers
i, , fj , . . . sont de l'ordre des inclinaisons des diverses arbitraires planétaires,
les r, de l'ordre des forces troublantes, et les *S', des angles quelconques.
Quant aux constantes ; et 0, nous les supposons engendrées par l'intégration
d'une équation différentielle du second ordre donnant naissance à la fonction 5.

(48)

Traité des Orbites des Planètes.
Etablissons d'abord les formules

I /cos (1> — 0) = j + C(j, - — r 0 — S,){v),
I 7 sin (Û — 0) = — S(i, r, — r 0 — S,){v),
et nous aurons:

(49) ■ 0- Isin((i +r)r— fl).

Puis, eu différeutiant cette équation, uous aurons un résultat de la forme

(50) |==Zcos((i +r)v-0) + {:),

{C) étant une fonction de la même nature que la fonction (/), inti'oduite
dans le n° 13.

Maintenant, si nous introduisons, dans les équations (46), les ex-
pressions obtenues, nous parviendrons aux résultats que voici:

(51)

I sin i sin {v — e — G) = / sin (( i + r) r — ii),

I sin ■/ cos (r~Q — G) = J cos (( i + r) v — ii) + ((0),

où l'on a admis la notation

(52) ((C)) = y^^^W(7^-i)icos((i +Z)V-Q).

Des équations (51), on déduit facilement l'expression suivante

(53) cosi = V'i — P — 2((C))/cos((i + r);^ — ii) — {{Oy,

formule, en vertu de laquelle la première des équations ( i g) se transforme
en celle-ci:

^ ' \ — P 9àn((i + T))v — .QY ^ ^-^

Moyennant les deux formules (53) et (54), ou parvient à déterminer
les deux fonctions cos< et l en termes connus, toutefois la très petite
quantité g, dont on trouve d'ailleurs facilement une valeur approchée, est

Premii'TO Partie. Livre I. 73

encore indéterminée. Ayiint trouvé l'expression de /, on formera d'une
manière assez directe celles des coordonnées :r , 1/ , 2 , vu (|ii'on a:

cosb = ^/i — j%

Mais il conviendra d'exprimer, ])ar des termes trigonométriques connus,
aussi les fonctions sin/sinB etsin/cosO. Pour y arriver, établissons d'abord
l'exj^ression de la deuxième dérivée de la fonction 5 On obtient i'acilement;

-,^.. = — ( I + v) sin / sin (v — -9 — G)

<I.V' \ • • / /

+ ( 1 + (/) sin i sin (r — 6 — G) (j^ + ~

+ ( I + ^/) ces i cos (n — G — G) — ;
et, si Ton se rappelle la relation

..'9 , .10 .de

y- + -7- = L'OS/ — //,

dv dr dv

trouvera, en ajoutant à l'expression de - , celle de ,'^,

(55)

'—!, + J = — f/(2 + fi) sin i sin {;o — 9 — rv)

+ ( I -|- //) sin /' cos I, sin (r — 6 — G

n ''G

+ ( I + '/) cos / cos (r — 9 — G) V ;
^ ■ dv

et puisqu'on a:

o = — sin i cos / cos [v — 9 — G) , + cos i sin (> — 9 — G)~r ,
^ dv ^ ' dv

on obtiendra les deux formules

/d:-i

(56)

[-j\ + 5 j cos {v — 9 — G) = — r/(2 + //) sin i sin (y — 9 — G) cos (r — G — G)

+ ( I + a) cos ; 1^^ ,

{dv' "*" ') '''" (^' - 6 — G) = — /7 (2 + /7) sin ; sin (r - G - (7)'

+ (i -\- fl) sin / cos / , .

Traiir dm orlntes nljsnbtes.

74 Tinitt'^ fies Orbites fies Planètes.

En multi])liaiit la dennère de oos relations par sin i et en la divisant
par (i +//)cos«, il résultera, en vertu de la première des équations (51),

. ., ./9 _ / sin ((I + r) v — .Q) (,1\ , \ q(2 + 7i)P ^m((\ + z)v — Qy
^"^ * .7., ~" I, JL 7.\ ^,.,. ■■ .1,.' + .1 +

dv (I + 1/) cos i \ilv'' '7 (I + ii}cosi

Cela étant, nous nous rappelons la formule

clG , ., fZe

7- = — ( I — cos l) //

dv ^ ' di;

dQ

en V introduisant la valeur précédente de sin /'^,- , ainsi que celles des fonc-

' du ^

tious sin/', sin /^ , . . . , nous aurons:

(57) ~=-î 'V'r." -^i'""'" + ^'"-^'fe'ï+i

(1 + <i){i--p-.

-\-(,{2+i,)r sin (( I + r) r — it) M — ,^ ,

d'ofi il sera facile de déduire, en déterminant la constante // de manière à

annuler le terme constant dans le développement de -— , l'expression de la

fonction G en termes périodiques.

Cette fonction évaluée, rien n'empêche plus d'établir, eu termes connus,
les expressions des fonctions cherchées

(58)

(59)

I sin ; sin 9 = — 7 sin {-v — il + 6') + ((,'•)) sin (r — G),
I sin /cos 9 = i"cos(n' — il + G) + ((O) cosfr — G).

Ensuite, des équations (41), il sera aisé de tirer les suivantes

I cos h cos / = cos [v — G) -\- {\ — cos /) sin (r — 6 — G) .sin 9 ,
I cos h sin / = sin (r — G) — ( i — cos /) sin (w — 9 — G) cos 9 ,

Première Partie. Livre I. 75

d'où Tou obtient :

I cos h siii (/ — v) = — sin (î — ( i — cos /) sin [v — 9 — G) cos [u — 6),

(*'o)

I coH h cos (/ — (') =^ cos G — ( i — cos /) sin [v — 6 — G) sin (w — 6).

On conclut t'iiciiemeut de ces dernières relations que la différence / — v
s'exprime par un agréy'at périodiipie, tant que G est une petite quantité
du même degré que les fonctions i — cos i et i — cos//. On pourra donc
parvenir, de deu.\ manières différentes, à la résolution du proljlème énoncé:
en déterminant la fonction l par l'intégration de la formule (54) et encore,
en évaluant la fonction G en vertu de l'équation (57). Ayant obtenu, au
moyen des équations (58), les fonctions sin / sin ^ et sin c' cos ^, on trouvera,
en utilisant les équations (60), les fonctions sin (r et cos(/, si la différence
l — V est connue, ou bien, cette différence, si l'on a déterminé d'abord la
fonction G .

24. Je vais terminer ce chapitre en expliquant ([uelcpies termes nou-
veaux que je crois utile d'introduire

La liauteur au dessus du j)Iau fixe, à laquelle monte la trace d'une
courbe périplégiuatique, sera nommée l'aïuisfènie de cette courbe. Or, l'ana-
stèrae étant donné, du moins approximativement, par l'expression

ri,

r et / ayant les valeurs que prennent ces fonctions, lors([ue l'argument
(1 + r);; — iJ est égal à un multiple impair du (juart de la circonférence,
j'appelle la fonction / fonction unastéinatique et, l'argument envisagé, argu-
ment anastématique.

Les hypothèses que nous venons d'admettre, dans les recherches pré-
cédentes sur les courbes périplégmatiques, nous t)nt conduit à exprimer le
rayon vecteur ainsi que les coordonnées rectangulaires, rapportées ii des
directions fixes dans l'espace, comme fonctions de certaines longitudes, dont
la signification est immédiatement claire. Ces longitudes, étant em])loyées
très fréquemment dans l'astronomie, je les nomme urriumentu astronomiques.
Mais, par cette dénomination, j'entends encore tout autre argument dont la
différence avec un argument qui par sa nature est immédiatement astrono-
mique, s'exjjrirae par un agrégat périodique. Deux arguments, lies de la
sorte l'un à l'autre, seront appelés arguments isocinétiques.

7G Truite des Orbites des Planètes.

Il peut arriver que l'iigrégat périodique, formant la différence entre
deux arguments i.socinétiques, ne dépend que de ces deux arguments eux-
mêmes; dans ce cas, je dis que les deux arguments sont lioiiwi'ijtliniiqucs,
parce que tous les deux augmentent, simultanément, d'un multiple de la
circonférence. Dans ce sens, les arguments képlerieus, lanomalie vraie, l'ano-
malie excentrique et l'anomalie moyenne sont des arguments Lomorjthmiques.

Ou conqjrend facilement qu'une série trigonométrique dépendant d'un
certain argument peut être transformée de manière à ne dépendre jilus que
d'un autre argument, lionKjrythmique avec celui-là; mais il arrive aussi,
même le plus souvent, que des arguments isocinétiques peuvent se remplacer,
l'un ])ar l'autre. Au contraire, deux ai'guments, non isocinétiques ne peuvent
pas se remplacer, l'un l'autre.

Envisageons maintenant le cas simple oii la fonction diastématique
ainsi que la fonction anastématique ont des valeurs constantes. Pour que
cela puisse avoir lieu, il faut que les coefficients x^ , x.^ , . . . , que j'appelle
coefficients diaslciiiali/jnes, ainsi que les coefficients c^ , Cj , . . . , que j'appelle
coefficients anastématiqiies, aient des valeurs égales à zéro. Il s'ensuit que
les fonctions rj et I prennent alors les valeurs

7J = X, I = i,

valeurs que je nomme module dlnstétnatique et module miastémufiqite. Dans
le cas envisagé, le diastème est constant, mais Fanastème, variable, pourvu
qu'on n'ait pas le module diastématicpie égal à zéro, ce (jui entraînerait
une valeur constante du l'ayon vecteur.

En supposant x et ; différents de zéro, mais toujours, les coefficients
diastématiques et les coefficients anastématiques égaux à zéro, les arguments
entraiit dans les ex[)ressions des coordonnées rectangulaires rapportées aux
directions fixes, seraient au nombre de ti'ois: la longitude du rayon vecteur
comptée dans le plan instantané, la longitude d'une des apsides et finale-
ment, la longitude d'un des noeuds du plan instantané sur le plan lixe.

Le rayon vecteur, ne dépendant (jue de la dift'érence entre sa longi-
tude et celle de l'apside, dift'érence que je nommerai argument dinstématnjue,
son expression analytique est visiblement indépendante de la direction à
partir de laquelle on eonq)te les arcs; il est même indiff'érent si cette di-
rection est invariable ou non.

Première Partie. Livre I. 77

11 en est tout uutremeut quiuit aux expressions du niuuvemeut rela-
tivement au plan tixe.

Supposons d'abord l'axe des ç invariablement lié au plan instantané,
ce qui nous amène à écrire, dans les formules (49) et (50), iv au lieu de v.

ÏMainteiiaut, si nous c(.)nsidérous les ccjuations (15) et (16), et (juc
nous tassions attention à ce cpi'on a:

(C) - rycos((i + T)w — (Ô),

vu (pie la l'onction ij est, dans notre cas, égale à la constante t), nous
aurons:

sin / sin [iv — rr) — / sin ((1 -\- z}w — 0),

sin i cos {w — ff) — ( 1 + r) / cos ((1 -f ') "^ — 0)

Il s'ensuit que les arguments w — a et (i -\- z)w — 0 sont liomorytlimicpies,
ce qui est aussi visible du développement suivant, (pi'on déduit facilement:

w — o- — w — (0 — zw) — ^ ' ' sin 2 [w — (0 — zir})
+ ' (v^-) si" 4('t' — (0 — zw)) —

Mais l'argument 9, cpi'il faut connaître pour le calcul des coordonnées
rectangulaires, d'après les formules (13) n'est bomorytlimi(pie avec aucun
des autres arguments déjà apparus, ni même isocinétique. Le nombre des
arguments effectivement distincts ne s'abaisse donc pas au dessous de trois,
la direction à partir de la([uelle on compte les longitudes étant liée, in-
variablement, au plan instantané. Et encore, l'argument 9 étant l'angle
entre la direction tixe et la ligne d'inter.section des deux plans, les expressions
des coordoiniées rectangulaires ne peuvent aucunement être indépendantes de
la direction tixe.

Il en serait de même, si l'on faisait tourner, avec la vitesse //„, l'axe
des ^, dans le plan mobile, de sorte que les longitudes 9 et rr devinssent
isocinétiques. Mais dans ce cas, les trois arguments auraient été composés
de trois éléments, savoir v , çn + /' et zv — 0, tandis «pie, dans le cas ])ré-
cédent, les trois arguments dépendaient des quatre éléments: w , çiv -{- /',
zw — 0 et 9 .

78 Traité des Orbites des Planètes.

CHAPITRE III.
lîcJations entre les aiu/Knients afiti'ononiiqttes et le temps.

25 Vàv une inductiou tidmiriible, limmortel Kepler parvint, en
examiniiut les observations tychouieunes, à découvrir les lois connues portant
à jamais son nom. Mais, ce t^rand scrutateur, Fadhérant d'une méta-
physique, impossible ajM'ès Newton, et dont les derniers brouillards dis-
parurent en présence des lumières des Kant et des JjAPLACE, méconnut la
vraie nature de ses découvertes. Loin d'être l'expression parfaite des lois
éternelles et inébranlables, rendant l'image des idées du créateur, son résultat
était a|)proxiniatit' et empiri(|ue. En effet, les positions d'inie planète cal-
culées, pour divers moments, d'ain'ès les règles de Kepler ne coincident
avec les résultats d'observation que jjeudant un intervalle assez court.
Plus cet intervalle s'agrandit, plus inexactes deviennent les positions cal-
culées: un j)etit nombre de semaines sutt'isent pour ipu' les différences entre
rol)servation et le calcul soient mises en évidence. Si l'intervalle dont il
s'agit comprend quelques centaines d'années, les écarts du calcul montent à
des quantités du même ordre que les erreurs de la théorie de Ptolémée, et
si, finalement, la série d'observations s'étend sur un temps de (piehjues dizaines
de siècles, la conception du mouvement elliptique ne porte pas mieux à la
connaissance des mouvements effectifs des planètes que ne le font les idées
hardies mais grandioses des pythagoriciens, fondateurs de la science et, si
l'on doit croire les mythes, partisans de la métempsycose. Il s'ensuit que
de nos jours, la théorie de Kepler ne paraît, à vrai dire, qu'empirique,
même à l'esprit le plus modeste.

Que les lois de Kepler aient dominé néanmoins si longtemps l'astro-
nomie théori([ue, cela tient ])rincipalement à la méthode de la variation
des constantes arbitraires, méthode inventée par Lagkange et employée,
dans la théorie des mouvements des planètes, avec tant de succès par lui-
même, par Laplace et plusieurs autres astronomes les plus éminents. Mais
en revanche, la nature des variations séculaires, découverte à l'aide de la

Proniiorc Partie. T^ivrc I. 79

méthode ddiit nous jiarlioiis, anionait à considérer des courbes plus ijénérales
(|ue l'ellipse comme orbites absolues des planètes.

De.s découvertes de Kkplkh, il s'ensuit toutefois un résultat, inaltéré
par de.'^ observations s'étendant sur plusieurs siècles, et dont le maintien se
contirrae par des considérations théoriques: ce fait, demeuré intact ])armi
les conceptions de Kkplkr et s'apiilicpuint aussi à la théorie des orbites
absolues, le voici :

Si l'on admet, entre le temps et la loncfitude d'une planète, la relation

dt = -p dii ,

et que l'on porte, dans cette formule, l'expression de r que nous avons
donnée dans l'expression (43) du chap. T, la fonction c sera approximative-
ment égale à

Ha{\ —)?'),

H étant une constante dont la valeur est à peu près égale pour toutes les
planètes de notre sj'stèrae solaire.

En conséquence, si Fou désigne par i^ iine fonction de / , telle qu'on
ait rigoureusement:

(0 <=-7 "^^^ ^dv,

le rapport

dt

sera toujours à peu près égal à l'unité.

C'était pour o])tenir la forme indiquée de la fonction r qu'on a admis
l'équation (43) du chap. I, exprimant le rayon vecteur dans l'orbite absolue.

26. Il s'agit maintenant de trouver l'intégrale de l'équation (i).

Pour y arriver d'une manière aisée, désignons la constante y'/trt '" ])ar «,
l'argument diastématicpie (i — ç]v — tt, par F, et introduisons, au lieu de
F, nu nouvel argument, honutrythmique avec F et, en conséquence, astro-
nomique. Désignons le nouvel argument par E, et établissons les relations

(2) cosF = ^ , sm F = "^ '- ■- ;

I — ly cos E 1 — 7j cos E

80 Traité des Orbites des Planètes,

il s'ensuit réciproqneniment les équations

(2')

;E == —

cos F + ;y

I + 7] cos F

sin E =

y/l — jy'^siu F

I + fj cos F
I — Tj cos E

I + -q cos F ' ~ ■'^ "

dont la dernière entraîne l'expression
(3) r = «(i — ri cosE)

remplaçant l'équation (43) du chap I.

Qu'on remarque l'analogie des relations (2) et (3) avec les relations
correspondantes de la théorie elliptique. Seulement, la quantité 57 n'est
plus, dans la théorie des orbites absolues, une constante, mais bien, une
fonction élémentaire du type (^).

On déduit d'ailleurs l'équation suivante, aussi analogue à une formule
très connue de la théorie elliptique,

(4)

tau g - F = 1/ ^ 2 tau g - E .

* 2 V I — n '^ 2

Maintenant, si l'on multiple l'équation (i) par (i — ç), et qu'on dé-
signe, comme dans le chap. I, l'angle (i — ç) c — F par /', il viendra:

{i—ç)nd:

\l + Y] COS F)-

(I —TjCOsYjfdf

¥a\ différentiant la ]iremière des équations (2), on aura facilement, eu
vertu de la relation

F = A-0--r),

la suivante:

{<lf~(J[z— r))sinF

î;')sinE „ suiE- ,

E)- (i — ri cosE)- ''

(I — 3j cos E)

PreniièTe Partie. Livre I.
et, par conséquent, si l'on considère la seconde des dites équations.

df = '''-'^\ dE + ^ ""^ dy^ + d{:r - F).

I— lycosE v'i — ;y-^(i — ^eosE) ' ^ '

Avec cette valeur de df, ou déduit de l'expression précédente de dC
la suivante:

(, _ ç)ndC= (I - rj cosE)r/E + ( ' - 'y^ ^«s E ) sin E ^^^

+ ^'-J^^^d{rr-r).
V' - ■']"

Supposons maintenant:
(5) (i — <:)>'■:+ .1 — ;r = E — ^ siu E — (i — ç)X,

A étant uue constante arbitraire, introduite par l'intégration; la fonction X
s'obtiendra alors en réintégTant la dérivée totale de la formule hypothétique
(5), après eu avoir retranché la partie donnée par l'équation précédente.
On trouvera de la sorte, en considérant la relation

r^ cos Er/E = jy sin E — j sin Edv] ,

l'expression que voici :

, V ,^ / (2 — M COS E — »') sin E ,

(, - c)i = - j ,_,/ <'l

Cette formule, n'étant pas, cependant, assez commode, ou la remplace
facilement par uue autre, mieux préparée au développement, en série tri-
gonométrique, de la fonction cherchée. Eu effet, si nous considérous les
formules

dyj =-- cos(t — f')'^f{y] cos(r — /')) + sin (- — /')^^('7 si" (~ — /'))>
yjdijr— r) = cos(r— r)d{rj sin {tt— /')) — sin (- — r)d{yj cosirr — /')),

TmiW lies whilis absulues. H

82 Traité des Orl)ites des Planètes.

très faciles à vérifier, nous aurons, en remplaçant l'argument E par F, au
moyen des formules (2'):

(6) (i-c)X

,/I-

— r/'\2 + 7j cosF|sinP ces (;r —

- r)d{rj cos {n ~

-T))

(I + ;;cosF)'

- r)d{rj sin (TT —

v/i-

— ■fj''\2 + Yj cos F j sin F sin {n —

■n)

(l + :y cosF)

:y| (I + ;j cos F)

^ 1 cos(~- — I')(i{rj siu(/T — /'))

■/

+ / -!t^^ ^^ — i! sin (-—/>/ (v7 cos (r—/')).

' / :y( (I + ;j cosF)' j ^ ^ ^' ^ ''

Pour effectuer les intégrations qu'exige cette formule, il faut avant

tout qu'on ait établi le développement de la fonction (i +5ycosF)~^,

suivant multiples de F, et notamment qu'on ait mis en évidence la forme
suivante du dit développement:

^7) (,+7coiFr = I + 5, cosF + 2B, cos 2F + 3B, cos 3F + . . ,'
les 7? étant des fonctions de jy seul.

' On déduit, par un calcul assez simple, les développements

2 ^2^ ^ ' \ 31. 2'' 31. 2. 2''

2 ' \ 4 I .2- ' 41.2.2''

ainsi que l'identité

,2,2/ , r -> " _2 1 5 3-4 _4

^ ' ^ I I .2' ' 11.2.2^'

Première Partie. Livre I. 83

Si l'on porte, dans l'équation

(8) {x-àn,K=-Sl.^jdj£.,

le développement (7), hypothétique encore, il est vrai, mais qui est très
facile à vérifier, on aura, en intégrant et en désignant la constante arbi-
traire par A,

(9) (i — c)«C + /i — - = F + 7ij sin F + L\ sin 2F + ■ ■ •

— /Z> I 5, sin F + i?, sin 2F + . . . î ,

où l'on a indiqué, par le symbole D, une ditîérentiation se rapportant
seulement aux fonctions 3y sin (- — /'),:ycos(- — /') et jy^, ainsi qu'à leurs
puissances et produits, mais où l'on considère l'angle F comme constant.
Maintenant, si l'on admet la notation

(10) a = (i — ç)«C+ /l _ ;: + (i — ç)X,

l'équation (5) prendra la forme bien connue de ré(|uation de KÉpler, savoir:

(11) Gr = E — 7] sinE;

et puisque la relation entre les arcs E et F est la même qu'entre l'anomalie
excentrique et l'anomalie vraie, seulement que tj, dans les formules (4) et
(11), est une fonction élémentaire du type [A), la relation entre (x et F
doit être celle qu'on connaît déjà de la théorie képlerienne. Il s'ensuit
que, si l'on différentie les relations mentionnées, en y considérant tj comme
constant, on retrouvera les développements connus. Donc, si l'on pose:

E — 3y siu E = / ^ , ' ,, ,

' / I + ); ces F

on doit, en intégrant le second membre, traiter rj comme une constante.
Les développements des relations entre les trois anomalies ont beau-
coup occupé Hansen. Pour lui, cependant, il ne s'agissait que de trouver
les coeiïicients sous une forme permettant de calculer, aisément, leurs valeurs
numériques, l'excentricité de l'orbite supposée constante, tandis que, dans
la théorie des perturbations absolues, on les demande sous forme de séries

84 Traité des Orbites des Planètes.

procédant suivaut les puissances de ri^ . On pourrait, il est vrai, tirer
ces développements des expressions de Hansen, mais on les déduit, plus aisé-
ment, dune manière directe.

27. De la relation

-.^ . v/i — r.^ smF

Yj = arc sm -— ,

I + îy cos F

qu'on obtient immédiatement de la deuxième des équations (2'), il s'ensuit,
vu qu'on peut maintenant considérer jy comme constant, la relation

I + iy cos F

En cbercliant, de la manière bien connue, les coefficients du développe-
ment

^^i^ = J„ + AcosF + Acos2F + ...,
ou trouvera d'aljord

^1= -M^-'n'—"-)

V

et ensuite la formule générale

en vertu de laquelle, on pourrait déduire, de procbe en proche, les ex-
pressions dont il s'agit.

Mais ou obtient aussi les coefficients demandés en vertu de la formule
suivante, qui permet le calcul immédiat de chacun d'eux:

■^ \^i .\.^(^-^^~i-

j. = (-iy2(-— ^=, =(-1/2

\l + sji — rp

Première Partie. Livre I.
Ou il obtenu de la sorte:

A=- W'r\ri'+j,yi'+irj^ +

A =

— l'y' -il 'y' -è'?' — à'?"

A =

I 4 1 I « 1 7 s 1

s'y +s'7 +6Ï'7 + ■• ■'

A^ =

— i^''/' — é'y'— â'y' — - ■•

^0 =

ji'?" + 64'?' + • ■ •.

A. =

— ^v'—ieV"— • ■•-

A =

^^^ + ---^

A = ■

I II

256

Ayant obtenu les résultats précédents, il sera facile d'en déduire les
coefficients du développement

(12) G — F = Z>, sin F + B., sin 2F + . . . ,

ces coefficients étant les mêmes que nous avons mis en évidence dans l'étpia-

tion (7). En effet, on déduit, de l'équation mentionnée, l'expression de G ,

tout à fait comme dans la théorie ellipticpie, c'est ?i dire en l'intégrant ajjrès

avoir multiplié son second membre par dF , et eu y considérant yj comme

une constante.

De l'équation

. T, v'' — K^sinF

siu h = ,

I + 7] ces F

on déduit maintenant le développement

sin E = sinFj i + A^ cosF -f- A^ cos2r + . . .}

= (i — ' ^,) sin F + i (J, — J3) sin 2F + ... .

86 Traité des Orbites des Planètes.

Après avoir multiplié cette équation par rj, nous retranchons le produit
de l'expression

E = F + ^j siu F + - ^, sin 2F + - J3 sin 3F + . . , ,

2 3

ce qui nous donnera:

(12') G = E — 5^sinE = F + (7^1 —y}(j — ^.J,) jsinF

+ 0J,-^,y(^,-Jj)sin2F

+ QA-3'î(^4,-^j)sin3F

+ ....
On a donc, généralement,

formule qui ne souffre aucune autre exception que celle qui a lieu lorsque
s est égal à l'unité.

L'expression générale de A^ que nous avons signalé un peu plus haut,
entraîne la relation suivante entre deux coefficients consécutifs:

en la portant dans l'équation

qui découle immédiatement d'une formule déjà donnée, il s'ensuivra:

A,_, —^,+1 = —-\Jl -ri'A^.

En vertu de cette valeur, on obtiendra de l'expression précédente de B^ la
formule

^.= ;+n/i

Première Partie. Livre I. 87

OU bien :

Eu mettaut, dans cette formule s égal à l'ucité, on en tire l'ex-
pression finie:

B, = — 25y;
les autres B seront exprimés au moyen des développements que voici:

B,= T'y +«'? +^'^ +7^5? + ■ • • .

^. =

— If- h'-To'-j' -ik^

^. =

if+if + is^v'+-

B,=

3 r, '7 3 '.1
40^7 lô'^J 64^J

B, =

i-.r + ûsf + ---'

B, =

— i'^Z—ïfs '?"—■•• '

Ss =

i^^ + ---.

B,, =

.Lv' ...,

Cela fait, il sera facile de retrouver le développement (7). Si, dans
ce but, on différentie léquation (12'), et qu'on introduise, dans le résultat

dV

ainsi obtenu, la valeur de -7_' et celle de (i — jycosE), y] étant toujours

considéré comme constant, on aura sur le champ l'équation (7), qui se
trouve ainsi vérifiée. Mais pour vérifier les coefficients numériques apparais-

88 Traité des Orbites des Planètes.

sant dans les expressions données plus haut, on pourra mettre, dans l'équa-
tion (7), r égal à zéro, ce qui conduit à l'expression

64

, Il ,■ 5 7 , 75 s 35 fi ,

= I +i?, + 27?, + 3B, + ...,

égalité, d'où l'on conclut facilement l'exactitude de nos chiffres.

Eu introduisant, dans les divers termes de l'expression (6), le développe-
ment obtenu de (i + t^cosF)"", on aura tout de suite des expressions dont
l'intégration demandée ne causera plus de difficulté.

Mais on pourra aussi trouver une autre expression de la fonction A',
plus facile à mettre en nombres que la formule (6). Dans ce but, com-
parons les trois forniules (9), (10) et (12), et nous arriverons tout d'abord au
résultat

(13) (I -ç)X=/7){Z?, sinF + L'.,sin2P + ...j,

d'où il est immédiatement visible que la fonction X est toujours une très
petite quantité du premier ordre par rapport aux forces troublantes et du
premier degré par rapport aux coefficients diastématiques.

28. Pour une liaison qui sera reconnue dans le numéro prochain,
nous allons développer les puissances entières et positives de l'agrégat
périodique (1 — F .

Dans ce but, admettons la notation

d'où il s'ensuit:

sin F = — . (oc — a"'), siu 2F = — . (a^ — a~") , ....

2 1 ' 2 1 ^ '

L'expression qu'il s'agit de développer, prend maintenant, 11 étant un entier,
la forme :

IVmi.'fo l'ailic. Livi'o I. 89

(,4) (G — Fj" = (/J, sin V + R^ siu 2F + . . .)"

Commençons par t'tal)lir le développement

[Pyj: + R^ + . . .]" = ^;;'>a" + ;C|,a" + ' + . . . ,

et clierclions à détei-miner les eoetïieients ?,.
On s'aperçoit immédiatement des é<4'alités

/;" = B, , 4" = a , . . . ,

ainsi fpie des formnles suivantes servant à ealeulcr de ])roche en proche
les divers coefficients:

;(") 7? ;("-!) i_ r> )i"-n

>''n+2 — -"^lAi + l T- -tJj/-,, "t" ^'sAi-l ;

Ces formules étant les plus convenables au calcul des coefficients dont il
s'agit, il n'y a pas lieu de chercher des formules donnant les coefl'icients

isolés indépendamment des autres, formules ([ui deviendraient assez com-
pliquées.

Voici les résidtats (pi'ou a dliti'nus en calculant les coefficients dont
il s'agit de ])rocIu> en ])roch(':

Tmit.' lin: orinirs ahsohicx. 12

90

Traité deï; Orbites fies Planètes.

^ — — j'y — 2^J lô'^

9 f. 3' 7

■s'y -iâ'^/ — ■

j(2) _ 1S59

3<^) — l9 7

;f = -8^^

Af= 9^^ +3'^" +

)(3)

«5

59 s 21 7

'^r, —

"£"-/' + •••'

}.r =

1697 7
480 "i

r =

iàrj\

^;^' =

— 24^' — 4r/ -

A'/' =

^^^• + --->

Af =

165 7
— ^V -■■•'

4^' = 64)7",
;</) = — 14 4r/ -

Première Partie. Livre T. 91

Euîsuite, nous c'taljlissoii.s l'expression

- ()\r + ^A"'(« + a-') + (^T{or + et •■') + . . . ,
les (:) étant donnés par les formules

Avec les A donnés plus haut, on a obtenu les résultats que voici:

e?

~ri

+

è'^/

—

\6ri'

' +

95j'

+

I 2r/

■ —

^'î

.'-

IV

+

^„'> = 64r/ + . .

92 Traité des Orbites des Plauètes.

Nous allons encore établir le dévelopjiemenl

= Tr-a"^ + ir;,a"'^' + 7>;;;;,o('"+^ + ...

où les coefficients 2), ce qu'on conclut facilement, sont formés confoi-mé-
meut aux formules suivantes:

En écrivant l'équation (14) de la manière suivante;

X ![/>> + I^,«'^ +...]"-^+ [2?^a-> + i^^cx- + ...]"-{

on parvient immédiatement, en considérant les notations adoptées, au dé-
veloppement

Pieiilière Partie. Livre I.

93

(G - F)" = — !>;: » - '- 7>;;-- + '^^- J);;-- -
+ ^bcr,-^'^>;;;;'+"''"~~^>;;;r-

' (2 0" ^ 1 ^ 1.2 ^

^ (2i)" "-' 1 "- ' ^ 1.2 "-'

+

(21)"

+

et il est ai.sé de s'assurer iiu'ou doit prendre les signes supérieurs si n est
un nomljre pair; dans le eas opposé, il i'aut elioisir les signes inférieurs.
Dans le eas d'un nondjre pair, il i'aut évidemment prendre la moitié du

terme appartenant aux iudiees supérieurs o et -n.
Maintenant, si Ion éerit:

( 1 5) ((i — F)" = LV + B\"' ^"' I F + Si/" ""^^ j 2F + . .

\ j/ \ / " ^ sm ' sm "

les B seront donnés au moyen de la formule générale

;i6)

b':l = +

JKl- IK^' +

I .2

IK

±pi;w.,--r^^''+") + ■•

et «plant au signe du seeond membre, il faut distinguer deux cas: d'abord, si
■II, est un nombre pair, on doit prendre + ou — selon que ^ est un ntimbre
pair ou impair; mais si n est un nomjjre impair, il faut choisir le signe

+ si est un nondjre pair, dans le cas opposé, le signe — .

En considérant cpi'on a:

C' = I ; 0f = or = . . . - o,

on obtient immédiatement, de la formule générale, celle-ci:

/>;:■" -= ?^r\

H étant un entier quelconque.

94 Traité des Orbites des Planètes.

Ensuite, si m était égal à zéro, on aurait, vu que

4") = I ; /;" =. ;<"> = . . . = o,

les valeurs

TK-" = i^*^'! = &\"\

En utilisant les i'orniules données plus haut, ou a obtenu, avec les
valeurs indiquées des À et des fl, les expressions suivantes:

D]i\ = —^r/ — ...,

Dl' =

-l^'-l^

Dl-^

w+

W =

1440 /

I»!:\ =

-!V- ..:

DV =

:.'+...

nr =

— 6iç'—4yj'-

Preiiiiri

•(' Partie. Livi'c I.

w =

■<">'/' + 7î' +

w = -

-■8,"-5'>!=-

7)r =

^/' + . .

7)- = -

-f^'- ••

Dr = -

i6 ;

Dr =

I 2yy'' + . - . ,

Dr - -

-r--r' — '85?'-

Dr =

4!^'^;" + ■ ,

Dr -= ■

'45 7

^

Dr = ■

— 24^' -. ..,

Dr==

64r/' + . . . ,

Dr =

I 203y' — • ■ • . ,

Dr =

— 128^;^—...,

Dr\ =

91 7

—T'y — ■■•'

Dr =

24//' + . . . ,

Dr =

— 32>j'— 2 7yy'-

7)- =

36îy''' + . . ,

Dr =

-?.^--->

D;'^ =

— 48)^^—. . .,

Dr =

6452" + . . . ,

Dr =

— gôy/ — . , . ,

Dr =

-,28V-...,

Dr =

— 128/;' — . . . .

!•")

06 Trailé <les Oi-l)ites des PInnètes.

Voici enfin les B\','l., calculés d'après la formule ijénérale indiquée plus
haut, et vérifiés par des multiplications numériques :

p(2) ^ 2 1 9 4 1 43 r. I

j-iir =

^V—leV-

i?f =

9' 4 3' r.

BiP =

7of+W +

^,.,__.S59 c_
'■ 5760 /

r)(3) « 3 91 -, 9'' 7 ,

7?(3) _ 94 ,2Ac. ,

B<^)= 59 .._i9<^ 7^

" .^2 / IQ20 / --

R(3) — 339 ,; ,

^^ ~ 256 '^ *

Br= '"^^77^ +

Premii

re Piutie. Livie I

v + S'j" + -

B['' - -

Bl'> = -

-v + ;^'j"±-

/?!,'> =

9^^+g,y^ + .

B'*' ^

^^/-fv- + -

Bf = -

-3.^+f'^^ +

ni) _

^'y'^i---. .

Bf = -

-^.^±...,

97

B'{-

m

Bf

b:

Bf
Bf

B'I'

Bf

JMC,

20r/

-S'^^*

'iv'

+ . . . ,

lOrj'

2Û5 - ,

— 76'/ X

^5r/

± • ■ . ,

r + 'Sv'±

= 205y ' +

= - 30r/ +

Traite des orbites abaulues.

08 Traité de? Orbites des Planètes.

BT== I25j" ± . . . ,

Bf = — 2r/' + ...,

B? = - 70r/ ± . . . ,
B^p= 4257' + . . . ,

£;.''= — 145?' +. ,
y?<''= 2jy' + , . . .

Pour une (lorniî're vérification du calcul, on n utilisé les équations de
condition suivantes:

1° n étant un noniln-e pair, ,^

o == i?;-' + Tir" + *^"' + . . . ;

2° n étant un nonihre impair,

o-,7?r + 2^!."'+ 3^!;"+ ■•■

On obtient la ])reniière imniédiatenient, en faisant F éi^al à zéro dans
ré([uation

(/;, sin F + 11^ sin 2F + , . .)" -- B^!" + 7Î',"' cosF + . ;

pour arriver à la seconde, on mettra é<;'alement F éo-al îi zéro, mais cette
i'<.iis dans ré(piation rpi'on ol_)tient en ditïérentiant celle-ci:

{B^ sin F + B.-^ sin 2F + . . .)" = 7>7" sin F + jBI,"' sin 2F + , . .

29 Apres avoir établi les développements du dernier numéro, nous
allons nous occuper de ceux des fonctions sin Ad et cosP,({ suivant certains
multi|iles de F, À étant un nombri^ réel (|uelcon([ue, rationel ou irrationel.

N(.ius aurons d'abord:

_>/(; _ „//FH-,/(G-F).*

l'i'riiiirn' l'iirlic. Livic I. 90

et si iKiiis adiiK/ttoiis l'e.\])re.ssioii

(17) e'^'"-^'= y;^'+ Yre"-+ Y-r"' + , .

+ Y-e '^ + Y'^ic-"- + . . ,

les cuclïicii'iits Y, vUmt des fonctions du ^ et de rj , seront i'ni'inés eon-
forméniont aux formules suivantes, où l'on a désigné par v un entier (piel-
conqvie:

vr = I — -- W + —'-- - nir — . . ,

1.2 ' 1.2.3.4 "

2| I ' I ,2.3 I

+ ' ! — — W' + —^- />:;' — , , I ,
2| 1.2 1.2.3.4 (•

3|> ,.2.3 ^ I

-I 1.2 ..2.3.4 I

De ces expressions résulte d'ahord la relation t^'énérale

(18) Y^ll = Y', '■',
(|ui découle, du reste, de la remanpie (pi'on a:

/[/;, sin (— F) + /;,, sin (— 2F) + . .} -- — ;.|Z,\ sin F + U. siu 2F + .\

En portant, dans les expressions des fonctions Y, les dévelojijienients
des coefficients B ([ue nous avons éta])lis dans K; numéro précédent, on
arrivera aux résultats suivants:

(■9)

les s]'' étant des polynômes en / de l'ordre 6', diuit les ex|iressions algé-
briques sont données si-dessous:

100 Traité des Orbites des Planètes.

= X'

4 64 '

36 576 ' 576

et' = A,

" 12 'S 192 s

' 144 64 2304 1024 46oi> '128 '

•' 24 '16 • 384 t)4 16 '

' 240 ' 320 ' 7C18 1024 2506 So '32

■i 24 '16 '384 ' 64 '

" 120 ' 16 ' 384 ' 64 640 64 '

' 120 '16 ' 384 64 ' 80 '

' 720 ' 64 ' 2304 ' 3072 ' 23040 i6 32 '

Première Partie. Livre I. lOl

" 720 ' 64 ' 2304 1024 ' 23040 ' II 52 '

' 5040 J20 2304 3072 ' 23040 640 112

On remarque, pour avoir les s avec le second indice supérieur nég;atif,
la relation

qu'on trouve facilement, en portant les expressions (19) dans l'équation (iS)

30. Abordons encore une question, étroitement liée à celle que nous
avons traitée dans le numéro précédent. 11 s'agit maintenant d'établir le
développement

(20) e""*'-"-^' = Xi,'"* + A'<"*>6'"' + X!,""e^"^ + . . .

+ x:v«-'" + X-ie-'^'^ + . . . ,

in pouvant être un nombre quelconque, bien que nous n'ayons, j^énérale-
ment, besoin que des t'(.)rmules subsistant pour des valeurs entières du
nombre m.

Mais la résolution du proljlème énoncé est depuis loni;teinps connue
dans toutes ses particularités. En effet, si nous admettons les expressions

(2.)

I-\r(„x\ (-m —■> V f-m —•> v 4- '* 1 f-m —n >• A- \

les coett'icients ^'^'■'' seront exprimés moyennant des polynômes en ui , de
l'ordi'e s , lesquels on peut mettre en évidence à l'aide des expressions que
Le Verrier u données dans le Tome premier des Annales de l'observatoire
de Paris (Addition première).

Voici les polynômes dont il s'agit:

Çfj — '1

102 Traité dus Orbites des Planètes.

^'' 36 576 ^ 57&

»r -\-\ m'' + ç ;«,

^'^'■^ = — m'' + — «(' -| — ^ m"' «r + ^- m ,

'" 12 '24 ' 192 32 192

^M 1 I ; r 5 1; I 5 .-, 437 t 1 -47 ;i , 421 2 10

' 144 ' 192 2304 9216 ' 9216 9216 921

'■m.-i ' ,„r, , 25 5 197 4 I 593 ,„:; , '57 ,,,3 , '

^« ==:Ï8"' +7^'" +768'" +io7^'" +71^'" +3

17
84

'-'+T.'-'+%>-'+i'-'+^

III ,

*' 240 ' 1)4 ' ytiS ' 1024 ' 5120 ' 5120 ' 1024

fr* == — )«' +4 '"'■' + "ï^ "<' + — '"<

^4 24 '16 ' 3S4 ' 192 '

î-,„ ,1 I 11 , 5 -, ■ 187 4 , 205 ■; , 2147 ., , 451

^'' 120 ' 48 ' 384 ' 192 ' 1920 ' 960

r^m ', ' r, , s 4 I '70 ;j I 7 2 I '097

^5 120 ' 48 ' 3S4 ' 8 ' 1920

v,„ -, I 7 , s 1: . 445 -, , 0679 4 , 67123 ■> . 13897 2 1 5957

^' 720 ' 192 ' 2304 ' 9216 ' 46080 ' 9216 ' 9216

;^,i, fi I (i ■ 5 -11 433 4 1 663 -, 1 24260 o 1223

"> 720 ' 192 ' 2304 ' 1024 ' 23040 1920

;-,n^ ' 7 1 ■ 1; , 889 5 , 2759 4 , 2SI743 g , 5919

^' 5040 ' 192 ' 16128 ' 9216 ' 322560 ' 460S

-4-

6451

, 47273

Pivniièvp Pailio. Ijivrf I.

lo;',

(^)ii;uit aux coefficients avec des iiidices m'i;'atifs, il suff'it de l'aire,
j)our les obtenir, la remarque que voici:

Par la définition de la fonction X|,"", il est évident (|u'on a:

or, en introduisant, dans cette équation, les dévelo])penients (21), on aura
sur le champ:

Donc, les coefficients dont le second indice snjx'rieur est né^atir, s'ohtien
uent en mettant, dans les exjjressions ])réccdentes, — m au lieu de m
On a encore, évidemment.

Les c, ne dépendant que des nombres entiers, on peut les calculer
numériquement une fois pour toutes: on en trouve les valeurs, rassemblées
dans une table jointe à ce volume

31. Kn considérant (pie les fonctions X*,"" et }''"' s'expriment au
moven des formules

(22)

il sera facile de trouver une formule destinée à ramcMier l'une à l'autre,
les deux fonctions dont il s'agit

P]n ett'et, si Vnn intègre, par parties, la seconde des forniul(>s signalées,
on trouvera tout d'abord celle-ci :

TZIl -4- V J

d où l'on conclut, eu la comparant avec l'expression précédi'iiti- de X, la
relation

yiiO -_ '"' V(-n-v)
Il + v^ "

104 Traité des Orbites des Planètes.

En substituant, dans cette équation, les expressions de Y^''' et de XJ,^'' '•■',
données par les équations (19) et (21), on parvient immédiatement à la
formule

(23) .- = (-iy^r--.

qui permet de calculer les s,, les ç^ étant donnés. Réciproquement, si les
£, étaient connus, on trouverait, en utilisant la formule signalée, les f, .
Les deux groupes de coefficients étant évalués indépendamment,' la formule
établie sert à vérifier les calculs.

Su]:)posons, dans un premier exemple, qu'il s'agisse d'évaluer le coeffi-
cient Sj'.

On a d'abord, en vertu de l'expression de ç.j"' :

+ 1

= i^ + i^

c'est à dire, l'expression donnée dans le n° 29

Dans notre second exemple, nous nous proposons de calculer le
coefficient Sj'. L'expression du coefficient C;" ' nous donne, en la portant
dans l'équation (23), celle-ci:

,A,7 _ , ((^' + 7r U + 7f _j_ 889(; + jY 27S9U + jf

5040 192 161 28 92 lù

28i743(^ + 7T _ 59'97(/'- + /) , 472 73 |
322560 46080 645 17 j'

d'où l'on tire, après avoir réduit les diverses fractions au même dénominateur:

-f(i5.64.7'— 5.1680.7 + 177.80)/*
-|-(20.64.7'— 10. 1680. 7'-f 4.17780.7 — 96565)/''
+ (15.64.7'— io.i68o.7' + 6.i778o.7'— 3 96565.7 + 281743)/-
■ + (6.64. 7"— 5. 1680.7^ + 4. 17780.7'— 3. 96565. 7' + 2. 281743.7

— 4i4379)'<
+ 64. 7«— 1680.7^'+ 17780,7'- 9'''565-7'+ 2S1 743.7'

-414379-7 + 236365}.

Première Partie. Liv]e I. 1 05

Les calculs indiqués effectués, on retrouve l'expression donnée dans
le n° 29.

32. Bien que la relation entre les deux arguments F et G, que
nous venons d'établir au moyeu des équations (9) et ( 1 o), ne donne lieu
à aucun manque de précision, il n'en est pas ainsi quant à, la liaison qui
joint la long-itude du rayon vecteur, comptée d'une direction fixe, à l'argu-
ment diastématique. En effet, l'expression du dit argument étant celle-ci:

F = (.-c)r-Z'-(r-7'),

elle paraît dépendre de la direction à partir de laquelle on compte les
longitudes, ce qui ne devrait cependant pas avoir lieu. Cette contradiction
avec ce que nous venons de dire à l'occasion de la définition de l'argument
diastématique (p. 70), n'est toutefois qu'apparente, et tient à ce que la
longitude moyenne du périhélie, que nous désignerons dorénavant par oj ,
a été, dans ce qui précède, exprimée par çu + r, et qu'on a fait la suppo-
sition tacite que l'angle v devient zéro au moment à partir duquel on
compte le temps. Mais rien de plus facile que d'éviter l'inconvénient
qu'entraîne le manque de netteté signalé tout à l'heure. Il suffit, en effet,
de remplacer, dans l'expression de la longitude du périhélie moyen, la
constante F par F — çA, de sorte que nous aurons:

(24) co = ç{v — A) + F.
L'argument diastématique s'exprime alors ainsi:

(25) Y = v-œ-{7:-F),

et puisqu'on a, en omettant les termes périodiques à l'exception de ceux
qui sont contenus dans l'agrégat - — F:

F = G = (i -ç)n:+ A-F—{7:—F),

on o])tiendra, en faisant C égal à zéro:

(i-ç)(/;-.4) = o,

d'où il résultera:

V = A; o) = F.

Traite des orhika absolues. 14

10(3 Traité des Orbites des Planètes.

Par ces déterminations, on a donné une définition des angles A et F,
aussi exacte qu'on a pu le faire, avant d'avoir établi la relation entre le
temps vrai et le temps réduit C, relation dans laquelle on aurait pu com-
prendre aussi les termes de la fonction X. Plus tard, lorsque nous aurons
obtenu cette relation, nous donnerons une définition parfaitement exacte de
ces angles.

Ensuite, si nous désignons par -, la longitude vraie du périhélie, nous
aui'ons :

(26) TT^ = -+ Ç{V — .1) ^ CO + TT—r.

Finalement, pour arriver à une expression de l'argument anastématique,
semblable à l'expression (25), admettons la notation

(27) {f = — z{d — A) + Q,

et dé.siguons l'argument dont il s'agit par U; l'expression demandée sera
alors :

(28) Il = v — S — {(i~Q).
Après avoir encore établi la notation

(29) ?9, =^ & + f>-~Q,

nous allons mettre les équations (59) du chap. Il sous une forme qui
nous sera utile dans le courant de nos recherches.
Faisons d'abord

I — cos/ = -siur(i + f),

oii l'on a posé, pour abréger:

(30) f =-sini' + -sin «*+... ;

introduisons ensuite cette expres.sion dans les équations (59), et remplaçons
finalement les fonctions siu / siu 9 et sin / cos 9 par leurs expressions tirées
des équations (58), savoir:

(31;

siu i sin 6 = 7 sin (î9, — G) -\- (( C)) sin {v — G),
sin icose = Jcos(«9j — (t) + ((O) cos(i' — G).

Première Partie. Livre I.
Maintenant, si nous mettons, pour abréger:

(32)

v — G,

107

nos résultats seront les suivants:

:33)

1 h sin l = sin v ( i + f) 7"' {sin v + sin (v ~ 2 (*9, — G))\

4

— -' (i + f) /((O) cos V sin (v — ,9, + G).

cos h cos / = cos V ( I -{- i)P\ cos V — cos (v — 2 ((9j — G)) |

+ -(i + £)/((:)) sin V sin (v — «9, + G),

On peut remarquer que, dans ces formules^, les termes dépendant de
((s))' ont complètement disparu.

Des formules dernièrement mises eu évidence, on tire facilement quel-
ques relations dont l'usage peut être très favorable: je vais les déduire.

En vertu des équations (31), on obtient immédiateiuent la relation

(34)

uni' = r + 2/((0) cos(;' — ,\) + {{0)\

qui est indépendante de l'agrégat périodique G.

Puis, les deux équations mentionnées se remplacent par les suivantes:

(35)

I sin / sin (e — ,9j = — i sin G + ((0) sin (v — »9,),
I sin i cos (e — H^) = /cos G + ((s)) cos(v — f}^).

Nous admettons toujours (|ue G soit une petite quantité du deuxième
degré et, que ((O) soit très petit par rapport à I: alors, les équations
précédentes montrent que la différence 9 — - &^ est un agrégat périodique,
d'oii il s'ensuit que les deux arguments 9 et ?Vj sont isocinétiques. Mais
puisque &^ est aussi isocinétique avec &, l'angle 6 est aussi isocinéti([ue
avec ransfle H.

108 Traité des Orbites des Planètes.

Au lieu des équations (33), on pourra mettre celles-ci:

(36) '

cos i siu (/ — v) = ( I + f) P siu 2{v — &^]

-(I + f) /((O) cos 2 vsin ('<; — ,!/,),

cosZ»cos(; — v) = I —-(i + [)P + -(i + f)Z'cos2(v— <9,),
4 4

d'où l'on conclut que la différence / — v s'exprime au moyen d'un agrégat
périodique et, en conséquence, que les deux angles formant cette différence
sont des arguments isocinétiques.

Par les formules du chapitre présent, on a d'abord établi des relations
entre l'argument diastématique et le temps réduit; puis, entre la longitude,
comptée dans le plan mobile, et l'argument diastématique: la relation entre
cette longitude et le temps étant connue, on trouvera finalement, au moyen
des formules signalées, les expressions des autres arguments en fonctions
du temps.

Prenii(''ro Partie. Liyre I. 109

CHAPITRE IV.
Eléments absolus.

33. Les diverses formules que nous iivons mises en évidence dans le
chapitre précédent, et qui ont pour l)ut de lier au temps les positions d'un
point se mouvant dans une orbite périplégmatitjue, renferment plusieui's
constantes ayant le caractère d'éléments invariables et indépendants les uns
des autres. Parmi ces éléments, il y eu a six que j'appelle éléments pri-
maires, parce qu'ils figurent comme constantes d'intégration dans la résolu-
tion du problème purement abstraite, oii l'on cherche le mouvement d'un
point dont la masse est nulle, et qui est attiré, selon la loi de Newton,
par d'autres points mobiles dont les mouvements sont connus.

Voici la liste des éléments primaires:

A, la longitude absolue du mobile ou de son rayon vecteur;

/', la longitude absolue du périhélie;

0, la longitude absolue du noeud ascendant;

a , le protomètre ;

X, le module diastématique;

t, le module anastématique.

Quant aux dénominations que je viens d'employer, il y a toutefois
quelques observations à faire. J'ai nommé loiiffitude absolue la longitude
moyenne à l'époque fixe, c'est-à-dire, au temjjs égal à zéro. Il s'entend
par cette détermination que les éléments angulaires ainsi que le protomètre
et les éléments modulaires sont des constantes absolues. Ensuite,, j'ai in-
troduit la dénomination protomètre au lieu de la distance moyenne, à
laquelle on serait d'abord porté i"i penser, vu que celle-ci n'est pas suffi-
samment exacte. Le mot demi grand axe désignerait, si l'on voulait l'em-
ployer, le rayon de la sphère extérieure, entourant la courbe périplégma-
tique; ce mot n'est donc pas propre à exprimer la notion dont il s'agit.

110 Traité des Orhitei? des Planètes.

Mais outre les éléments primaires, les coefficients diastématiques et
anastématiques, ainsi que les arguments initiaux liés aux dits coeiïicieuts,
entrent comme éléments constants dans les formules dont nous venons de
parler; je les nommerai éléments secondaires, parce qu'ils dérivent, algé-
briquement, des éléments primaires des points attirants.

Quant aux vitesses des divers arguments, on n'est pas obligé de les
compter parmi les éléments, bien qu'elles paraissent, dans les formules que
nous avons exposées précédemment, indépendantes des éléments énumérés
jusqu'à présent. Mais nous allons voir, dans la suite, que ces vitesses
pourront êti'e obtenues par calcul, si les éléments primaires sont connus, et
encore, si les forces attractives, ainsi que les éléments des orbites des divers
points attirants sont des quantités données.

D'un autre côté, on pourrait, il est vrai, choisir comme éléments pri-
maires le mouvement moyen du mobile, ceux de son périhélie et du noeud
ascendant de son orbite sur le plan fixe, mais alors le protomètre, le module
diastématique et le module anastématique perdraient leur caractère d'élé-
ments indépendants.

Dans ce qui précède, nous avons déjà eu l'occasion d'apprendre, par
quelques exemples, la nature des relations liant les deux genres d'éléments.
Nous avons introduit, d'abord comme une simple notation pour abréger
l'écinture, le mouvement u, eu établissant l'équation

3

Il = y/// a ' ,

mais cette relation est, néanmoins, d'une importance capitale, vu (|ue les
significations des deux quantités a et n se font immédiatement sentir. Du
reste, l'équation signalée est l'expression analytique de la troisième loi de
Kepler, supposé bien entendu, que la quantité ji soit la même pour toutes
les planètes, ce qui n'a pas, cependant, rigoureusement lieu.

Dans le chapitre I, n° 5, nous avons donné le type des relations
entre les mouvements moyens des périhélies 'et les modules diastématiques,
et nous pouvons prévoir que les relations entre les mouvements moyens
des noeuds et les modules anastématiques appartiennent à ce même type.

En remplaçant le protomètre et les deux modules par les mouvements
moyens, nous aurons le système suivant d'éléments primaires:

.1, la louyitude absolue du mobile;

Première Partie. Livre I. 111

/', la longitude absolue du périhélie;

0, la longitude absolue du noeud;

H, le mouvement moyen du mobile;

ç, le rapport entre le mouvement moyen du périhélie et celui du
mobile;

— 7, le rapport entre le mouv(>ment da noeud et celui du mobile.

Mais les éléments primaires, soit qu'on adopte l'un ou l'autre des
systèmes signalés, ne sont pas toujours les mieux appropriés à donner une
idée nette et immédiate du mouvement. La raison en est que la vitesse
de l'argument du terme aj^aut pour coefficient le module, cette vitesse
multipliée par le mouvement moyen du mobile, ne devient identique avec
le mouvement moyen du périhélie (ou du noeud) que si le module est
plus grand que la somme des coefficients diastématiques (ou anastématiques).

Distinguons, pour séparer les diverses circonstances particulières, les
trois cas suivants:

1°. Le module diastématique (ou auasténiatique) est plus grand que
la somme des coefficients diastématiques (ou anastémati(pies), ces coeft'icients
étant toujours supposés positifs;

2°. Un des coefficients diastématiques (ou anastématiques) est plus
grand que la somme des autres coefficients diastématiques (ou anasténui-
tiques), à laquelle le module est supposé ajouté;

3". Ni le module, ni aucun des coeft'icients, diastématiques ou ana-
stématiques, n'est plus grand que la somme des autres coefficients, le
module y compris.

Dans le premier cas, la vitesse de l'argument d'un des termes dé-
pendant des modules est en même temps le mouvement moyen du périhélie
(ou du noeud), celui du mobile même étant égal à l'unité. Dans ce cas,
qui en eft'et est celui auquel se rapportent nos formules précédentes, celles-ci
restent en vigueur sans aucune modification.

Dans le second cas, les formules dont il s'agit garderont leur caractère
analytique inaltéré: il faut seulement qu'on y mette, à la place de x , ç et
/', les cléments secondaires /„ , a„ et 7/„, /„ étant le plus grand des coeft'i-
cients diastématiques, et de même, si les éléments anastématiques appartien-
nent aussi au second cas, à la place de e , r et 0, les éléments ;,„ , r„ et

112 Traité des Orbites des Planètes.

jS,,,, f„, étant le plus grand des coefficients anastématiques. L'angle ajit
signifie alors le mouvement moyen du périhélie et l'angle r„,«/ celui du noeud.
Venons maintenant au troisicme cas, oti aucun des coefficients, inclusive-
ment le module, ne surpasse la somme des autres. Mais dans l'espèce, il
faut avant tout élucider, plus en détail qu'on ne l'a fait dans le n° 6,
la nature de la vitesse de l'argument si on l'avait exprimé par un seul
terme, un agrégat périodique n'ayant aucun de ses coefficients plus grand
que la somme des autres. C'est de l'examen de cette question que nous
allons nous occuper dans le prochain numéro.

34. lîeprenons la formule (12) du ebap. I.

Sans doute, les deux termes logaritlimiques, séparés l'un de l'autre,
ne se développent pas suivant les puissances des rapports o..^ ,«,,..., à
moins qu'on n'ait:

7., + a, + . . . < I .

Mais la somme des deux termes mentionnés peut être représentée par un
développement suivant les multiples des divers arguments se trouvant déjà
dans les expressions qu'il s'agit de développer.

En effet, si nous différentious l'équation (12), il viendra:

dv

+

ou bien, en utilisant les notations introduites dans le numéro cité:

^, dY ^.dX

Ensuite, si nous admettons, pour abréger l'écriture, les notations

Première Partie. Livre I. 113

les fouctions X et 1^ sexpriincnt iiinsi:

-X = a., cos L.^ + «•! cf*i^ -^^:; + • • • )
I" = «j sin L.^ + a , siii L. + . . . .

Ou tire lie li"i les (l('\'el()])[)enient.s

J77 = — ^ÂK — ^0 ^'» ^-i — '^ÂK — K) «'" ^-. — • • • .

j^ = «.(^ — ^m) <'o^ ^>., + '^AK — K) f'''^ L, + ■ ■ ■;

et niaiiitenunt, il sera faoilo (1(^ former les suivants:

( I + A-) ^ ^ a,{l, - ;, ) cos L, + a, (P. - ;,, ) cos L .^ + ...

+ \ rcil, — ;,)(! + cos 2LJ + \ r^,{X^ - A, )( I + COS 2 L J + , . .
+ «.^^.(A., + >^.3 2/|) COsXjCOS/y^

+ c(,c<^(A,_, + A, — 2 A,) e,.s L, eosL^ +,..
+ a.«,(l, + A, — 2;i,) eos L., eus L, + . . .

- Y~ = [o^AK - ^)(i - oos 2LJ + la^À, - ;.)(. - C0S2LJ + • • •

+ c(.,C!.,(A., + À, — 2j^|) sin L., sin Jy.,

+ a2C(,(/, + A_, — 2A,) sin L.^ sin L^ -\- ...
+ «,«,(;, + A, — 2;.,) sin L^ sin L^ + . .
+ ....

T)'aUc des orbites absolues. 15

114 Traité des OrbilcR des Planètes.

Ou obtient finalement les expressions

(2) (. +X)'^-Y'^= «^(;^_;j + ,^(^^_;j+...

+ a, (A, — /^J cosX^ + a„{l^ — ^J pos L, + . . .
+ oi,oi,XK + À, — 2;,) cos(L, — LJ

+ ^-MK + K - 2^0 cos(L., - 7.J + . . .

+ C(,C(4(/;, + A^ — 2/J cos(X., — L J + ...

+ .. .,
(3) (I +xy + r ^ i +ai^4-\- ■■■

+ 20(2 cos/vj + 2ct, cosZj + . . .

+ 2 o(., r^,, cos ( Lj — />., ) + 2 c(., 7 , ( 'OS ( /> j — L J + . . .

+ . . . .

Cela établi, concevons d'abord le cas simple ou tous les coefficients ot
sont égaux à zéro, à l'exception d'un seul, par exemple a.^.
Nous aurons alors:

dv '' ' I + 2«, COS L^ + (à

Distinguons trois cas, savoir:

a.j < I ; ot.^ > I ; ce, = i .

Si, en premier lieu, «^ était moindre que l'unité, nous aurions le dé-
veloppement

7—^ r, = COS L„ — a, cos 2 7y., + ^^ c't'S 3iv,, 4- . . . .

I + 2«2 cos 7a, + «' ^ - i I - J i 1

Avec cette expression, on déduit de la formule précédente, donnant le rapport

M .

~r- , celle-ci :

«y

il H

-j-,= K — -^^ + ''^ÂK — ^)|cosZ2 — «2 c"* 2L., + «2 COS3L3 — . . .).

Première Partie. Livre I. 1 !.">

Miiiutouiint, si uous taisons lu constante X, qui est encore à notre dis-
position, égale à Aj, que nous intégrions et que nous égalions la constante
d'intégration à zéro, c'est-à-dire, la constante h à />, , notre résultat sera:

(a) 0 =^ oi., sin L., — -et';; sin 2L., -\- -ai sin 3/a_, — • • • j

i'orniule en pleine concordance avec celle (pi'on aurait pu tirer inuné'diate-
ment de l'écpiation (12) du chap. 1.

Passons au deuxième cas. Puisque maintenant a.^ est plus grand ([ue
l'unité, nous mettons:

■ ^ I -f — cos L,

«., + cos //„ 1 o..,

I + 2 a., cos L„ + ut «., 2^1
' ' - - I + — cos L., + —

'I I r , ' 7

= — I cos L.^ -\- - cos 2 7y,^

du

Avec ce déveIoi)i)enient, nous aurons, en vertu de l'expression de -7-, la
^ ^ ^ dv

suivante:

^ = ; _ A + (; _ ; ) j i — - cos L., + -,cos 2L.. —...!.

Delà, il est visible qu'on doit mettre X = A,,, afin que la fonction 0 ne
contienne que des termes périodiques.

Puis, en intégrant, nous aurons un résultat que nous écrivons, eu égard
à l'équation (12) (chap. I), de la manière suivante:

(h) â = Ik — h 4- const. sin L., A t, sin 2/^., • — ....

V / ' ' a., -* 2r4 '

Maintenant, si nous faisons la constante d'intégration égale à /Aj — 1^^,
et que nous égalions b à h^, nous aurons la fonction 0 dépourvue de tout
terme constant.

Donc, s'il s'agit de mettre l'agrégat périodique

A = «I cos(A,i' + à^) + ('n cos (/.y/' + ù^)

1 1 6 Traité des Orbites des Planètes.

sous forme d'un seul terme, uous aurons dans le premier cas:

A = «j V I + 2a,j cosivj + «2 • cosl/, f + i\ + ^^),
la fonction Û étant donnée j^ar la formule (a); et, dans le second:

A = »,\/i + ^;CosX, + 4 . cos(;..,. + l,^ + f)),

formule dans la(|uelle on doit employer le développement (b) de la fonction â
Quant au troisième cas, nous voyons immédiatement que l'expression

de y- sera indépendante de l'argument L^ et en conséquence, constante.

Nous aurons, en effet, lorsque nous égalons a.^ à l'unité:

Donc, si nous égalons / à - (Aj -|- ?,.^), b li - [b^ -{- l/.j) et la constante
d'intégration à ~{b.^ — b^), la fonction 0 disparaîtra, et nous retenons:

A = rtj v'2(i + cosivJ cos (^- (;, + X^)v +-{b, + b^

= 2«, cosiL, cosQ(;, + l,)v + Ub, + ij),

résultat qu'on peut facilement vérifier, par le calcul direct.

35. Après avoir envisagé notre problème dans les circonstances parti-
culières les plus simples, revenons au cas général. Nous allons entamer
la discussion en établissant le développement de la fonction

^ = j(i + Ar + Y'Y'-

Dans ce but, faisons d'abord l'oliservation que la fonction â'^ se met
sous les deux formes suivantes:

Première Partie. Livre I. 117

(4) if"' -^ {i + a., + a,, + . .)' — 2a.^(i — cos L.,) — 2a,(i — eus Lj — , ,

-«.«^(l f(JS(/y„ — Lj) — 2o(^c<^(i — cos(L^ — Lj) — ...

— 2«;,a,(i — cos(L^ — ij) — . . .
■ • • )

(5) ''■' - ( I — a., — a, — . . .)•-' + 2 x,( 1 + cos L._,) + 2a.Ji + eus LJ +

— '^a./J-.{i — cos {L.^ — L.J) — 2a.jO(j(i — cos(L.^ — 7^,)) — . .

— 2a.^ci^{i — cos(7v,, — LJ) — . . .

La valeur maxinia tle la fonction /y^, valeur que nous avons désiq'ué,
dans le n° 6, par ff.^, s'obtient aisément en vertu de la formule (4), Pour
y arriver, il suffit en effet de mettre, dans l'équation nommée:

L, ^ L^ ^ L^ ■=... = o,

ce (jui, si nous admettons la notation

N = a._, + c(, + . . . ,
nous donnera la valeur

La détermination de la quantité r/j, c'est-à-dire, de la valeur minima
de fP, est plus compliquée. Certes, en faisant, dans la formule (5):

L,=-L.^=L,^ ... = 7:,

TT étant la demi-circonférence, on trouvera un résultat ([ui peut être le
minimum de la fonction &''] mais ce résultat pourrait aussi constituer un
maximum relatif, les valeurs des vitesses Aj , A^ , . . . y étant appropriées.
Pour décider la nature du résultat auquel on est parvenu, c'est-à-dire si
l'on a trouvé un minimum ou un maximum relatif, il faut examiner le
signe c[ue prend la fonction

'1^ ^ ~~ -"•^^'^-^ ~ '^i)' '^*'** ^^'^ ~ ^""-'^^-^ — ^0' cos L, — . . .

— 2o(,c/.^(A^ — A,)' cos (L.^ — L.) — 2c(.,c(,(/., — Xy cos [L.^ _- Z^) _ , . ,

— 2«,a4(À, — K? c'os(L^ — LJ — . . .

118 Traité des Orbites des Planètes.

lorsqu'on y met

L,==L, = L, = ... = TT.

Si le résultat d'une telle opération était positif, ou pourrait s'arrêter à la
valeur minima de ê^, c'est-à-dire, à la quantité (j^ ; mais si, par contre, ou
trouvait un résultat négatif, la valeur obtenue de la sorte serait un maxi-
uuun relatif. Dans ce cas, il faut, pour obtenir la valeur demandée de
g^ , égaler à zéro un ou plusieurs des arguments L^ , L^ , L^ , . . . . Or,
eu opérant des manières indiquées, il peut arriver qu'on parvienne seule-
ment à une valeur minima relative. Pour obtenir la valeur minima absolue,
il faudrait donc la chercber moyennant d'autres procédés, sans doute plus
compliqués. Me réservant d'y revenir plus tard, je me borne quant à
présent à ne considérer que le cas où le minimum s'obtient, en mettant
tous les arguments égaux à tt, ce qui entraînera la valeur

Maintenant, si nous nous rappelons les expressions du n° 6, nous
parviendrons tout d'abord à l'équation

2/3 2N

I + fr i + N"
qui admet deux racines, savoir:

Nous avons supposé iV > i ; donc, pour avoir une valeur de |î, moindre
que l'unité, il faut prendre

En introduisant les valeurs trouvées de. ff^ et (j^ dans l'équation (14)
du cbaj). I, il viendra:

(6) ''^' = \^{^ + ^-i3'fv + ,r\,

oîi l'on a désigné par W une fonction oscillant entre — i et + ' > dont
il nous reste à chercber l'expression.

Première Puitie. Livre I. 119

Dans ce but, établissons la moyenne des deux expressions (4) et (5);
nous aurons de la sorte une expression nouvelle de i9^ que nous écrivons
ainsi :

//^= I +iV^+ 2iV[gcosX, +|cosL, + ...

-^[i-cos(X,-LJ]-...

2N 2j3

En comparant, après avoir remplacé — par ~, , cette expression

de (9^ avec la précédente, on conclut facilement la valeur
(7) W = j3\a.j cosi,^ + ctj cosLg + . . .

Ayant obtenu ce résultat, il sera facile, en utilisant une formule bien
connue, d'établir le développement que voici:

(S) j. = 7=^1 1 - 2,5Tr + 2I3'\2 ir - I) - 2y9=(4Tf= - 3 TF) + . . .}.

Cela étant, nous aurons, en multipliant les expressions (::) et (8), et
en introduisant le produit ainsi obtenu dans la formule (i), un résultat de
la forme

(9) Y ~ ^i — ■^ + '''o + termes périodiques,

la ([uantité À^ étant donnée au moyen de l'expression

— rxlall9\k, + l,- 2;,) - a^ctl/îU +K- 2^) " ■ •

— alall3%À, + A, — 2 ;,) — .. .

+ ■ -l^

120

Traité de? Orliitc? des Planètes

OÙ l'on n'a mis en évidence que la partie qui est engendrée par les pre-
miers termes du développement (8).

Après avoir ainsi déterminé la quantité X^, si l'on établit la coudition

(•i;

/ + K = o,

qu'on intès^re l'équation (9), et qu'on désigne la constante d'intégration par
Z*j — b -\- /v, , dont la valeur doit être égalée à zéro, la fonction 0 sera
exprimée par un agrégat périodique sans terme constant.

]\raiutenant, si l'on désigne par A l'agrégat périodique proposé, de
sorte qu'on ait:

~«i "-2

K K ■

h, lu .

^ = c

(0>

lo résultat de notre transformation sera:

(12) A = ft,*cos(/r + h •-[- 0).

Finalement, la détermination de l'argument initial h s'opère de la ma-
nière suivante.

En désignant par A^., U^ et 6^ les valeurs que prennent les fonctions
A , ê et 0 lorsqu'on _y met v égal à z.éro, nous ^aurons l'équation de con-
dition

A = ^q''^cos(A + 6^).

Ensuite, si l'on établit un nouvel agrégat, savoir:

{v)

7? = S

"1 "'2

et qu'on désigne par 7?„ la valeur de cet agrégat birsque r est égal à
zéro, on aura :

^0 -a^>%^nHl>+ âj.

Première Partie. Livre I.

121

Eu vertu des valeurs de A^ , 7?^ et â^, on parvient à déterminer Targu-
ment initial h, qui eu ett'et sera obtenu au moyen de la formule

(13)

tano-(/. + ^^J =

Le problème de déterminer la vitesse de l'argument duu terme rem-
plaçant un agrégat périodique est donc résolu, même pour le cas où aucun
des coefficients de l'agrégat dont il s'agit ne surpasse la somme des autres.

36. L'application de la théorie exposée dans les deux numéros pré-
cédents au troisième cas, énoncé dans le n° ^t,, s'opère comme nous allons
iudi(|uer.

Pour avoir la transformée de l'agrégat

I Ç I <Tj

— /' —B,

(''),

on va identifier les coefficients x , x^ , x^ , . . . avec les a, de manière que a^
soit le plus grand entre les coefficients diastématiques, le module y compris;
rt^, le plus grand après «j , et ainsi de suite. Puis, on va remplacer les
vitesses A, , À^ , . . . par les i — rr, et les arguments initiaux h^ , L„ , . . .
par les — B, en ayant soin de mettre la vitesse et l'argument initial appar-
tenant au terme avec le plus grand coefficient au lieu de A, et de b^ , et
ainsi de suite. Enfin, on calculera la valeur de ?,^ d'après la formule (10),
et celle de //, que nous désignerons par — B, d'après la formule (13).

Cela fait, si l'on met 1 — an la place de ?,, et — -, au lieu de
— B -\- d , et que l'on supj^ose que x„ soit le plus grand entre les coeffi-
cients diastématiques, il viendra:

(M)

et

(^^)

I <7 = I

'T,, + À,

p = x„ H cos (( I — a)v — ~),

formule, dans laquelle on peut encore égaler le produit /„fl à vj .

Traité des wbiks ahsolties. \{\

l'22 Traité des Orbites des Plauètes.

Mais puisqu'on a, de l'autre côté:

I — a- — - ((T„ — a) I — a — (<t,, — a) . .
— B — {B„ — B) —B — {B, — lf) ..

il s'ensuit, en comparant cette expression avec la précédente:

(^0.

(16)

)y cos (;r — B) = C

5y siu (tt — 7>) = S

B„ — B B„ — B

B,.~B B, — B

{<

(v)

Il convient d'ajouter, aux formules précédentes, celle-ci:

(17) '9-=^îh +pw

~J\W'— i) +^i3'{W'—W)

qui découle de l'équation (6).

Par les résultats que nous venons d'obtenii' — et dont la nature géné-
rale n'aurait pas été altérée si l'on avait obtenu une autre valeur de r/^
— il est manifesté que le périhélie, même dans le troisième cas, a un
mouvement moyen. La valeur en est cru, et tr est un nombre fini et réel,
généralement différent de zéro. C'est de ''même quant au mouvement
du noeud. Seulement dans des cas exceptionnels, il peut arriver que le
coefficient a soit égal à zéro, ce qui rendrait le périhélie (ou le noeud)
oscillant entre certaines limites.

Quant à la question des mouvements des périhélies et des noeuds, les
auteurs dans le domaine de la mécanique céleste se sont généralement ex-
primés avec ([uelque réserve. Seulement M. Stockwell, dans un mémoire
important sur les variations séculaires des éléments elliptiques, prétend
carrément que les périhélies (ou les noeuds) n'ont aucun mouvement moyen
dans le cas désigné dans le u° 33 comme le troisième. Cependant, en

Première Partie. Livre I. 123

examinant les nombres qu'a donné M. Stockwkli, lui môme, on par-
viendra à une opinion incompatible avec l'avis de l'auteur.'

' Par le calcul des quantités qu'où a désignées dans le chap. III par tt, et rj , on
a trouvé, en empruntant au mémoire de IM. Stockwell les formules

ces I _ _

'0.0173974 O.OI6I49I 0.0151.S23 0.0125684 0.0053002 0.0024585 0.000571)4 0.0000136'

5o''i6'25" io°i9'32" 2o"29'5i" 4S°2o'34" I5''25' o" 62°23'3i" 7°34'37" i°42'47'
.13445 2 28 S 55 19S 39 9 32915 ' S72813 1275654 105 659 675642,

(0.

où l'unité du temps, (juVm cumptc à partir de l'époque 1850.O, est di.x mille ans, les
nom bres suivants :

Epoques -, T]

—

lOÏ'

69

30'.2

0.019509

0

100

21 .7

0.016771

+

lor

136

0.9

0.011535

+

207'

190

I .0

0.00542S

+

227'

20S

44-3

0.004470

+

242'

232

46.3

0003838

+

262'

260

29 .1

0.003696

+

2S2'

2S6

3' -3

0.004072

+

ioT

307

16.7

0.004S16

+

32'/'

323

15 -3

0.005757

+

402'

364

II .6

0.009764

+

50 ï'

390

21 .5

0.0 1 2081

+

60 y

425 46 .S

0.014354

+

~oT

445

53-6

0.013058

^•

80 7'

453

19.3

0.010S55

+

S42'

451

30.4

0.010389

+

862'

449 50 -4

0.010367

+

882'

44S

5-2

0.010515

+

90 2'

446

25.1

0.010836

+

looT

446

8.8

0.014566

■+

1302'

498

12.7

0.027424

+

i5or

537 58-4

0.028590

+

1702'

570 38 .6

0.025428

+

190 2'

594

16.5

0.023194

Dans la première colonne de ce tableau, ou a désigné jiar T un intervalle de
mille ans. Or, le temjis étant compté à partir de l'an 1850, \oT , par exemple, signifie
l'épocjue 1 1850.

On conclut par les nombres signalés que la fouctiou -^ est soumise à uue variation
séculaire; il s'ensuit qu'elle renferme, nécessairement, un terme non périodi(jue, terme (jui
dans le cas actuel ne peut être autre chose qu'une constante multipliée par le temps.

124

Traité (lei< Orhites des Planètes.

Mais, bien que les périhélies et les noeuds soient généralement affectés
de mouvements moyens, ces mouvements n'apparaîtrons pas toujours dans
les arguments des divers termes entrant dans les expressions des coor-
données. En effet, dans le troisième cas, aucun argument des termes de
la fonction p ne sera isocinétique avec la longitude du périhélie, et le
mouvement de cette longitude ne figure pas non plus comme argument dans
les expressions de )y'"" et de 3y"e"''' , n étant un nombre entier quelconque.
Pour s'en convaincre, on remarquera que les formules du chap, III restent
en vigueur lorsqu'on y met a au lieu de c et en même temps, B au lieu
de /'. Que ces remplacements soient permis, cela s'entend parce qu'un
changement de c sera compensé par une modification convenable de la
fonction tt, et qu'il eu sera de même relativement à la constante /'. Ou
pourra doue mettre:

Mais puiscpi'on a, ce qui est immédiatement clair en vertu des équa-
tions (i6):

:51e ■

rie^

E

e''"E

B„

B„

B,.

('')-

("),

il sera aisé de conclure la vérité de ce que nous venons d'énoncer.

On peut ainsi, même dans le troisième cas, utiliser les formules du
chap. III, bien qu'elles semblent de prime abord dépendre d'un argument
qui disparaîtra finalement des formules.

En conservant la notation

oj ^ ç(.,; _ ,|) -I- r,

ou l'emploiera inaltérée dans le premier cas; dans le deuxième, on changera
C en fT„ et /' en B,, Dans le troisième cas finalement, on mettra o- à la
place de ç et B au lieu de F. Dans les deux premiers cas, l'argument
0) est isocinétique avec un argument se trouvant déjà dans l'expression
primitive de p, mais dans le troisième cas, aucun des arguments d'où dépend

Froinière Partie. Livre I.

12.^

la fouctiou p , n'est isoeiuétique avec lo . Donc, dans ce cas, un argument
astronomique est remplacé par un argument non-astronomique.

Cependant, on pourrait aborder le problème de trouver la relation
entre le temps et la longitude dans le plan instantané, d'une autn? manière
que celle employée dans le chap. III: on pourrait, en effet, déjà dans
l'écjuation (43) du cbap. I, supprimer la quantité ç, de sorte que le facteur
de V serait devenu égal à l'unité au lieu de i — c l^u opérant ainsi,
on obtiendrait, au lieu des formules (19) du cbap. I, les suivantes:

(j = -q cos

- = C

r II

ç a,

r B,

{V),

(■'0-

Ayant déterminé les fonctions 57 et - de la sorte, on aurait trouvé
un résultat relativement à v] identique avec celui qui découle des équations
(19) du cbap. I; mais quant à l'angle -, en le tirant des équations (i8j,
on ne le trouverait plus exprimé par un agrégat périodique, mais bien par
un tel agrégat augmenté d'un terme de nature séculaire. L'angle tt, dé-
terminé de la sorte, serait, en effet, identique avec la longitude vraie du
péribélie, longitude que nous avons désignée (p. 1 06) par tTj .

On pourrait donc penser être parvenu aux formules les plus simples,
en adoptant le système (18) avec toutes ses conséquences, mais en faisant
un examen comparatif des deux systèmes, les équations ( i 8) et les équations
(19) du cbap. I, on se convaincra que les variations des fonctions // et h,
celles-ci déterminées par les équations (19) du cbap. I, sont, dans le pre-
mier cas, et même dans le second en y cbangeant ç en cr,, , moins sensibles
que celles des dites fonctions déterminées par les écjuations (18), naguère
mises en évidence. Ainsi, en employant les formules du cbap. III, où
l'on a partout supposé les fonctions dont il est question déterminées eu
vertu des équations (19) du cbap. I, on fondera les recbercbes suivantes
sur des expressions où les quantités considérées d'abord comme constantes
dans les intégrations par parties, sont soumises aux ])lus petites variations

126 Traité des Orbites des Planètes.

possibles. C'est pour cette raisou qu'on a jugé convenable d'adopter la
forme indiquée pour les fonctions dont il s'agit.

.En ojiérant de cette manière, on réduira la fonction X, déterminée
par l'équation (13) du chap. précédent, à son minimum, mais on gagnera
encore l'avantage de rendre certaines approximations, dans ce qui va suivre,
aussi rapides que possible. Dans le troisième cas, cependant, la manière de
définir les fonctions {/ et h que nous avons mise en usage par les équations
(16), ne l'emportera pas essentiellement sur celle oit l'on a supposé ces fonc-
tions déterminées en vertu des équations (iS). On pourra néanmoins, même
dans le troisième cas, employer l'équation (43) du chap. I, en y remplaçant
ç par o- et /' par B, mais alors il ne faut pas oublier que les fonctions
7j cos {tt — B) et 7j siu {tt — B) sont déterminées au moyen des équations
(16), c'est-à-dire, par des agrégats périodiques sans terme constant.

37. Il serait de quelque intérêt d'introduire, dans l'équation (43) du
chap. I ainsi que dans l'équation (i) du chap. III, au lieu des fonctions
(/ et h leurs valeurs moyennes; on aurait ainsi une courbe périplégmatique
eu quelque sorte une courbe moyenne représentant l'infinité des spires de la
courbe effective. Cherchons à déterminer ces valeurs.

Dans ce but, examinons ce que devient la valeur moyenne d'un
agrégat périodique, en formant cette moyenne d'une infinité de valeurs
particulières

Eu considérant les inégalités

— ^ ^ f cos xdx < i, — I ^ Tsin xdx < i ,

0 0

et que la valeur moyenne de l'agrégat périodique A , entre les limites o
et ni , est donnée par l'exjjression

- fAdv,

on comprendra aisément que la valeur dont il s'agit tend à décroître au
fur et à mesure que m augmente. Il s'ensuit que la valeur moyenne
d'une infinité de valeurs particulières de A , calculées avec des valeurs
équidistautes de la variable indépendante, est égale à zéro. Il est inutile

Première Partie. I^iivre I. 127

d'ajouter qu'on a présumé l'intégrale indéterminée / Adv exprimée par un
nombre fini de termes ou bien ])ar une série uniformément convergente.

Maintenant, si nous ne considérons que les deux premiers des cas in-
diqués vers la fin du n° 33, nous concluons, en vei'tu du théorème énoncé
tout à l'heure, (jue la valeur moyenne de jy cos (tt — F) est égale à x et
celle de rj sin (- — F), égale à zéro. Dans le deuxième cas, il faut changer
X en /„ et F en B„.

La valeur moyenne de rj^, (|ue nous allons désigner par rjl, n'est pas
égale à x^ mais bien donnée au moyen de la formule

(19) yfi, = x^ + xl + xî + . . .]

cependant, puisque le module x (ou bien, dans le second cas, le coefficient
x„) est plus grand que la somme des autres coefficients diastématirpies, le
carré de / est à fortiori plus grand que la somme des carrés des autres
coefficients. Il s'ensuit que la partie prépondérante de v^^ est égale à x'',
de sorte qu'on pourra, lorsqu'il ne s'agit que d'une exactitude limitée,
mettre x''' à la place de rjl .

Cela étant, si l'on introduit, dans l'équation (43) du chap. I, au lieu
de rj\ >jcos(-— /') et îy sin (- — /'), leurs valeurs moyennes indiquées
ci-dessus, on arrivei-a h l'équation

aii—x"-)

I + X cos ((I — ç)v — f)

c'est précisément l'équation de la courl)e périplémati([ue qu'on a considérée
dans le n° 4.

Cette courbe, ayant été employée déjà par Claikaut comme une sorte
d'orbite intermédiaire de la lune, je la nommerai courbe de Clairuiit. Elle
n'approche pas, il est vrai, assez de la trajectoire de cet astre pour être
adoptée définitivement à cette fin, et en conséquence, elle ne sera pas
d'une importance particulière comme orbite intermédiaire, mais elle nous
sera toutefois utile, lorsqu'il s'agit d'évaluer, moyennant des approxi-
mations successives, la longitude d'une planète dans son plan instantané.
Eu effet, ayant calculé, pour le temps z — r^ , ' la valeur de /' d'après

' On doit s'iinagiiier la variable ^ du chapitre III iileutiliée avec z.

128 Traité des Orbites des Planètes.

les formules du 11° 4, on trouve l:i longitude demandée en vertu de l'ex-
pression

I — e

valeur avec laquelle on passera aux approximations suivantes.

Dans le troisième cas, les valeurs moyennes des fonctions jy cos (tt — B)
et 7] sin {- — B) sont, toutes les deux, égalées à zéro, vu que ces fonctions
s'expriment au moyen d'agrégats périodiques sans terme constant. Mais
avec ces résultats, la courbe de Clairaut devient tout simplement un cercle,

ce qui nous indique qu'on doit, dans le cas envisagé, égaler l'angle f à

3
(i — ç)rt ''(r— rj.

Etant ainsi arrivé à une valeur approchée de la longitude v, dont

l'erreur sera, dans les deux premiers cas, inférieure à + - , mais dans le

troisième cas n'excédera pas les limites + -, ou aura, moyennant une
approximation nouvelle, une valeur de v très approchée de sa vraie valeur.
Pour élucider la portée de cette nouvelle approximation, mettons

V = r„ + A 1;,

Vg étant la valeur préalable de v .

En introduisant, dans les équations (19) du chap. I, cette expression
de V, et en développant suivant les puissances de Ar, il en résultera:

Tj cos (-—/•)- X + C [x^ ç—a, r— 7?,] ( rj

-^'S[x«(c-^,) ç-^. /■-TJ.K-.J-...,

rj sin (-—/') = — S[;r, ç — «■,, /'— /),](('(,)

-T^'Ck(ç-^„) ç-a, /-7,',](.J + ....

Dans ces développements, qui dans le premier cas donnent immédiate-
ment les valeurs de tj et ;:, on doit remplacer x par x„, ç par <t„ et /"
par B„ pour avoir les formules applicables au second cas. Dans le troisième
cas finalement, ou déduit des équations (16) les développements que voici:

Première Partie. Livre I.

129

rj cos {tt—B)^ C;

Ç Cf (T^ ■ (T

j'—n B,—B

("o)

Ai^s

'.{ç—n) x,(^, — rr)
r— B B, — B

l'—B B, —r,

("o)

+ A':c

<[ç—<t) /,(ff, — rr)
C — (T a^ — a

/■—/)' /i, —B

('■.;

('■.)-

De ces expressions, on comprend aisément que l'erreui' qu'on commet
en négligeant d'abord lïncrément A?;, est toujours une petite quantité du
même ordre que les vitesses c , ^r, , rr.^ , . . . . En conséquence, les valeurs
des fonctions )y et r qu'on obtient de la sorte ne ditîèrent des valeurs
exactes que de quantités de l'ordre signalé.

Si l'on établit, avec les valeurs ainsi obtenues, une nouvelle courbe de
Clairaut, on en obtiendra une nouvelle valeur de y, dont l'erreur sera une
quantité du même ordre que les vitesses ç , t, , ....

Dans la troisième approximation, on se procurera une valeur approxima-
tive de la fonction X, ainsi que de nouvelles valeurs des fonctions jy et t: ^
après quoi on obtiendra l'argument Gr tellement approché de sa vraie valeur
que l'erreur commise sera une quantité du second ordre par rapport aux
vitesses ç , <t, , .... S'il était nécessaire, on pourrait renouveller les opéra-
tions indiquées, et ou arriverait finalement, par cette voie, à des valeurs de
la longitude v et des fonctions jy et -, si exactes qu'on voudra.

38. Si la valeur de l'angle v est donnée, celles des fonctions /cos(.'J — 0)
et 7sin(â — 0) s'obtiennent sans aucune difficulté. On y arrive en intro-
duisant, dans les formules (48) du chap. Il, la valeur de v. Mais il faut

Traite des orbites ahsoturs. 17

130 Traité des Orlntes des Phmètes.

toutefois se rappeler que l'énoncé se divise en trois cas distincts, selon ce
que nous venons de dire dans le n° 33.

Dans le premier cas, on emploiera les formules citées sans aucune
modification, mais dans le second cas, on y changera c en ;„, r en r„ et 9
en S„, i„ étant le plus grand des coefficients anastématiques, le module y
compris. Dans le troisième cas finalement, on cherchera d'abord, d'après
les règles du u° 35, la valeur du mouvement moyen du noeud. Avec
cette valeur, on formera de nouveaux agrégats périodiques, tout en analogie
avec les agrégats (16), et on déterminera finalement les fonctions J et i2,
dont la dernière restera alors comprise entre des limites données II ne
sera pas, cependant, nécessaire de mettre en évidence, dans notre troisième
cas, la vitesse moyenne du noeud, vu qu'elle disparaîtra finalement des for-
mules; on pouiTait, au contraire, opérer de la manière qu'on a expliquée
dans le n° 37, en établissant des équations tout à fait analogues aux équa-
tions (18). Les valem's de la fonction Q, évaluées au moyen de ces équa-
tions, augmentent hors de toute limite, et on aura, au lieu de l'équation
(29) du chap. III, celle-ci:

^9, = a.

Quant aux expressions de la longitude du noeud moyen dans les trois
cas, on maintiendra, dans le premier cas, la formule (27) du chap. III;
dans le second cas, on aura :

H^-T„{v-A) + S„,

et dans le troisième:

,V _ _ ,;(,, __ ,1) + ,9,

r) étant le moyen mouvement du noeud, si celui du mobile est égal à
l'unité, et <S', l'angle constant, déterminé de la manière qu'on a expliquée
dans le n° 35. Qu'on se rappelle qu'eu vertu des équations (35) du chap.
III les angles »9j et d sont isocinétiques, d'oii il s'ensuit qu'il en sera de
même quant aux angles ê et 0.

39. Les quantités constantes que nous avons considérées comme élé-
ments d'une orbite absolue, soit parce qu'elles sont supposées introduites
par des intégrations, soit parce qu'elles dérivent algébriquement d'éléments
d'autres orbites, sont des éléments absolus. Par cette dénomination j'entends

Première Partie. Livre I. liîl

d'ailleurs les t'iomeuts restant absolument invariables, et ([ui, en conséquence,
acquerront les mêmes valeni-s, si ou les détermine au moyen d'oljservations
faites dans un temps ou dans un autre.

Toutefois, les longitudes mojxmnes étant soumises aux variations dues
aux moyens mouvements, ne sont ])as des quantités invaria!)les. Aussi
n'avons-nous pas pris comme éléments les longitudes moyennes à des
époques quelconques; ce sont les longitudes absolues, dont nous avons fixé
la notion dans le u° Ti;^, qui sont des éléments absolues véritables, dans
le sens rigoureux du mot. Donc, tous les éléments que nous venons de
faire entrer dans les formules servant à déterminer, moyennant le calcul,
les mouv^eraents dans une orbite absolue, sont des éléments absolus.

Dans la tbéorie elliptique des planètes au contraire, les éléments sont
des quantités variables, savoir, si l'on néglige les perturbations pcriodicjues,
les valeurs des fonctions iç , tt^ , i et 0, déterminées pour une époque quel
conque, et encore, le demi grand axe de l'ellipse variable et la longitude
moyenne elliptique à l'époque. Ou comprend par là, et par ce qui précède,
que les différences eutre les éléments absolues et les éléments elliptiques
à diverses éj)oques puissent être assez considérables. Cependant, une excep-
tion existe. En effet, si Ton considère un système d'éléments elliptiques
comme étant des éléments soi-disant moyens, le moyeu mouvement doit
être identique avec le moyen mouvement em})loyé comme élément absolu,
et par conséquent, la valeur du demi grand axe doit s'approcher sensible-
ment de la valeur du protomètre. En appliquant la méthode de la variation
des constantes arbitraires, on n'a toutefois ])as réussi à mettre hors de
doute l'invariabilité de cet élément moyen ; le contraire paraît même pro-
bable. Pour plus de détails relativement à ce point, il suffit de renvoyer
le lecteur à ce que dit M. Tisserand dans son Traité de la iiiécanique
céleste, T. I, p. 402.

Déjà par les recherches de LACiRANGE et de Laplace, ou est convaincu
que les coeff'icients diastématiques et les coefficients anastématiques, les mo-
dules y compris, sont des quantités assez petites. A un pareil résultat sont
aussi parvenus, plusieurs savants postérieurs, à ne citer ([ue Le Verrier
et SxocKWEr.L. Cependant, les méthodes suivant lesquelles les coeff'icients
mentionnés ont été calculés, n'étant pas exemptes d'objections, il ne paraît
pas convenable de fonder, sur l'hypothèse que le résultat obtenu soit
aussi le résultat déHnitif, les développements des forces attirantes, dé-

132 Traité des Orbites des Plauètes.

veloppements dont nous allons nous occuper cUms les livres prochains.
Mais ce (ju'on pourra admettre sans aucune hésitation lorsqu'il s'agit des

planètes principales, c'est que les fonctions p, -j , à *-'t y^ restent, pendant

un grand nombre de révolutions, des quantités assez petites. Une telle
hypothèse est, eu effet, incontestable en vertu des données qu'on a obtenues
au moyen des observations astronomiques. A cette hypothèse, je vais
joindre une autre, aussi confirmée par les observations, savoir que les valeurs

de la fonction ~ soient très petites pendant un long intervalle du temps,
la fonction — ^ étant donnée par l'équation (i) du chap. 111.

LIVRE SECOND.

Relations entre les arguments appartenant à deux Planètes.

Les valeurs des coordonnées d'un astre, calculées en supposant qu'il
se meuve dans une orbite absolue, ne sont pas identiques avec ses coor-
données vraies. Il faut, en effet, pour en avoir les valeurs exactes, ajouter
à celles-là des corrections de l'ordre des forces troublantes, corrections qui
dépendent, an moins quant à leur plus grande partie, des configurations
des planètes. Ces corrections, étant exprimées, on peut le dire presque
sans exceptions, par des termes trigonométriques, on les nomme inégalités
périodiques ou tout simplement inégalités. On les obtient par le calcul
des attractions des diverses planètes, ce qui nous impose le problème d'ex-
primer, au moyen de formules algébriques, les forces attirantes, lorsque
nous sujjposons que l'action mutuelle des astres se fasse selon la loie new-
tonienne. Pour s'acquitter de cette tâcbe, il y a quelques préparations
à faire.

D'abord, les formules dont il s'agit faisant partie de certaines équa-
tions différentielles, il convient de leur donner une forme convenable pour
rendre les intégrations demandées les plus aisées possibles. Dans ce but, on
essayera d'exprimer, moyennant une seule variable, tous les arguments d'ovi
dépendent, dès l'origine, les expressions des forces, problème dont la résolu-
tion n'est pas difficile, mais qui amène des développements assez laborieux.

Les questions dont il s'agit se divisent cependant en deux groupes:
1° Etudes sur les relations entre des arguments diastéraaticjues appartenant
à deux planètes; 2° Recherches sur les diverses manières d'exprimer les
cosinus des multiples de l'angle entre les rayons vecteurs simultanés des
deux planètes.

134 Traité des Orbites des Piauètes.

On va traiter ces deux questions dans le livre présent, et on va y
ajouter certains systèmes de formules dont on fera usage lorsqu'il s'agit
d'exprimer les forces au moyeu de développements trigouométriques.

CHAPITRE I.
Helfttloiis entre les arijiinicnts diasténiatiques de deux pUtnètes.

40. La différence entre le temps t et la fonction C étant désignée
par T de façon qu'on ait:

t = ^+ T:

la fonction T déterminée de la sorte sera appelée réduction du teiitps et la
fonction if, temps réduit.

En désignant par C et T deux fonctions, analogues aux précédentes
et appartenant à une seconde planète, on aura:

t = C + T;
et, en égalant les deux expressions de t, on obtiendra:

c= c + r—T.

Ensuite, si l'on désigne par n et n' les moyens mouvements des deux

planètes, et que l'on mette:

)(

l'équation obtenue peut s'écrire :

(i) ti:='-{u'C' + uT) — nT.

Reprenons maintenant l'équation (10) du u° 26; introduisons-y l'ex-
pression de i/C, et désignons par (i', F', E', A', ... les quantités analogues

Première Partie. Livre II.

135

a G , F , . . . mais appartenant à la seconde planète: alors, il sera facile
d'établir l'équation que voici:

G + ;r = (i — ç) - («'C + n'T) — nT + X +

1 — ç.

ou bien la suivante:

(2) G + --/l=-^^^^(G' + 7r' — .1')

(3)

I — ç

Pour abréger Fécritui-e de nos formules, nous admettons les notations:

I I — ç

I — C .
f^ = /-* -, '

9'

U^

(4)

/il — ç

L = çr(/'- .1) - (/" - A'); L' = f^r - A') - {!' - A),

= {i-ç')\j_t{nT-X)-{n'T-X'); IV = (i _ç)["l(«'T'-X') -(„T-A')'|,

V = ç(;; — w) + L; V = ^-'{v' — w') + L',
notations qui entraînent les relations

f f ' ^ 1 ;

L = — çrL'; L' = — çr'L,

U = — çrU'; U' = — ^'TT.

Avec ces notations, l'équation (2) s'écrit de la manière suivante:

(5) G + rr — A=- f^'(G' + tt' — A') + U',

d'où l'on tire, en la multipliant par ç et en ayant égard aux relations (4):

(5') G' + -'_,!' = ^.((1 + -_,!) + U.

Des résultats obtenus, on déduit facilement quelques autres, non moins
symétriques. En effet, puisqu'on a:

G + - — .1 = G + ;r — /■ + (/'— .1)

= G + ~ — /■ + f{/" — /!') — L',

13G Traité des Orbite? des Plauètes.

et de même:

G' + -' — .1' = G' + r' — r + ç{r— A) — L,

on obtiendra, en vertu des équations (5) et (5') les suivantes:

(6) (} + - _ r = ^.'(G'+ r'— /■') + L'+ U',

(6') G'+ -'-r'=ç(a + ;r-/') + L + U.

Maintenant, si l'on se rappelle les équations (9) et (10) du u° 26 et
l'équation (25) du n° 32, on parviendra facilement aux résultats que voici:

(7) G + --r = i>-co + ((I-F),
(7') G'+ -■— r'= r'— co'+ {Q — F'),

oti il faut remplacer les quantités G — F et (t' — F' par les développements

G — F = 5i sin F + /?.,sin 2F + . , . ,

G'— F' = B[ sin F' + B!, sin 2F' + . . . ,

les B'„ étant ce que deviennent les B„ lorsqu'on y change rj en r/.

En introduisant les valeurs (7) et (7') dans les équations (6) et (6'),
on obtient:

(8) G + ;r — r = (/{v' — co' + G' — F'j + L' + U'

= V + F'(G' - F') + U',
et de même:

(8') G' + -' — r = V + ç (Ct — F) + u .

Cela étant, si l'on porte, dans l'équation (20) du n° 30, la valeur

Y = v — co — - + r,

on aura un résultat qui peut s'écrire de la manière suivante:

(9) e""<'-'"' = X;;"'(^)e^'""'^^-''' + Xr'()y)e'""+'>'«-^^-''>-"^-'' + . . .

Première Partie. Livre II. 137

OU l'on a mis en évidence la fonction cliastématiqiu; rj, qui fin-ure comme
variable indépendante dans les expressions des Xj,'"'; et, si l'on chani^-eait v
on v' . o) en co', . . . , ou trouverait le résultat analogue

(9') e""^'-> = X\:"\ri')e'"'<"'+^^'''> + ....

Finalement, en remplaçant les angles G -\- tv — F et G' + ~' — J^'
par leurs valeurs données au moyen des formules (8) et (8'), on arrivera
aux relations cherchées entre les angles v — w et v' — co' .

4 1 . Avant d'effectuer les substitutions indiquées, il convient de cher-
cher de nouvelles relations entre le.s arguments dont il s'agit. D'abord,
admettons la notation

(10) H = F' — G' — ^-(F — G),
eu sorte que nous ayons:

H = ^jBj sinF + B., sin 2F + . . . j

— B[ sin F' — B; siu 2F' — ....

La fonction H, s'écrivaut, par la définition, ainsi:

H = çr(G + ;r) - (G' + -') - ^^(F + rr) + F' + tt',
on obtient, eu vertu de la relation

G + ;r = f{a' + r) + A — f-'.l' + U',
qui découle immédiatement de l'équation (5), le résultat

(11) H = - çr(F + -) + F' + -' + ç.^l - .1' - IT.
Ensuite, si l'on admet encore la notation

(10') H' = F — G — <r'{F' — G'),

on parviendra de même à l'expression

(II') H' = - ^'(F + r') + F + r + ^'/l' - A - IV.

Evidemment, les fonctions H et H' sont liées entn^ elles par les relations

(12) H = — ^H'; H' = — ^-'H.

Traité des orbites absolues. |3

138 Traité des Orbites des Planètes.

Les relations entre les arguments diastématiqnes que nous venons
d'établir au moyen des équations (ii) et (ii'), nous rendront des services
importants dans la suite. Nous les employerons, cependant, sous une forme,
un peu différente. Pour y parvenir considérons les valeurs

F + ^ — /l = (i — C)(v — /l); F' + ;r' — .1' = (i — ^){v' — .4'),

qui découlent immédiatement de l'équation (25) du n° 32; en les in-
troduisant dans les équations (11) et (11')' nous arriverons aux résultats

(13) ,/_.4'=.;,(,_,|)+l^,

(13) ^' — -'1 = - ('' — •' ) + ~rir^ •

On a ainsi obtenu des relations très simples entre les longitudes simul-
tanées de deux planètes. Maintenant, pour obtenir de pareilles relations
entre les longitudes m et o/ des périhélies moyens, il ne faut que se
rappeler les formules

ç(^v — A) = oj — r\ <^{tf — A') = w' — r ;

en multipliant l'équation (13) par ç' et, l'équation (13') par ç, on obtient
alors :

(14) co'-r=i,^^{co-r) + ,'^^,,

(14') œ-r^'-'-ico'-n + ç"^-^.

Ici, on peut encore remarquer les relations

v'—(d'— A' + r= Jv — A — ^(w — jT) ) + H + U,

v — (o — A + r = ~(v'— .4'— ^ (a,'— r)) + H' + U'
A< \ ç -

et aussi les suivantes

v'— co'— A' + T' = /i(i — ^')(v _ .1) + H + U,
,) — r,j — ./| + 7' = ' (i — ç)(^/ — .1') + H' + U',

a
qui remplacent, toutes les quatres, les équations (11) et (11').

l'ieniièrc Partie. Livre II. 139

Au moyen des rehitioiis signalées, ou parvient ii exprimer les argu-
ments V et V par les formules

(15) V = ?/ — w' — H — U; Y' = V — io — H' — U'.

On voit, puisque les fonctions H , U , H' et U' sont e.\priniées au moyen
d'agrégats périodiques, que l'argument V est isocinétique avec l'argument
diastématique de la seconde planète, tandis que V est isocinétique avec
celui de la première.

Par des procédés, eiitièrement analogues avec ceu.\ par lesquels nous
.sommes parvenus aux équations (14) et (14'), nous obtenons aussi les re-
lations suivantes entre les fonctions h et //':

(16) ,r— 0'=/i^(,9 — 0) — r'^^M',

r I — ç

(16') ,9 _ 0 = 1 5, (*' — 0') — r ^L±^ .

42. Kevenons maintenant au développement (9), et introduisons-y la
valeur de l'angle Ct + ïï- — F selon l'équation (8). De la sorte, nous
aurons immédiatement:

(17) e'-mc--) _ x<;"(yy)e'"'l^'+^'(«'-^''+'-''J

I _x(™Y^^g'■f""+l)[v■-^^-■cG■-^■)+^r]-,■(;T-^)

et de même:

+ ....

Or, en se rappelant le développement (17) du chap. III, et en y
mettant, au lieu de X, les valeurs m(f', (h; + ^)f' ■ ■ ■ > il ^^'^'^ facile d'ex-
primer les fonctions e"'""~"" et e""i"-'"> au moyen de termes trigonométriques
dépendant, dans le premier cas, des arguments v' — co' et V, et dans l'autre,
des arguments v — co et V.

140 Traité des Orbites des Plauètes.

Dans ce but, admettous les notations
(i8) /7,„,„H-;. = -'^T'('?')e''"'+'*'''"'''"'''*''^'"''"',

ce qui nous permet d'écrire:

(ig) e""(-'"» = //,;,, „e""(^+^-> + /7;,,,„,,e'<"'^"'^'+^"' + ■ • •

+ //:,,„_ie'""-"*'"+'"' + . . . ,

(19') e""*"'-"' = //„,,„e""*^+^^' + . . . .

Posons ensuite:

(20) 2-:'''"+''(5y , r/) = X|:'"(5y) ro™+/--'i(^')e--(-'-^/")-.>(-/'i^
(20') v^'""+"(^' , ri) = X;"{yj') in,-,.+;.„(^),-,.c.-/V.M.'-/''.^

et maintenant, les fonctions //,„,„_,.„ et //,',, ,„+,i s'exprimeront au moyen des
formules

(21) //„,„„,, = v;'-'"+"(^'> y]) + i';""""'"(>7', r;)e'"-'"' + 2'.;"""+'"(>?', >7)e«"-"" + ...

+ 2'T+'"(V' ri)e-"-"' + l'fîf +"(>?'- ^)e-^""-'"' + .-,

(21') //:,,„+,=- 2'r'"+"(>?, ^')+ ^'r'"""('7> 'y')^"""'"* + • • ■ •

Ayant c'gard aux formules (ig) et (21) du chap... III, on parviendra
finalement aux expressions suivantes donnant les fonctions 2':

(22, a) 2':"'"'+"(;y , //) = (— i)v— (—'■■)-/"(-'•)

= (— i)'V/:y"e-"''^'-'"'-'""'"-'''

Première Partie. Livre II. 141

xiç:'-"£i"'"'*'^— e:'^''^^"'-"'^''^'— ç:''-"£iïr'^'')y"

I

. . .,,

(2 2 , c) 2':!;'+''(5y , 3y') = (— I yrf ^-g-c- -'■■)-/-(.-/■)

I

. . .,,

T^ V + 'l ^' V ^ V + S ^y-¥-l V 7

(2 2',a) rr'^i, y]) = (— ,)'v/."^'^e-"'<-n-.i(.-/-.

A jÇ,, -„ Ç,t + 2-^ 5? V -v + o 7

T '»;i + 4^y 7 T^ S,,..|-2-»4-2 7 7 ^^ ''," -" + 4 7

-■■!,

(22',b) rr"''[i, >?) = (— i)v/"5y"e-"<'^-'''+'"*'^'-'">

A IÇ,,. -V <r/< + 2 «w 7 V "-"+2 7

I i:"',-«c("'-/'H'.''y,'4 1 £'».-/< <r('"-/')v,"y'2^2 1 £«,-/■ ^(m-.r-.V.i' 4

I

. . .|,

(2 2',c) 2'!'f + "(r/, 5y) - (— i)V/";y'e"'<^-'''-'"<'^'-'"'

142 Traité des Orbites des Planète?:

(22', d) ri-r-"{ri', rj) = (— ,)"^'/v/e"'*'-^-''>+'"''^-^''

1 £'«,-/' c.('»-"V,-v -4 I e«i,-;/. (m- //.H-,-v^2 2
i^C,,+4 -V 7 T^ ''," + 2 £v + 2 V V

I

. . .) .

En vertu des tnuisformatioiis indiquées, on est parvenu à exprimer
les fonctions cosy»((; — lo) et sin iii{v — w) pur les arguments V et v' — w',
ainsi que les fonctions cos «*(;'' — lo') et sin;»(i'' — co') par les arguments V
et V — (w, sauf les arguments d'où dépendent les fonctions jye'*'^ " et
'g!(--/) Qg 1^^^^ atteint, on pourrait s'en contenter. A certains égards
toutefois, il pourrait être utile d'avoir mis en évidence les développements
(19) et (19'), en y supposant des valeurs négatives de m, ce qui revient à
avoir formé les coefficients des développements

(19") e-""^-«" = //l„,,_,„e-'""^"+^» + /7:„,,_,„_ie-'"''+'><^'+^^'' + . . .

+ /r „,,_,„+, e-'""""'''^''+^^''+ . . .,

(19'") e-""i"-'"') = //_,„^_,„e-''"'^'+^'' +

Evidemment, si l'on admet:

(21") //_„„_„,,,„ = 2'„-"'-"'^'"(^', rj) + :L'r"'-"'+"(r/, r/)c'"'-"^ + • • •

(21'") //:„„-„,+, = 2V"-"'+"(>7, y) + ...,

les fonctions V"'"'^'"'^'' seront données moyennant les formules

2'r"''^"'+"(5J , //) = X\r"'\rj)Y':-"'"'^'''\rj')e-""''-'~'-'''''-'\

En considérant toutefois les relations

Première Partie. Livre TI. 143

on mettra immédiatement les formules précédentes sous les formes

(20") 2'7"''-"'+"(:y , rj') = X''!:l{rj) F[i':'-">^-''(,y')e~"*"-'"'-'"<-^-'\

(20'") I7"'' -'"+■■' {r/, ri) = X'"ll{y)') r(,.--H-)(^)e-''(-''>-/"(-"'-),

d'où l'on tire, eu les comparant avec les formules (20) et (20'), les rela-
tfons suivantes

(23) 2';'"-"'+"(>; , rf)e'^^'n^:n^.-n _ v™'J"-''(^ , y^'y-^M-n~p.K.^r,^

(23') 2'r"''--"'+"(57', ^)e""'^-'''+'''('^-'"> = 2"::;'-"(5y', ^)e-"'<-^'''-'"<'^'^'">.

Il [laraît inutile de mettre en évidence la continuation des équations (22),
en attril)uant des valeurs négatives à l'indice m.

43. Dans le courant du calcul, il peut se montrer, la nécessité de
convertir un développement suivant les multiples des arguments ?'', V et
ft)' en un autre, dépendant des arguments v , V et co . Voici la manière
d'opérer les transformations y relatives.

Prenons pour point de départ l'équation

(24)

,i«v-(«-i'')^'«(r--o:)

0. étant un nombre quelconque.

En désignant par k le produit a.^ ^ et en développant les deux facteurs,
dont est composé le second membre de l'équation précédente, nous aurons:

+ x^XV)e-'" + X'^l(>7')e-"" +

Le premier des facteurs mis en évidence s'écrit ainsi :
et le second, en vertu de l'équation (8'), de la manière suivante:

144

Traité des Orbites des Planètes.

donc, en développant les exponentielles dépendant de la différence G — F,
nous aurons pour l'expression du facteur dont il s'agit:

+ X'-\{ri)é

(;r-/")-nV + I')

+ ....
Maintenant, si nous écrivons:

(25) e*"" = E„ + ^.^■<^'+'^' + E.,r'*^-+^'> + . . .

+ E_,e-'-*^'+'^' + _Ë;_,e-^'*^'+^'' + . . . ,
et que nous admettions le développement

(26) E, = 7)|r'(r/, ^) + I)f{rj', ^)e""-'"' + J)r(:y', r;)r'<"-'"^ + . . .

+ I)%[rj', r;)e--"'-'"' + inir^', rj)e-'"^'-^ + . . . ,

s et r étant des nombres entiers, les fonctions /)'!'' seront exprimées au
moyen de la formule

(2:

X{lT{rj)lT'\rj) + r/>(^)r/I>(r;) + . . .

Il nous reste encore à exprimer, par un développement suivant les
puissances de 3^^ et de :y''\ le coefficient de l'exponentielle imaginaire qui
entre dans la formule précédente. Si, à cette fin, nous nous rappelons les
équations (19) et (21) du chap. TTI du livre précédent, et que nous ad-
mettions les notations

;8)

Preniii're Purtic. lAxrc II.

1=0

yUA.„^sv',r-n , ^>..„ ^sv',.-»l

, = .1'"" "'■ + •--" "^ -«+2-r-« 1

y I /..M sip,r-,i I A )i ei.',r-7, . X.i, sv.r^nl

nous parvenons à exprimer la fonction /) an moyen de la formule suivante

(29) Df{yj', rj) = (- i)V/^^-e-'X.-r)-n(.-/')

X [e^'-e,,, - ee,..,)^^ — ei^^e^o^'^ + ...].

Ainsi, on a établi le développement de la fonction e'"'^ suivant les
multiples de V et de v — co , mais ou parvient à ce même résultat d'une
autre voie, que je vais indiquer rapidement.

En partant de l'équation (24), ou écrira immédiatement celle ci:

e'«" = j lT{rj) + ïT{ri)e"' + l?>(^)e^"- + . . .

X}ir('^')+ir('?')^^''-^"'"'-"'-'"''+---

et si l'on y introduit les valeurs des différents e""*"-'"' selon l'équation (19'),
on tombera sur l'expression suivante de la fonction E^ :

+ r<!i(V)c-"^-'''//„ + Y^\{y;')c '•''^•"'11,, + ...]■

TiaUô dca orhifr.'i al/solucf:. \[)

146 Traité des Orbites des Planètes.

seulement, si l'entier s est égal à zéro, on doit emplo3'er la formule que
voici:

+ Y%y^)e-'^ + .|

Ensuite, si Ion porte, dans les formules obtenues, les expressions des
divers n,,,^, tii'ées de la formule générale (21), qu'on effectue les multi-
plications indiquées et qu'où rassemble finalement tous les termes multipliés
par e''*''~'"*, on parviendra à l'expression de la fonction D'-^'[r/, tj) qui suit:

Bf{i, rj) =

+ ir(r/)r-=-^(^', ^)e^'<^'-^'+ mXr/)SrW, ^)e-^'<^-^''
+ . . . + . . .

+ ... + •••

+ Y^^\r/)Ezr{vi\ r;)e''<-^'^+Y^^,{vi')rj,{yj', vf)(r''^^-^'>
+ ... + . ..

+ ... + ...

+ ....

Dans le cas où l'on a s égal à zéro, il faut encore ajouter à l'ex-
pression précédente le terme

YfXrj)Y\;^iyj')e-^'^'^-^K

e-rn^-n yo-^y^)

+ e-*'-'"<'^-'''If_li(r;;

+ e-<^+'""^-'''lT^^,(ry)

_^^.,r-vK.-nY['l,{rj)

Première Partie. Livre II.

147

Finalement, pour que ressorte tout le facteur exponentiel, on va rem-
placer les fonctions 2' par les expressions qu'on a obtenues en vertu de
l'équation (20'); on trouvra de la sorte le résultat

(30) 7)<'>(ry', rj) = e-n(._r,_s,(.-r)

! + iT>,(^)r^v('7)+...|

+ ... + ...

auquel s'ajoute, dans le cas de s = o, la partie

X

X

50, a)

3-ir(--i'i -l'(A)

'lT{ri)ir{rf]

Je ne tiens pas nécessaire de développer algébriquement la formule
(30), vu que les développements numériques de son deuxième et de son
troisième facteur s'obtiennent très aisément, l'un suivant les puissances de
yj'^ et l'autre suivant celles de fj'"'. Les expressions de ces facteurs établies,
on parviendra immédiatement à la forme de l'équation (29).

En changeant rj en rf , yj' en jy et ^ eu <f', et en désignant par X le
produit a^' , on écrira immédiatement les équations

(25') e'"»' = E'„ + E;e«^'+^''' + £>^'*^"+^''' + . . .

+ i;i,e-"^"+^" + £126"^"^'+''' + . . . ,

K = m'ir] , r/) + BTirj , r/)e'-'-^ + A" (r; , r/)e^-'-'"' + . . .

+ //I\(, , r/)6-'^"-"" + iniri , )5')e"''<' -'"' + . . . ,

X llTXy) ir-'('7') + iViV) n!!,'(>7) + . . .

+ r^^(y)r<-?(^) + ...},

l)arfaitemeut analogues aux é(juatious (25), (26) et (27).

(26')

(27')

1 tS Traité (k'S Orbites des Planètes.

44. Après avoir établi les résultats du numéro précédent, il sera
très facile d'opérer la conversion y énoncée. En effet, si l'on désigne par
p et (i deux nombres réels, positifs ou négatifs, il s'agit de trouver le
développement, suivant les multiples des arguments V et iv — <y), de
la fonction

,_,piCV'+UH7i(e'-u<')

OU réciproquement, celui de la fonction

gP/(V+U)+î;(»-™)

suivant les multiples de V et de (v' — a»'). Ces deux conversions étant
tout-à-fait semblables, nous ne nous occuperons cjue de la seconde.

Quant au second facteur de l'expression dont il s'agit, on parvient
immédiatement à son développement en vertu de l'équation (19); celui du
premier facteur, (pion peut mettre sous la forme

s'obtient en utilisant l'équation (25'). On conclut ainsi, en admettant la
formule

(31) e'"'^+"'+'"<"-°" = P;,„e'"'^"+^"» + p;,,,_,,ef"+'«'''^^'' + . . .

l'expression suivante des fonctions P,',,^^^, A" étant un entier positif ou négatif:

(32) i\,,,, = e'"<"'-"' je;//;, + £;._, //;,^, + f:;., //;„+, + . . .

+ -e;- H //;,,-, + j?u./7;,-.3+ ■■]■

Ensuite, si l'on introduit, dans la formule indic|uée, les expressions
des fonctions E' et //' selon les équations (26') et (21'), et que l'on suppose:

l'reiiiii''iv l'artie. Livre II. 1 l'.t

k's f()nctit)ns S'/'*, / c'tant un nouvel entier, seront données iiu moyen de
la lorraule

(34) ^V'iri , r/) =

l>r irj,ri')}:r' {ri,i)+inU{ri,ri')r"î[ (ry,r/) + 7/,V, (r;,r/)2'- (^,V) + ...

+ Dfs:Xrj , r/)ir'\yi - V') + Dt-^\^ , i)^V"^'iri , r/) + . . ,

+ Z)<iV\>7,r/)2r-\r,,r/) + Z)l!t;'(,y,y)2r'->(,7,r/) + ...

+ Dr-\ri , ri)^V"'(ri , r/) + J>\^-.'\y] , r/)i:"^+\rj , r/) + Df^'{ri , r/)i"-/^(^ , r/) + ■ • .

+ D\^-^\rj , r/)lV'\y] ,r/) + /)f J:/>(, , y]')^-"^'\rj ,r/) + ...
+ ....

Pour mettre en évidence le facteur exponentiel, on devra introduire,
dans la formule précédente, les valeurs des fonctions I){rj , yj') et 1'{yj , yj),
telles qu'on les obtient en vertu des équations (27') et (20), en y mettant
des valeurs spéciales au lieu des indices r , s , m ,11 et v . On parvient
ainsi à un résultat de la forme générale

(35) S?''(^ , rf) = (- xYrj'r^^'-^^-'^^-''^^-'''R^}{ri , rf),

Ii{rj , Yj') étant un développement suivant les puissances ascendantes de tj'
et de jy'^. Je ne juge pas, toutefois, nécessaire de chercher les coefficients
de ces développements, en les représentant au moyen des formules géné-
rales, vu qu'on les ol)tiont assez aisément par des procédés purement numé-
riques, tandis que leurs expressions algébriques seraient très compliquées.
Par des considérations tout à fait semblables aux précédentes, ou bien,
en changeant tj en rf , rf eu yj , etc., dans les formules (31) — (35), on
obtient les expressions suivantes que je mets eu évidence, seulement pour
fixer les notations à employer:

150 Traité des Orbites des Planètes.

(31') g„i(V+ir,+,«.'-,./, ^ p^,^,^e^'(v + r) ^ P„,„ + ,e" + '«^'+''^ + . . .

(33') ^.„+.- = ev^'^-'"{^l'\i, ri),+ ^fii, ^)e'"-"'> + . . .

(35') s-^X'y'. rj) = (- i)^-,'v*-^-"*'^''^'-"''-''''^l^î(V> ^)- .

45. Je vais aborder un dernier problème appartenant aux matières
du chapitre présent, savoir le développement de l'exponentielle

suivant les arguments G + tt — -T et (i' + ;r' — F'

On parvient assez facilement à la résolution de ce problème en consi-
dérant les relations

V + U = î/ — w' — H ,

v' — io' = (y -\- tt' — r + F' — G',

-H = ^^(F-G)-(F'-G').
En effet, la somme de ces égalités donne tout d'abord:

V + U = CV + tt' — T' + ^^(F — G),
d'oii l'on conclut ensuite:

(36) e-'*^'+^'> = e"""-+''-^"'{Xr"()y) + zr^'>(îy)e-"^-^'+'<«+'^-^' +'. . .

+ Z^f (5y)e'--^>-''°+'^-^> + . . -î,

ce qui est, évidemment, le développement cherché.
On trouve également la formule analogue

(36') e'»'('+u') ^ e"'««+^^^' [Xr^'''('7') + Xr''(3y')e-'"^"'''+"-'+-- ''"' + ■ • •

+ X-f(^')e'<'^-^''-««+^-^> +...};

et en vertu des expressions signalées on déduii'a, eu égard aux équations

Première Partie. Livre IL 151

(9) et (9'), les développements des fonctions ç'C^^v+u) +„(«-<«)) ^^ g,(m(V'+ii)+«(f
suivant les arguments G + r — F- et G' -f- "' — ^'
Finalement, je mentionnerai l'expression

(37) .--" = \X^i\yj) + X«'(:7)e-'--^'+'<«+^-^' + . . .

+ X!^l(3y)e'<^-"-«^'+'^-^' + . . .j
X ÎA'î;"()?') + x<!^,(^')e-'"^'-'^''+"''+^"'"' + • ■ •

qui dérive, immédiatement, de la définition, et où l'on a placé X au lieu
du produit a<f - On en tire, en remplaçant a par a(f' , et en désignant le
nouveau produit a(p' par X' :

(38) e"'» = {X;r'(r;) + Ar(o2)e-<'^-^>+'"^'+^-^' + • • •

+ x-l(^)e— ^-<"+^-^' + . . .}

développement qu'on pourrait d'ailleurs trouver en changeant, dans l'équa-
tion (37), a en — a, r; en rf , (p en <f', etc.

46. La dérivée de la fonction H par rajjport à une des variables
V ou v' s'exprime d'une manière remarquable qui mérite d'être mentionnée.
Pour y parvenir, rappelons-nous les relations

G + - = (i — ç)(«C + X) + /l ; F + ;: = v — z[v — A\

d'où il vient:

G __ F = (i — ç)K— ^' + X + A).

Avec cette expression et l'expression analogue de G' — F', on déduit
la valeur suivante de la fonction H:

H = ^^(i — c)(«C— t; + X + .1) — (i — ç-X^'C — V -f X' + /!'),

d'où l'on tire par différentiation

ilW , ,dv rudC , dX\ , ,./y'dC , dX'\

,^„'- v-v — v,^„ i ,;„ '^jW V s;^^^^^. -Trf^-y

152 Traité des Orbites des Planètes.

Le rapport --- , qu'il faut remplacer par son expression eu termes connus,
s'obtient de l'équation {13')- On en tire, en effet:

(39) j7 — - + I _ ç [d^- + dv'

I f ' idR (l\J

fi I — ç \dv dv'

et si l'on porte cette valeur clans l'équation précédente, on ol)tiendra, en
considérant' la valeur

y(i-c) ^ I — c',

M
réc|uation que voici:

dv " ^^ ''Hdv ^ ' dv \ dv' ' "^ rft;' /

^ "*"■ dv) [dv' "^ (?i7/ ■

ndC , , (ZX\ /cm , d\]\
Ï7

Mais en vertu des notations qu'on a employées dans les u"'' 25 et 26,
ou aura, en écrivant:

p ^= yj cosF; p' = r/ cosF',

les valeurs

w(^C_ (' — rj''f- . ii-'dC (i— '?T

Hv ~ (I +"pj^ ' dv' ~^ ( I + p'y '

En les introduisant dans l'éc^uation précédente, on parvient au résultat

I dR <p dH'

(40)

I — ç' dv I — ç' dxi

(i+^.r (i+^y-1- dv

du(niel on tire.', sans ijeine, l'expression de -r-- «u bien celle de -■-, . Eu
' ^ d,v du

Pirinii'ip Piirtic. Livre If. 153

négligeant les ternies drpendant des fonctions X , X' et U , ainsi que le
dv

produit de y-r par c', termes qui réellement sont peu considérables, on

retient:

On aura de incine:

dv II. du \\l — fj^l \^ + fi

Ces deux équations pourront, dans certaines occasions, être assez utiles.

Traitt' des orbites absolues. 20

154 Traité des Orbites des Planètes.

CHAPITRE II.

Exjn'essions se rapportant à l'angle entre les rayons veetears
de deux planètes,

47. L'angle que forment les rayons vecteurs simultanés de deux
planètes s'exprime d'abord par les coordonnées rectangulaires de ces astres,
ces coordonnées ayant la même origine que les coordonnées polaires. En
effet, soient x , y , s les coordonnées rectangulaires, rapportées à des axes
fixes dans l'espace, et r le rayon vecteur d'une planète; x', y', z' et r', les
coordonnées rectangulaires et le rayon vecteur d'une autre; soit enfin H
l'angle compris entre r et r' , le cosinus de cet angle sera alors donné par
la formule

„ XX + y;i + zz'

(1) cos Ji = -. .

En utilisant toujours les notations du n° 19, et eu désignant par /'
et h' la longitude et la latitude de la seconde planète, ainsi que par ]' le
sinus de la latitude, l'expression signalée prend la forme

(2) cos H = cos h cos h' cos / cos l' + cos h cos h' .sin î .sin l' + 33'.

Maintenant, si l'on reprend les équations (33) du n° 32, ainsi que
l'équation (49) du n° 23, et qu'on établisse de pareilles équations se rap-
portant à la seconde planète, eu désignant par v', f, F, etc. les quantités
y relatives, on jiarviendra, après la substitution, dans l'écpiation (2), des
valeurs mentionnées, à un résultat de la forme

(3) cos H = cos(v — v') + 11,
où l'on a supposé:

(4) h = i.„ + h, ((,'■)) + !,;((:')) + h,n:}){{:%

l'iemi('i(' Piiilie. Livre II. 155

les coefficients liu , bj , h[ et b„ étant donnés par les formules que voici:

(5 , a) h^ = _ i ( , + f) /'^[cos (v - V') - cos (v + v' - 2 (,9, - 6'))]

— - ( 1 + f ) /'-[cos (v — v') — cos (v + v' — 2 {,% — G'))]

+ ^ //'[cos(v — v' — (<9, — ,</) + G — G')

_ a,s (v + v' — (,9, + >'/') + G + G')]

+ ^, (l +f)(t +r)/'^"î''"S(v-v') -COS(v+v'-2(,7,-r,'))

— C0S(V + V'— 2(/>;— 6"))

f COS (v- v'- 2(,9, -fl'-G + G%
(5, b) b^ = 1 ( 1 + fj / sin (v — v') sin (v — ,9, + G)

-^(i+fX. +f')n"[^i"(v-v')

— sin (v + v' — 2(fl\ — G'))] sin (v — *, + G),

(5, f) 1,; = — ; (i + i')T sin (v — v') sin (v' — n[ + G')

-f ^(i +fXi +f')i'/'[sin(v-v')

+ sin (v + v' — 2{f)^ — (V))] sin (v' — tt[ + G'),

(5 , d) 11, = J ( I + f)( I + f'j //' cos (v — v') sin {^ n^ + (/) sin (v'— ,% + (/').

Avec l'expression de li,, que nous venons de signaler, on déduit les
suivantes :

(6,a) h;^= ^[(i +f)V' + (i +f')/" + (4 + (> +i')(i +f'))r/-

-i(. + f)(i + î')^^'{i,^ + {)/■*' + (1 -f l'VOl
-j7/'|2(.+f)r + 3(i+f)Z''^

- ^ ( I + f)( i + f) /•^/'•^! ^'os (,9, - r; - (,v; - G'])

(_'t*tte funiitile se roiitimie i\ la pngf suivante

15G Traité des Orliites des Planètes.

+ ^ (i + f)(i + i')Pl" cos 2[ft^ — G — [H\ — G'))

+ ~j((i +!■)/•-' + (i + n/'T

— J ( I + f)( I + £') -^ '^' '(( I + t') -f ■"' + ( ■ + i' V' ■-'] I cos 2 (v — V')

+ -^(1 +ffi^(l_J(l +f')/'^)coS2(v-l-v'-2(^^--(:;))
+ ^(l +f'j--7"(l— -^(l +f)7^)co8 2(v + v'— 2(d; — G"))

(i +f)-7' + (4 + (i +f)(i +f'))ri"-'

+ (i+f)(i+f')/'-7-(i-^(i+f')Z''^-^(i-ff)r)]cus2(v-d; + f^')
-^(i +fXi +fri7''jcos2(v'-*; + ^')

+ ^^r7''^j8 + (i + f)(i + f)((i + f)i'-' + (i + f')/'=)!cos 2(v-v'-(,!/^-6') + *;- G)

+ ^ /7'-^]8 + (i +fj(i +f)(4-(i +i-)r+(,i +f')/'2)jco«2(v+v'-(/y -6V(*;-t?'))

— (i + f)(i + f)r-7''^|cos(2(v — V') — (*, — G) + *; — fr')

+ ^//'l2(i+r)r+4(i+f')^"^

— (i +fj(i +f')r7'>m(2v— (,9, — (/)-(,9;-ro)

— ( I + f)(i + f) 77' = I cos (2v' — (//^ — G) - (/y; — G'))

Celte foniuile se cuntimie ;1 l;i p^ife siiivanle.

l'i'i'iiiiore Partie. Livre II. li'il

— ^(i + iy\i + f) ri" C...S 2(v — 2(,'/, — a) + *; — g')
-^(i + i-)(i + f')'^r/"cos2(v' + ,v, - a- 2(fj[~ a'))

+ -J (i + f)7^/'co.s(2v — 3(/y, — G) + /y; — G')

+ J (i + f')^^"^*''n-v' + 'V, — G' — 3(//; — G'))

-^(i + i')/^7'|4 — (i + f')/'>os(2(v + V') — 3(^ - r,') - (//; - G'))

-^(i + r)//' = i4 — (i + f)/>-o.s(2(v + V) - {<\ — G) — 3('V; - G')),

(6,1)) /,^^-_-^{3/'-'+ 29Z'i'--'+ 29r/" + 32">-os(v-v')

+ 1^ //' 1 3 /' + 1 orr '+3i"\ cos (v — V' — (*, — f?) + (,'/; - r/'»

— ;^ 7'V'=(/^ + /'•-') cos (v — V' — 2(//, — G) + 2{,v; — G'))

— ^^ Pl\P + I") co.s (v — v' -h 2(//, — 6^) — 2(//; — G'))

+^7/'J3r + 8ri'^' + 3i"|cos(v — v' + *, — (^ — (,v; — r;^'))

+ ^ ri" cos(v — v' — 3(''A — 6') + 3(,V; — G'))

— 1^ 7/'|3/'+ I 1 7'-'7'-' + 3/"j (.os(v + V' — (//^— G) — (fl\ — G'])

+ :4r(3/' + 2Sr7'^ + i67") cos(v + V

256

G))

+ ±-J\i(,t + 287'7''-' + 3/") cos(v + V — 2[fl{ — G"))
+ ^ 7'7'= cos(v + v' — 4(//, — G) + 2 (/y; — 6"))
+ l^^ PI" cos(v + v' + 2(//, —G) — 4(>'/[ — G)')

— ^^PI'\:,P + 47-^1 co.s(v + V' — 3(,9, — G) + (,'/[ — G'))

— ^^ir-'\4p + 3'^"le"^ (v + v' + (//^ — c;) — 3(,v; — c?))

-^{7" + 3/'/"' + ^l'I" + 7"=}cos3(v- V')

158 Traité des Orbites de.s Planètes.

+ ^ 77' I /' + 2 ri" + 1"! oos (3(v — V') - (*, — G] + >% — G')

— è ^'^"(^' + ^") "^"-'^oiy — V) — 2{f/^ — G) + 2(f}[ — G'))
+ ~ rr cos (3(v — V') — 3(,!/, — G) + Si,-/; — G'))

+ ^J\P + 2Pr + 7") cos(v - 3v' + 2(,\ - G'))

+ ^7''-'(i3 7' + ^oPr + 1") co.(v - 3v' + 2{d\ - G'))

— -^77137' + 47=7'^ + 7"|cos(v - 3V + '^ — G + ,v; — 6")

+ l^ ri" cos(v — 3v' — 2(,9, — G) + 4(ff[ — G-))

— 1^ 77'^|37' + 7'^î cos(v — 3v' — (fl, — G) + 3(*; - G'))
+ ^,7'=(7^ + 27=7" + 7") cos(3v - v' - 2(,9; - G'))

+ ^,P{P + io7^7"^ + 137") co.(3v - V' - 2(,'/^ - G))

— -^ 77' 1 7 ' + 4 PI' -' + I"\ cos (3 V - V' - (//, - (.') ^ (,'/; ^- G'))
+ 1^ 7'7'= cos(3v — v' — 4(*, — (0 + 2(/y; — G'))

— ^^7-V'{7' + 3^''j «)s(3v — V' — 3(,9^ — (r') + fi[ - G')

— ^,I'(P + 7'^) cos(v + 3v' — 4(''/, - G))

-^7'X9/^ + ^") ^•<^'«^' + 3v' - 4(*; - ^'))

+ -J- 7'V'(3Z= + 2 7'=) cos(v + 3v' - Sl'*^: - f?) - {>'/[ - G'))

+ ^ U" c(;)s(v + 3v' + /'/, — r/ — 5(*; — G'))

— -Lpi'\jP + 3 7'^j cos(v + 3v' — 2(,'y, — G) — 2{f>[ — G'))
+ ^ 77'-''|47= + 7''^| cu,s(v + 3v' — (//, — (/) - 3(A/; — G'))

— ^6^V' + 9/") cos(3v + V' — 4('^ — G))

Preniic'ie Partie. Livre IL 159

3 7-(r + /'-^)eo.s(3v + v'-4W-f?'))

3

256

+ Û ^'^' cos (3v + V — 5(*, — (5) + //; — G')

+ à^^'V-^' + 3^'') cos(3v + V' - (,9, - G) - 3(//; - G'))

— -^^I'l"i3l' + 7I") cos(3v + V' — 2{â^ — G) — 2(>% - G'))
+ i ^'^'U' + 4I"] fos(3v + V' — 2,{>\ - G) — {H[ - G'))

+ à^" cos(3(v + v') — 6(,9, — G^))

+ i ^"^ ^"^^ (3(^' + ^'') — ^('% — ^^'))

+ â ^'^" *""* (2^'' + '''* ~ ^*''^' ~ ^''> ~ '<*' ~ '^^'))
— -_|^ 7-7' cos(3(v + v') — 5(,V, — (/) — (H[ — G'])

— ~ Jl" cos (3( V + v') — (//, — G) — 5(,9; — G'))
+ ^ 7'i'* cos (3(v + V') — 2(,9, — G) — 4(,9; — G'))

— ^ 7^7'^' cos(3(v + v') — :,[,\ — G) — 3('9; — G")).

Dans cette dernière expression, dont chaque terme est du sixième
degré, on a mis l'unité au lieu des facteurs i + i' et i + f, vu que les
quantités f et f sont du deuxième degré et que nous omettons générale-
ment les termes d'un degré plus élevé que le sixième.

On aurait pu encore, dans l'expression de hl, changer v et v' en v
et v' , et supprimer les ([uantités G et G', parce qu'elles sont du deuxième
degré. C'est pour garder l'uniformité des arguments que j'ai évité un tel
changement, du reste sans importance.

48. Après avoir obtenu les expres.sious de hg , ho et hj, nous pas.sons
à chercher le développement de la fonction cos «H, n étant un nombre entier.

J)'abord, si n est un nombre pair, on expi'iraera la fonction dont il
s'agit moyennant la formule

„ n"" . „ n\n'^ — 2') . ^^

cos nll = I sm 7/ -\ sin 77 — ... ;

1.2 1.2.3.4

160 Traité des Orbites des Planètes,

et si l'on y introduit la valeur

siu IP =^ siu (v — v')' — 2I1 CCS (v — v'j — Ir,

(jui dérive immédiatement de l'équation (3), il viendra:

cos nll ^= cos n (v — v')

+ 2^ ^snifv — v)-

j 1.2 1.2.3.4 ^ '

+ 3 — sm ( V — V ) — ... 2 11 eos ( v — v ) -f h

' -^ 1 .2.3.4.5 .6 )

+ . • • •

Evidemment, on pourrait de cette formule tirer les coefficients des
diverses puissances de — (2hcos(v — v') + li^) sous forme d'agrégats pé-
riodiques ne dépendant ])as d'autres arguments que des multiples du seul
angle v — v'; mais on y jiarvient plus promptemeut de la manière suivante.

Il est aisé de voir que, si l'on désigne sin 7/^ par .-r , la formule précé-
dente peut se mettre sous la forme

COS nil = cos n (v — v ) (2 h cos (v — v ) -\- h )

\ (V- cns nlI , ,,,50

+ T:^ ^^ÏÏ^^"^-'' *'""*'' ~ ' ' + '' ^' — ■ ■ ■ '

sons réserve, toutefois, qu'après avoir opéré les différentiations demandées,
on remplace II par v — v'.

Or, la première dérivée de cosj^H pnr rapport à x s'exprime moyen-
nant la formule

d cos nH BuxuII

n

(h: sin 2fl

d'où l'on conclut, si l'on écrit 2)ii au lieu de n et que m soit un nombre
impair:

fï cos 2 W. [I

— -J-— = — 2 ;h [ I 4- 2 cos 4 // -j- 2 cos 8 // -f . . -)- 2 cos 2 (»? — I ) •'^l ;

Première Partie. Livre II. Itll

dai)S le cas opposé, savoir si ni est un noinbr(; pair, re\-])ressi()n do notri'
dérivée devient:

il COS 2mII , r II , 1 / \ ii\

T-^ = — 4)» [ COS 211 + COS 611 + • ■ • + i^'os 2 [m — 0 ■'^1 •

On est donc arrivé à exprimer la fonction ces «H, en tant qu'elle dépend
de la première puissance de h, et dans le cas d'une valeur paire du
nombre n .

En dift'érentianf, par rapport à rr, les équations dernièrement obtenues,
et en remplaçant les termes se produisant dans les seconds membres, par
leurs expressions tirées des équations mentionnées elles-mêmes, il résultera:

a) m étant un nombre pair,

-j^ — = 8;h(i -1- 3 + 5 + , . + w — i)

+ i'''"(3 + 5 + + '" — 0 eus 4/7

+ 16;» (s -|- . , . 4- 7;/ — i) COS S//

+ . . .

-)- \ 6111 (m — i) COS 2 (y» — 2)//;

b) lit étant un nombre impair;

16;» (2 -j- 4 + 0 4- . . . + «/ — 1) COS 2//
+ 16;;/ (4 4- 6 4- ■ • + "' — i) COS 6//
+ . . .

-f- liUll{lll l)c(is2(y» 2)//.

Rien n'empêclie de continuer ces formules, les déduisant par des o])éra-
tions successives. Cependant, les dérivées supérieures devenant assez com-
pliquées, je n'ai pas ju^^v convenable de jioursuivre leur déve]o|)pement.

C'est de même quant aux dit<'s fonctions appartenant au.x valeurs
impaires de 11. Jjien qu'on ait, 7/ étant un nombre impair:

!i-^^^^^sin7/-4-^'""''^^'"~^^
I 1.2 I .2.3.4

Traité tics orliitcs nhsoliics. gl

COS»// = COS // 1 —- ^sin ir- + "-- '^^ ^'sin H' — .

1.2 I .2.3.4

1G2 Traité des Orbites des Planètes,

et qu'oïl eu puisse déduire un résultat de la forme

cos n Fi = cos n (v — v') + M ; — *iii (^' — '^'O "■+"■•■ r^

lu- — I- {ii^ — \-){n° — 2") 2 I 5

+ 2 ^sin (v — V ) + . . . 2I1 cosfv — V )

I 1.2 1-2.3.4 )

les opérations algébriques pour mettre eu évideuce, sous forme d'agrégats
périodiques, les' coefficients des diverses puissances de h, seraient assez la-
borieuses, notamment si 11 était un grand nombre. La méthode que je
viens d'indiquer pour le développement des fonctions dont il s'agit, n'est
donc pas, à tout égard, satisfaisante, bien (|u'elle en donne, très facilement,
les premiers termes.^

Mais la complication, qui paraît inhérente à notre problème, ne tient
pas autant à la nature des coefficients qu'il s'agit d'établir, qu'à la ma-
nière indiquée de les déterminer. Eu effet, si, au lieu de chercher ces
coefficients par des formules algébriques, qui les donuent indépendamment,
les uns des autres, on se sert d'un algorithme au moyen duquel on les
déduit de proche en proche, les résultats s'obtiendront assez facilement, du
moins si le nombre » n'est pas très grand. C'est par une telle méthode
cpie nous allons résoudre, dans le numéro prochain, notre problème.

49. Admettons que la fonction cosnH soit donnée par le développe-
ment fini:

(7) cos«7/ = cosh(v— v') + V„,h + r„Jv + . . , + 'I',. „h" ,

les 1' étant des fouctinns dépendant uniquement de l'angle v — v'; en
multipliant cette équation, membre par membre, par celle-ci:

cos H = cos (v — v') -|- h ,

' On jimirrait t<iutefuis cherclier les dévcloppenieuts demandés au moyeu de la
formule •

...,__ I, /d cosnH\ I , „/d- cosnH\

i \ d cos H /h=v-v' I ■ 2 \(d cos HyJ jr^y^,.
et on obtiendrait ainsi les coeti'icieuts des diverses puissances de h tout-à-fait identi<jues
avec ceux qu'on va trouver dans le numéro prochain.

Première Partie. Ijivrc II. Kiîj

et en coiiipanmt le résultat avec les développements semblables de cos(« — i)//
et de cos (/( + i)H, ou parvient aux équations de condition que voici;

'/'',, + l.l + '/ «-1,1 = 2 COS«(v V') + 2 '/'■„, C0S(V V'),

'l\, , ,,. + '!•',. -1,2 = 2 y,,,, + 2 >r„. COS (v — V'),

V''„|l,:i + '/'■«-l,:; =^'1'',.,, + 2 V',, ., COS (v — v'),

'/'■„ + i.„-, + V'„- i.„ , = 2 T„^„_, + 2 V'-„,„___, cos(v — V':

'/'■,M-.,-, = 2'/'-„,„^, + 2V„,„C0S(V— V'),

V'U,„„1 =2 '/'•„,„.

Or, puisqu'on a, ce qui est facile à voir,

V'i,, = I ; V'V, = 4 c<)s(v — v'); '/•.,., = 2

on formera sans difficulté les expressions suivantes:
'I' ■i,\ =^3 + 6 COS 2(v — v'),

^'\., = I 2 COS (v - — v'),

^'■3,3 = 4>

'A'., I = 8 cos(v — v') + 8 cos3(v — v'),

'/'■.!., = 16+24 COS 2(v — v'),
^'■4,3 = 32 cos(v — v'),
'/'■,,. = 8,

^''o.\ = 5 + ^o COS 2(v — v) + 10 COS 4(v — v'^

y's .^ = 60 COS (v v') + 40 COS 3(v — v'),

'/'■. .j =60 + 80 COS 2(v v'),

'l'h,4 = 80 cos(v — v'),
V'\,. = 16,

1()4 Truitù (k'j^ Oïliitcs des Planètes.

'A",;,, =-. I 2 COS (V — V'j + I 2 eus 3(v — V') + I 2 ('OS 5 (v — v'),

'/'',; o = 54 + 96 COS 2(v — v') + 60 COS 4(v — v'),
'/'"(;.., = 28S cos(v — v') + ' 60 COS 3(v — v'),

'/'"r„4 =19- + -40 fus 2(v v'),

'/''c.,ô =192 cos(v — v'),

'/'•o,o =32, . "

'/'■;, = 7-1-14 COS 2(v — v') + I 4 <'!« 4(v — v') -|- 1 4 COS 6(v — v'),
II'.., = 1 68 COS (v — v') -f 1 40 COS 3(v — v'j -|- 84 cos 5(v — v'),

ij'\^ = i6cos(v — V) -(- i6cos3(v — V) -|- i6cos5(v — v') -f 16 cos7(v — v'),

V^ , = 9 -|- I 8 cos 2(v — v') + 1 8 cos 4(v — v') -|- i 8 cos 6(v — v')

-1- 1 8 cos 8(v — v'),

Il serait facile de continuer assez loin ces formules: cependant, les
expressions signalées étant plus que suffisantes aux théories des planètes,
je les arrête ici.

50. En introduisant, dans l'équation (7), les valeurs des '/'„„, ainsi
que les expressions des L'" que nous avons données dans le n° 47, on ob-
tiendra les expressions des fonctions cosnH; et puisqu'on a mis en évidence
les expressions de li„ , lio et ho, on aura, en négligeant les termes dépendant
des fonctions ((0) et ((O), f["i sont de l'ordre des forces troublantes, les
expressions des fonctions demandées contenant les termes du sixième degré
inclusivement.

Mais dans les théories des planètes principales, il suffira généralement
de ne considérer que les ternies du degré zéro ainsi que ceux du deuxième
degré par rapport aux fonctions anastématiques ; ces termes, je les ras-
semblerai donc, séparément des autres, dans le tableau suivant, après

Première Partie. Livre [I. 165

avoir remplace l'f^ par ff + II — 0 vt i% par //' + li' — 0' et, adopte les
notations

f^ — ijf = fi; '&' — (i' = if'.

Voici les termes dont il s'agit:
cos 7/ = ! î — - 1" — - /' ■ 1 COS (V — v')

+ J J" fOS (v + V' — 2fj — 2(<> — &,)
+ 1 /'^ eos (v + v' - 2B' — 2(1>' - &))

+ l H' cos (v — v' — (,y — ,/) — m — 0) + <>■ — 0')

— '- Il cos (v + v' — Ç'f + in — (ii — 0) — (W — 0')),

+ ji — i/^ — -;2' = joos2(v — v')

+ ■ /■-' C0S(2V — 2f) — 2(ii — 0))
+ ' I'"- COS (2V — 2,y — 2{i>' — 0'))
+ '- P COS (2V' — 2,y — 2{i> — 0))
+ ^ /" COS (2 v' — 2rV' — 2(iJ' — 0'))

+ //' cos(2(v — v') — (/y — il) — {i> — 0) + W — 0')

— //' C<.S(2V — (,V + 7/) — (il — 0) — (<>■ — 0'))

— //' cos(2v' — (,V + ''/'} — (-'-' — Q) — i^^' — t)'))
+ il' COS (,y — }/ + iJ — 0 — (i>' — 0')),

166 Traité des Orbites des Planètes,

cos iH = —\{r + 1'"') cos (v — v')

+ ^ r cos (v — 3V' + 2,V + 2(il — 0)j

+ 1 /'= cos (v — 3v' + 2,y' + 2(iJ' — 0'))
+ Ji=œ8(3v-v'-2;V-2(i>-0))

+ \1" cos (3V — v' — 2ÏI' — 2(i>' — 0'))
+ -^P C0S(V + v' — 2,y — 2(1' — 0))
+ J i" cos (v + v' — 2}}' — 2[il' — 0'))

+ ~ //' cos (v — v' — (,y — m — (.'.' — 0) + .'.'' — 0')
+ ^ ir cos (v — v' + 7/ — W + Li — Q — [Ll' — &))

+ ^ //' cos (3(v — v') — (Ji — ry) — (il — 0) + i^^' — 0')

— I //' cos (v — 3 v 1 <y + 'V' + -'-' — 0 + il' — 0')

— \ Il cos (3 V — v' — n — n' — ( a — 0) — ( 1'' — 0'))

— l IL cos (v + v' — ,y — Û' — {il — 0) — (ir — 0')),

cos 4// = — 7^ — /'^

— 2{r- + Z'')C0S2(V — v')

+ {, _r_/-jcos4(v-v')

+ r C0S(2V — 2// — 2(i> -— 0))

+ 7" C0S(2V — 2,y' — 2(iJ' — 0'))

+ P C0S(2V — 4V' + 2/> + 2(il — 0))

Celte fonmile se conlinur à la p:ige suivante.

Pi'cmii'TP Partie. Livre II.
+ /" C0S(2V — 4V' + 2//' + 2{ii' — 0'))
+ r C0S(4V — 2V' — 2,V — 2(iJ — 0))

+ 7'^ cos(4v — 2v' — 2,y' — 2(ii' — 0'))

+ r C0S(2V' — 2j} — 2(Q — 0))
+ 2'- COS (2V' 2,? 2(i>' 0'))

2(v — v') — (,y — //') — [il — 0) + ii' — 0')
4(v — V') — (,v — },') — (i> — 0) + ii' — 0')
2(v — v') + ,y — ,v' + (> — 0 — (û' — 0'))
2v — 4v' + ,V + il' + L> ~- 0 + iJ' — 0')
4V — 2V' — (7> + }>') — (fl — 0) — (L>' — 0'))

2v — (/> + il') — (ii — 0) — ai' — 0'))

2V' — (,V + ,V') — (iJ — 0) - (iï — 0'))

-y — ,y' + i> — 0 — (ii' — 0')),

COS s//

+ 2ir COS
+ 2 //' COS
+ 2//' COS

2 //' COS

2 //' COS

2 IL COS

2 IL COS

+ 2 77' COS

-^(r + 7-)cos(v-v')

-5(7^ + 7'0cos3(v-v')

+ li-J/^-^r|cos5(v-v')

+ \ r COS (v — 3 v + 27y + 2(/J — 0))

+ i/'^ cos(v — 3V' + 2H' + 2(i>' — 0'))

+ l r- COS (3V — v' — 2,V — 2(ii — 0))

4-^7- COS (3V — v' — 2,V' — 2(ii' — 0'))

+ \ I' COS (3V — 5V' + 2// + 2(ii — 0))

+ 1 1" COS (3v — 5v' + 2//' + 2(L'' — 0'))

4

Celte furiMllle

1G8

Traité des Orl)ites des Planètes.

+ l r COS (5V — 3 V' — 2,V — 2(i> — 0))

5 7>

+ ^7" COS (5 V

4
5 n

2,y' — 2{ii- — 0'))

+ ^7' cos(v + v' — 2, y — 2(i> — 0))
+ J7'' cos(v + V' — 2, y' — 2(i>' — 0'))

+ 1 ir COS (v

(7> — ,v') — (i2 — 0) + i'i' — 0')

+ \ II' COS (3(v — v') — (// — /y') — (iî -- 0) + L'' — 0')
+ ^77' cos(5(v — v') — (/> — il') — (ii — 0) + il' — 0')
+ \ IT COS (v — v' + // — 11' + .'-^ — 0 — ( i>' — 0'))
+ \ IT COS (3(v — v') + /y - ïi' + .'.'-- 0 — [il' — 0'))

— \ IT COS (v — 3v' + ,y + ,v' + iJ — 0 4- ^'^'' — 0')

— ^ 77' COS (3v — v' — (,y + n') — (L^ — 0) — (il' — 0'))

— \ IT COS (3v — 5v' + ,v + 'V' + iJ — 0 + il' — 0)

— f 77' COS (m- — 3v' — ('^ + 'V') — (/-' — 0) — IL'' — 0'))

— 1 77' COS (v + v' — (,y + ,y') — [il — 0) — [il' — 0'j)

COS 677 = — I (7'-' + 7'-)

— 3(7' + 7'Vos2(v — v')
-3(7'^ + 7'V.os4(v-v')

+ |i-^7=-^7''jcos6(v-v')

+ ^ 7- COS (2V — 2,y 2[il — 0))

(■i'll(< loninili. se lojilinup ;1 ia |.agp siiivaiile.

Première Partie. Livre II. 160

+ ^/'=COs(2V — 2,/— 2(û' — 0'))
+ I /^ COS (2V' — 2,y — 2{i2 — 0))
+ 1 1" COS (2V' — 2,/ — 2(i>' — 0'))
+ ^ /' COS (4V — 2V' — 2j) — 2(.'j — 0))
+ ^ /" C0S(4V — 2V' — 2,V' — 2(i>' — 0'))
+ l r COS (2V — 4V' + 2,y + 2(L> — 0))
+ II" C0S(2V — 4V' + 2,y + 2{i>' — &'))

+ lr COS (6v — 4v' — 27y — 2( i2 — 0))
+ |7" cos(6v — 4v' — 2Ï/ — 2(i>' — 0'))

+ l P COS (4V — 6v' + 2jf + 2(i> — 0))

+ II" cos(4v — 6v' + 2,y' + 2(Û' — 0'))
+ 3/7' COS (2(v — v') — (,•/ — 7/) — {ii — 0) + ii' — 0')
+ ^ir COS (4(v — v') — (7y — ]f') — (il — 0) + il' — &)
+ 3/7 COS (6(v — v') — (7> — y) — (a — 0) + ii' — 0')
+ 377' COS (2(v — v') + 7/ — y + .'^ — 0 — (il' — 0'))
+ 3ir COS (4(v — v') + ,y — ,y' + i> — 0 — (iJ' — 0'))

— 377' COS (2v — (7y + ,y') — (ii — 0) — (ii' — 0'))

— 377' COS (2 v' — (7y + 'V') — (ii — 0) — (i2' ~ 0'))

— 377 COS (4v — 2v' — (/> + ,/) — (Û — 0) — (ii' — &))

— iir COS (2 V — 4v' + 7/ + 7/' + iJ — 0 + ii' — 0')

— 3/7 COS (6v — 4v' — (t) + H') -^ (L> — 0) — (L^' — 0'))

— 377' COS (4v — 6v' + (7y + ,/) + (ii — 0) + ii' — &)
+ 377' COS (,y — H' + L' — 0 — (ii' — 0')).

Traité des orbites absohies. 22

170 Traité des Orbites des Plauètes.

Dans les expressions suivantes, je ne retiens que les termes les plus
importants, c'est-à-dii-e ceux dont les arguments renferment seulement des
multiples tels qu'on ait:

P + ? < 2,

p étant le facteur de v et q, celui de v'. "•

cos777 = — ^(/' + /'^)eos(v — V')

+ J P cos (v + v' — 2j} — 2[(> — 0))

+ ^/" cos (v + v' — 2,? — 2(fl' — 0'))

+ \ ir cos (v — v' — (;/ — ,/) — (i2 — 0) + <>' — 0')
+ 1 11' cos (v — v' + Çn — ,?) + il — 0 — (Û' — 0'))

— \ IT cos (v + v — (// + ,v') - (i2 — 0) - [ir — 0'j),
cos8/f = — 2{P + V)

+ 27' cos 2(v ~ ,y — (i2 — 0))

+ 2/'^ cos 2(V — 7r — (/J' ^ 0'))
+ 27'C0S2(V' — ^ — (i2 — 0))
+ 2/'- cos 2(v' — 7/ — (/2' — 0'))

— 4/7' cos (2v — Çh + 7y') — [il — 0) — (i2' - 0'))

— 477' cos (2v' — (,v + Ji) — [îi — 0) — {il' — 0'))
+ 477' cos (,"y — 7/ + iJ — 0 — (fi' — 0')),

cos 9/7 = — 2 (7' -f 7'-) cos (v — v')

+ ^7' cos (v + v' — 2,y — 2((> — 0))

Cetlc formule so condiiiie J la pago suivaute.

Première Partie. Livre II. 171

+ 5 I" COS (V + V' — 2l^' — 2{iï — 0'))
4

+ l ir COS (v — v' — (,y — J}') — (ii — 0) + ii' — 0')

+ 1 ir COS (v — v' + {Il — }}■) + ii — 0 — (il' — 0'))
— lir cos(v + v' — (,v + y) — (il — 0) — (ij' — 0')).

pjvidcnnncnt, en inultipliiuit les diverses expressions par une fraction

rationnelle de la forme ~ , on ijourra les continuer aussi loin qu'on

voudra, toutefois en ne considérant que les termes dont les arguments sont
soumis à la condition

p + q^2.

Je vais maintenant chercher les termes du quatrième ordre, me
restreignant toutefois à n'en signaler que les plus essentiels, parmi lesquels
je compte ceu.x qui satisfont à la condition mentionnée tout-à-l'heure. Les
termes dont il s'agit dérivent, dune part, de la fonction h,, elle-même, qui
renferme des termes multipliés par /', 7'/'^ et /'', d'autre part de hj.
La partie du quatrième degré contenue dans h^ s'ohtient facilement, si l'on

remplace, dans l'équation (5, a), f -çax -P et f par - r'\ valeurs qui dé-

4 4

coulent des équations (30) et (34) du n° 32. Voici la partie en question:
h„ ==--^(/'_7^i-+/-)cos(v-v')

+ {^1\P — 1") C0S(V + v' — 2,V - 2(il — 0))

— -^/'V^ — 7'Vo«(v + v' — 2y — 2(!J'— 0'))

+ }.J'I" COS (v — v' — 2(J}~ }}') — 2(i> — 01 + 2(i>' — 0')).

Eu introduisant, dans l'équation (7), cette valeur de h^^ au lieu de h,
et en omettant daus le résultat les termes dont les ajg'umeuts ne satisfont
pas à la condition

i^ + î < 2,
il en résultera:

172 Traité des Orbites des Planètes.

Termes du quatrième degré provenant de li^ .

cos//-— -^(7' — 7=7'= + 7'Vos(v — v')

+ ^J\P — I") COS (V + V' — 2j} — 2(fJ — 0))

— ^7'V — 7'^)cos(v + v'— 2n— 2('J — Q'))

+ ^7V C0S(V — v' — 2[n — ,/) — 2[il — 0) + 2{ii' — 0')),

COS 277 = — 1(7' — 7V'=+ 7")

+ J 7-7'= COS 2{'J^ — ,y + i> _ 0 _ (ij' _ 0'))

+ \ P{P — 7'=) COS 2(V — ,V — [il — 0))
+ ^ 7=(7= - 7'=) COS 2(v' — Il — [ii — 0))

— l r\P — 7'=) COS 2(v — n' — (Lî' — &])

_ ■ r\P _ /'^) eus 2(V' — 1/ — (il' — 0')),

COS 377 = — I (7' — 7V'= + 7") c()s(v — v')

+ ^7=(7= — I") cos(v + V' — 2,y — 2{ii — 0))

-^7'X7= - 7'=) CU8(V + V' - 2,y' - 2(iJ' - 0'))

+ :^g 7=7'= COS (v — v' — 2(,y — ,y) — 2{i> — 0) + 2{ii' ~ 0'))

+ f. P{P — 7'=) COS 2(v — ,y — (il — 0))
+ f,7=(/= - 7'=) eus 2(v' - ,y - Ci - 0))

— ^ 7' =(7 = - 7' =) COS 2 ( V - y — ( ii' — 0' )) ,
~fJ\P — 7'=) COS 2(v' — n' — (ii' — 0'))

— f,Pl" C0S(V — v' + 2(,y — f,') + 2(ii — 0) — 2(i>' — 0')),

Première Partie. Livre II. 173

C0S4H = —'-{!' — ly + I")

-{- -J'I" eus 2 (/y — ,y' + li — 0 — [M' — 0'))
+ 1 Pi^p _ r') cos 2(v — 7y - (L> — 0))
4. ! i'(7^ _ 7''^) eos 2(v' - ], - (<J - 0))

cos 5// = — I (i' — /=/'- + 7^) cos (v ■— v')

+ f^ / \I '—n cos (v + v' - 2 ,v — 2 ( il '- 0)) .:

— f-^r\P — /") C0S(V + v' — 2y — 2(iJ' — 0'))

+ ^7 V^ C0S(V — v' — 2(7/ - m — 2{<> — 0) + 2(i>' — 0'))

+ . . . ,

etc.

11 + 2

Aussi ces expressions se continuent-elles en multipliant par l'e.K-

pression de cos nH qu'on a mise en évidence; ou obtient ainsi les termes
de cos(rt -\- 2)H dont il s'agit ici.

Quant aux termes du quatrième degré provenant de hj , on les déduit
en jnultipliant, par la partie du quatrième degré de b^, les expressions des
^'n,2 signalées plus liaut.

Voici d'abord la partie de b'^ dont il s'agit:

b-= -L(/^ + 57V- + 7")

— \ ir[P + I") cos {n — n' + a — 0 — ai' - &))
+ _^ PF'' cos 2(,y — h' + Ll — 0 — [il' - 0'))
+ ^(7^ + /''0^cos2(v-v')

Cette formule se contîmie à la page suivante.

174 Traité des Orbites des Planètes.

+ ^7' COS 2(v + V' — 2^ — 2(li — &))

+ ^/" 008 2 (V + V' — 2// — 2{U' — 0'))

— ^^r\r- + 57'--') COS 2(V — // — (il — 0))

-±r{r + /''o COS 2(v' - ,> - (i> - 0))

— i-,r\P + /'^) COS 2(V - lï — (<>' — &))

-^/'X5/^ + n COS 2(v' - ,y - {<>' - 0'))

+ J 7^7'^ COS 2(v — v' — (7y — 7j') — {ii — 0) + L>' — 0')

+ il 7'V COS 2(v + v' — (,V + ÎJ') — m — 0) — {<!' — 0'))

— ~ ir{P + 7'-) COS (2(v — v') — (,y — ,y) — (i' — 0) + il' — 0')

+ J 77'(7^ + 27'-0 cos(2v — (7/ + '>') — (^^ — 0) — (ii' —0'))
+ J 77'(27' +7'=) COS (2v' — (,y + TV) — (U — 0) — (il' — &'))
+ I PI' cos(2v — 3ff + ë' — i(ii — 0) + ir — 0)
+ 5 77"^ COS (2v' + ,y — 2>1}' + -'"' — 0 — 3(-'^'' — 0'))

— ^ rr COS (2(v + v') — zn — 1)' — 3(i> — 0) — (i>' — 0'))

— l II" cos(2(v + v') — 7/ — 3'V — (i^ — 0) — 3(ii' — 0')).

]\Iaiiiteuant, eu effectuant les uiultiplicatious iutliquées, et eu omettant
les termes dont les arguments ne satisfont pas à la condition

p + q<2,
on arrive aux

Termes du quatrième degré provenant de \i'„.

Dans l'expriission de cas H, il n'y a pas de tels tcrines; dans rexprcssioii
de C0S2ZÎ, ces termes s'obtiennent tout simplement en multipliant, par 2, l'ex-
pression précédente de li^.

Première Partie. Livre II. 175

cos3//= 7^(5/' + 22pr' + 5/'^)cos(v — V')

_ ? ir{P + I") co8(v— V' - (,y - ,y') — (fi _ 0, + (fi' ._ 0',)

— l ir{P + /'=) cos (v — V' + (7> — ,/) + fi — 0 — (fi' — 0'))
+ l ri" cos(v — v' — 2(,y — ,/) — 2(fi — 0) + 2(fi' — 0'))
+ ^ r-r- cos(v— v' + 2(,y — F)') + 2(fi — 0) — 2(fi' — 0'))

— l I\P + 3/'^) cos(v + V' — 2,y— 2(fi — 0))

— \ r\iP + !■') cos(v + V' — 2,y' - 2(fi' — 0'))

+ 2 n'{P + r-) eos (v + v' — (,y + ,y') - {P. - 0) — {(>' — &))
+ \ PF cos(v + v' — 3,> + ,y' — 3(fi — 0) + fi' — 0'))
+ ^ //'^ cos (v + v' + ,y — 3,y' J^ Q Q ^ 3(fi' _ 0',),

cos47/= ^ (iir + 46/V + 11/'^)

— ^ //'(/' + /'') cos (7/ — //' + fi — 0 — (fi' — 0'))
+ \ PI" cos 2(7/ — 7y' + (J — Q — (fi' — 0'))

— \ I\7l' + ^-zn cos 2(v - ,y- (fi - 0))

— \ P-fjP + i9r")co^2{v' — Jj — (0 — Q))

— '- r\igP + yl") cos 2(v — 7/ — (ir — 0'))

— ^ 7'^(23/- + 7/'^) cos 2(v' — ,y' — {[>' — 0'))

— ' ir{ioP + ii/'Vos(2v — (,y + ,y') — (fi — 0) — (fi' — 0'))

— ~ ir{\\P + 10/') cos(2v — (7y + 7>') — {(i — 0) — (fi' — 0'))

Cetto forinule se continue a la pago suivante.

176 Traité des Orbites des Planètes.

+ 2pr cos (2v — 3^ + ,y' — 3(i2 — 0) + ^i' — 0')
+ 211" COS (2v' + n— ih' + i2 — 0 — 3(.V — 0'))

+ \ PI' cos(2v' — 3,y + ,/ — 3(.(2 — 0) + il' — 0')
+ ln" cos(2v + ,y — 3.y + i2— 0 — 3(.'^' — 0')),

cos5i/= A(i7/4 + 7or7'^+ i7/'Vos(v-v')

_ ^ //'(/^ + /'2) cos (v — V' — (h — Jf) — {(} — 0) + Û' — 0')

— ioir{P + 7'^) cos(v — V' + {ï, — Jn + il — 0 — [ii' — 0'))

+ ^ /V^ cos (v — V' — 2{à — n') — 2(iî — 0) + 2(0' — 0'))
+ ^ 7 V cos (v — v' + 2(» — ^') + 2(Û — 0) — 2((J' — 0'))

— -/'(/' + 3/'=) cos(v + v — 2,y — 2(Û — 0))

— 'jr\iP + 7'=) C0S(V + v' — 2^ — 2(<J — 0'))

+ ^ 77'(7' + /"O cos (v + v' — (^ + ^') — (i2 — 0) — (^2' — 0'))
+ ^ /'/' cos (v + v' — 37/ + //' — 2,(a — Q)+ £>' — 0')
+ ^ 77' ' cos (v + v' + ,v — 3.V' + a — 0 — 3( i2' — 0')),

cos6iï= I (13/' + 53/'/'=+ 13/'')

— f 77'(r + 7'^) cos (,y — ,y + <2 — 0 — ( i2' — 0'))
+ f 7=7'= cos 2(,y — ,y' + i2 — 0 — [ir — 0'))

— I 7=(i 77= + 537'=) cos 2(v — ^ _ (i2 — 0))

— I /'(i ?/■' + 49/") cos 2(v' — ,y — (/> — 0))

Cette formule se coctiniie A l:i page suivante.

Première Partie. Livre II. 177

- l /'(49/' -f I in eos 2(v - ,y' — (ii' — &'))

- I r\53r' + I 7l'"-) C08 2(v' - 7i' - (O' - 0'))

+ ^- ir(2Sr + 261") COS (2V — (,V ~ //') — di — Q) — ii>' _ 0'))

+ l //'(26/-^ + 251") cos (2v' — (,y + ,v') — (i> — 0) — (i2' — 0'))
+ ^/ V eos(2v — 3,v + y — 3(i> — 0) + il' — 0')
+ Ç //'^' cos (2v' + ,y — 3,y' + i2 — 0 — 3(^-^' — ©'))
+ 6/ V cos (2v' — 3ry + 7/ — 3U'-^ — 0) + ^^^' — 0')
+ 6ir'' cos (2v + 7y — 3'V + ii — 0 — 3(ii' — 0')),

cos 7//= /^(35/^+ i4-^/V''-' + 35/")

— ^ //'(/- + I") cos (v _ V' — (7y — 7/) — (ii — 0) + iè' — 0)

— il? //'(/-^ + /'^) cos (v — V' + ,v — F + ii — 0 — (ii' — 0'))

+ ^- /•■^/'•■' cos (v — v' — 2(,y — F) — 2(ii — 0) + 2(1>' — 0'))
4

+ 14 /-/'•- COs(v — v' + 2(,V — ,V') + 2(ii — 0) — 2(i>' — 0'))

— ^" IV + 3^") «'s(^' + '■' — 2'V — Hii — 0))

- T ^"(3^' + /") «««(v + V - 2//' - 2(ii' - 0'))

+ ^ //'(/-^ + I") cos(v + V' — (il + })') — (ii — 0) — (ii' — 0'))

+ ^ 7^7' c.)s(v + v' — :~,'h + y — 3(ii — 0) + il' — 0')

+ ~ II" cos(v + v' + ,V — 3,/ + ii — 0 — :,(il' — 0')).

La continuation de ces formules est moins aisée que celle des ex-
pressions dépendant de la pi'emière puissance de h^. Dans les cas, d'ailleurs

Traité des orbites absolues. 23

178 Traité des Orbites des Planètes.

très rares dans notre système planétaire, où il faut procéder plus loin,
on établira d'abord les expressions des fonctions V'',,,, n étant un nombre
entier plus grand que 7, après quoi on obtiendra sans trop de peine les
formules des parties de cosSiZ, de cosgH, etc., dont il s'agit.

Par l'inspection des formulés signalées donnant les différents termes
de cosnH, on reconnaît facilement que tous les arguments sont composés
de trois arguments fondamentaux, à savoir: v — ]^^=î> — 19 ; v' — H' ^= v' — »9'
et tt — ^' = *9 — if — [G — G'). Ainsi par exemple, les termes de cosH
du degré zéro et du deuxième degré s'écrivent de la manière suivante:

(8) cos iï = j I — ^ 7' — ^ /" j cos (f — d — {0' — ê') + * — >y —{G — G'))

+ - P cos (v — * + w' — &' — (/9 — f/') + G— G' — 2(i2 — 0))

+ - 1" cos h — î9 + V — *' -\- S — &■ — (G — G') — 2(ii'—Q'))

+ ^ ir cos {v — ft — [v' — ê') — (ii — 0) + G' — 0')

— ^ //' cos {v — ft + v' — iï — ( iJ — 0) — ( Li' — 0')).

Ensuite, les divers termes se transforment immédiatement, ce qui est
facile à voir, de manière que les coefficients apparaissent comme fonctions
de /sin(i2— 0) , /cos(i^ — 0) , /'sin (i^' — 0') et /'cos(i2' — 0').

On peut encore remarquer que les différents cosinus se développent
aisément suivant les puissances de G — G' vu que les fonctions G et G'
et, par conséquent, leur différence sont des agrégats périodiques du deuxième
degré par rapport aux modules et aux coefficients anastématiques.

Il résulte de ce que nous venons d'observer que les arguments ne
renfermeront finalement que des multiples des trois arguments fondamentaux:
V — H , v' — • //' et ?9 — H'.

5 1 . L'expression de la fonction b que nous venons de signaler par

l'équation (4) repose sur la supposition que les fonctions J , y , 3' et -r-

s'expriment au moyen des équations (49) et (50) du n° 23, c'est-à-dire que
ces fonctions soient des agrégats de termes élémentaires ou sousélémentaires.

Première Partie. Livre II. 179

Dans l'état réel des choses, ces fonctions renferment pourtant aussi des
inégalités, ce qui amène, dans les expressions des cos nH, des termes
d'autres formes que celles qui y sont produits par les termes élémentaires

^^ à ) j^ ' s' ^^ j^ ■ four séparer les deux espèces de termes, nous allons

chercher l'expression de h, donnée immédiatement comme fonction des quatres
quantités mentionnées.

Dans ce but, rappelons-nous les formules (59) du n° 23 qui donnent,
après y avoù* remplacé v — G par v :

cos b cos / = cos V + - .sin i'\\ + f) sin 9 sin (v — 9),

cos h sin I = sin v sin P[ï + f) cos 9 sin (v — 6).

On aura de même:

cos// cos?' = cosv' -j- -siui''(i -j- f) siu 9' sin (v' — 9'),

cos// sin /' = siu v' siu <''(i -f- f) cos 9' sin (v' — 9').

En introduisant ces expressions dans l'équation (2), il en résultera:
cos iif = cos (v — v') — - sin /^( i + f) sin (v — 9) sin (v' — 9)

— -sin i'\i + f) sin (v' — 9) sin (v' — 9')

+ ^sin f-' sin/''^(i +!')(• +f') cos(9 — 9') sin(v— 9) sin(v'~9')

+ M •

Mais puisqu'on a identiquement:

sin (v' — 9) = sin (v — 9) cos (v — v') — cos (v — 9) sin (v — v'),
sin (v — 9') = sin (v' — 9') cos (v — v') + cos (v' — 9') sin (v — v'),
cos (9 — 6') = cos(v — 9)cos(v' — e')ros(v — v')-|-sin (v — 9) sin (v'— 9')cos(v — v')
+ sin (v — 9) cos (v'— 9') sin (v — v') — cos (v — 9) sin (v'— 9') sin (v — v'),

180 Trailé des Orbites des Plauètes.

on déduit facilement, en considérant les équations (46) du n° 22 l'expression
que voici:

(9) cosi/ = cos(v-v)-j-(i+t)3 +3(<+t).) -4(i + ;,xi + .^)'^^.^^^7

-^(I+f)(I+f')^5^5'ieos(v-v')

, (I I + f , '^,^ I I + f ., àj I (I + f)(l.+ t),a^, t-^s'

' 2 I + j/'' fiy 2 I + J '^ fiu' "^ 4 I + f/ ''' '^ (iy'

1(1 4- f)(i 4- f) ,2 rfs 1 . , ,.

-4 TTl^-^ -^ii^"^^^-^)

Evidemment, si l'on retranche cos (v — v') du second membre de l'équa-
tion trouvée, ou retient les termes constituant la fonction h; en négligeant
les ternies du quatrième degré, on parvient ainsi à l'expression

(10) Il = - ^ ^' + V'-') cos(v - V') + \ (,5|j5._ 5' J^j sin (v - V') + 35'.

Maintenant, si l'on se rappelle les expressions des fonctions V''„ , qu'on
a données dans le numéro (49), on déduira aisément, avec la valeur signalée
de h, les expressions suivantes:

cos2^ = -3^ — ,5'^

+ (l-r-r)0OS2(v-v')

-f 435'cos(v — v'),
cos 3// = — 3(,5^ + ,^'') cos (v — v')

+ (i-^r-|r)eos3(v-v')

+ 3S,V

+ 633'cos2(v — v'),

Prcinière Partie. Livre IL 181

008 4^"= — 2 {y + y-)

— 4(V + f) ^os 2(v — v')

+ (l — 2y — 2f-) C0S4(v — v')

+ 8,li' «^'os (v — v'j
+ 83,5'cos3(v — v'),

cos 5i/ = — 5(3' + f) cos (v — v')

— 5(f + 5")cos3(v — v')

+ (i-h'-^'>««5(v-v')

+ Kê-4)^-5(v-v')

+ 55^'

+ I oy^' cos 2 (v

— v'

+ 105,5' cos 4(v

— v'

cosôH = — 3(3- + f)

— 6(x + f)cos2(v — v')

— 6(5' + f) cos 4(v — v')

+ (> — 35' — 3f) cos 6(v — v')

+ 1 253' cos (v — v')
+ 1253' cos3(v — v')
+ i233'cos5(v — v'),

182 Traité des Orliites des Plauètes.

cos 7// = — 7(,f + f) cos (v — v')

— ZCf + H'îosSlv — V)

— /Cr + f)cos5(v — v')

+ 7,55'

+ i455'cos2(v — v')
+ i43,5'cos4(v — v')
+ 1455' cos6(v — v').

Nous nous arrêtons ici. En cas de besoin, on écrira immédiatement
les expressions analogues des cos nH appartenant aux valeurs du nombre n
plus grandes que 7.

Cela étant, nous désignons par {]) et {]') les parties élémentaires des
fonctions 5 et j', c'est-à-dire, les sommes des termes élémentaires et sous-
élémentaires s'y trouvant. Mettons ensuite:

(11) ,5 = (5) + 0.5; 3' = (5') + «Y'

de sorte que d'^ et 03' signifient les sommes des inégalités auxquelles sont
soumises, les latitudes des deux astres. Désignons finalement par {H) ce
que devient // lorsque d^ et (?3' sont égaux à zéro, et admettons l'expression

(12) cos iiH = cos n(H) + M„ nx + M',, d}! + N„ '^ + N',, ^

+ F„or + F'jr + Qj^^+ Q:oy'^ + Rj^.oy.

Evidemment, si l'on introduisait, dans les exjjressions précédentes des
co&nH, (j) au lieu de j et (3') au lieu de 3', et qu'on identifiât les fonc-
tions (j) et (5') avec les expressions de 3 et de 5' qu'on a données dans
le n° 23, on retomberait dans les formules du numéro précédent, lesquelles

Première Partie. Livre II. 183

donneraient alors les expressions de cos «(//). Mais il faut encore dé-
terminer les fonctions M„ , M'„ , N,^ , . . . , R„ .

A cet égard, nous faisons d'abord la remarque que M„ et M'„ sont
de telles fonctions de {^) et (3') et de v et v', que, si M„ était connu,
on obtiendrait il/', en changeant 5 en ]', 3' en j, v eu v' et v' en v.
C'est de même quant aux fonctions N„ et N'„, P„ et P', , Q„ et Q'„, dont
les P et les P' ne dépendent toutefois que de v et v'. En conséquence,
il suffit de ne mettre en évidence que les M„ , les iV„ , les P„ , les Q„
et les i?„.

■ Voici les expressions des quantités dont il s'agit:

itf. =-(3)cos(v-v') + 3'^-^«m(v-v')+(3'),

^^2 = — 2(5) — 2(3) C0S2(V — V') + ^^sin 2(V - V') + 4(,0 cos (v — V'),

M,^- 6(3) cos (v - V') - 3(3) cos 3(v - V) + ^ ^i^sin 3(v - V)

+ 3(j') + 6(3')cos2(v — v'),
M,^- 4(5) - 8(3) cos 2(v - V') - 4(3) cos 4(v - V')

+ 2 ^) sin 4(v - V') + 8(,0 cos (v - v') + 8(3') cos 3(v - v'),
Jf, = — 10(5) cos (v — v') — 10(3) cos 3(v — v') — 5(5) cos 5(v — v')

+ ^'^^sin5(v — v') + 5(3') + io(V)cos2(v — v')+io(3')cos4(v — v'),

M^. = — 6(3) — 12(3) cos2(v — v') — I 2(3) cos4(v — v') — 6(3) cos6(v — v')

+ 3 ^ sin 6(v — v') + i 2(3') cos (v — v') + i 2(3') eus 3(v — v')

+ 12(3') cos 5(v — v'),
M. = — i4(3)cos(v -v') - 1 4(3) cos 3(v-v') - 14(3) cos 5(v-v') - 7(3)008 7(v-v')

+ ^-^si"7(v — v') + i4(,V)+ '4(,5') cos 2(v—v')+ 14(0') cos 4(v — v')

+ 14(3') cos 6(v — v'),

1 84 Traité des Orbites des Planètes.

iV„ = '^(.Osin«(v — V'),

7\ =■-— ^cos(v — v'),

P.2 = 1 COS 2(v v'),

P., = — 3 COS (v — V) — ;^ COS 3(v — v'),

P^ = — 2 — 4 COS 2(v — v') — 2 COS 4(v — v'),

Pj = — 5 COS (v — v) — 5 ces 3(v — v') — ^ cos 5(v — v'),

Pg = — 3 — 6 COS 2(v — v') — 6 COS 4(v — v') — 3 cos 6(v — v'),

P„ = — 7 COS (v — v') — 7 COS 3(v — v') — 7 cos 5(v - — v') cos y{v — v')

Q„ = - Sill 91. [v — v'),

^, = I,

-B., = 4 cos(v — v'),

Pg = 3 + 6 cos 2(v — v'),

P^ = 8 cos (v — v') + 8 cos 3(v — v'), -

Pj. = 5 + 10 cos 2(v — v') -|- 10 cos4(v — v'),

P,. = I 2 C0S(V v') + I 2 cos 3(v v') + I 2 COS 5 (v — v'),

p. = 7 + 14 cos 2(v — v') -f- I 4 COS 4(v — v') + H cos 6(v — v'),

On pourrait encore exprimer les M„ et les N„ au moyeu des fonctions
1 sin {<2 — 0) , / cos {ii — &), r sin (i2' — 0') et F cos (i2' — 0'). Mais bien
que les résultats s'obtiennent assez facilement, je les omets pourtant, vu
cju'on n'a besoin cjue de quelcjues termes, lesquels ou chercbera, selon les
circonstances des divers cas, séparément des autres.

Première Partie. Livre II. 1 85

52. En ue considérant que le but immédiat du travail présent, on
pourrait s'arrêter aux résultats relatifs aux cos nll qu'on a obtenus dans
les derniers numéros; on saurait, en effet, en tirer les règles du calcul
destinées à déterminer les coefficients anastématiques tant que ceux-là sont
sensibles dans les théories des planètes principales. Mais il y a d'autres
raisons pour lesquelles il paraît utile d'étendre, un peu, les recherches sur
les manières d'exprimer les cosnll: je pense en première ligne à l'applica-
tion du théorème important de M. Tisserand, en vertu duquel on obtient
l'expression de cos«// quand celle de cos H est donnée moyennant la formule

(13) cos II = fi cos X -\- V cos 1/ ,
les coefficients /j. et v étant assujettis à la condition

La mise en usage du théorème mentionné est eu effet le moyen le plus
efficace d'établir les expressions dont il s'agit, quand l'inclinaison mutuelle
entre les plans instantanés des deux planètes n'est pas très petite.
En adojjtant le développement

(14) cosnH = Q\"l + 2lQ'"^, cosix + 2lQ["] cosji/ + 4lEQ\"] cosix cosjy,

qui, si l'on admet des valeurs des indices tant positives que négatives
et qu'on établis,se les équations

s'écrit de la manière suivante

cos II II = }!IQ'f!] cos ix cosju ,
on trouvera la formule

au moyen de laquelle on peut calculer les coefficients (>'"' de proche en
proche. En partant des valeurs

Vo.o — ' J Vi.o — t/*i Vo.i — ^ " )

' Voir le raémoire de M. Tisserand in.séré dans le T. XV des annales de l'ob-
servatoire de Paris (Mémoires) et encore son traité de la mécanique céleste, T. I, clia]).
XXVIII.

Traité des orbites^ absolues. 24

■^g^ Traité des Orbites des Planètes

on obtient facilement les expressions suivantes:

(m = >'^

(/Il = î/^^

g'« = 2/iVl — 6/iV,

Première Partie. Livre II. 187

Certes, on pouiTait continuer le calcul de ces coefficients aussi loin
qu'on voudrait; cependant, si n acquérait des valeurs plus grandes que celles
que nous avons considérées, il serait plus aisé de déduire les coefficients
suivants en utilisant le théorème de M. Tisserand, dont voici le teneur.

Soit:

sm(n+^i)H^ ^j„, _^ 2 2'iîi;;:cosà- + 2 2'/?[";cosy// + 4ÏSR\';'^cosixcosjy,

on aura, en vertu de l'équation

-rr sin(v( + i)H Bin(" — i)H

2 cos nii = ^ = : — =- — ,

sm H sm U

la relation

Q::] = \{m:]-Bfîn-

Or, M. Tisserand est parvenu à représenter les quantités B au moyen
de la formule

^(,„ _ [jn-j + 2r- i'%n - j + aY ^ i'\ . . . [(» + .;V - i']

(2.4... 2:}Y

où, en supposant / + / — // pair et négatif, il a désigné, par F[a ,/?,;-, 1;)
la série hypergéométri([ue de GtAuss: les coefficients demandés s'obtiennent
ainsi d'une manière directe.

On voit par là que le coefficient Q^-[] renferme toujours le facteur
H'v' , remarque qui nous sera utile prochainement.

53. Nous allons maintenant mettre la fonction cos// sous la forme de
l'équation (13). Considérons, à cet effet, deux triangles sphériques formés,
sur la sphère céleste, l'un par le plan fixe et les plans instantanés des
deux planètes, et l'autre, par le plan des trois corps, le soleil et les deux
planètes.

En conservant les notations du chap. II du premier livre, et en dé-
signant par 2' et 2" les longitudes du noeud commun des deux plans in-

Traité des Orbites des Planètes.

stantanés, ces longitudes comptées dans les orbites respectives à partir des
mêmes origines que celles des angles <t et c, et, par J l'inclinaison mu-
tuelle des deux plans, on aiu'a tout d'abord:

(15) cos H = cos [v — 2') cos [v' — 2") + sin [v — 2') sin [v' — 2") cosJ,

ainsi que les formules suivantes:

sin - / sin - (2" — o-' + 2' — <'■) = sin - (6 — 9') sin - (* -f i'),

:i6)

sin - J cos - (2' — c' + -^ — ^) = cos ~ (e — 9') sin - (i — i'),

(18)

cos - J sin - (2' — 0-' — (2 — a)) = sin - (9 — 9') cos - (i + i')'
cos- Jcos- (2" — cr' — (2" — <t)) = cos- (9 — 9') cos- (i — i'),

et encore celles-ci:

( I 7) cos J = cos i cos i' -f sin i sin i' cos (9 — 9'),

sin J" sin (2 — a) ^ sin i sin (9 — 9'),
sin J cos (2' — a) = sin i cos i' — cos é sin i' cos (9 — 9'),
sin J sin (2' — <t') = sin i sin (9 — 9'),

sin J cos (2' — '^') ^ — cos l sin i' + sin i cos i' cos (9 — 9').
Maintenant, si l'on met l'équation (15) sous la forme

cos H = cos -J" cos {v — 2' — (v' — 2")) -f sin - J'^ sin (v — 2' + v' — 2"),

et qu'on la rapproche de l'équation (13), il s'ensuit qu'on doit mettre

/i = cos --P ; V = sin - J^ ;

a; = v — 2" — («' — r) ; y = v — E -\- v' — 2".

Nous voilà donc au terme de nos préparations. Pour avoir les ex-
pressions des cos iiH, il suffit, en effet, d'introduire, dans les formules de

Première Partie. Livre II. l!^!l

M. Tisserand, les valeurs signalées de /i et v, de x et y. Mais les ré-
sultats qu'on obtient ainsi, n'étant toutefois utiles au calcul des termes
élémentaires que dans des cas spéciaux, il faut les transformer ultérieure-
ment. Il faut, eu effet, exprimer les coeiïicients /i et v , par les ^fonc-
tions anastématiques et remplacer les longitudes 2' et 2" par ^ et a . Dans
le cas de trois corps seulement, cette transformation s'opère immédiatement.
On sait, en effet, que les points d'intersection des deux plans instantanés
restent, dans ce cas, constamment dans le plan invariable du système, d'où
l'on conclut la relation

e — e' -- i8o°.

En vertu des équations (i6) et (17), il sera maintenant facile d'obtenir
les valeurs

J ^= i -{- i',

a = 2'; a = 2"— 180",

avec lesquelles on parviendra, facilement, aux formules transformées.

C'est autrement dans le cas général, où l'on envisage les actions de
plusieurs planètes, s'attirant mutuellement. Les transformations demandées
étant alors plus laborieuses à exécuter, on les opère à plusieurs reprises,
en commençant par mettre les fonctions cos nH sous la forme
cos nH = 2'J/x''y'{e >^'i''<'-2'-(.'-r))+,,(,.-j+.-r,i

.1. e ,/-l[/.(.'-2'-(»'-J"))-7{»--l-+r-2")]

A étant un agrégat fini de puissances entières de y, ou de /i, chacune
multipliée par un certain nombre rationel, et ^ et q, des entiers positifs.
Evidemment, cette formule s'écrit aussi de la manière suivante:

(19) C0S«^ - 2^//!;'|e >^.IM^''W^(.^W,)-,A2"W+i--„+;.(.-.-(.-.',) + ,(„-. + ,.'-.,|

i (, v-i[/'(-'-<''-(-'-5)Hî(-— i-l--'-<i)+W"-''-C"-"'))-7("-<T+f'-''')|

I g-'V~i[p(r-a-is-n))-qir-c+::-o)+p(.v-a-(v'~ff))+qii'~,T-\-v-a)\

I g-i~l[p(.l"-c-(.I-m) + q{r-a+y-n) + p{i'-c-iv-a-))^q(.v-t7+v--r')]\

Or, puisqu'on a:

V — (7 = V — 9; v' — (t' = v' — - 6',

190 Traité des Orbites' des Planètes.

il serait facile d'exprimer les cos nH au moyen de i , /', 9 et 9', pourvu qu'on
eût établi de pareilles expressions de /ie**~''- ~''~'-~°" et de ve*''''- """''"-"'''.
Mais celles-ci s'obtiennent aisément en vertu des équations (i6). On en
tire, en formant le produit de la première avec la deuxième et celui de la
troisième avec la quatrième, ainsi que les carrés de la première et de la
troisième ou de la deuxième et de la quatrième, les équations que voici:

sin - J^ sin (2" — (t' -\- - — "■) = ô ('^'•'^ '' — ^^^ ') ^^^ (® — ^')''
sin - J^ cos (2" — 0-' + w — (^) "= - fos J — ~ cos (/' — ') + ^ *^"os (9 — 9')

— - cos (i' — i) cos (9 — 9'),
cos - 'P sin (2" — (T — • (2' — a)) = - (cos i -\- cos /') sin (9 — 9'),
cos -^ J '' cos (2" — a — (2' — <7)) --^ — - cos ./ + -^ cos (/' — i) + - cos (9 — 9')

+ - cos (/' — i) cos (9 — 9'),
et si l'on y porte les valeurs

cos/ = I — -sin ("■*(. I + f); cos ^' = i — -sin;'^(i + f)

ainsi que celle de cost/ donnée par l'équation (17), ou parvient, après
quelques réductions faciles, aux résultats suivants:

sin - ./^ sin (2" — fr' + 2' — a) -- - [sin /'( 1 +1') — sin /'''( 1 + f )J sin (9 — 9'),
2 4

sin - P cos(2" — /t' + 2' — <t) = sin / sin /' + sin /'\ i + f) + - sin /''"'( i + fj

2 2(4 4

— ^ sin /- sin /' -( i -(- f)( i + fj cos (9 — 9'),

cos ^^ J'^ sin {ï'—ff -- (2'— (T)) = [ — ' sin i'-\ i + f) — - sin /''-'( 1 -f f) sin (9 — 9'),
" 1-4 4 J

cos - P cos(2"— a'— (2'— a)) = ^ sin / sin /' + i — - sin /"( i + f) — ' sin y'^( i -j- fi

2 I 4 4

— ^qsin /'•'sinr'(i +f)(i +f)lcos(9 — 9'),

Première Partie. Livre II. 191

d'où découlent immédiatement les relations:

ve

^'-l{l"-o+y-r)

sin / sin /' + - sin i'\i ■}- i)e'''

i6

+ -sin;'-(i + f)e '-
4

sin r .sin i-\ 1 + f)( I + f')(e> ""•' "' + e''

g-v/-,(r-.> _--.) _ _ i ^j,^ ■ gin ^^v ^ i gi„ ,-2( , ^ f)e->'->('

4

/xe'

V-i (-■-''■-(--''))

^siny-^sin/'=(i +f)(i + f')(e> ne-e,_|.g-,' ue-e,-)^

- sin / .sin /' + i ^^i» '^(i + t)

— -sin/'=(i + f')lev'--.(e-e)

— -^sin i' sin i'\i + f)(i + f')(e> "" "' + g-v^uH-e))^

//e ''"'<- " '- "" ^ - sin /' sin /' + i — sin/^(i +

— -sin;''(i + f ) le->''"'«-«'
4 ^ M

i6

sin i' sin /'••^(i + f)(i + f')(é* ""'"* + fi-' "«-«').

Avant d'aller plus loin, je remarque que la somme de la deuxième
et de la quati'ième des équations (20) donne immédiatement:

cos(e — e') = cos - J^ cos (2" — o'—d — (7)) + sin -^ J' cos (i" — a-' + I — a)

= ces {!" — ff) ces (2' — a) -{- sin (2" — a) sin (2' — a) ces .7,

équation qui résulte d'ailleurs du premier des triangles spliéric[ues men-
tionnés un peu plus haut.

192 Traité des Orbites des Planètes.

Mais revenons à l'équation (19), et introduisons-y les valeurs qu'on
a données au moyen des équations (21). On obtient de la sorte:

(22) cosMff=^.4Jri — -sin/'(i +f) — -sini"(i + f')le*-"'-''>
4- - sin /' sin i' e^' '<''^''- ^^-e"

— Ygsin i' sin?-' Xi +f)(i +f)(ev'-.(v-v,^gv'-.(v-v_2>e-eo)

1 4 4

— -sin'isin;'e*'^''+'-«+e"
2

— ^smi'smi'\i +f)(i +f)(e''^'(>'+^-^e) _|_g/-,(v+v_5e-,^

+ 52^ I I I — " sin '■'( I + f) — ' sin '"( i + f )]e''""^'^''
+ - sin '/ sin ;'e*'^'''-''-<8-8'n

— -j^ sin i' sin ;'''( i +f)( i + f')(e>'^'<'-''' + e"^'<^-''-2(e-6))-)j ''
X j-sin^^i + f)e-»'^('+'-M, _,_ Isi„;'2(i _,_ p^g^/^ruvf.'-se')

sin i sin /■'e-v'^c+'-te+en

2

— -^sin^'sin?•'Xl +f)(i +f)(e-v'->('+v-5e)4_g-v'-uv+v-2e')|

+ 52^|ri — ^«iu»"'(i + f) — -sin;'=(i -j- f')V''^'<'-^'
+ - sin i sin /■'e-»'~'('-''-(e-ew

^ sin ?■' sin ?■"( i + f)( i + f ')(e-v'-.(v-V) _^ g-v'- . (v-v-2,e-e ,)>)

Cette foroiule se coutiaue ù la page Buivante.

Premii'ie l'aitic. Livre II. 193

4 ' 4

I . . . ., _

-sin / sm I e

uv-i-T-ce+e'))

— -' siiu^snu'Xi+ï)(i+f')(e~*' "'^^■'■"+e"*"''^''^'"'''')

i6'

+ V,/jri _--sin;^'i + f) — ' sin /■'-(! + f)1e^> ''^■-"''

+ ' sin/ siui'e-*'-"'^''^^^'^'"

i6

sinrsiu/''-'(i +f)(i +f')(e"'' "'-^' + 6-*'-"^-^'--'»-

(4 4

— \ sin /" sin /'e»'^(''+^'-<e + e')i

— ^siu/'sin;''^(i + f)(i + n(f'^''"^-+^'-'-'«' + e''"^^+''--'''')j'.

On voit sans peine que cette formule peut se transformer de mauièi-e à
s'exprimer par les fonctions /e±* '*-'-'-'^> et i'e**''*--""' et par les aryumi'nts
V, v', ,') et ,'>'. En effet, si l'on se rappelle les formules

siu;e±^^^'« = Ie±»'-"^" + "-'^' + ((C))e-*"',
sini'e±*"'«' = 7 'e^*'^ ('>■+//-«■) ^ ({r))e*'\

qui découlent immédiatement des équations (31) du n° 32, on opérera
facilement la transformation dont il s'agit, sans qu'il soit nécessaire d'en
indiquer ici plus de détails.

Mais mettons encore en évidence l'expression de v, dont les puissances
entrent dans les coefficients A. Dans ce but, nous reprenons l'écpiation
(17), qui nous donne sur-le-champ celle-ci:

2v — - -sin/^(i + f) + ^-i^ii' ''"(i + i') — ^'" > '^i" '' ''os (G — 9')

— sin r sin/'' ^(î + f)(i -{- f).
4

Tmik' (Ifn orhîlcs ahsofuca. 25

194

Traité des Orbites des Plauètes.

Avec les formules (^ue nous venons d'établir, il seni ftieile, en con-

siiléniut l'équation (14) ainsi que les valeurs des différents Q)"',,, déformer

les expressions des cos»//. Ainsi par exemple, on obtiendra l'expression

de C0S2//, en portant, dans l'équation (22), les valeurs

A = ;

4

A=-;

4

P = 2 ;

q = 0,

P = I ;

7=1,

p = 0;

q = 2,

p = 0;

q = 0.

Le calcul effectué, on retrouve, en effet, le résultat dont nous avons
donné, dans le n° 50, les ternies du de^'ré zéro, du deuxième et dti qua-
trième degré.

Ainsi, en partant du théorème de M. TissKiiAN'n, on a établi la théorie
complète de la transformation des cos«//.

54 Arrêtons nous encore <à quchpies relations qui pour diverses raisons
peuvent avoir de l'intérêt.

Si nous mettons l'expression de cos H sous la forme

(2 3) cos H = A cos (' cos r' + B^ sin ;-' sin r' -|- ^ 1^ cos (■ sin v' + B sin v cos v',

il sera facile, en considérant l'équatiein (15), de conclure les valeurs sui-
vantes des coeff'icients:

A = cos ^^cos(i' — r) -i shi ^ J'' cos (2' + 2"),

;>'^ = cos l J' cos {!' — 1") — sin { J' cos (i' + l"),

A^ = — cos ' J' sin {!' — 1") + sin { .P sin (2' + 2"),

B = cos ,' ./' sin (2' — 1") -f sin ^ J' sin (i' + 2").

(24)

Prpiuièro l'artlc. Livre II. 10,"

Mais on obtient aussi ces coefficients, d'une autre manière qui nous

permettra de reconnaître leur signification gx'ométrique. Si nous introdui-
sons, dans l'cciuation (i), les valeurs suivantes;

- = a cos V -{- j3 sin r ,

- = et, cos /• + yi, sm V ,

z , ^ .

- = a.^ cos 1) -\- li.^ sni r ,

ainsi que celles ci:

X ,

~ = 7. COS V 4- ,{ sin r' ,

'/ , , ,, . ,

^ = a, cos V -f- y^i sin ;' ,

z , , , r, ■ ,

— = o.., cos /' + ^i., sin r ,

nous parviendrons facilement à exprimer les coefficients A , B , .. . moyen-
nant les formules

A ^ c(7' -(- c(,c(î + a'.o.'...
Il = ari' -r a^[i\ -\- a., fi'..

Ajoutons encore les formules suivantes:

/' = ay' + 7,;-; + c(,;-.:,

^'s = rf + r.r; + hh-

196

Traité des Orbites des Plauètes.

Les quautités a , /? , . . (-'tant données de la manière la^plus générale
par les équations (d), (d') et (d") du n° 17, ou peut toutefois les adopter
telles qu'on les a déterminées par les équations (o), (à') et [o") du u° 21.
Mais si l'on veut que le mouvement des axes dans les plans instantanés
soit uniforme, on doit employer les formules (D), (D') et (1)") du n° 22.
Cependant, si l'on met l'angle v à la place de v, et v' à la place de v',
de sorte qu'on aura:

(25) cos H = A cos v cos v' + B^ sin v sin v' + A^ cos v sin v' + -B sin v ces v',

il est clair que les valeurs (o), [o) et (o") doivent être mises en usage.
Ainsi, on pourrait exprimer les coefficients dont il s'agit au moyen
des angles i, ï , 9 et Q' . Mais ou les obtient aussi, par une remarque
assez simple, exprimés comme fonctions des angles J , I et 2". Eu effet,
rien n'empêche qu'on ne considère pour un moment, comme invariables,
les angles y', cr' et 9', et qu'on suppose alors:

ï =-- o; a = 9',

ce qui revient à supposer le plan fixe mobile et coïncidant avec le plan
instantané de la seconde planète. Cela posé, on reconnaît facilement que
i devient égal à ■/ , rr à 2' et 9 à 2". D'où s'ensuivent les valeurs

/^i

5; = ;-:= I.

.3' = /5.;

a.,

r

ce qui fait que les coeff'icients A , A^ , . . . deviennent égaux aux coeffi-
cients a , c(j , . . . , bien entendu qu'on introduise, dans les expressions (d),
(d') et (d"), les valeurs tout-à-l'heure signalées de i, a et 9.
Voici les expres.sions qu'on obtient de la sorte:

(9)

(a')

A = cos 2' cos 2" + sin 2 sin 2" cos ./,
B = sin 2 cos 2" — cos 2' sin 2" cos-/,
T = sin 2 sin ./,

A^ = cos 2' sin 2" — sin 2' cos 2" cos-/,
7>j = sin 2' sin 2" + cos 2 cos 2" cos-/,
1\ = — cos 2" sin J,

(3")

Pr('nii('>!'e Partie. T^ivre II.
Â., = — siii 2' >iii '/,
7>'j = cos 1' sin J ,

[ J\ --= cosJ.

un

Maintenant, rien de plus facile (jue de voir l'identité des expressions
de A , Jj , U et 7<, avec celles q\ie nous avons données par les écpia-
tions (24),

En conséquence des résultats obtenus, il s'entend que les coefficients
A , Aj , . . . signifient les neuf cosinus servant à transformer les coordon-
nées rectangulaires rapportées au plan in.stautané de la pren\ière planète eu
d'autres appartenant au plan instautané de la seconde, et vice versa.

On peut encore signaler la formule

(pii n'est (pi'une simple conséquence de l'équatiiui (22) du n° ig.

198 Traité des Orbites des Phinèles.

CHAPITRE TH.

Divers développements procédant suivant les jniissatices des fonc-
tions diasténiatiqaes et des fonctions a nastéin atiq u es.

55, Dans ce dernier cliapitre du livre présent, nous allons nous
occuper du développement d'un produit de la forme générale

(i) i^'s"' = p^p'^ cos il II,

p et p>' étant les fonctions qu'on a déterminées par la formule (20) du
u° 9. Nous remplacerons ensuite les arguments entrant dès le début dans
l'expression signalée, ])ar d'autres, isoeinétiques avec eux, atiu de n'avoir
finalement que des arguments dépendant d'une seule variable. ]Mais avant
d'exécuter les dites transformations, nous nous arrêtons un moment en
jetant un coup-d'oeil rétrospectif sur la nature des développements que
nous venons d'obtenir dans les deux derniers cbapitres et en vei'tu des-
quelles s'opèrent les transf(.)rmatious demandées.

D'abord, les expressions des cosw// établies dernièrement sont finies
ou visiblement convergentes, bien <(ue nous n'en ayons mis en évidence
que les premiers termes. Il n'y a donc |)as lieu de se soucier de la
convergence lorsqu'il s'agit des développements suivant les puissances des
fonctions anastéraatiques.

C'est autrement lursqu'il s'agit des séries procédant suivant les jinis-
sances des fonctions diastématiques. Certes, une partie de ces développe-
ments ne forment que des polynômes finis, et parmi les développements
infinis il y en a qui convergent, les fonctions diastématiques ayant des
valeurs n'importe quelles entre zéro et l'unité. ]\Iais une autre partie de
ces développements Ki ne jouissent pas d'une convergence absolue, tant que
les valeurs numériques des fonctions diastématiques ne sont pas inférieures
à une certaine limite. C'est d'abord le développement de la différence des
angles F et (t qui cesse d'être convergent, ce développement procédant

Première Partie. livre II. 199

suivant les multiples de Cx et les puissauces de -q , si la \aleur nuiiiériiiue
de la dernière quantité atteint la limite

■q = 0.6627. . . .

Cette thèse, ])r()uv('e déjà par L.vpi,.\('K, a été vérifiée par Cwciiv, RouchÉ
et d'autres savants, et finalement M. C.vllaxdreau, dans une note insérée
ilans le T. 111 du Bulletin astronomique, a réussi d'en signaler une dé-
niou.stration élégaute et en même temps assez simple.

Or, pour les planètes principales, les fonctions diastématiques, telles
que les ont déterminées, Lk Veriuek' et Stockwell, n'atteignent pas, ni
même de loin, la limite indiquée. ' On en concilut donc que les séries
dont il s'agit maintenant, restent en vigueur avec les expressions qu'ont
données les savants mentionnés, ce qui revient à dire: au moins durant
un grand noml^re de siècles. Ces expressions n'ét;int to'utefois pas à l'abri
de toute objection, ce sera le but même de notre propre travail de les
remplacer par d'autres dont la convergence sera incontestable. Si ces
nouvelles expressions donnent des limites supérieures peu différentes de
celles ([ui résultent des séries antérieures, la convergence des séries procédant
suivant les puissances des fonctions diastématiques sera manifestée.

Cette renuu'que faite, uous revenons au développement de l'expres-
sion (1).

56. Des développements que nous avons en viu», eherclu>ns d'abord
les parties indépendantes des fonctions anastématiques. Alors, il s'agit de
développt'r une expression de la forme

(2) p'fPé"''-'\

' Voici, suivant les résultats de M. Stockwell, les valeurs uuixima des l'ouetions
diastématiques relativement aux diverses planètes:

l'Uiiiifle

J (il. ii/ii.r. (le

.Mercure

0.2322...

\'éiius

0.0762 . . .

La Terre

0.0697 . . .

Mars

0. 1 40cS . . .

Jujjiter

0.0608 . . .

Saturne

0.0843 . . .

Urauus

0.0779 • • •

Neptune

0.0145 ...

200 Traité des Orbites des Planètes.

i signifiant runité iniagiuaire. Evidemment, la pai'tie réelle de cette ex-
pression est égale à la fonction /''s."!, si l'on néglige tons les coefficients
anastéraatiques, vu qu'on a alors:

H == V — V'.

Quant à la partie imaginaire de l'expression signalée, ou voit facilement
qu'elle est égale à la dérivée partielle de la fonction F^''^^ par rapport à ;■,
cette dérivée divisée par in, ou bien, à la dérivée partielle par rapport à
v', divisée par — in, bien entendu toujours que les fonctions anasténui-
tiqvies soient supposées égales à zéro.
Eu vertu de l'expressiou

fi = rj cos ((' — (0 — (- — I'))
nous aurons facilement celle-ci:

(s -2)(-- /'j+Ks -2)(r-a.)

+ T ^'"

I s (s l) ^_,-(s^4)(-_/'i4,(s^4)(,^„

+ ...

1 ^linr^/')-is(r-,„) I

ainsi qu'une autre donnant f/^ ])arfaitement analogue à la précédente.
Ensuite, en multipliant les deux expressions, il résultera:

Celte fonnuli' sp prinliiiiip ;\ la \

(--/■)-l(s-2X.T-/")+i.'Cr-i'')-H(s-5):i

Première Partie. Livre II. 201

s (s U^-,a(.T~-/ )_,(s-4)(^'-/") Hs(.- „)+,(s'-. 1)1 ,•■-»■)

1.2

+ . ..

_|_ 3 ^_i(s-2X;r- /■)- >V(,T'-r) + i(s-2)(r-«;)H is'iv-w')

-L.^- — g-'(.s—'J)(--f)-Hs-i){7T- /•■)+, ■(s-2)(t'-a.) + i(s'-2)(l.'-n)')
I I

S S (s I) g_,(s_2)(,7-/')-,(s'-^4Kir-r)4->(s-2)(»-».)+i',s-4)(i.'-u,')

I 1.2

+ ...

+ ...j,

et, .si l'on porte ce résultat dans l'expression (2), on obtiendra:

(3) />>''' e'""-"'' = ^ yj'Y]"' j e~w-'')--<-'-r)+,Tso,-,„)+„(r-,v,+(.'_„)(,/-,„')i

1 £_ g-is(;r-/V-,(.s-5)(^-/")+ i|s(r-«)+ n(r-»)+(s'- n-î)(r -a;')J

+ ...

_|_ lg-iXs-2)(--/')-iV(a-'-/") + .f(s-2K»-(")+nC''-'"')+(s'-«) r'-a,')!

I ^ L g-i(5-2XT-/')-i(s'-2)(T-/") + .r(s~2)(i.-<„) + ,K.' -.u) + (S"«-2)(..--m-|]
I I

+ ...].

Telle est l'expression générale du produit proposé, les fonctions anasté-
matiques étant égales à zéro. On voit immédiatement que tous les argu-
ments y entrant — à l'exception de ceux qui peuvent se trouver dans les
expressions de oye*"'"^" et de ^y'e*'''''^^' — dépendent de trois éléments, à
savoir de v- — co , v — o/ et v' — oj'; mais ce dernier élément peut être
remplacé, au moyen de la relation (19') du n° 42, par les éléments v — w
et V + U, de sorte que, après avoir effectué les transformations nécessaires,

Traite dus orbites absolues. 26

202

Traité des Orbites des Planètes.

on obtient un résultat dépendant des trois arguments v — w , v — oj' et
V + U, ainsi que de leurs multiples.

Voici, pour les différentes valeurs des indices s et s', les expressions
transformées: pour abréger, ou y a supprimé la quantité U, qui doit, dans
l'usage des formules données ci-après, être placée à côté de V .

(4,0,0) e^"'"-"'

(4, 1,0) /?e"""^"'

(4, o, 0 p'é"^-'' =

(4,.,o) />V""-»'' =

+

+

' 4 ' -r,-n^J

+

(4, m) pp'e'"^" "■' =

'Z/7_

r^e

i;y-/') + t[,n + l)»

î(--r) + i[('i-l)r + ..

'iZ//^„,_„+„e-'-"'-"'^'

■■I S //_„,_ „+„e-"'--^',

>y'e'"^'-''''+'"<"-'"''i:/7_„_,,_„_,,,e-'"'+'-^>^',
^V'""-'"''Z/7_„,_„+,e-'<"--^"

-i.)V

^V'<-'')+*"-=)"+='"-'""'iZ/y_„,_„+„e-'""'-"'^',

1^ 4 77 ^ •*-"-ii— i,-M— 1 + !-^

i'^/'y'e"

77'' ■^''-«+l,-« + l+v^

^2 0,(,T-/")+n,(.-<.)y /y ^,(,H

7 ^ ''-" — li- 2,->i-2 + v''

Première Partie. Livre II. 203

(4, 3,0) />-''e"'<"-"> = ^^7 V8H-')-i 'ICH .).-:..-,„„ iX/7,, _„^^e-*("-)v

(4, 2,0 />>'e"'<"-'''' = i5y')y'e-="'^-''>-'('^-''+'K"+2)»-2<.-»„/]y/y .-,(-.-i-w)v

4 ' ' " — «—1, — «—!+»'' ,

(4,1,2) ,oyV"<'-"' = i^^'V<'-^-'')--'"('^-'"' + 'K"H).— — 15:// __^ _^_ ^ ^g-,(„^-.-v,v
+ ^W"«"'~'''^''-'^"'"'+'""" "' + "'-""'JZ/7_„_,,_„^,^„e-'<"+=-')v

204 Traité des Orbites des Planètes.

(4,4, o) p'e'"'"-'' = -L^V4,(r-r,+.[(„+4,„-..-w] Z//_„^_„+,e-<"-^'^

I 4 / ", " + ■'

I 4 / «,-„ + .

Cette formule se continue à la page suivante.

(4,.,ô) /V>'V"<"-'':

'-" + :;, --« + 3+V

-H~J-n^-i + .,

""~:i,-»-a+»

Preiiiicre riirfio. Livre If.
(4,0,4) />'¥--"■'= ï^^'V-<-n...,.-.,^//^^^^^_^^^^^^^_,„_,..„,,

205

20(3 Traité des Orbites des Planètes.

(4,5,0) p'e' -'•'= ^^.e-='-'')+'l^"+^''-^— ]Z/y_„._„^„e-'"-'>^

32 » ' T

+ \ r/>y'e"''^-'''+'<-^-'''+'["'-=>'-+^'"-'""lZ//_„_,,_„_,+,e-'<"+^-">''
(4,3, 2) ^yy^'e-"^-"' = J_^v/-e-^"'^-''>-^'"^-'"'+'t"'+="-^'" -"'"iZ//_„+,,_„+,^,e--""-=-^'''

Celte fonmile se continue à la page suivante.

Première Partie. Livre II. 207

jj ' / ^■^^^^»4-2, j(-l-2 + i>

32 ' ' •'-"— )!_:),— i,_3+„e
Cette rormtile ae continue a l;i |iagc; suivante.

Traité des Orliites des PlaBètes.

I A y,V/V-""'"'"'+'"'''~" 'T A/

.e

i(„_l_„)V

T^ ,5 7 7 '^ •^''-)i-l,-n-l + !/'^ )

V4'1,4J /'A'' '- -2V7 ^ ■^//_„+4,-„ + 4 + ve

r ^2 77 '- ■^''-n~4,-i!— 4 + 1/6^

T^ -2^^ •^''-)i-4,-ii-4+i''^

T 32 77 '• '^''-n + 4,-M + 4+vf^

1 ' „y/4„i(--/')~2.-(--/")+iT(.!-i).'+<»-w]y 77

+ 2 + 1-'

.(n-2-v)V

-i(r!-i')V

(«-«W

+ ^5y'v«^^-'"'+'""-"''^i://_

■Un + 5-v)V

200

Première Partie. Livre II.

+ ^)jV"^-'''+'i"'-^"'+^'-"'°'lX//_„_„ ,e-'*"-''^'

(4,5,.) /'>v""' '■■'= ^^=^'e-^(.-/'. "^■-'■'+'i<"+=>-'>'"-"™i2://^„,_,,„„^,,„,

tP4 ' ' •^'/-„ + l,_„ + l+„6

32 ' ' -^"-Ml, -« + ! + /' ,

Traité des orbites alisolurs.

210 Traité (les Orbites des Planètes.

(4,4,.) />>'-'""-'= ^^*^'v--'''------«"-'-'"--'2://_„,,__„,.,.e-"---

+ _l^i^,'V'^"-'''+-"^^'"'+'"""-""+"''"'""'TAL„_2,_„_2+ve"'*""^' ''^''

Pieniièie Partie. Livre IL

(4. 3,3) />>'V"'-^"=- ■ ^Y^'e-="^-'''-^'*''-'''+ +^^"-3— JZ//_

n+3,- K + 3 +

211

+ i'j''j'"e"''<^-'''+^^'^-'"'+'l<"+^"'-^'"-"'"ir //_„,, 3+„e-'"'+^-'>^'

+ ^'yV'e^"

:i„:li(--/')- 3J(n-'-/") + ,|(n-3)f+3ra-n,„

' 64 / / •^''— /i + 3,- ii + 3 + y''

T^ 64 V V '^ ■^''-n + 3,~« + 3 + ./e

4- ^ y, V'Vj"-'''<"-'''-""'-'"l + *ll" + 3)t.-3,„-„„/j V/l ,(„_!_„

I 64 ' V *' -^"-n + l.-H+l+v^

T^ 64V 7 ^ ^//^.„_i,_„_i+„t

1 Ay,3 '3 ,x^-/')-,x^'-/")+iu„-i),.+™-,„„iy ,, ((„_i„v)v

Traité de;* Orbites des Planètes.

4)2,4; /'/'' '' 64V V ^ ■^''-»+4,-« + 4H

,X„^4-.)V

+ f 5y'>j'V'"^-'''+^''^-'"'+'l^"-^"'+'^'"-'""'JZA/_„.

i^6i'?'7 •^//_„-4,-n-4 + v«

64

4- ' y,V/V-''"^''' ^-''"''^'"'+'i"'~-'"+^°'-""''Œ// (

j „ -i^' 4. i«i ,.-,.;)

!://_

Première Puitie. Livre II. 2l;{

(4,1,5) /Y>'''6'"'^''-"'= -:^y,j'''e-'(^-/')-5f(,T-/") + m„+l),.-,„_,„„|y ,, „_i,„_5_,,v

+ bî jyjy'^e'*''"" '■'^-'^'■(■■^ -'■*+'[(«-i)'+'»-""'J 2;//

(4,0,6) //V""^-"= J_^'V''«--'"'+'"("-'"'Z// .-.(.-a-.jv

Cette forniule se continue A lii nage suivante.

214 Traité des Orbites des Planètes.

T^ ^,7 ^ ■^-'■'— n— 4,— « -4 + 1/''

i-g^^y e ■^"--,,--•.,-«-2+.''

1 JL 7 5»(--/')+»|("-6)f+5>..-»...|'y// ^-llM-i-IV

1 J28 / --11,-n-r^

t^ijsVV'^ —"-1-"-'+"

<'ette formule se rontinue à la payu suivante.

Première Partie. Livre II. 21,'

+ ^ r.",7'e-'«'ï--^-'')-'(^-/'')+.l("+4.r-.l,„ «.iV/y

3

+ i5^'7Ve''^^'''^^<^'-'''^^f<"-^'^+^"-"-'l5://„„__,,^„^,^„e-^("+

]-v|V

"t" (T fi''Q'C~'"'''' ''' + ''"'-'"> + 'll" + '')'-— <"'-"»| ^^y

l,-n-I + .

/(n+l -^)V

+ lis '^ •V/'e-^''^-'''+2''"-'">+'n«+«>"-5«'~'-1 ^//

Cette forinule se cominiio a la p.ige suivante.

o-î(" + 2-^)V

216 Traité des Orbites des Planètes.

I 1287 7 '^ ■^''- « + 2,-i,+2 + v6

~ 64 V / ■^''-n + 2,-« + 2 + i/'^

H- ^ y/;y' V«^-''>+^i*"-""+- '""J I://_„,_„+„e-'"'-''^

V4-4,3J/'/' ^ — 128V V ^ -^/V_„ + ;i, ,„ + 3

J L .y4„'3^- 4H- -/■)+3t(--/"l+î|(„ + 4),'--4,»-m..'| V // „-!(n + 3-v)V

' I2S7 ^ • ■^''-11-3,-ti -S + w*^

^ I28V 'y '^ ■^'-'-n + 3,-„ + 3 + ve

J L y,4„'3 -2i(r-/'l-St(s--/'l+i|(« + 2)i' 2<u-im/jy/7 ^-i(n-3 - y)V

I J_ „4 '3 2i|--;'> + 3l(-'-/")+/|(n-2),'+2,„-m.yiy /J iX„ + ;l_ v)V

Celle foruiiMe se conliiiue à la page suivante.

.e

Première Partie. Livre II. 9j^

(n + 3-i/lV

+ t:; 3y'*3j'^e"-'"-'"-'''+^'^'-^-''»+'l("+2i.--'.»-"../i2;//

Vi-l-wV

-„-3,-„-;i + .e

O'^ ■^ " — '/ — 1, — ?)- 1-f ^^

Cette rormule se continue a la page suivante,
rrfiifc' des orhilcs absolves.

28

nS Traité des Orbites des PLiuètes.

J Ly,3y,'4„3;(:r-/')-4i(,T-/")+.i[(n-3)r + 3»->»u]y n -i(«-4-.)V

~ 128/ V ■^//_„ + 4,~„+4 + »'^

1^ 128 / / ■<i-"_„ + 4,^« + 4 + v<^

1 J^ „•" '4 «'îr-/-) + 4,\^-/")+i[(n-l)f+,„-,„„'] y n i(„ + 4-.)V

' 12SV V '' ■^"-n~4,-«-4 + .e

T^ I2SV V '^ '^"-«-4,-n-4 + »':

4. _3- y, 3y,' 4^t(7r-/')-4i(:r-r) + i[(»-l)t.+^-,„u'] y n i(„_4_„)V

1^ 128 / V '^ -^//^„ + 4,-,, + 4 + »t^

_| !_ y,3 '4 -3;(T--/')-2i(;r-/')+,:[(« + 3)t^3<u-m«]y/7 „-Hn-1-v)Y

-L _L y,3 ,4 3i(:T-r)+2,:(--/')+i[(>i-3).'+3.u-«a,]y n i(„+2-v)V

I _'_ 3 /4 -3n-^r)+2l\--/") + i[('i + 3)i'-3u<-na.]'y ri ,;(„ + 2_.„)V

1^ 32 / / •^'/_„_2,_„_2 + »f^

4- -- y,3y,'4„3f(--/')-2/(-'-/") + i[(n-3)c + 3.<,-».«,']y/7 ^-i(»-2-v)V

T^ 32 V V '^ ^~'J-ii + 2,—n+i+v'^

4- A y^3^^,4g,-,.-/', + 2ù.--/") + ff(»-l).+»-W]5^^_^__^_^^_^^^g-i(n + 2-.)V

+ A ^3^,4gi(.-/')-2n.T-/",+i[«-i).+.--,™'j i:/7_„+o,_.„+2+„e-*'-^-''^'
+ ^ ^^^'4g3,x.-r,+,ï<„-3„.+3,„-„.i5;;^___^_^^g-,:(„_wv

(4-2, s) /^>'V"<— ''= -i-^^^' V^>— /■-^H.-/") + .[(. + 2

Première Piirtic. Livre II. 219

"'"JZ/y_ p-H.^5-.)V

128 ' ' ■^^ '' — « — 5, — H — 5-l-v ^

12S ' ' ■^-'"_„ + g,_„4.3 + „e

' 128 ' ' ^'"—n-Z,^n—Z^-j^

I2S ' ' ■*-" — )i-3,— K-S + yt^

' I2S ' ' ^-"— ;i + 3,— n+3

' 64 / / ■^''-ii + 3,-,i + 3+«C

+ ^5yVV'^'-"^"'+'"<"-'"''L/7_

220 Traité des Orliites des Planètes.

'^ 12S '' ■^''-„_6,-„_6 + v^

+ --.y,y/V''"-''*"'''<"'-'"'+*''-'"'+'"-""''JE/7 • ^-K«-6-')V

'^ 64 ' V •^//_„+4,-„+4 + y'^

^^ 64 '' ■^''— n-4,-«— 4 + 1/'^

1^ 64 // ■i-//-„_4,-n-4 + i'C

^ 64 VI ^ ^//_„ + 4,-„ + 4 + „e

'^ 128 /> ■^'^-„_2,-n-2 + vC

_!_ i_5_ y,y,'V-" '-''' + -«'- ■'■' + 'U" + I)''-»-"«'] y // „-i(«4-2-v)V

^^ 128 '' ■^"— n— 2,-n— 2+vC

+ S'7''/"^^'""'''""''""'"'^''^"'"'""'"'"""'"'^^/"/-«+2.-„+2+.e-'^"^'-"'^

+ f ^^'^■■^-'■'^'1'"-""+'— jZ//.

11, -«+1/

Cclt- runiiiilt' se conÉimii' â la p;i]

Pieinière Partie. Liviu II,

5 7- L'expression (3) s écrivant aussi comme il suit:
(5) />>"'6>('-"' = ~^fr/'

X e^'"<'''"''J-'''''('"-'"'+'[("+>^)i"-"')-"(^-«,)+.s\»'-,„,i]

+ - e ■''"~2'('^-'')-«X'^-/")+Jt(«+s-3)(B-,»)-«(»-'.

J+sX:»--..,')]

+ . ..

^ig-/s(r-n-,(5'_o,(.T_/",+,[(„+sx»-<.)-»(.'-«)+cs-2)(„--„)]

+ - - e-''^'--H'--'')-.(s-2)(;r-/') + ,[(„ + s-2,(,-<„)-„(,/_,„,+(3'_2)(„._^.),

on en tire, en mettant V au lieu ,1e V + U', les fornu.les «lue voie

(6,0,0) e"'<"-"' = e-'""''-'"'r/7;„^„e''"+"'V'^

222 Traité des Orbites des Planètes.

(6, o, ,) ^V"<"-"' = \ ^'e-^-/')-.[("-').''+»— J 5://;^^^^,^e''"+^)v

I 2 y ",»+•' ^

Evidemment, il n'est pas nécessaire de continuer ces formules; car,
les formules (4, s, s') étant établies, on en déduira immédiatement les for-
mules (6, s, s'). En effet, pour avoir l'expression (6, s, s') du produit
p^p'^ é""-"~''\ il suffit de changer, dans l'équation (4, s', s), p , tj , v , w , F,
TT et fj en p\ -q' , v' , w', F', tt' et /7', et vice versa, et encore, n en — n.

Aux expressions que nous venons de donner, il y a lieu d'ajouter
quelques remarques. Les voici:

1°. Les sommes, entrant comme facteurs dans les seconds membres
des équations (4, s, s') et (6, s, s'), doivent, évidemment, être formées en
attribuant à l'indice v les valeurs des nombres entiers à partir de v =■■ — cno
jusqu'à y ^ + c>2. Donc, si l'on s'arrête aux termes du septième degré,
on prendra, en considérant que les diverses expressions renferment le
facteur rl'rj"^ ,

si .s + .s' =■= o : V = — 7 , — 6 , . . , — 1,0, + 1 , . . + 6 , + 7 ;

si ,s' + .S-' = I : y = — 6 , — 5 , . . . — 1 , o , + 1 , . . + 5 , + 6 ;

si *• + s' = 6 : y = — i , o , -f i ,
si s + s' = 7 : y = 0.

2°. Dans les formules (4, s, s') figure encore l'argument w', qui n'est

pas une fonction de v mais bien de v' , et, dans les formules (6, s, s'),

l'argument to , qui est une fonction de v. On remplacera, cependant, en

utilisant les relations (14) et (14') du n° 41, lo' par l'argument fi-co,

isociuétique avec celui-là, et w par --10'. En effet, la première des rela-

tions mentionnées conduit à l'équation que voici:

(7)

c = e

Preiiiièie Partie. Livre H. 223

et l;i seconde de ces relations à celle-ci:

(7) e = e ^ ■"'

H' + U'>

On aura, en introduisant ces valeurs dans les formules (4, s, s') et (6, s, s'),
des expressions dépendant seulement de v, ou seulement de v', pourvu
qu'on y ait fait dépendre H + U de v, et H' + U' de v' . Mais encore,
rien nempêche, afin de rendre les arguments exempts de termes périodiques,
de développer les exponentielles suivant les puissances des quantités très

petites ç r et c • tependant, ces opérations saiiectuant sans

aucune difficulté, je ne m'y arrête pas.

3°. Lorsc^u'il s'agit de développer la fonction

A étant un agrégat périodique dont nous supposons la valeur toujours
très petite, les formules cjue nous avons mises en évidence s'appliqueront
encore; il faut seulement mettre, dans les formules (4, s, s'), w' — A au
lieu de u)' , et, dans les formules (6, s, s'), co -\- A au lieu de w. Finale-
ment, on pourra développer les exponentielles suivant les puissances de A .
Ainsi, par exemple, le développement de la fonction

s'obtient facilement, vu qu'on a:

V — v' = V — v' — (^T — G'),

et que G — G' s'exprime moyennant un agrégat périodi([ue dont la valeur
est peu considérable.

58. Pour arriver à la forme définitive des développements dont il
s'agit, il faut (ju'on introduise, dans les formules des deux derniers numéros,
les expressions des fonctions // et //' telles qu'on les a données par les
équations (21) du n° 42, et ensuite, qu'on remplace les fonctions I[7/,7j)
et I{-^ , r/) par les développements (22). De la sorte, on obtiendra les
produits, envisagés dans les numéros mentionnés, développés suivant les

-24 Trait.^ des Oi-Ijitcs des Planètes.

puis.sances des fonctions tliastt'niatiiiues. Povir donner un exemple du calcul
dont il est question, je vais spécifier les détails relativement à la trans-
formation de e'"(''-"''> .

On aura d'abord, en partant de l'éijuation (4,0,0):

+ l'z;'-"+'(^', y/)e-'<'-"' + . . .]e-'("-'>^
+ [I^"'-"'-\r/, rj) + lT"'-"-\ri', ,y)e"-'»' + . . .

+ i:i;''-"-'(jy', 3y)e-'"'-'"' + . . .]e-'*"+'»^'
+ [2'„-"'-"+=(r/, ri) + ir'-"^\ri', r;)e'"-'"' + . . .

ou bien, en considérant l'équation (23) du n° 42:

+ 2T(V, 37)6^'"^-'''-^"-'"'+ ...]e-""^'
+ [2'r'-'(^', ^)e-="^-'''+ I'!:r'(^', y^^^^ii^-n-M^-n+.^-,o, ^

+ 2";'"-'(^', ^)e5,(.-/')-2,(.-/")-,ï..-,». ^ ^ jg-n«-i.v

+ 2";'" + ' (y/, ^)e=.(;T-/')+2«.~/")-.-(,.-,„i ^ ^ j^,-,<«+in'
+ [2'-"-'(;y', ^)e-^'<^-^"' + lrr-{ri\ ^)e-^'^-''>-^^<--'' '+'<-'") + . . .

+ r;''"--(r/, 3y)e''<--n-4,-,.--r,-n,.-,„) ^ .]e-i«-5)v

Première Partie. Li\re IF. 225

Maintenant, si l'on porte, dans la formule précédente, les expressions
des fonctions ï{7j\ yj), on parviendra finalement au développement que voici:

_J_ y,y["(i'-<u')-('!-l)V-(,T--/'')|f£^,-l ,(,l-l);r,0 ^„,^\ .(n-lH-,0^'3

+ y/e'l"(»-'"')-("+>)v+--''i£('_y^ye-|,.-,.-(.-nij^j,,.g(. + i,,,-.

£",1 ^(" + 1H',V/^ i",i ^(" + 1)^."^,= _L I

S3 c„ rj — SI c„ + ., :!y -t- . . .j

£«-■•! -("-2)^,0^,2 r 1

Celle formule se conlinue a l;i page suivalile.
Tfaiîc iks orbites absolues. çû

226 Traite'; îles Orhites îles Planètes.

^^.Vi"("-'"-'-<"-^'^-^'^^''"Z(— ,y)'e'^i'-^"-<'^-'''iiçï'

-2 ^(„-2H.,-.

_^ .^^,2g,T"(.-.0-C«-2,V-2(._/-.l ^ (_ ^yg-,V[..-™-(.-/')] j£«.-2^(»-2,,,:

l''2
(«-2)V', ••-.,/ 2 £»,-2,(n-2)ç',v„,2 i |

_^»,-2^(„-2„,.^-2_.„.-2,,^2,,.^,. _^
_f«,.,(- + 2,„-.^,2_ .„,2 3(„ + 2)„-.^2 ^ _ J

^ ^,2^<f„(,-.',-(„+2,v+2,.■-/■^)l2:(_^)'e-H^-."-(-'■>lj£^2ç("+5V."

_^.,23(„ + 2V.^,2_^„,2^<^2,cv^3+ ...1

i:'i,-3,(n-SH-,-« /2 £:»,-S_(ii-3)ç,-v 2 , |

^,_,^(„_,>„.^,2_.„,-3^,^3„..^2_^

+ '

l'icinirrc Pari if. liivre II. 227

11 s'entend que cette équation reste en vigueur, si l'on y change v
en v', v' en t\ V en V, u) en co', <«' en w, - en tt', tî' en ;r, Z^ en T',
1' en P, fj en jy', >y' en îy, ^ en ^'' et finalement n en — «.

59. Au lieu de donner des expressions, analogues à la précédente,
de /je"""""* , /)'e"'"'^''', etc., je vais maintenant rassembler, dans des groupes
séparés, les termes de divers degrés, ce qui sera le plus commode lorsqu'on
en fera usage. Dans les listes suivantes, je me bornerai, toutefois, à ne
mettre en évidence que les termes jusqu'à ceux du cinquième degré in-
clusivement, vu qu'on n'aura que très rarement l'occasion d'aller plus loin.
A temps et lieu, nous déduirons les termes appi'éciables, d'ailleurs peu
nombreux, qui appartiennent aux degrés plus élevés que le cinquième.

A) Termes du degré zéro.

Il n'y a pas de termes du degré zéro outre ceux qui iigurent dans
l'expression de e"(''^''>; en ne considérant que ces termes, et en se rapjjelant
les valeurs

Si) — ^0 ^ )

on écrira tout simplement:

(9,0,0.0) e'"^'-'-'^ = e'"'"--'-^'',

ou bien, (m clunigeant v en v\ v' en i> , oï en co , V en V et n en — n,

(9', 0,0,0) é"'"-'' = e-'-'C'-'"-^"'.

B) Ternies du premier de/jrc.

Des ternies du ]n'emier degré ne proviennent que des dévelo])penients
des fonctions e'""' " , pe""-'^''^ et />'e""''^*'*. En ne tenant compte que de
ces termes, on aura les expressions

(10,0,0,0 ^"'°~" = — £Ïv<->^e-"--'''+*l<"^'"-"^-"'-"™l

+ çr'yi'e-''^ /',+,|„„^.,„-„v-- I

I ;".! y V'''^"'~ '■" 'I""- (" + "V-m,'l

228 Traité des Oïliites des Plauètes.

(lO, 1,0,.) ;9e'"<-"' = > ^g_n-/')+.l(«+»»-.v_,„-,„„j

(_)n aura c'yaleiiifut, après avciir cliangx' v en (/, etc.,
(lo', 0,0,0 ^"''"'' = _£^^.>,j'e-*<-'-'"»-*"-'>"-"^'+'"-"'"J

etc.

C) Termes du, deuxième degré.

En ne tenant compte, toujours, que des termes du degré indiqué,
nous aurons:

(II, 0,0,2) e'"^''-"'' = [— ei'\/ ' — £''v',o^5jg««.-«v-,„„',

^ £".-1 c<"-lV-lv,y,'-,~''"-'')-'''"''-'"> + 'l<" + "''-("-'>'^'-"'-""'']

SI -1 77 '^

Si -1 77 *^

£".1 c^"+>H-.~ly,y//.-'(--'')+'('^-'") + '[(" + l)''--t» + l)V-,„-K„/l

S 1 - 1 jyT^ e

Première Partie. Livre II.
(i 1 , 1,0,2) ^oe'"'''""' = — 1 cn',-i5,3g-'j'(;!--/')+i|(«+2)i— «v-'.',u-«<„l

+ ;si''V;5^V'"-'''--'*'-'-'"'+'l("->"-("-'>v+'"-'-l

+ ^c"''5y3y'e'^'~'''+"'^-'''+'l("-""-("+iJV+™-wi
(i 1,0,1,2) p'e""-'' '''= — ^£<"-"v'.-'5r^'e-'('r-/')-'(--/")+.t(«+i)..-(.,-iiv-»,-,„„i

. 1 r^'-llV.' j^^'g'(--/')-iX--/') + ,|(„-l)i._(„_,)V+,„-,„„

(11, 2,0,2) ^'e"'>'-"' = ■ ^2e.-("»-..v-,„„',

4 ' '

229

-'■M) Traitt' des Orhite.s des l'Iauètes.

(i I , .,.,2) /)//e"'<'-^''' = i^^<p-n.T-/v.(-T-/")+,[(n+i)„^t„-i)v-.-wj

+ -^vv'^'

(,T-/')-i(;r--/')+î[l«-lU-(«-l)V + ru-n,„J

-;(--/■) + /(--/•■)+ -l(« + l)r-(» + l|V-<u-««/|

+ -rjyj'e '<

(11,0.2,2) /yV"'^-'>= iyyv^--"V-w,

' 4 '

D) Ternies du troisième der/ré.

(12,0,0,3) e'"— "'= + .»..-.5^V"^-'''+'l"'+"'-''''-'-""'i

-3 V f^

)y 7^

Celte funiuile se ociiiliiiue à la i.:ij;c suivante.

,1 _(« + l)ç-,-2y,2.^,Vj-2-(.T-;')+i{--/'') + ;l(n+2)»-(n + l)V-2,„-),„,
!iC^- /■)+î(--/")+iL("-2K-('l + l)V + 2»,-«„/|

Première Partie. Livre II. 231

i

iJ.2^<" + 2!V',l^j^'2g»:--/') + 2,(r-/") + ,|(,,_l)„-(„ + 2)V + ,„-W|

(i 2, ,,0,3) /ye'"'"-''= —-{sr-' — er-^î^y V-'(^-''i+'f<"+>"-»v-."-wi

— ^ cl''' £<''^"'''~' jy'jy'e--''^-' >+"<'^'-' ■' I 'T<"-^2)"-(»+i)v-2,„_,„„'|

Celte fonniilo se ronlinue a la p.ige siiivanle.

Traité des Oil)ites dos Planètes.

+
+
+
+

(12,0,1,3) /)'e''"'''~'''= —

' ç,';'''y.,r' V('''~''' + '[*"" ')'-"V + m- «"/J

^2"'"'^57'V-'<"-''>-^"''-'"'+*"+""-(''--'^'-"'-"'"i

i:^^',-2j^^'2gi(--/')-2.(^'-r) + if(n-l)t— Cn-2)V+u,-nwJ

-2 3JI 5y e

-l''-l)V,2y,2y/,,2;(;r~/')-7(-'-/") + i[(n-2)i'-(n-l)V + 2™-n™'|
-2 V V ^

,(« + lH-,-2 2 » -•2,(--/')+i(--/") + .|ln + 2)t>-(« + l)V-2(u-W|

-2 7 7 «^

_(n + lH',2 2 /^2,(--/') + -(-'-/") + i[(n-2).--(n+l)V + 2,.-Wl

|:>i-l,-l „(-l-2lv-,-l '2g-,(;r-/')-2.X-'-/") + irin + l)''-("-2)V-™->.r<,'|

i:"-l,-l ^(«-2)v-,l „ '2g,-f;r-r)-2ï(--r)+([(N-l)r-(n-2)V + ,.j-Wl

£« + 1,1 j.("+2V'-l™'2g-nr-r) + 2»;r-/") + ,|(« + n»-Cn+2)V-<u-».<,/|

: 11 + 1,1 ,(» + 2H-,ly,„'2 ,(n--n + 2.X^'-r)+i[(n-lU'-(nf2)V+i..-»ii«'|
il - 1 77 "^

1 fç""''" £;; + '. -2-\y'3g-fc-'-/")+'1»''-("-i)v-wi

Cette formule se eoiiliniie à In page suivante

F'reniiV'rp Partie. I.ivre II.

+ \ e2+'''3y' V'<"--''>+'i""-"'+-i)v-"<"'i^

(12,2,0,3) ,«V""- -'•■'= — Jls;-.-' -f ' .;HMJ^V-'.^-'''+'f<"+'»'-"V wi

+ 4 ^>'~''^V«~""'''"'^'''"""*'" '"■""'""■'

+ f î' '5^^59'e"''~~'''~''<"'-'"'+'T("-='"-(''-i)v+2«.-iu,v|

238

7Vai7« des uri.iles ubsulii

(Vtle fonnul,. M. .■„„li„„,. J la |x,k,. ,„iv;„,h

Su

234

(l 2,0,2,3) /''■'e"

Traité (lo.< Orliitfs dos Planète;

^1

V V

_<«+nç,l„2 ' "/(^-/•) + ,(r-;')+it(M-2)r-(ii+l)V + 2a
^1 5J 7y (S

(^„_1,1 I j;„ + ,,-H ,2 ,(;,_/■) + ,[„ + , )„_„v-

|Ci -t- ^1 ^rji e

'1-1,-1 y '2g,-(7r-/')-2;(;r'-/') + ,[(n-]),— C7,-2)V+(.

— »„■]

-«..'1

ç, ' y/y/

£" + l,lv.v''''/'-'"^-''> + 2'X'T'-/") + i[(n + l)>'--C'i+2)Y-m-«

, 1 >;y/ e

c"V-lyy'V-'<"- '■' + '[(" + 1)"-""^'-"'-""

-1 y/y/ «

-, ■ yyy/

.(n-2)ç,-l /2 -i(n— /•)_2^■(^■-/•■l + i[()l + I)»-{;i-2)^•-

y;yy e-

,("-2'C,l /S ((--/■)-2.(^'-/")+.|(„-Il,'-|n-2n'+,>

-1 5/7 «

l« + 2lç,-l '2 -,(--/') + 2i(s--/'l+i|("+l)i— (n + 2)V-

1 v'J ^

^ -1 'J'i f'

I lli:»-! 1 I^ i:«^2,ll ,3 -,(--/") + ,|,„.-(„-1)V-m„

i- I . S 1 +4^1 ( 'J ^

I I ' £".1 4_ i.4:"+2,^-ll '3 .(;T'-/") + i|«r-(H + l)V-m«'|

-t- I 2 S 1 + 4 ■» 1 I 'J «

I I -,,-2,-1 '3 -:t,(--/")+,f„,.-(.,^")V-,»n

-r 4 S, 1 y/ c

I 1 i«H2.1 -3 :l,lrr-/")+,|„r-(«+3.V--,„.'|

l'reiiiiriv l'nitif. Livre II.
(12,3,0,3) //'e'""' "■'= ijj-'e-'(.-r-/')+.i('. + i)>-„v-,„-,„.|

('2,2,1,3) />V' '«""""''= 'ir/^y^'e-H':'-r)+i\„«-u-\)v~m„]
+ - r; V/e'<"-'"' + 'f""-<''+"v-""/J

+ ' 3j '-')j'e-'"'-'''"'<"-'">+'l<"--2)'--(''-i)v+-2,„-,„„'i

4- - r/'^r/é'''-'' '''+'<--'')+'l(''---!i»-(«+i)v+2„;-,„„'j

(■ 2, 1,2,3) />//V"^"-"'>= I^^' v<''-'''+'i"'+'"'-'''^'-'"-"<"'J

+ l )^r,'-e-'('--/') + 2'(--/") + !|(n + lH.-(,! + 2)V-™-„„/|

23 G

(12,0,3,3) ^^'-'e'""'-"'

Ti'iiité (les Orbites des Fliiiiètes.

+ f57"V

-■-/•■) + i|„,.-t., + l)V-»,„'|

I i. /;i^-3,l,T-/-J+,[«..-(„-3)V-m,/J

' ,'Vi(--/")+il"C-(« + 3)V-W]

+ VJ'V

(13,0,0,4) e

E) Termes du guatrièn/e degré.

C4 V ^

^tu-,'i i •2H--r)+i\in-2)L--n\' + -2,v,m

C4 5^ e

+

_n(.-,-4 4 -4i(--/') + i|(ii + l)v-«V-4™-n<u'J

rj e

~r S 1 -3 '/.'/ C

I "«,1 _(n + lV,-l 3 'g-i(--/') + i(--/') + .[(« + l)i---(« + nV-o/-

<:«,-l,(«-l)l.',-3 3 / -3i(Ir-/•)-,^.T■-/■)+,[^„ + 3)r-^>i-l)V-:
SI -3 7 7^

^",-1 ,('>-lV,3„3 / 3H,T-/'l^,(--/") + ;l("-3)l'-('i-nV + 3,u-
s 1 ~3 77'^

*«,! _(« + lH',;i„3 / 3;(;7-/')+i(^-/') + i|(«--3)r-(«+l;V+3
S 1 ■i 3 77'^

+ ?;'ȣr'"^V'e"'^"

C.-ll(3 luiiiulle se ciiiiUuiH' -À i;i |);igo suivaiile.

— Cs'

l'rciiiiri-e Partie. Livre II

■rM

^.^,.g-2,(.-/"; + ;|,„-,„-.,v- -1

-",-V", (-■-iç.u 2 /'i ■-''■(--/'•)+i|"r-(„ + '.;iv-«,«|

+ c2-s"'+^'^-^>jVV

-/■| + 2v(.T-/'l + /|(n+2)o-(«+2)V-2a)

4- A;^''£i;'+-'*''V;V/V''" '''"'"-'*''"'' '"^'''''""'''''~'"''""*^'^ ■'''""'

+ ç

»,-1 ,WI— 1)ç, — 1

7;77 e

-i(:7-/'l-,l --/■■)+ i|(»|-l)i;-(«-l)V-

«,-1 ,1'— llV.l v^'^*''("-'''-'<"'-'"' + 'l<"-'''^~'"-"^' + "

:«,i ,('. + i)v',-i„„'3p-ù--/') + i(.T-/")+i|('i + ii»-</i + i)V-

^«,1 _(« + l)v-,l.

l--/') + i(-^/') + iT(>i-I)i'-(« + I)V + ,u-n,„'|

<:n,-3,t«-3H',-l„,./:i^-iX--/')-3M-'-/")+.|(» + l)t— («-3)V-

_.„,-33,,-.V,.^^'3g„.-,

_-/■■)+, |l„_ll,._,„_3|Y + tt

£".3 -'" + '"*'. -1 y-.y/ V

i- S4 7 c '

_1_ ' \^«V,-\ ,«?,— ■ily'l -2,lr-/')+tluH-2lr-«V-2<u-«.o

L'etlc foriinilc se uoiilinuu ft l:i |>age suivame.

Traitr ilv^ < »rliitfs il(<s Planètes.

1 -"V.Sv-Z'/'^'t"- /'l+'K"-4)'-"V + 4"'-""''l

1 £", -ll-C'-lV." -l"-|lV','J|yVV'>"-'''-""-''>+'l^"-'

|„_(„_llV + ,u-,„„|

^'Ti jw., ij l'y 'y ^

+ ir

ÎJ ry

-aH,T-/')-K--/' ) + i|(« + 3li'-(.n-l)V-3.«--»u I

I 2 ï 1 -2 U 'i^

- "T , Ç 1 '^ 2 'lu

-«,1 ,(n+lk-,2 3 /:)i( --/•> + !( --/■')+.|l«-3)i.^« + I)V+3,u -«a

^ 1 '^ 2 7 7'^

-T 2^2 1-1 "1" -1 \^i ^J ^

■-2 1-1 -^ -1 s^i V ^

02 1-1 i- -1 ]^t V ^

-2_(/i-2)i-,-^l 2 <2 -2,1 --/'i-iit -■-/■) + î|<" + 21c-^n--2)V-2,u-,/,,,|

-I 7 7'^

:'i,-2_(«-2V,l„2 -2 2j(t-/')-2((--/") + j!(«-2)i'-(«-2;V+2..j -»..,

,., Cl îj 7 ^

Première Partie. Livre If. 230

+ - ^J''-'3^5j'^e-'<^-'''-3'-(V-/"i + ,ï(" + l).'-(>,-3)V-,„-„,„']

(13.0,1,4) ^o'e"'<''-'"*= A£|^"-iiv'.-i;yV/e""''''~'''-''"^~'"'+'i<''+""-<"-"^'~"'-'"»-l
_|_ Içtn+iH'.i5^3^/g.(--r.+;i,T-n+,:|,»-i,,.-,„+i,v+<..-m,/|

Iç("+'H-.-3^3^,g_3;(r-/M + ,(-'-/') + ;|,„ + 3)r-(„ + nV-3,„-Wi

Cette lolllUile se conlillue a la page suiv;,ii(i..

240 Traita' (1rs (orbites des Planètes.

l ,(n + l)ç,3„:i '-,3.(;7— /•|+il,T'^/"l+if(>i~3)i'-(ii + l)V + 3<..-n,./|
2^=3 7 7 '^

i- 2-2 |Ti -t- Çi t^J ^J ^

1 £"-1 -1 ^(''-2IÇ-,0„2 '2 -2,(-' -/") + .|n..-(n-2)V-Wl

j'ïl -2 V V «^

' £" + 1,1 ,(>l + 2)ç,n 2 /2 2i(--/") + iTni'-(«+2)V-n,«l
2^1 ^2 'J 'y ^

I 1 |"-1,-1 ^;n-2lV.-2^,2„'2g-2«--n-2i(--/") + iï(n + 2H— ("-2)V-2<«-m„]

I l e"~l,-l _U'-2lç,2„2 ,2 2,(r-/')~2;(--/"l + l[l"-2)r-(n-2lV + 2,i.-W|
-t- 2'1 -2 ^J ^J ^

_^ l^"+l,lç;;'+2V-2y2y/2^-2;i--/')+2,(--/') + ,|(.. + 2l.-(" + 2)V-2,„-WJ

I 1 i" + l,l _l« + 2lç,2 2^2 2i(,T-/') + 2Ar7-r)+i|(«-2)r-iH + 2)V+2.«-..r„'|
-f- 2 ■> I -2 '^ 5^ ^

1 ' ,(n-lk- -llew-l.n £» + l,-2| '3 -,(rT-/')-it--/")+»ï(n+l)i'-(n-llV-<„-i»»|

-^ j'^i 1^2 co l'j'^ e

I ' ,ln-lK-,l I tn-1,0 ::.i + l, -21 /S i(--/')-î|--/")+i((" -! lr-(.i-l )V+™~n,.'r

-t- 2-1 |C2 S2 tyjYj e

-h 2-1 1*^2 C2 l'^'^ «

1 ï ,Ui + l)ç,l| *n+l,ll £''-1,21/3 «--/•)+i(r-/')+,;|ln-l),;-(n + llV + ™ -n,u|

-j- 2-1 |C2 C2 l'J'J e

' "n-l.-S.Oi-Ste,- 1 '3.-i(r-;-)-3i(--/")+ir('i + l)'-(n-3)y-.,.-.'o.-l
2^2 -1 77 '-

' £'>-l,-2_("-3H-,K „',3„J(.r-/')-3.ir-/")+î[(T>-l)r-(n-3lV + a,-»iiu'|
2^2 -1 ^/^/ ^

• fn + l,2_(" + SH.',-l„„/3 -ilr-/') + 3i(-'-/") + î|(" + l)i,-(n + 3)V-(.'-".u'J
2 "• 2 - 1 77 '^

(Vl(,- I.M-.,ii,l„ s,- n.nliiiiip ri la |.:ige -siinMiile.

Premit're Partie. Livre II. 241

(i 3, 2,0,4) /> V"<"- '•■' = — î ' ^7'' — - s7--' — ' s:^-] r/e'^"^~"'--"'">
[ ~ 4 - 4 - ) /

_J_ i. c;;v'.-2j.4g— i,(,T-/')+,[(„+4)i,_„v-4-«-«„/|
_^»,-i|'.(,,-iH-,-,_^l.,„^ns-,.l^:i^-g-n.--n-/(^-/')+*,,+i),.-(,,-i,v--,,,-„,„-|

^' l

j J.;—^.' + iç("-iv.-i j^ye^(-/')-i(^-/-)M("~n.-(«-i)v+.-w|

TraiVi' [/c<: oriiilcs ali.iolucs.

— -f;'-'£<"-'H-.-i^,V/e"'''''^''>-'''"--'"'+'T(«+3>"~("-i)V-.'i™-»,„:i

— - IJ'-' 3("-'H'.l3j,3^'g3;(;T-/')-,(.T-r)+,:|(,,-.,)t._(„-l)V + 3,„-„„/|
Cello forniule so oonliuuc a la iin^f siiivantp.

242 Traité des Orbites des Planètes.

,2 3j 5y e

1 i".l -<" + "V,-ly 3 'g-:ii(--/')-|-i(--/") + ,:i^„ + 3)r-(n + l)V-3.u--m

i £«,1 ,U< + 1 V.I y,^y,'g3'(--/') + 'C--/") + i[(.«-:ni— (" + l)V + 3(u-n<u'|

I ' i«,-2„3 '2„2i:,--/V-2,X--/")+i[(,,-2)r-(„-2,V + 2™-m,/|

4- £^",2 2 ,2 -2i(--/') + 2ù---/")+)[(» + 2)i.--t«+2)V-2,u-W|

!_ ■ £",2 2 -2 2H^-/') + 2;(--/") + îK»-2)r-("+2)V + 2-„-na,'J

-r - S 2 îy ^ e ,

,'t - "l /./,V''""-"'— l/-("-i)ç,o_-i«-iV-2> 3 ,^n--/Vi(--/")-t-i[(« + in-(«-i)V-,„-m„-]

\io.i,i,4j /Y'^ — 4 1-2 -2 j'î'y^

. 1 /.(..i + !)>.',» ,(^H + lk-,-2\ 3^/^-i\^-/') + '(-'-'")+'ï'" + l)<-(" + l)V-m-,i™l

1 /^(N + DV'.O _ 3■(;' + lH-.2^J^•■!y '(,'(--/■) l-H--/') h'[(n-l)i— tn + l)V + ,»-m»']

I ' _(,i-l)i-,-2 3 ' -3i\r-/'j-H-'-/") + 'T{" + 3)i--('i-l)V-3ru-nra-|

_|_ i.3.;"-llt',2 3 <g3i(--/')--i(;r'-/") + ,ï(n-3)..-()i-nV+3,<,-^«,«|

I ' ^(" + l)v',-2^3 /g-3i(.T-/')+n-'-/') + l-[in + 3lr-(« + l;V--3r,;-W]
Cfllp formule se onnliniie a la pnge siiivanle.

Piviniri-c l'arliu.- Jjivrc II.

213

_'(-"V,— 1 r ."Ç-,1 l( i:"-l,l I £" + 1,-11 2 '2 i(în'-jiV-,„„'l

4I-1 i- -1 i|Ci + SI ' ]jy jy V"' "^ '""'

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- i. (ç,^-''» — ç.^' + l.---;)^^'3g-ÏÏT-/')^,X,T'-/") + ,T« + l),.^-{„-l,V-,„-

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4 - / / ,

244 Traité dei* Orbites des Plauètes.

.' 0)0,2,4/ /Je — 2^- U U ^

T^ ,-2 f} 'i ^

i c(,"-'-'V.«^2,j' V~-'<''~'"' + 'f"''~'"~-*'^'"

4

«-lH-,--l I £ £",-1 I ï <:'i--2,l 1 „„/3 -(•(>r-/')-i(^-/') + ilC« + I)l.-("-l)V-<u-IiK,)

_|_ 1 ,U-2)v,-2 2 '2g-2«T-/')-2j(.--/")+i[(»+2)i-(n-2)V-2m-«a,']
_|_ 1 ,(ii-2ii-,2 2 /2 2i;;r-/')-2j(n--/") + ([(n-2).'-(«-21V + 2m-n<u']

I i ,(n + 2)i-,2 2 '2^2i(;r-/')+2t-(;r'-r')+([C;.-2)i.-(« + 2)V + 2a,-„u,J

_ _(n + l)ç.,-l) ■ ^«.\ \ £ -n-l-2,--l 1 /3 -il,;r-/') + n---/")-|-/:L(«+l)o-(n + l)V-a,-),».

I ^„_2,-l „(„--3l^.,_] ,3 -n--/',-3i(--/') + i|C"-H)c-(n-3)V-,u-"o/J

4^1 -1 'y? e

i £"-2,-1 ,("-3lç,l '3 t\--/')-3i(.T'-/") + iI(«-l)i'-(.i-3)V + «,-H„;'J

— 4 SI il 5^3? e

— -SI wi r^Tj e

' £«-1-2,1 _(.H-3H',1 „„'3 M--/') + S/(-'-/")4-t[("-l)f-(" + 3)V + (u-m»]

4^1 '1 V7 '^

Cette formule se eoiitiniie à la page suivante.

['reniièiv P:ii(ie. Livre II.

245

_|_ I ^,,+.,,,2 ,4^,,,;(_._ /■') + ,:[„„- („ + 4lV-H»l
4 ' ' '

(13,3,0,4) />V'"'-'»=— iJej^.-' 4. .»V,.j^V..-.V_W)

|i3r'' + '.r-'|^v--'''+^i"-K-.v...-„„

Ml) Traite des (Jrbitcs dus Plauèlcs.

'lï^l +8^1 1^=?^

,(«-1 ç-,-1 3 » ^3H--/')-i(-'-/') + i|(«+3)i— ('i-l)V-3<u-n.»J

:^i 7 7 '^

1 ,(«-l)ç,l •■! ' 3«--/')-:U-/")+!l!«-3).'-(H-l)V + 8u,-mu']

K-i 7 'J^

-1 5y î^e

8-1 'y 5?^

I 'l;»-l,l 1 ;>!+l,-l|„2„'2 f(,a'-nV-«<u')
-T sl>l T^ ''1 S^i ^ ^

-^ gisi i- ^1 l'y îj ^

'i-l,-I„2 ,2 -2,(--/'i + ,|h,— (,!-2)V-)l„,-|

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I 4''l V U '^

+ içr'--:yV'e^"'^

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I ' ^.i-1,-1 2 /2g'J,(--/')-2î\.T-;'l+i[l«-2l«--(J!-2)V + 2«,-w^

1 ' £B+1,1 y,2 '2„-2lX--/',) + 2i(,T-/")+«|(« + 2jt-(n + 2)V-2,u-,to

T~ S^l 'î 7 ''

I ' -" + 1,; 2 -2 2«--/') + 2î,-'^/'l+,|tK-3;v-(«+2,V + 2„,-.to]

Proinic're Partie. Livre II.

247

— 4 -"'' '3y^);''^e~^''"-'''+''l"'+2)''-»v-2..-Hr„i

— Sl-l"^' ■■■' + £!" + "• ■"')3y'57'V"^-''' + '['"-l« + 2lV-WJ

• ^ £Î" -'■'• ' ;y^3y'^e~-''"~''*^-''~-'")+'l(«+2)»-("-2)V-5,„-„„,-|

— ^£f-='^'';j'>7'V'<^-'''-^'^--/'

) + î|l/»-2)))-(,l-2)V + 2u;-H,,„|

+ '4'?!''^' + ^ç'i'"'''!->y)j'¥'"-''-'-'^"'--''t+'i<«-"«-(»-i)v+,.-M„/|
+ |ir^'~'3?37'V'"-'''-'"'<^-'''+'k«-i)"-(»-.r)V+,„_„„/|

248 Traité des Oi-Lites îles Planètes.

( , -, \ f'^pi'H'' -'•'■' 3 („_i)ç.,._i ,3 j^-_-/■,_,•^--/■■)+î[n+lu■-^>l-l)V-,»-WJ

1 j.C)i-l)V,l „„'3 H,T-/')-i(;7-/')+if(n-l)i!-(i!-l)V+..<-n™]

3 _|,i + ,)ç,_i ,3 _H--/')+î(r-/') + i[(« + l)î--Cn + l)V-,»-n,V]

S-1 77 '^

g Cl 'i7 f^

i ()1- 3)v',-l /3 -i(:T-/')-3!(--/")+î[(n+l)»-()t-3)V-.u— îlw'Jv

jjCi /y /y c

i _(«-3)c,l /3 i(r-/')— 3i(- — /■■)+î[(n-l)ii— (n— 3)V + (u-n(,.|

j,wi 7jj e

i ,(« + 3)ç-,-l „„'3 -«(--/■)+3»(-'— /■■)+î[(n+l)f-(« + 3)V-(o-n(u]

S'i 77 '^

i _(« + 3)ç,l ,3 ,-|--/') + 3i(--/') + i[,n-l)»-(n+3)V + ..-)Wl

S'-l 77 ^

I 3(;„-l,l , £» + i,-i| ,4 wOT-jiV-m.y)

I 11 £.1-3,1 r 3 *„-l,-l 1 /4 -2l(r-/')+»[m--(H-2)V-W|

1^ I s ^ ' 1^ S ■" \'J ^

I )! £« + 3,-1 _|_ 3 ^,i + l,ll ,4 2M-'-/")+,[„r-(,, + 2)V-«,»J

1 in-3,-] -4 -4,-(;r-/' ) + !-|Hr-(«-4,V-Wr/|

I I £" + 3,1 '4 4;(--/") + ![ro— (n+4)V-W|

1^ S ^ 1 7 '^ >

. ' 0'4,o,4J P ^ — S 7 '^

4 ~2)(r-/') + ![()i + 2)r-nV— 2iu-)t(u'|

+ i ''/^^

1 1 y 4g2;(--/')+jT()j-2)i--.iv+2..<-)!(.yj

1 _|_ y 4g-4i|--/')+ir(n+4)r-MV-4ru-«tt,-J
^^ l6 '

. 4 4>\--;')+i((.i-4)r-nV + 4,u-n,«'J

+ ^'^/V-

Première Partie. Livre II.
( 1 3 . 3,1,4) /> ■'/>'e'"^''"'-''' = -i 5^ '-'rj' Q-i' --' /■)-'(--/'i+-i(«+i). - („_])v_,„_

~^ il 57'''3y'e"'~'''"'<"-'">+'r("-i)''-("-i)v+„,-,„

+ j'g^V/e-"'""-'''-"^'- /■')+'|i"+3),.-(«-i)V^:i,„

+ ~ >-i'V'e-5" --/'•+'■( -■-/")+;Fu,+3),.-(„+nv-:i,„-
(i 3, 2,2,4) />>'¥""-"■'= i ^^^' v""-"^^'""'i

+ \ ;îV/V-"'^'-'"H'I:".-(«-2)y-„,„'i

+ i yy V/ V'<"-''>-2.(.-r-/')^,((.,-2),-:„-2)V+o„, _

T™/// r/c.s oW,(7f.ï nlisolurs.

249

32

2r)0 Traité des Orbites des Planètes.

( I 3, >.3,4) /Y>'V"<'-'-' = -|y,y/Se-'(--r,-,(,--/')+,Tc»+i),-(«-,)v-,„-wi

4- J_y,y-/V(--'>-3'(---/') + .|("-~l)"-("-3)V + »-.""]

'^ i6 ' '

(13,0,4,4) />'V"<--'>= I ^'V'"'-"^-"'" 1

_|_ ! '4g2,(r-/")+.r"'-("+2)V-«,„'l
' 16 /

F) Termes (in. rlnt/iiif^'me der/ré.
(14,0.0,5) e'"0--)= _ .«,,-i^0g_,-(.-r,+4o,+i.-,.v ,,„/]

4- £■'>■•-" 55 ■'e-3'(--'')+ '!<"+■■')•— "^'-3"— "<"'l

Cette IVirmule se l'nnliniie -l hi piiKe suiv.iiite.

t"V,-^ f, 5g-ôi( !!■-/') + ,U„ +5)t— „ V_i<u-n<u' I

^5 '/ -^

Première Partie. Livre II. 251

Si - 4 y^ ijn

-,/,l_(« + l)V,-L> 4 » -2(i--/')+H:T-r)+.Kn+2)»-(-i + l)V-a.»-«(u']

Çi C4 rj ij c

i'i.l ^(" + i)v-,'J„,4 V-'C-"''J + "--'")+'U"-2)«-t«+l)V+2<"->»t,'J
SI -4 7 V '^

"T s 1 ■^ 4 rj jj t.

1 '",1 ,l»+lli-,-l„,4^,V--lÙ--/')+lX"-/'j + "l(«+4)r-l.i, + l)V-4<„-«u,'J :

I SI -4 7 '/ ^

I S ] ^4 7 '/

S3 -3 7j Vj t;

s 2 -3 'y 5? e

+ P.".-'-ir!-"-'''IV'.- 1 y Sy'2g~H--/')-2ll.T-/' )+.!("+ l)c-(«-2)V~<.— I.w'l

I ^«,2^(n + 2)(.',-l 3 '2g-,(--/') + 2.-(7r'-/")+iK;i + ))'--(« + 2)V-.o-WJ

I fi",2^(« + 2)ir,l„3„/2 H--'') + 2H--/")+'l("-l;"-(« + -')V+m-/.™'|
~r S2 -3 '/ 7 ^

e«,-2_(n-2),r,-3„3 -2 -Si(rr-/')-2iV--'") + 'l(" + 3)''-(''-2)'^'-3"'-"''

~ S2 £3 U U ^

Cette fonniile se coutiuuc a la page suivante.

Traité des Orbites des Planètes.

?-2 £3 'i 'i '^

•^1 -i 'il

un:'- _tN + 2)ir,;l 3 /'i :Ji(.T-/')+2.(--/") + l|(n-3)i.-l„ + 2)V + 3<./->.<.yj

-,2 -3 n 'l ^

-)i,-3,(>^-3)s.',0 2/3 -3HT- /■)+,[;, t.^.(„-3)V-nu,')
S 3 c.^ 'J >/' ^

S",3_(« + 3)ç',ll 2 ,3 3,lT-/')|-,V,o-(,,+3)V-«a,'J

S 3 -2 îy 3y e

*",-l^(«-l)i',2 2 /3 2,(--r;-i(---/") + iU"--')e-l" -l)V + -Vu-'"»|

•53 '^2 7j 7J K

^",l£0i + l)V',-2 2 ,3g-2,X--/')+i|-'-/')+iU« + 2),!-l« + l)V-2'" -"«■'!

S 3 £2 7j Tj a

+ f«,-3£(«-ï.ç,-2^2^'V2..-r)-3K.-/'')+,[,„^2.,.-,„-3,V_2,„-„H
1 |",-3 j.Ui-:ilF.2 2 '3g2«--/')-:i,(--/")+.l(..-2)i'-(.«-3lV + 2,„-WJ
I £-i,3^(^n + 3H',-2 2 /3g-2Hir-/') + 3.(.T'--/")+.|cn + 2,.:-(n + 3)V-2.u-n.»]
I |:-,,3_(-i+3)s.-,2.^,2 -3g2«--/') + 3>(.T-/') + ,-[(„-2)c-^,, + 3,V+2,«-mt.|

+ £^,-23U-2,,,-,^jy,4^^,(.-/',-2/(.-/"l + ;H„ + I).-(„^2)V-»-„.J

^^^.-2^(„-2ç,,^^,4^iU-/V«<.-r') + .|,„ll,.-,„-2,V+,„-,„.J

I i:»,2^('.+2H',-l »4g-«n-./')+2i,;r-/")+i[(« + l)P-^«+2)V-<u-„u,'J

_^ |:«,2^,„-r2 ç,l^^Wgi(.-/',+2/,.-/'')+,lu,^r„.-(„ + 2)V + ,„_„.'|

, £",-4r(n-4k-,-l /4 -,\T /■)-4H--/"l+'[C" + l)o-(«-4)V-«, -.».■]

>»4 -1 VV "^

Cette forrimli; se continue ù lu page suivante.

Pieniiric l'aitic. Livre II. 253

_i:.,4^,^„+4iv^--iy^y^Mg-K.T-/')+-l,i^-/'') + ,l(" + l)t-(., + 4;V-„-W|

£^'.-3 'ig-3K--/")+.|»f-Ui-3iV-«™l

Cette formule se coulinue A la page s-uivaiite.

Î54 Traité des Orbites îles Planètes.

T^ 2^1 j-3 -:i l'y 7 «^

' £",-1 _(n-llv,3 4 ' 4H--/')-u--;")+i[l«~4)"-i«-l)V + 4t,j-«iuj
2^1 -a 5^ ij «

_.^„,,^., + „..-.^4^,^-4^

4i,--/') + .Crr-;") + i(^,i+4)r-(«+l)V-4,»->»uJ

' £",1 „(« + l)y,;i„4 / 4,(--/') + ,(,t'-/")+îU«-4)i.— (n + l)V + 4<u-,«,,

2 ^1 ^3 '/ 7 '^

I '-£;;■-- {sS,"--'^''^- 3.;_"--'H-,oiy,3 -2g-,x--/')---!'i"'-/')+4(«+iif-(«-2)v-<„-«u.'

-h ,s.2 (-•. w2 l'y 5^ ^

1 ■ £",2| (;, + 2H-, --J _(/l + '.>)ç,()l 3 /2 -/l,T~/') + 2a--/') + ll(«+l)t'-(« + 2)V-m- ..r«]

-j- ^S2 1-2 -2 Vu U ^

1 ' £",2 1 ,("+2iç',2 ,'" + 2K',»ly 3„/2 .(--/•| + 2H7r-/') + iKn-l),;- („+2)V + tt,-W]

<:».»,"i',-2 3 /2 -3i(--/') + .Un + 3).-nV-3,.^no,J
Ç2 -2 'l'i^

l ' £".-2 ^U'-2H',2 3 '2 3i(--/')-2il,T-/")+i[(„-3,)i.-l«-2)V + 3iu-»,i,|
"T 2 '' 2 "--' 7j rj fi

1 ' ^n,2 ^.("+2)^.-2 3 /2g-3i(^-r) + 2j(-'-/')+.|(n + 3)r-(n + 2)V-3<,.-n...'J
(.'ette fonmile se runtiiiue ù la page .suivante.

Preraièi-p Partie. Livre II.

I 1 *n,-lU("~1H-.> 1 .("-IV,-l|„2„':i^-!(--/") + i|7ir.-{n-1iV-N,.
' 4:",-:M ci-'-^H-,! r _("-siv',--l l^/i ■:V-3«-'-/"'+'T'"— («-sw-n

l !:», 9 \^{n +:■.),', \ r _(„+3K",-1 | 2 ,.1 ;!«T-/'')+.|«o-(„ + S)V-m./|
2?:; 1-1 -|- =1 \fl ^ <5

+ ' C^'-' sV'^"^' - ' >;'îy' V''"-'■'-''"■-'■'+'l"'+="-"'--"^■"-'■'-"
"I , ^ .1 - 1 I i ^

I _■ ;«,l_(«+llv',l .,2 »3 2,Y--/') + ,-(--r) + !:r(»-2V-(« + l)V + 2-»-n,u'|

T^ 2 ' •■' ^ ' 'lu

' en,-3_fn-3H',-l 2 '3 -2,(--;')_3,(ff'-/")+,|(«+2)<— rn-3)V-^2«,~

2 SS -1 'I 'i '^

i|,« -a^Cn-Slir.l 2 /3g2/(r-/-)-3;(r-r) + .r("-2)r- («^3)V + 2w-.K./l

i £«.3 _I" + 3V.-1 „2„/3--2;(,T^/-) + 3,X,T-/")+,[{H+2)r-(« + .-i)V-2,u-Mn

i.^J^i,3^(« + :!)s-,Iy2 ,3^,2;(--/')+3,(rr-/") + ir(n-2),— (,,+Jl)V + 2™-m,/l

I ' £",0 M -.(--r) + if(.i + l)p^.,V-,„-W|
T^ 2 '^ 4 '/'/ t-

255

. -"• -y.v,"*/»^'*" /''-2'(--/") + >T(" + lli'-f"-2n'-

i »".-2 /l H,--/'l-2-(T-/'l+/|(«-l).--C„-2)V + ,.,-n,.,|
Cetto formule se rontimio :1 In page suivante.

J5(j Traité des Orbites des Planètes

I ' ;;«,-4 'V(--/')-4,:(.T-/'-|+»Tl«-nr-(n-4)V + «,-i.»y]

1 ' e»,4 /4 .ï---/')+4M--ri+,T(7,-i)r-(»+4)v+m-wi
'14,0,1,5) p'e"'^'-''= ■.<',-n,,o^4^,^_;,.--r,+.[,„-(„-i,Y^„.| ^
_^ •3(..+iv,o^,4^,gi,.'^r')+-r--("+i)v-wi

2 "-4 7 V ''

.(n-l)r,2 4 - 2i(r^-/')-,ïr-/")+,-r("--2)>--(>i-l)V + 2m-»„/]

-4 'y '/ 1-

' j.(" + 1U-,-2 4 / -2,(rr-/') + ,-(--/"l + ;r(" + 21''-l» + in'-2<.,~;,.»'l
2 ^-4 7 7 ^

1 el" + lH-,2y, t '^2((--/')+j(--/"l-h,T(n-3 ,— (,H-l)Y + 2«,-n„/|

I ^,(n-llç,-4 4 / -4;fc-/')-i(--/"l + ,[(«+4).--(n_m'-4,.,-»,./|
-t- 2^-1 77'^

1 l ^()i-lk',4 4.^/g4,(--/')~f(-'-/") + .!(„-4)l--(«-^l)V + 4,„-,H./|

I ' ^l/i + llr,~4 4 / -4»r-/-| + îl---^/-H-i[(H + 41,---(» + llY-4™~.,,./|
I 2 '"' V 7 ''

r ' _(" + Ilç,4„4 / 4.-(--/'i+,(--/') + i|(,i-41r-(« + liV + 4«.-«,./l
1,^4 7 7

T^ 2 1^1 r » 1 (*■■■! ^ 7 ''

Çpttr formula se eontiniir à la pnf;p snivunto.

Première Partie. Livre II. 257

— ifJ+^i^i/'+îH-.^ ." /2^sn,-T-/')+2;(,T-/')+;|(„_:i,„-(,,+5)v + s,„--W]

I^;;+1.2gO.-f3v,0 2 ,3g3,(^-/") + »[H,-(« + 3)V-m„'J

I 2 l - ^ 2 1^2 7 7

Ce(tp formule se conlinuc à lii page suivante.
Traite tU.A orbites alisoines. .,.>

258

Traité des Orbites des Planètes.

I ( -,<-l,2. £n+l,0| _(n + rv,-2 2 /a„-3iC--/') + .(;7--/")+i:[(n+2)..-C>. + l)V--2a

,1^2 s 2 1-2 ^ ^t '^

I ' l£''-l,2 __ ;»+),n|,l»i + l)i.-,2 2 /3 2»(--r) + i(7r-/'')+i[(n-2),.-(« + l)V + 2a

+ ^?r'-=sr^'^-=^V'e-

-/')-3i\- -/' i + 4(.n + 2)i'— (n— 3)V— 2(u-JJu.']

_l ' i«-l,"2-Crt-3)ç,2^2 '3 2l(--/')-3((--/')+i[(M-2)0-(n-3)V + 2(u-na.J

I ,iê''+l,-' -(«+3)v', "2 2 '3 —2iX--/') + 3(( -■-/")+;[ Ui + 2)r-(>i+3)V-2<u-ni<.]'

-r 2 •= 2 =2 V] rj a

_|_ I^« + l,2^(n+3V,2y,2y/3g2î(;y-/') + 3'(-'-n+i[(«--'U'-(n+3)V+2o— WJ

-r 2 1 ^ :i y --z ( - 1 Tjf] t

-1-2l'»3 T^^3 (-1 7'^'^

1 1 (£'1-1,-1 »"+I,-81 _(«-2'ç-,-l y,„'4o-îïr-/')-2/(:r-/")+ia«+l)l— (K-2)V-

i- 21^3 S3 1-1 ^^ C

.,,-1,-1 __ <:« + l,-3l.lH-21v-,l„„'4 .(^-/•)-2H.T-r) + ,[C«-l).— («-2lV + o;-««,']

S 3 S 3 1-1 jyvy e

i'i + 1,1 »n-l,31 _(n+2)i-,-l /.J -,\--/'i + 24(.T-/") + ![(n + l)e-wt + 2)V- to-,,u,'J

s 3 S 3 1-1 '/'/''

^,, + 1,1 *<l-l,3| ..« + 2 ç,l M /;--/')+2i,,T-/') + J[(K-l)c-W+2)V + tt,-«,«'J

^3 ''S ) - 1 77 '

2''3 -1 77 '^

i f:«-i>-3 _iK— iiç',1 „„'4 «(^-/■)-4«(-'-/")+'ïi»i-i)f-Cn— 4)V+«;-)iu,'j

2^3 -1 'l'i ^

. i. £» + l,3 ,0i+4)ç.',-l /4 -,:i,--/') + 4i(rr-/") + »[(«+l)c-i)i+4)V-<»-,,W]
2^=3 -1 77 ^

1 i:" + l,3 _'"+4H-,l ,4 ,:|--/') + 4«r-/') + i[(,i-l)8-(«+4)V+«-Wl

S3 -1 >J5y 6

I ' li«"l,0 1 -" + 1,-2| '0„-/(--/'') + .[«''-("-l)V-n«''J

1^ 2 f'i T^ ■'4 l'y '^

Celte l'unnule se coiitiuuc ;1 la puge suivaute.

Première Partie. Livre II. 259

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("ctte formule se continue à la page suivante.

260 Traité des Orbites de.s Plauètes.

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4 '2 -I '7 7''

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^^2 -1 7 7'^

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4S2 -1 57 '7 ^

Celte farmule se coutiniie à la pjige suivaiilc.

Première Partie. Livre II.

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261

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+ ^ C3''^'''57'^57' ■'e-''"-''-'~3''<-'-'")+«"-2)«-("-3)v+5,„-„„/j

roiilimie à la

262 Traité des Orbites des Planètes.

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4-3 ^j rjc

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4'^3 yj y] e

' ,(>i-HH',3„4 / 4)l--/') + A!r-/") + i|(n-4)t!~(jî+l)V + 4m-».u']
4-3 5J 5? <-

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T^ 4S1 -■- y; 3y e

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-r ^^1 -■.. 7 7'=

4_ ! 4:" + l,l _l« + 2)i',-2 3 '2 -3l|--/') + 2î-(,T-/",)+il(n + 3l»^-(.i + 2)V-3o,-,.-»'J

-r _^Çi c. 77''

4_ ' £" + 1.1 ,(» + 2i>.-,2 3 ,2 3;(--/', + ?,(.T-/")+,[(n-3)i--(« + 2)V + 3»-i;..;|
-T ^ , , c... 7 7''

+ ;|çr''"-er'--^}{£r-"^'' + £--')-->}^^^'VH.-r;+^[«r-(„-i,v-„„/]

Cette formule se continue A la page suivante.

^ ^\^« + ^.o_..^u^u^u.HK.^ _^ ^i.. + u,,-^^.^,.^,,^^.r,^.^,^^i,,+ ,)v.,,.

Première Partie. Livre II

263

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+

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+ J 1er''"'— cr''^'Î3jj^'V"-'''-=*''^-'"H«u« -!)»-(" -2)v+,„-wj

Cette l'onnule se conlinue :\ lu page suivante.

264 Traité des Orbites des Planètes.

1 ' i:"-l,--3 /4 -Hr-/')-«(--/")+j:[(>i+l)r-(«-4)V-w-!»uJ

4- 1 ^»~'.-:'^^^'^e'(--/')-^'(-'-'-)+ir("-iH-(»-4)v+..--.<»1

I ' *" + l,3„„'-t^-i(.T-rn-4!-l,T-/") + i:[(»l+l)f-(n-|-41V-(u-na,']
(14,0,3,5) /y'V"('-^"''= ■^«,,-,^3^:2g-n.-n+iD« + 1,.^,.Y-.-W]

T^ 4 -3 'l 'l ^

I 1 ,(H-'-'K-,l ^3 -2 i{,T-/')-2;:(r-/')-|-i[(n-l)l'-(tt-2)V + ,.>^n™']

T^ 4-3 /; '; f-

1 £ _("+3k',-l 3 /2 -,ir-/') + 2;(r-/")+.H« + nf-ln+2)V-™-H„/J

1^ 4-3 '/ 7 *-

I 1 ,(H-(-2)v,l ? '2g,(^-/'i + 2i\,-r'-/") + >[(n-l),— (7, + 2)V+«.-na,']

1 ,«9-,-3 3^,2g_3i(,T-/')+,[l«+3)r-nV-3,u--mu']

2-3 / /

i_ ^"V,3 3^,2g.3i(r-/') + ![(K-3 r-nV + 3...-)i<i.'l

1 _(n^2K',-3 3 /2g-r..i--/')--2,(^-/-)+7|(n + 31r-()î-2iV-3,u-H,„'

4-3 / /

' (-(«-2)<.'.3 3 '2 3.(!r-/')-2i(--/")+iH«- 3)r-(H-2)V + 3<u-"(i.'|

4-3 7 7 «^

' ,(/i+2,v,-3„3 /2 _3,(T-/') + 2,(--/") + .[(« + 3)i— («+2)V^3,»-.,B,'

' ,('. + 2lç,3„3 /3 S,\^-/'l + 2î-(;7'-/") + .'t('l-3)i.-(„ + 2)V + 3(u-;.a,'|

4 -3 ri n L

^^1

Cette formula se continue à la page ï^uivaute.

Première Partie. Livre II. 265

+ i4^i''"' + Jcr'-' }4"-"^''--îj=5y'v-'""-'''-'<'-^-/"'+^['"+2)''-<"-i)v-2..-«,„'i

+ - ?';+'■' £!,"+"»'- 5y')y'V''('''-''>+^'''^-'"'+'K"-2i''-(«+3)v+2^-„^']

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— j ~ er'— l er'-"} £l"-"*"''îyy/ V--^-'''-^"-'-'")+'ï(«-i).-(«-2,v+„-„.'j

Celle formule se continue :1 la page suivante.
Trailé des orbites ahsolues.

34

266

Traité des Orbites des Planètes.

4*^2 -1 'l'I C
1 £"-2,-2 („--4)ir,l -4 ,CT-/')-4iCir'-r) + i[(7i-l)ï-(.,-4)V + ™-«o,']

1 e" + 2,2^(n+4)sr-l -4 -)-(T-/')+4i(,T-/")+iKn + l)i— (). + 4)V-<u-n

S 2 '-1 '/'/ t^

£11 + 2,2 ,(>. + 4)y-,l<4,(T-r)+4.(;r-/") + i[(n-l)o-(n + 4)V + <.
s 2 il 7^7y e

(14,3,0,5) /OV"'"

i eii,-l I 1 - «-2,1 _ i £,! + 2,-3 I 1 5 -
2^3 T^^C.-Î -■'3 |7 ^

H;r-/") + i[i.t.-(;,-l)V-W]

4 '- 4

4-^ vr^'

i P«.3 1 pii + 2,1 1 '5 3i(n--r) + .[iii.-(,i+3)V-W]

1 p" + 2,3 'C.5,(;r-/")+i[m.-C7, + 5)V-iia,J

Ç3 7 e ,

L ^«y,2 1 3 ^,,^,-2 3 „^-,ol 6 -i(n--r) + ,-[(i. + l)l.-i.V-a,-,

5-2 -r s-2 j( -2 l'y «

i -"V'.-S I 3 ^.,y,2 3 ^«j.,0 1 5 i(,r-/') + i[(i,-l)r-i,V + a,-,„.

S ~-2 T^ Q ^2 g ^2 ) 7 ^

8

I

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3 e"V'.2 £ j.iiv',ol 5„3.(7r-/')+î[(n-3)f-nV + 3c/-«ai']

S--' S "2 |7 '^

j«f.-2^5g-5'(--/')+t[(ll+5)l,-nV-5<»-ii«,'|

c''f.2y, V'"'^'''+'[<"~'""''~"^' + ^°'~""''J

-r; e'

Cette formule se continue à la page suivante.

Première Partie. Livre II.

267

— I f ^''-oy-V/ V'^-''' + '-["— '"-"V+'-""

Celle formule se contioue il la page suivante.

268

Traité des Orbites des Planètes.

-t- „Ç2 ri ri e

(14,2,1,5) p'^p'é"^" "'^^

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+

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+
+
+
+

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'iqri e

-",2 •■! '2 -3.(,T-/') + 2i(:r-r)+,[(n + 3)i'-(7, + 2)V-3;u-nii

^« ri ri a

£n,2„3 -2 3J(r-r) + 2i(rr-/') + i[(n-3)ti-(« + 2)V+3»y-na,'J

S 2 fi ri e

I ^i.n-\^^:l 1 £^(„_l)y,-2 j^^(„_l)y,0 1 4 , -,(.T-/") + i[«-(n-l)V-n<»']

s "■- ' s -2 4 -- 1/ /

i _(>1 + 1V,2 I ' .{n+lli',-2 _|^ „(n + l)y,0l 4 / i(7r-/")+,[«i,-(n + l)V-«<<i']

S -2 -r s-2 ^-2 (7 ^/f-

1 ,(/i-l.H',-2 i (.i-lV,0 1 „4 » -2.(r-r)-i(--/') + i[(>i + 2)f- (n-I)V-2(<.-7i«/']

i ç("-l)ir,2 l ^(_..-l)v-,Ol 4 -g2,(;r-/')-/(;r-/-) + ,[(,,-2),.-C.i-l)V + 2<„-

1 r(«+l)f,-2 \_ gU+lH-,0 1 yj4^^/g-2,(;i--/')+ÎC7r'-/") + i[(«+2)»-(n + l)V-2a<-n<ul

s-2 ('y'^'ye

_l I _(.i-IV,-2„4 - -4i(:T-/')->(l-'-/") + .[(n+4)B-(n-l)V-4<u-.m

1 ' ^(«-l)v',2 ^4 r 4.(n--/')-!(,T-/") + i[(>.-4)i— (.i-l;V + 4»-na
i- 5 £2 5? 'J e

(n + ni',-2„4' -4i( --/') + !'(-— /•■) + .((ij+4)i—(/i + l)V-4<u-n.i.]

+ ^£^"+"^'-^37Ye-*"

+ ^sr"^'^>j''?'e*"

(>i+l)y,2 4 / 4i(7r-/') + i(;!---/') + .[(n-4)o-l7i+l)V+4.u-«ai'J

I £« + 1,-1 _i_ «:«'
I s 1 i^ Cl

n-l,l|| i ^.-v'-l _|_ 1 ,n(r,l 1 3 ,2 ,(;y-r)+>[(7i-l).-«V + a,-n«,]

_1_ 1 c"V^l T'^yi' V

::«--l,-ll' I" -2V,1 I • (-,-2V,-lL,3 /2 -,(T-/')-2>(-T-/-)+.l(« + l)i'-Cn-2)V-^-W]
^1 l8-l +4-1 1'/ ^i ^

Cette formule se continue à la page suivante.

/ + ,„-,m'\

Première Partie. Livre II. 269

— î ?'; + '-' £V'^'**'''57 '37' V'"'^'') + 2'l'^'-'"'+'["'-=')''-('' + 2)V+3—Wl

+ lj|:«+>.-2_^«-1.0|^Y3^_2,(,.-/',-,(._/')+,[(n + 2).-(«-l,V_5„-„,„]

+ I î cr'-' — çr''>; Vy'-V^''--''>+'('^'-n+*[<"+-2,„-(„ + nv-2,„-„.]

Cette formule se continue A la page suivante.

279 Traité des Orbites des Planètes.

_1_ i i:n-l,-2^2jj'3g-2i(ïr-/')-3i(n-'-/') + i[(«+2)i.-l.r.-S)V-2»~W]

_j_ 1^^-1,-5^2 '3g2,\;r-/')-3,X;r-/'j+t[(n-2)P-(-l-3)V+2<<,-«u,']

+ - 4:^' + '.2yj*,r,'3g-2i(n— /')f 3t-(ir-/")+t[(n + 2)i.-(n + 3)V-2o,-i.m'J

1 1 e" + l,2„,2v,'3„2jCT-/') + 3i(7r-/') + î[in-2)f-(" + 3)V+2<«-W]
-f- s<^2 7 7 « ,

(l 4,.,2,5) /9/>' V"^"-"') ^ l{^7-— c;'V-.0}^3^^,2g-,(.-/') + .l(" + l)-'.V-.-„.1

' 4- i) ^^^"-2)S.',-2 _('--2)(r,0 1 3 / 2 -,\--/')-2f(r-/") + i[(., + l).-(n-2)V-<»-n<u']

-r gi w2 -j j'y 7 ^

I 11 (n-2)v",2 C>t-2)ir,0| 3 /S i(^-/')-2K,T-r)+,[(n-l)i,— (,.-2)V + o,-W]

-t- sje2 ^2 1^ ^j ^

I 1( j.(n+2V,-2 ^(n + 2)^,0l 3 ,2g-,(;r-/')+2t(--r) + i[Cn + I)i— (n+2)V-m-n«,-]

I 1 j ^(,'1 +2)f ,2 ^^n+2)9',0 1 3 / 2gî(^-r) + 2i(s--/") + i[(K-l)l>-Cn + 2)V + a,-i.<u']

_|_ 1 ^nir,-2 3 '2 -3iC--/') + iR« + 3)»-nV-3<»-n,»]

+ - £:;V'.2^3 /2g3.C7r-n + <[(«-3)v-nV + 3«,-W]

1 I ,(>i-2V,-2 3 /2p-3.(^-/')~2i(;!--/')4-![(,i + 3)f-(n-2)V-^3<«-7.<./']
-t- gw2 7 7 '^

_1_ ' ,(n-2)y,2 3 '2 3!(--/')-2j:(--r) + i[(n-3)»-(n-2)V + 3«,-«a,]

-h gc, ^ )y e

I ' -(n + 2)y,-2 3 /2 -3.(:r-/') + 2i{;r--n+t[('!+3)r-(l!+2)V-3<£.-n<„]

I 8^2 7 7'^

1 ' ^(n + 2)ir,2 3 ,2 3i(---/') + 2i(!r-r)+t[(n-3)t:-(n + 2)V+3<«-n<u']
-1- g -2 'i 'l ^

Celte furiuule se continue à la page siiivimte.

Première Partie. Livre II. 271

l^«+2,l£(" + 3V,-l 2 ,3g-2i(T-r) + 3.V-r)+i[{« + 2),.-(„+3)V_2,„-W]

l^» + 2.l£<« + 3V.1^2„'3g2,(T-/')+3,(T'-/")+,[(„-2).-(« + 3)V + 2<„-no,']

Cette formule se continue à la page suivante.

272 Traité des Orbites des Planètes.

. ^^,,__2,_2 ,4g-,(,r-r)-4i(^-r) + .[(" + l)'-("— l)V-«--i.a,']

I _L^«-2,-2 '4g,(T-r)-4i(:7-r) + i[(n-l)»-(«-4)V + Q,-W]

_j_ I |n+2,2 ,4g-,(--r)+4i(r-r) + l[(n + l).,-(«+4)V-a,-nt„']

I l »,i + 2,2 ,4 ((rr-Df 4,(T-/") + .[(H-l)B-(„+4)V+"'-W]

( 1 4 ,0,3,5) p' V"'"-^'' = - 1 -("-'V,o^^^' 3^-«v-r,+,„,.-u-i,v-..']

3 ^(,j + l)^,0^Sy^/3g,(r'_/')+i[„j)-(n+l)V-na

1 ,(n-3H',0 2 -3 -3i(r■-/■')+if,a■--(n-3)Y-
8'2 7 7^

1 3 Cn-l)*.,-2 s -3 -2i(ir-r)-i(;7-/")+.[(n+2)!.-(n-l)V-2a.-W]

-t- 8-2 oy )y e

_r_ 3 („_l),r,2 2 /3 2i(^-/')-n;r-/")+i[(K-2)..-(n-l)V + 2a,->»u']

-f g-2 7 7^

I 3 („+I)y,_2 2 / 3 -2i(;r-r) + t{r-r) + i[(« + 2)t.-(n + l)V-2a,-««;']

I 8 "2 7 7^

I 3g^n + l)y,2 î '8g2i(^-/') + .(y-/") + ,[(„-2)!— C7l + l)V+2,u-W]

_j_ £g(«-3)t',-2- 2 /3g-2i(;r-/')-3i(7r-/") + i[(n+2)i.-(«-3)V-2«.-««,]

4_ 1 c(«-3)V-.2„2 / 3 2/(;r-/')-3iC.T-r')+i[(n-2)»-(î.-3)V + 2m-n(u']

-r 8-2 rj 7j e

I I -,(n + 3)vr,-2 2 /3 -2i(,T-n + 3i(;r'-r) + .r(n + 2)»-(n+3)V-2o,-mu']

i- g£2 ^ 7 ^

I 1 ^(n + 3V,2 2 /3 2,(7r-r) + 3t(-r'-r) + it(n-2).'-(n + 3)V+2a,-iiiu']

-r 8-2 n u '^

Cette formule se contiuue k la page suivaute.

Première Partie. Livre II. 273

3 I -«+1,-1 I £.,-1,1 I ^,,^..1 u i(K-n + i[{n-\)r-n\ + u,-„w']

Si Si -1- SI ) wi yjyj e

I 1 ^"-3,1 r 3 £«-1,-1 l ^(n-2)f,l '4 i(;r-0-2,(«-/") + .[(„-l)>,-(«-2)V+«,-«,^-J

jie" + 3,-l I 3 £„+l,ll („ + o,^,_i ,4 ,(;._/., + 2i(;,'_/.') + ,[(„ + l)„_(„ + 2)V-«,-W]

I ' S» + 3,-l 1 3 -,, + 1,1 1 ^U + 2H-,1 ,4 ,(,T-r) + 2;(;r'-r) + ,[(„-l),-(n + 2)V+a,-„a,'J

I e«-3,-l j,C«-4)i,",-l /4 -,(7r-r)-4,(!r-r) + ,[(n + l)!.-(«-4)V-o,-»,«,']

£ p,-3,-l^(„-4)ir,l -4 .■(;r-r)-4i{-'-/')+,[(n-l),'-(«-4)V + »-WJ

I tn+3,1 5,(n + 4)i«,-l '4.-i(,y-r) + 4,(-r-r) + ,[(„ + l)î.-(„+4)V-a,-W]

g Cl -1 îyîy e

' £'1+3,1 ^(„ + 4H-,l„„/4 i(ff-r) + 4i(.T-n + ,[Cr,-l)i'-(„ + 4)V+a,-„o,']

I ( 3 pn-1,-2 £ -,1-3,0 1 , 5 -3,Crr-/")+,[«r-(n-3)V-«a,']

■r jgC2 s^2 l'y '^

J_ I 3 -,, + 1,2 £ £n+3,0 I /6 3,(,T-/")+i[M-(„ + 3)V-W]

I 18^2 8C2 |7 '^

-rgC2 57 C

_L £ 'r-' + S,! y,'5 6"('^'-'")+'["-'"+5)V-n<"J
T^ g C2 7 c^ ,

Traité des orbites absohies. 35

274 Traité des Orbites des Planètes.

14 ' ^S

14,4,0,5) ^V"('-"''= — jis';^".' _^ |^„„_,i .^_,._r,+,[(„+j,.-„v.

l± c-"i^.-l _1_ 1 ^nr,\\ S 3i(.z-r) + t[(.n-3)v-nV + S,o^«w']

— =-"^''y)-'
16-1 ^

+ I ^-',-i^4^'e-.(^'-r)+.[...-(«-.)v_w]

_|_ 1 i»,-! ^4 / 2,(!r-/-)-i(n--r) + ![(n-2)»-(n-l)V+2,«-na,']

' 4 ''i V V ^

4. ' fi",ly4 / -2i(!r-n + i(T'-/-)+i[(,i + 2)l.-(n + lW-2cu-MM']

4. 1 fr",ly,4 '^2.(rr-/') + ;(:r'-/-) + ,[„-2)«-(« + l)V + 2c«-W]
1^ 4 "^ 1 7 7 '^

^ ± ^«,-1 ^4^'g-4.(r-/')-iC »■■-/•■) + , [(r,+4).-(n-l)V-4w-;,a,'J
1 _L »->,-! 4 , 4il,T-/')-i(;r_/'-) + >[<n-4)c-(„^l)V+4a,->»^']
I_ _L •n,1^4 /g-4,(a--/')+i(-'-/")+i[(n+4)i.— (7i + l)V-4a.-W]

J_ ± ,£".1 y.,4y/-,4,(T-;')+i(ir-/") + i[(n_4)t.-(>, + l)V+4<u-«c'l

T^ 16^1 V 7 '^ )

Première Partie. Livre II. 275

(l 4,3,1,5) />>V"'"-^'' - _ ^{£<"-:V,i + £(«-i)v',-.}^4^,^-.,(.'..,-,+,t„_(„_„v-wj

IA£l"'*""'''''+ Ac^/'+nf,-!! 4 , -2,(r-/) + ;(;r-/")4-.[(n + 2)i,-(« + nV-2«,

1 l6 ' I i6 1 (7 V '^

^^("-lH',-1^4 /g-4,(:7-/')-i(ir-/") + .[(n+4)«-(.i-l)V-4,u-„«,'l

L£("-1V,1 4 'g4,(.T-/',_n;r-/') + ,li„-.4)i.-(n-l)V + 4™^«a,]

^£i" + "*'~^;y''3^'e"'''^"'''''+'^''-'"-'+'[*''+<"'-("+i)V-4<«-„».']

Lc-<^" + 'V,1^4 ,g4Hr-n+,(7r'^/")+'U«-4)»-(« + l)V + 4«,-m,/]

+ ^ |;' + '''5y'3y' V<^-''^ + ''<'^-'"' + 'r(" + l)t-(" + 2)V-»-m„'I
Cette formule se continue A la page suivante.

1(u~nm\

276 Traité des Orbites des Planètes.

J_ J_|:"-l,-l„S^'2g-3.(;r-/')-2i(T'-r) + i[(n+3)..-(«-2)V-3a,-«»j

I J_ ^„_i _i 3 ,2g3i{;r-/')-2i(;r'-r)+i[(.i-3)i;-(«-2)V+3cu-na,']

I J_ £(1+1,1 3 -3.-3i(;7-r) + 2i(T'-/") + '[('H-3)l— (n+2)V-3u,-W]

I J_^n+l,l 3 rî 3.(;r-/') + 2,(;r-r) + i[(n-3)c-(« + 2)V+3(u-«(«']

I J_ ^i"-2)v'.l 1 1 c(«-2)f,-l 1 „3 -2 -nr-/')-2,(;T'-r) + j[(« + l)i.-C«-2)V-a.-Ba,']

l_L -(«-'iV.-l 1 ' ^(«-2)f,ll 3 -2 ,{--n-2<(ir-/")+,[(,.-l)r-(«-2)V + a;-W]

li6^l i- 8^1 f? î^ «5

I ± -.(" + 2)ç',l _|_ l _(„ + 2)y,-: 1 3 ,2 -,(.;r-/') + 2i(--/") + i[(n + I)>— (« + 2)V-«,-no,J

116^1 I 8*^1 )V 7 '^

I _L c<«+2>?,-l I 1 „(« + 2)v',l 1 3 /2 ,(^-r) + 2i(T-/") + i[(«-l)o-(n + 2)V + «;-W]

116-1 -h 8^1 l'y 5? ^

1 ,>iV',-l 3 /2 -S<(^-/') + i[(M + 3)u-«V-3ru-no,']

8 "1 7 7 '^

L ^('--2)f -1 3 ,2 _3((t-/')-2i(n--n + i[(n + S)D-(n-2)V-3aj-W]

16-1 7 7 '^

L ^("-■%,l 3 ,2 3,(;T-r)-2l(;7-r)+iT(«-3)o-(n-2)V + 3<»-WJ

16 "1 7 7 '^

L £.(«+2)^,-1 3/2 -3,(^-/') + 2i(;r-n + >[(n+3)»-(n + 2)V-3<u-n»']

' (n + 2)in,l 3 '2 3i(,T-/') + 2.(:r-r) + i[(n-3)c-(n + 2)V + 3a.-îiru']

16^1 7 7^

Cette formul"-* se continue à. la page suivant*.

Première Partie. Livre II. 277

+ g|;'+^''5jV/V'''^'-'"H'["-("+3)v-„ 1

+ \t6^"~''^+ "s^Î'~' Wr/''e~-"-''-'">~'^'''-'"^+'l("+'-^''-''-'')v-^'o~,u
+ jifr'''+ Jci'-' |r/,y'V''--'''-'<'-'-'")+*«-=)"-(«-i)v+2.-«.'j
+ J7^c;' + ''"'+ Jif"'' |3j'3y''e-'''<'^-''^+'('^'-/")+'l("+2)"-("+i)v-5.-,.,„

+ ^f" + '''^^3y''e-2'(--/')+3'(^-/") + ,|(„ + 2).-(„ + 3)V-s„,-Wj
+ ^|^i' + -'l5y^)y'V'"^-'''+3'(-T-/") + 't(»-2).'-(» + 3)V + 2<„-W]

(14,1,3,5) /5/>'V""'-'''' = — .^{£('-')S'.l + £(''-'V,-l}y^YV.(,V-/",+ .[„.-(„-,)V_W]

_.l{^c(« + 3V.. + ^(„ + 3V,^,,^2^^,3^3,„y-/", + ,,l„„_(„ + 3)V-W|

_^^(n_I)^,-1^2^,.3g_2,(r-/')-.(^-/") + .[(,.+2)..-(,_l)V-2»-»,„I
fetle formule se conliiji.e à la page siiivanie.

278 Traité des Orbites des Planètes.

£_ j.(h— l)(f,:y,3y,'3g3i(i7-/')-î(r-/") + il{.i-2)t.-(»— l)V + 2tt(-îl(u']

3 ^C>! + 1)»-,1„3„'3 2!:(n— /•}+f(ff-/")+,[(H-2)l'-(n + l)V + 2<u-n™|

• ^('l-3)v-,-l 2 ;3„-2i(jr-/')-3i(;i--/")+.[(n+2)t>-(n-S)V-2<u-)to']

« -(ii-8)(r,l 2 /3 2il,T-/')-3î(--/") + i[(,l-2)i,'-(«-3)V + 2<i.-Ka,'|

16 ' V 7 ^

' ,(n + 3)i-,-l 2 /3 -:nn--/') + 3!(H-'-/") + Jl('l+2)c-(n+3)V-2iu-n<t,']
' -(il+8)p,l„2 /3 2H^-/')+3iX7r--/") + i[(n-2)l— (n + 3)V+2m-n«,'J

I I _i £"-3,1 r A £"-1.-1 ! y,y,'4 -J(;r-n-2i(T-r) + i[n+l)"-(n-2)V-o,-W]

' liô*»! ^ 16*^1 (VV ''

_L ' — £» + 3.— I _1_ A fi" + l.l lv,v,'^/»-'('^-^''+2iC'r'-^')+'[(''+l)''—(n+2)V— <"—««'■]
' I 16^1 "T" 16*^1 (VV '^

l_ I ' £" + 3,-1 _l 3 ^,, + 1,1 1 ,4 t(n— /■)+2i(ir'-r)+if(«-l)u-(n+2)V + o,-n<u']

+ iiô^i ■T'iô'^i l'y'y ^

i_ J_ £»-3,-l M -i(n— /■)-4i(!r-/") + i[(n + l)c-(n-4)V-«,-îlc'j

_1_ ' £«-3,-1 '4 ((T-/')-4i(7r-/') + i[(»»-i;r-(n-4)V + o--»l<u']

"T igCi ^'y ^

_1_ ' en+3,1 „'4 !(,T-/') + 4i(r-0+j[(n-l)r-(n+4)V + o,-.w]

Première Partie. Livre II.

279

280 Traité des Orbites des Planètes.

(14, 5,0,5) />V"'"-«''= A^^e-'-''^+*"+i)"-"^'— J

+ ^,'!-e-'"

S_ !>„-!ii(.K- r)+i[(n + 3)v-n\ -Sw-na,]
52 /

"^ 32 /

1 i. 5gSifr-r)+i[(it-5)i,-nV+5(»-n(o']
' 32 / '

_L 1 „4„'^-2i(r-r)-.-(!r'-/') + i[(M + 2)ti-(n-l)V-2ui-)to']
^ S V V '^

J_ i „4 / 2i(,T-/')-i(r'-/") + i[(n-2)i,-(n-l)y+2cx-ncu']
+ - ,^4 'g-2i(r-r)+t(--/")+.[(n + 2).^-()l + l)V-2<u-)la.']

1 J_ 4 »g-4i(r-/')-i(ff-/") + t[(»l+4)ti-(n-l)V-4(u-ni»']
J_ i_ jj4 /g4i(,T-/')-i(-'-/")+i[(n-4).j-Cn-l)V+4<u-nc«']

I 1_ 4 /g-4rt;r-/') + i(T'-/") + it(>l + 4)r-(n+l)V-4(u-«(«']
~ 32 / /

T^ 32 'y 'y ^

l'reiiiièic Piirtir. Ijivie II.
( ' 4,3,2,5) /'>'■-'(?'■"<"-"■' = -i^^'^'^e '■(— /■) + '1("+l).-nV^,„-W]

-^ J_ V, ^y,' 2g'(--/')-2'X-'~/")+tl('i-l)v-(n-2)V + .u-n,„'J
-|. -l^"5^'2gn--/') + 2f(--/") + ,|(„_l),.-(„ + 9,v+,„-„™'|

('4,2,3,5) />>"e''"'""''' = A^v/'V'"-'"'+'i""-'"-"^'-"'")

Tmiti lies vrhHcs ahsaliies.

281

282 Traité des Orbites des Planètes.

_L ^ „2„'Vi(--/')-i(-'-/") + »[("-2}<— ("-l)V + 2<u-»m]

J_ J_ jy2^' ••g2;(--r)-3»(r-/-)+i[(n-2)i— Cri-:i)V + 2»-.„„']
I J^ 2 '3g-2i;(T-r) + 3n^-/')+![(»i + 2)r^(« + 3)V -•:.,,- »„.|
I ' 2 /:; 9,(--/') + 3H--/') + .[(r,-2)c-(n + 3)V+2,„-,„„'|

(14, ',4,5) /)/>'V"*'-"'' = f-yjr/

I i „j,'4g,X--/-)-2,-(rr--/") + >[(n-l).— (n-2)V + u,-.»„J

"t" S vv '^
1 ' „„M iiT-r) + 2i(,T-r)+i[(n-1)D-(n+2)V+(»-na;']

"t" 8 V7 '^

4 ^i(n-- r)-4t(:r-r)+t[(»l+l)l'-(n-4)V— 0,-nm']

+ Ii'J'j' ^'

4-,n--/')-4i(-'— /")+i[(n-l)«-(»— 4)V+m— nw']

+ 3^'J'J'«'

I 2. yy'4g-t(T-r) + 4i(;7-/") + tfCn+l)r-(n+4)V-<c-.to']
_1_ ' ^,,/4pîl--/'l + 4n--r)+l[(>.-llr-(.. + 4lV + a.-».<„]

l'ivniirie l'uiliu. Livre II. -H'-\

(14,0,5,5) />'V"<;-'= ^^'v— '"'-t-'^"— ■'

1 5 /5g-;î,(ff'-/') + >|™-(n-3)V-n-./l
32 '

_|_ A ^'5gS,(--r')4->[n''-(»'+3)V-WJ
3-

1 _|_ /5g--5ù-'-/")+«T'"'-!"-5)V-na-']
~ 32 /

On pourrait quelquefois être forcé d'aller plus loin, très rarement
toutefois dan.s les cas des grandes planètes: mais puisque les expressions
générales des termes du sixième et du septième degré deviennent extrême-
ment prolixes, je préfère d'en calculer indépendamment d'après les for-
mules (4, s, s') ou (4', s, s'), en temps et lieu, les termes, du reste peu
nombreux, qui acquièrent des valeurs appréciables.

Pour la formation des expressions (11', 0,0,2), (i i', 1,0, 2) , .. . , (1 4', 0,5,5)
je renvoie à la règle donnée déjà à l'occasion des termes du degré zéro.

60. Les expressions que nous venons d'établir dans le numéro précé-
dent, se vérifient de diverses manières. D'abord, si l'on avait calculé les
termes de l'ordre s de la fonction p^p'"' e""-''~°\ on aurait trouvé les termes
de l'oi-dre s + 1 appartenant à l'expression du produit /j'+'^o" e"'*^"""', tout
simplement en multipliant l'expression de l'ordre s par

De la sorte, on pourra contrôler toutes les formules (10, s, s', i),
(11, s, s', 2), . . . , (14, s, s', 5), le nombre s étant plus grand que zéro.
De même, la vérification d'une formule (10', s, s', i), . . . , (14', s, s', 5)
s'opère en multipliant les formules (9', s, s' — i , o), . . . , (1 3', s, s' — 1,4)
par l'expressiori de //.

2 -^4 Traito «le? Oi-liitcs clos Planète?.

Mais on pourrait aussi, au moyen de multiplications faites par p\
calculer les produits dont il s'agit, et on obtiendrait ainsi des résultats
servant à vérifier les formules du dernier numéro. Dans ce but, on devrait
exprimer p au moyen des arguments v et V. Ce mode de contrôle étant
toutefois assez laborieux, lorsqu'il s'agit de produits d'un ordre élevé, je
me restreins à n'en donner qu'un seul exemple.

Si l'on suppose, dans les expressions (lO, o, i,i) et (11,0,1,2), n égal
à zéro, on obtiendra l'expi'ession suivante de p' renfermant les termes du
premier et du deuxième degré. Les voici:

P = ^:y'.--'- '■■'+-

r ' / i(

+ 2 'y 6

' _i-,l „„'^-l(:r-/')-l(,T--/'') + Hr + V-tu)

77 ^

i .V.- 1 .,y,V-'<--'')+î(-'"/")+'("-V-„,)
2^1 77''

En multipliant, par le.s deux premiers ternies de l'expression mise en
évidence, la formule (11, 0,1,2), et, par les autres termes de la dite ex-
pression, la formule (10,0,1,1), la somme des produits obtenus de la sorte
doit être égale au produit /^'V"^'"'', en n'y considérant que les termes du
troisième degré. On obtient en effet:

Promière Partie. Livre II. 285

^-V"^" ")= _i(.--'V,-. + 3(.. + .V,-. ^ ^,,-, ^ ..,^

Xîyyy"6>"'<'^'-'''+'l'"+"^-"^'-"-'""'l

'_ /-l'i+ 1 V,-I ^ çV".-l) ^,j' 3g-l(--/') + 2t(-' -/") + tl(>i + l)»-(>.+2)V-,„--,„„']

1 /^(H + I)!.'.! 1 ^ç.l\^ '2gi|.--/') + 2i;(.T-/") + i|(n-l)t)-(H+2)V + a.-n(u']

+ 4IS1 +m +S1 +S1 +-?i j

L'expression mise en évidence devant être identiijue avec celle que
nous venons de donner moyennant la formule (12,0,2,3), «Jn ne saurait
remplir cette condition à moins qu'on n'ait:

sV'' = ^{B^-"^'' + s'r"'' + s\- ' + 2Ï'').

_(n--2)V-,-l ,(n--l)i',-l I ^y.l

o, — <=! ~r -1 )

_("- -Mi-,! („ l)v,l 1^ _c, I

-I — ^1 "T -1 )

286 Traité des Orbites des Planètes.

£»,-! 1 ■ i«-'.M ' /£«-!, -1 l_ £«-1,1 _l in+1,-1 _1_ rl.l I -7^1. -M

^1 '^''i — 2^''! "i^'i "rsi -t->i"t"-si j,

SI I 2^1 — , i,s 1 -r s I -r Çi -]- Ç\ -r-si j,

tu— '2,-1 *n — 1, — 1 i_ -1,1

SI — Si -f s 1 ,

£" + 2,1 £« + 1,1 I £1,1

SI SI "T s 1 ■

Mais en sub,stituant, dacs ces équations de conditiou, les valeurs des
coefficients £ et ç qu'on a données dans les n"'' 29 et 30, on s'aperçoit
facilement de l'identité des équations dont il s'agit.

On a ainsi établi une vérification profonde des résultats obtenus
relativement aux produits />'e*"'''""' et /)'^e'""' "'; mais ce qui est le plus
important, c'est que cette vérification entraîne celle d'une grande partie
de nos développements exposés dans le livre présent. Ce principe étant
trouvé légitime, il ne paraît pas nécessaire de vérifier, par le procédé in-
diqué, toutes les formules du numéro précédent, vu qu'elles sont obtenues
indépendamment par deux .personnes.

Une dernière remarque: si l'on admettait les notations

w =^ co — G; îô' = co' — (t",

on pourrait changer, dans toutes les formules du numéro présent, v en v ,
v' en v' et a/ eu w

61. Nous allons maintenant chercher les termes dépendant, et des
fonctions diastématiques, et des fonctions auastématiques. Le principe
de leur calcul étant fort simjile, on les obtient sans peine: cependant,
jiuisque leur nombre est très grand, en considérant tous les termes jusqu'au
cinquième degré inclusivement, leur exposition causerait un travail assez con-
sidérable, si l'on voulait mettre en évidence tous ces termes. Mais heureuse-
ment, il y a seulement un nombre plus restreint de ces ternies utiles à
nos recherches, tandis que les autres deviendront insensibles dans l'ex-
pression des inégalités. Parmi les termes exerçant une influence sensible.

Première Partie. Livre II. ;2S7

il _y en a un certain nonil)re du deuxième degré dépendant du jjroduit d'une
fonction diastématique par une fonction anastématique; il y a encore des
termes très importants du troisième degré, dont les coefficients sont formés,
ou par une fonction diastématique multijjliée par un facteur du second
degré par rapport aux fonctions anastématiques, ou par une fonction ana-
stématique multipliée par un facteur du second degré relativement aux
fonctions diastématiques. Parmi les termes du quatrième et du cinquième
degré, il y eu a seulement très peu qu'il faut considérer: ceux-là sont
principalement les termes devenant élémentaires par l'intégration. Je com-
mence par m'occuper des termes du premier et du second degré.

Il s'agira d'abord des termes provenant du développement des produits
j cos, nH et ]' cosnH, où l'on peut mettre v — v' ou v — v' au lieu de //,
vu qu'on ne tiendra compte, à cette occasion, que des termes du premier
degré par rapport aux fonctions anastématiques.

En employant toujours les notations

V = V — G; v' = ?/ — G',

J^ = S — G; 7/ --= >f — G',

on aura facilement, en vertu de l'expression (49) du n° 23, les suivantes:

(15) ^, = / sin (v — ,y — (iJ — 0)) ; ;/ = /' sin (v' — ,y' — {i>' — 0')),
ou bien celle-ci :

(16) 3 = — ^ ^:/e-'(^--'''+'('-*' + '- ,7e.u--^)-.(v-,v,

_^ i.,^jrg-i(i.'-W)4-i(v'-iV)-(-'(v-v')

2

_}_i,/7g.(fi-«)-nv-,v)-,(v-V)^
(16') 5' = — 2 ?7'e-"^-"-«'>+'"''-'''' + l i/V<^-'- «■>-'''■-''■'

l.^'g-id'' -«■)-!- Kv—rj-tCv-Y')

288 Traité des Orbites des Plauètes.

De ces expressions, on tire immédiatement, en considérant les formules
(9, 0,0,0) et (9', 0,0,0), les termes du premier degré par rapport aux fonctions
anastématiques. Les voici :

(t) Termes du premier degré.

(l 7,0,0,, ,0,.) ,em(v-v') _ _ ■ ■_^g-,(l'-H)4-,U« + ,)v-„V-„»'-,yj

+ - //e'(-'-'-«Hi|("-l)v-nV-mi' + ,V]

( I 7, 0,0,0,,,,) j'e'"^^-'' = — \ ,;-/'e-Hi'-«')+.l— ("-i)v-(-iw-.r]

I 1 ;j'g!(i-'-W') + .|«y-(n + l)V~(n + l).i' + .rj

(17', 0,0,, ,0,,) ,e"Kv-v) ^ _ ^ . jg_,-(C.-«)-i[„v-(„ + „V~(« + I),i + ,V]

_L 1 j/g'V'-'-»)-i[«v'-(n-l)V-(n-l)<S— V)
T^ 2 '

( I 7', 0,0.0,,,,) jV""-'-' = — l ,-7'g-^-(/?'-«')-.[(»-i)v^-,r-,„.+,r]

4- ' /7'e'i^^'-«)-"[("+i)''-"V'-«'5-.r]
2

Evidemment, la dernière de ces formules résulte immédiatement de la
première, en y changeant i en j', v en v', v' en v, V en V, I en /',
Q en Q,\ 0 en 0' 55' eu ôJ, ^ en ^' et w en — n. De même, par les
changements mentionnés la troisième formule dérive de la deuxième, et
vice versa.

Maintenant, pour avoir les termes du deuxième degré, il faut d'abord
considérer les relations

Première Partie. Livre II. 280

(18.2) ,V"(v-v, _ _ I .y,g_HO-«') + ,-.v-,V, + ,V,-IKv_V)

(18. 3) 3/>e'"*'-'') = — ^ //e-'(.'-'-«)+«\v-,v,^g,-„(v-v)

(18. 4) ^pe""^'"'> = _ la'e-''^'-^''+'*'-^V'"'-')<^-^-'

ainsi que les expressions analognes provenant du changement de p en ^'.
En y introduisant les valeurs (10,0,0,1), (10, 1,0,1) et (10,0,1,1), il en
résultera:

H) Termes du second deçirt.

(19, 0,0,. .0,2) ^^"^-^^^ . .^„,,^,^y^_;(.-/v-«c^«)+.r.„+5.v-„v-^-,„i'-j)

,, 's 1 /y ^c

'^Vnç.lJgH^r -/■)+,(.'.'- H)4*|("-2)v->;V + >"-n<V+,VJ

_|_ l,;i:",-'i^'/g-'(-T-/")+ù/.'-e)+îT("-i)v-(n-i)v-Ji.;'+5j

Traita des orbites absolues. 37

290 Traité des Orbites des Planètes.

(19,0.0.0,1,2) 3V'"'-^'>= i.^(„-,„.-l^pg-K.-/'.-;(//-«.) + ^[C-. + l)v-(.-l)V-..-<„-l„V-S'J

_1_ l l^in-'^h-,^ J'g.(ir~/')-i(.';''-W)+i[(n~l)v-(n-l)V + i5-(«-l)<V-,V]

1. , •£"-!, -1^' r'^-i(--r)-i(.'.'-H)+ifnv-('/-2)V-(ii-l)<V-i/]

1 ii?"~''^ ' J'g.(r-/")-,X-C'-fl') + -[nT->,V-(n-l),S'-.r]

2 ' '

l l^(.n + l)f,-\ r,g--i(;T-r) + J(.';'-H) + i[(-i + l)v-(« + l)V-<5-(n + l),;+,î I

(i9,.,o,.,o,2) ,^e».v_v,__!^^yg-..-/'.-.r.-.)+.f,"+^)v-„v_,.-w_5l
4 '

(19,0,1,1,0,2) 5^ e — 4^7-"='

4 '
1 l.^yjg-iï -'-/")+■■(.'?-'•' ) + 'T<"-l)v-(n-i)V-.»r,+,vi

Proniièie Partie. Livre II.

291

+

+

(19, 1,0,0,1,.) 3>e'"'^--^- ' = — ^ /^/'e-(-'-)-'(^'-«')+'U"+.)v-c«-.)v-.^-(..-i)«)'-*'j

.,^V/'g'(--/')"il.'.'-W)+i[('"-l)v-(«-I)V + .i-(;i- -!)<;/- iV]

^- /'g-i(--/'HKi-'-w')+il(« + i)v-i/.+i)v-.i.-(«-H),i,-+;/'j

4 '

+ i/^i'e'<--'')-'V-'-w)+'lC"-i)v-(»+uv+<«-(H+i.w+.rj

(19, 0,.,0,,,2) V/>'^'"^""' ' = — J /^'/'e-'(---n-«W-«')+.[nv-(«-2,V-(.-,„.'-5'|

.,^5^'/'(,'X--r)-î(i''--«')+i("v-»v-(«-i)«v-5'j

/'^'(■T'-/")+i-a.''-«')+'[«v-("+2)v-(«+i)c5'+,rj_

Pour avoir les formules (19', 0,0, 1,0, 2), etc., c'est-à-dire les développe-
ments de ]e"''-''~''\ etc., exprimés moyennant les variables v' et V, il suffit
de changer, dans les formules précédentes, ,5 en 5', 3' en ,3, etc., et n
en — n .

Une partie des termes du deuxième ordre par rapport aux fonctions
anastématiques seules sont donnés déjà dans le chapitre précédent, savoir
ceux qui sont contenus dans les expressions de cosnll; pour déduii*e les
autres, qui nous seront nécessaires plus tard, on établira les formules

(20)

(21)

24 4

^^l P i. /2g-2i(.f.'-m4-2î(v-iV)+2i(v-v')

2 4

2'- i /'••'g-2i(i-''-«')4-2iXv-*) l J'2g2ji .<.'■-« )-2îXv-.V')

4 4

^ L J'"- \ J'2g-2j(.'J-H') + 2HV-,V)-^2i(v-v)

2 4

1 /' 'igiKii- (■/)-2;(v-.y')+2i-(v-

292 Traité des Orbites des Planètes.

(22) 35' = ij2'e-.(i'-«)+i(C-e')+î:(v-V-,y+,r)

' 4
4
4 '

(23) ' ^ = — 1 // v-'*^--^'+-^'^-^* + - i/V'*"-")-="^-^',

\ J/ '> dw 4 '4 '

''5\^

(24) m= ir + J/v->^-^)-^-^^-^' + ~iV

■ 4
(■,r\ ,'!^__ i jj-j'^-n!.'-&)+ia/-y)+i(v-y'-rj+;i)

y" ^ I !) .1., A

■li(.Q-t»--2Hv-ii)

• 'h

dv

1 ^ j2'g!V-'-M)-i(-'/-e')-î(v-v -ii+S')

4

1 iJl'e-'(-~ W)-H.'/^-H')+î(v + v'-.V-,V')

4

4 '

dont les trois dernières sont obtenues en considérant comme constantes, les
fonctions élémentaires Ie''-''~^^ et J'e"'''""', ainsi que les arguments v', i^ et §'.
J'ajoute encore la formule

(26) V ^ = — 1 j7 V'-'<-- -^''+^^^-'^' + - ^2V''---'^'-="'^'-''''>.

^ '' dv 4 '4

Ou tire facilement, des expressions signalées, en n'y ayant égard qu'aux
termes du deuxième degré:

I) Termes du second degré dépendant des fonctions anastématlques seules.

(27,0,0,2,0,2) 3V"'^--^'>= iiVt"^-"^'-"'"i

l 22g-2((-'-'-«) + i[(ii + '.'lv->iV-il<»--2,V]

4

4 '

Première Partie. Livre IL 293

(27, 0,0,1,1,2) ,5j'e"'^'"" = ' //'e-"^--^)+'V-'-«)+'[c«+ijv-(„+i)v-(„+i)„v^,v+,rj

4
+ - /i'e"''-"'^"-'-'-'*'>+'[<«-i)v-("-0V-(„-)K4,v-,rj

4 )

(27, 0,0,0,2,2)

,'V"(v-v')_

i/'îg.[„v--„V-W|

(2 7,o,o.2',o,2) 3^e'"^>--''

I^V

4

- /' V"'- -" '+'t'»-("+-)V-(«+--'V+M'i

4

+ - z7V"---«* + 'l<''-2'v-''V-«"V-!,V|

(- 7, o,o,i'i',o,.

4

^ 1 /V"^-'-*^>+'H"-:)v-«v-,„v+2/;j

(27, ''.o,.-,., 2)

-/Z/'e""'<'--^' + 'l"-W)+/L(« + ljv_(„+i)v-(„ + i,„y^,7+,.

— ' ///V<^--'^)^''('-'-«') + 'l("-i)v-(«-i)v-(tt-iK+,v^,r|

i//'e~'"^^-'-">-'<-'--**H'T(« + i)v-(«-i)v-(„-i)„y_,v_,rj

+ - //re'<"^^)+'('--''''+'l(«-i)v-(" + i)v-(« + iw+,v+,v I

294 Traité des Orbites des Planètes.

(2 7,0,0,0,2-,2) '^g«v-V, _ _I ■^,2^_.,<--H, + ,[„v-(,.-.,V-(„-.K_W'|

I i^-2'2g2,(.'/-H')+,[„v-^(« + -J)V-(" + --')<i+-''VJ ,
4

Evidemiueut, ou puumi, dans toutes ces formules, échanger les indices
simultanément avec u eu — n, et on parviendra ainsi à exprimer les fonc-
tions dont il s'agit moyennant les variables v' et V.

62. Les termes du troisième degré, dont il s'agit maintenant de
trouver les expressions, se divisent en deux groupes bien distincts, l'un de
l'autre. Le premier groupe renferme les termes du troisième et du premier
degré par rapport aux fonctions anastématiques, je les appelle termes it
caractère anastématique, et l'autre groupe, les termes du deuxième degré
par rapport aux fonctions anastématiques, multipliés par une fonction diasté-
matique du ^^remier degi'é: ces termes seront nommés termes à caractère
diastématiques.

Pour déduire les termes du premier gTou]ie, voici quelques formules
utiles :

(28) ,s ^_|;/=g-i(/.'-«; + iCv-/;i^3-pg/,/.-H)_i(v-Â)

(29) 5^5'= l^pj',..-.)-.v-/.', + .v_0

4
[ j p J'^-■i:^:.'^H) + HL^■-H■j + H'.■-2Îi + îi') + i{y-V^

l jpJ'^2i{!.'-H}+il.!y- t/■,-l-,^_3v42.'' + ''' ) + i(v-v)

1 ' ,j22y'g-2M-'-'-H)-i(-'-'-H') + i(3v-5,V-,V)-nv-v')

Première Partie. I^ivrc l[. 295

(30) ^r= ^///'v^----^'

4

1 ' ^•JJ'2g-/(.'.'-S)-2;(l'-H') + i(3v-,V-2,r)-5)(v-v')

1 ^- Jp 2g'(^-'-ft) + 2'(.'.' -«')+ «-3v+>V + 2.r)+2;(v-v')

(31) f-' = _|^2>:.g-i(//-«') + i(v-^-)-^(v_V, _^ 3;2'3ei(//-H)-*Cv-S')+f(v-V)

En multi])liant ces expressions par

on aura immédiatement les termes à caractère anastématique du troisième
degré, dont les coefficients sont indépendants des fonctions diastématiques.
Il pai'aît donc inutile de les reproduire ici.

Quant aux termes à caractère anastématique du troisième degré qui
se trouvent multipliés par un facteur diastématique du deuxième degré, on
les obtient facilement par substitution des expressions du groupe C dans
les formules (18,1), (18,2), (18,3), (18,4), ainsi que dans celles qu'on
déduit en multipliant les formules (18,1) et (18,2) par //", par pp' ou par
/■)'" On arrive de la sorte aux:

,]) Tenues à carndrre rniastémafique du troisième def/ré.
(32, o,o,,,o,3) ^é'-^'-'' = ^ils^ri" + ç».."^^]7e-''^^--+.K"+nv-„v-w-^l

2 ■"- /

20fi Traité des Ovliitesi des Planètes.

+ ' /^;''-' s'i'-lHM y^^'7e'("-''' -'■(-■-/■■)-n.'.'-f*)+.T"v-(„-l)V+,-„-,„v_,v]

+ - /|^"'' £<" + lV.-l y^'/g-ïl--/')+i(-'-/")-'(.'.'-W)+i[(n+2)v-(n + l)V-».-,l,r/-,Vl

— ' /|:^.-2^'2ie-2'(--'')+*it"+i>^-("-2.v-».v-/;j

i .,-i;;,2y/2Jg2nr'-0+.T(n + l)y-(» + 2)V-W-,Vl

— i,-[£J.V/^ + ^.,,o^^5-j;-^nO-«)+,r("-l)v-.V-„y+.V|
+ - jç'^f-^y.'iJg-^|(--'^>+i(.!■'-l-')+iU>' + ^)1-ylX-■^ro~„i;,■+;n

+ - hV''^n^Ie^'''''' n+ia-'-«)+'T('i-3)v-HV+2,5-,„;'+.yj

5]

Première Partie. Livre II. 297

(32, 0,0,0,1,3) 5'e""^'-^'' =

^'[?r''V/' + £!;-''*-'"3y']/'e-'(^--'^''+'["-<«-')v-("-iK-.rj

— ^<'£<"-"^'--5y^7'e--''"-''>-''(-'-''-'^')+'r("+5)v-(n-l)V-2™-(„-])<;'_5']

+ ^ /?""'-' £7'-' 3yr//'e-'('^-'')+'('^-'"J-'(.'-'-6i')+,[(„+i)v-«v-,5-(„-iK_,r]
+ ' /fî"'-^ £;'^''' ;y5y'i'6''"'~''^+''<'''-'">-'''^--'^'' + 'K"-i)v-«V+™-("-i)™^-r]

— 'iç^'-'>-5y'2i'e2'(--/'Vi.f/-fi')+;[«v-(„+i)v-(„-iw_,rj

— ^T^r''"'^" + £!;+"^-'"^^]7V'---"''+'f"-<"+"^'-("+i"">*'j

+ ^i£2"''^''*"'^^:yV'e~-''""'''+''*-'-'~^''+'K''+='''-(" + i>v-5.r.-(«+i),5'+,r]

— '/?" + ' ~'£"*'-^3y)y7'e~'<''-''>-''(^-''''+''(''-''-'^') + *f('' + i)v-«v-,,-,-(,, + i,,i' + ,yj

_|_ l,--.^+i,-2^,2^/g-2,(^-/",+,(o_„,+,[„v_(„^,)v_(„ + i„r/+,r]

38

5?

Traité ilcs orhiles absolu,

298 Tr

(32, 1,0,1,0.3) pié"''-''^ =

+
+

(32, 1,0,0,1,3) ,03'e'"'' "'

+
+
+

+

+

Cette

aité des Orbites des Planètes.

/;n,-I^^'/gi(--/')-f( ;!■■-/■')- i(/;'-H1 + i["v-(n-l)V + <I.-i»5'-,y]
,^^«,lj^„'Jg-'X--/')+i(;r'-/")-i(l'-W) + i[(,, + 5)ï-(n + l)V-.i-n.i'-5]

/■çl''-'îy)y7e--<^-''^-'''-^'-'")+'(^--'*)+'["'-<"-'>^'-'=-"'"'+'^

iïs'l""''^''' + ^("-IV,-^ 22'g-!(l''-«')+i[nv-(;i-in'-(n-l),V-ii'J

^V(«-lV,-lyj2j/g^-2i(;r^/')-!(l'— «■) + i[(n + 2)v-(n-l)V-2<;-(n-l)™-5']

^g(n— l)ir,l 22/g2»(T-/')-iC^.''-«') + '[(«— 2)v-(n— l)V+2<;-(n-l)û'— 5']
formule se continue à la page suivante.

Première Partie. Livje II.

299

— i/|:«-i.-ijy„'/'g'ï'r-/')-,(.T-r)-f(//-y)+,[(„-i)v-(„-2)V+-i-(n-i),s'-,r|

— ' i?""''' jy)^' /'e-''"-''>+'''-'-'")-'V-'-«H'T(«+i)^— "V-".-(n-i),ù- ,7]

— -!-/^;'-i.i,j^'/'e'(--/')+'(^'- /")-.(/.'■-«•)+/[(« -i)v-„v+,i-f„-i),i,'_,r]

(32, 0,1,1,0,3) ,oy"<'-'>=

+
+
+

+

ç""'"'''>jj^'/'e'"'^'''+''<^-'"'+'<-'-'^'"''+'[<"->>'-("+2)v+<s-("+iK+*']

^V,n-lH',1^^»Jg,|^-r)-,(n--/")-,(.'.'-l4) + ,[„v-(«-])V+,;,-n,i--,V]
/-(^n + llV.I 'Jg.l,'r-n+,(r-/")-,(.(.'-H)+,[„v-(„ + l)V + ,;,-„,;;_,v]

300 Traité des Orbites des Planètes.

4'-! 77-^^

i;-("+i)v',-iY,^'7/,-i('!--/')+!XT-r)+n-'-'-w+.L»v-(n+i)v-à,-«™+,vj
4'^! 5^57 -te

I ,,v<» + i)ç,i y,y,' r^H--n+i(-'-/")+i(i'-«) + i[("-s)v-(«+i)v+i-w+,v]
~r 4^1 5? J»

_L ' .•*« + l,l„/2 T 2,(T-/") + i(l'-«) + i[(»»-l)v-(n + 2)V-,»D' + 5]

-f- -'si ri je ,

;32, o,,, 0,1,3) /9'5'e'""-^''= ^ ^y^.~2),.-i^^/j-g-û.-/')-K.'-/'')-.ti'-«')+.l("+i)v-(..-2,v-,i-(,,-i,,.'_,r]

■ ,;£«-2,-l '2r/ -2i(^-/")-i(I'-«') + i[nv-(n-3)V-{»-l),i--5']

4 '^ 1 5^ -i e

1 ,-£",1 '2j/g2u!7-/")-<(//-W) + i[nv-(>i+l)V-tn-!W-'n

4*^1 ^57 -te

\ ,j..H-,l ' J'g;(--/')-i(-'"/")+i(-'/-«') + i[(«-l)v-nV+.;.-(ll + I).S' + .V]

4 "■ ' '

l'clte funiiiile se poiiUiiiie ù la iiigc siiivanle.

Pieniière Partie. Livre II.

ÏÎ<" + 'V'' 5y,y'7'e'(--/') + »'(--/") + i(l'-«') + t[(n-l)v-(« + 2)V +

+ ^'(cr' + ç;' + ^'-')5y''/V(^-'-">+'T"-("+i)V-(«+.>;/+,r]
+ ^ *■?;'• "':y"/'e~-"-'''-'"'+'<^'-^'^+'I"^-("-i)V-(«+iK+//j

4 ' )

(32, 2,0,1,0.3) />V""""''' = — ^^■3y'/e"''^'-*^'+'«"+'»-"V-'--.vj

5 i5n2/g-'-'(--/')-«(-'.'-«)+i[(n+3)v-KV-2.s-«,r/--,vj

4 '

(3-, 2,0,0,1,3) //,5'e""^-*' ' = — - /^22'g-i(.'.'-H',+,[„v-(„-i)V-(«-i),„-,rj

^i3y^/'e-^"''"-'''-'V-'-'^) + 'l(« + 2)v-(.,-l)V-2,;,-C'-l>V-5'J

-/jo^/'e^''("-''')-i(i-''-«')4-i[(n-2)v-(,i-i)V+2w-(n-i)<r/-,V']

+ - /3y^i'e'(^-''-'"''' + i["v-(n + i)V-(,i + I),J>,>'J

+ ^i7^'i'e-2''^-'''+'V-'~"')+*[i«+2)v-(„+i)v-2,.-(»+i)„v+^-]
+ ' /'/y -/V;''''"~"'''+''-'-''^'^'> • 'l"-'J)>- ("4 i)v+-.>„y -(,,+i)„v-, ,v|

301

)V-™-(„+iv+i

-(« + i)i;/ + ,v'|

302 Traité des Orbites des Planètes.

(3 2, .,.,.,0,3) />/,'3e"'('-^'^ = — ^ •^^, jg-,(.-/',-,x.'-r,_,u.-«)+,[(„+2)v-(„-i)v-r„-,„-„'-,vj

i.^^y'Jg-.(^-/') + .(.T-/")-i(l'-«)4-i[(n + 2)v-(n + l)V-,ù-lici-iV]

l,,-„„'Jg'(iT-/') + i(;r-/")-!(.'-'-«) + i["v-(>i + l)V + ,ù-n.i-,VJ

+ 'jrV5r'/e^«"-/')-*<-'-'")+ '■(!'-«)+ 'L«v-(«-])V-i-mi' + .VJ

+ \ ^^^'7e-(-r)-.(:r'-r)+,(/?-W + .[«~2)v_<n-

l)V + i-n.;.' + !V]

4- i /yiY)' 7'/,'X^-/')+'(T'-/")+ici-'-f)+*[(«~2)v-(«+i)v+rf.-«.;/+,v]
(32,1,1,0,1,3) /)/>Ye''''^-^'' = — ^%'/'e-'('^-'>-'<''-''>-«^''-">^'[*"+''^-'"-^'^-'"-("-'>"'-*^^^

ljj.jj'/'gi(^-/')-i('r-/")-i(l' -«■) + . ■[(n-l)v-(n-2)V + 'i>-(n-lV»-.r]

1 ,^- ' j'g-i(;r-r)+t(,T-r)-i(.'.'-H) + ;f(n+i)v-HV-(;-(»-i)ii-ir]

1 • 'J'g«r-r)+i<s-'-/")-nÛ'-W')+»[CK-l)v-)iV + ti-(n-l)<i-,y]

+ i-i',2jn'7'e-»('f-0-i("-'-n+>(l''-»') + i[(n + l)v-nV-<i-(«+l)û'+,r]
_|_ i /^^'/'g'(--/')-'<-'-n + H.</-W)+i[(., -I)v-nV + <i-(« + l)o/ + ,V']
I I^„^'/'g-i(n--/')+i('!--/")+.(l''-H')+i[(/i+l)v-(K + 2)V-™-(,i+lV + ,rj

Première Partie. Livre II. 303

(32,0,2,1,0,3) ^'•y"(-v')___i,Y2/g-.(i'-«H.[c..+i)v-«v-,-,.'-,vj

■ ^ '2jg-2i(,r'-/")-((C-H) + .[(tl+l)v-(>i-2)V-mV-5]

i • '2Jg2,(T-/"i-i(l'-rt) + .[tn + l)v-(« + 2)V-«,i-5j

1 \ ^- '2jg-2i(:r-/") + .(l'-fi) + ([(n-l)v-(«-2)V-«<J'+rVl
I 1 ,,• '22g2,(;r-/")+,(l'-H)+i[(n-l)v-(n + 2)V-n,l+,V]
(32,0,2,0,1,3) ^' Ye"'*^-^''=— ^ •^,2j,g-,(l.-«',+ ,[„v-(.-l)V-(«_l),ï--5']

' jyi' ' 7'-,~2<'(!r'->")-î(l'-«') + i[«v~(n-3)V-(n-l),l'-,r]

I 1^ '2jr'g'-2i(n-'-r) + iC//-ff') + i[>iT-(«-l)V-(n-rl).;'+5'l
I ' • '2y'g2,C;r---r) + i{l''-rt') + i[nv-(,i + 3)V-C,i + l).;' + ,r]

La règle générale relativement au changement des lettres marquées
par un accent, et non marquées, simultanément avec celui de n eu ^«,
s'applique aussi aux formules dernièrement obtenues; il convient toutefois,
d'en donner un exemple. Reprenons, dans ce but, l'équation (11, 0,2,2), et
faisons-y entrer les changements dont il s'agit. Il en résultera immédiatement:

2 ii\{\ \"\ ' 2 — iThv'~jiV'— jnùl

_1_ I^2g2;(r-/')-,[nv'-(n-2)V-«<;]^

304 Traité des Orbites des Planètes.

Multiplions finalement cette formule par celle-ci:

' 2 '

ce qui nous donnera:

^y«(v-v)^ _ 1 /^2jg-,(o-H)-.[.v-(„+i)V-(„+i),-„'+,v]

i,^- 22g-2i(--n-i(l'-H)-t[nv-(n + 3)r~(» + l)<-u'-|-S]

C'est précisément le résultat auquel ou parvient en changeant, dans l'équa-
tion (32, 0,2,0,1,3), p en ^, -^ en 5, v en v', v' en v, etc. et n en — n.

63. Venons finalement aux termes à caractère diastématique dépendant
d'un facteur anastématique de degré pair.

Les expressions des fonctions nJl que nous venons de rassembler, dans
le chapitre précédent, ainsi que celles qui eu dérivent par différentiation,
donnent naissance aux termes dont il s'agit maintenant: d'abord si l'on y
introduit l'argument V au lieu de v'; ensuite, si l'on multiplie les ex-
pressions mentionnées par un facteur de la forme />"/>" ■ Evidemment, des
termes de la nature envisagée proviennent encore par l'ensemble de ces
deux procédés. On reconnaît facilement que les termes à caractère diasté-
matique renferment dans leurs coefficients un facteur diastématique de
degré im2)air.

Un terme quelconque du développement général de cosnH ayant la
forme

T = K cos (n(v — v') -f mv' — i,y — i',? — i(.Q — 6) — i'(fl' — 6')),

m , n , i , i' étant des entiers positifs ou" négatifs, et K, un produit de
degré pair par rapport aux fonctions auastématiques multiplié par un
facteur numérique, on obtient les divers termes qu'on cherche, en in-
troduisant, dans l'expression

-n(<.'-H)-ii\if~H')+i{,

■i(/.'-«)-i'(l''-«')-i.V-i'//]
iv-i,V-i,Vl^s^/s'g.(n-m

l'ieiiiièi'o Pnrtic. Livre II. 305

les valeurs (|u'on a données dans le n° 59. En opérant de la sorte, et en
ue considérant que les termes affectés des premières jniissances de ;j et de
yf , on parviendra rapidement aux

K) Termes à curncière (Jhistêniafique du froisiènie (h'f/ré.

(33,1,3) eosH =

sl--'rj{P + I") cos[2v — V — cô — (7/ — (- — /')]

+ ^ sV' rj{P + r "■) cos [- V + c7, — 0/ + {z—l ')]
ç'r'r/ir- + I") cos [v — S' — (;r' — /")]
çî'')y'(/'-' + n cos [v - 2V - O' + (-' - /■')]
s^-'rjr' cos [2v + V — w + ô>' — 2,v — (-_-/')_ 2(i.> — H]
eV^'yiP cos[V + «5 + œ' — 2,y + ijr— F) — 2{Q — 6»)]

+ ^^Yri'P cos [v + 2V + ôy'-2},- (-' - Z") - 2{ii - ^)]
+ is-'rV//^ cos [v + œ' — 2H + (,-' — /■') — 2{il — (.»)]

sr'r;/'- cos [2v + V — w + (7/ — 2,/ — (- — /■) — 2(i>' — H')\
sV-'rir' cos [V + ô) + c7/ — 2/y' + (;r — T) — 2(i2' — ^r)]
+ ^i;-'V/'' eos[v + 2V + ô>'~ 2n' - (-' - 7") - 2{i>' - W')]
+ 'J'r'-q'I" cos[v + 0/ — 2,V' + (tt' — /■') — 2{(J' — H')]

£[■-' 5j//' cos [2 V — A^ — û) — (7/ — ,v + 7/' — (-— 7 ') — {ii — l-)) + (i'' — rV')]
sV' rjir cos [— ^' + ôj — ô>' — Ji + ,v' + (r — / •) — (ii — w) + (ii' — (■>')]
+ ~ç\--'r/ir cos [v — <7.' — ,y + //' — (-' — /") — {<> — H) + (ii' — W')]

Cetle formule se nonliinii' A lii page suivante.
Traite (1rs nrhilcn nhsi,hies. 39

306 Traité des Orbites des Planètes.

+ -jViir eus [v — 2V — w' — tj + jy + (-' — /") — (iJ— &) + {ii' — H')]

+ \ £;'■' /;//' cos [2 V + V — w + ô> — 7y — W— (- — r) ~{Û — H) — (i2'— (•)')]

+ '--{•-' riir cos [V + ôi + ô)' — ,v — y + (-— r) — {ii~ (■)) — (.'i' — (V')]

— ^ ?!■' yy'//' cos [v + 2 V + (7/ — ,V — ,V' — (r' — T') — ( o — (~l) — {(>' — (-)')]

— l^Y'r/ir cos[v + <T/ — 'V — y + (-' — F') — {i2 - H) — {il' — H')],
, , 5 cos H"

- isr-V;(/^ + I") sin [2v _ V - .-^ - S' - (- - /■)]

-\'A'-'i{P + /") sin [- V + ô) - ô)' + {--r)\

+ Jçi-'>^V' + /") sin [v -~ ô>' - (-' - /")]

+ ^cl''//(/'^ + /"O sin [v - 2V - U> + (r' - 7")]

+ \ BV'rjP sin [2v + V - S + ô)' - 2^ — (- — F) — 2(i> - ^)]

+ . . . ,

(35. ',3) ,ocos/7 =

— J)y(/' + /'-) cos[2v — Y — w — w' — (- — /')]

-~r;(7-^ + /''O cos[- V + ôy - w' + (r— /•)]

+ ^r;/' cos [2v + V — s + (7/ — 2J1 — (- — /') — 2{Q — W)]

+ 8 -^I' cos [V -h ô> + w' — 2,v + (- — 0 — 2(i> — W)]

+ Ir^F' cos [2v + V — (7j + (7/ _ 2,/ — (r — /•) — 2(ii' — ^r)]

+ IriF' cos [V + ô) + cD' — 2,y + (- — F) — 2{ii' — H')]

Celle fcrniiile ^e (■nnliiiiie à la page siiiviinte

l'reiiiièi'c l'iirtie. Ijivn^ II. 'MM

+ ^ vj // ' (•( .S [ 2 V — V — ô) — (7/ — // -1-. ,'/' — (tt — / •) — ( <> — H) + ( ii' — W')]

+ -' rjir cos [— V + «5 — w' — ]) + ,v' + (r — /■) — (/J — (-)) + (^2' — (t*')]

— '- jy//' cos [2 V + V — w + (Tï — ,V — ,'/ — {tz—I 0 — ( iJ — H) — (/>' — (■■)')]

— - Tjir cos [V + û, + o/ — ,V — ,V' + (- — i") — {ii — I-)) — (i/ — <■>')] ,

3 cos H

dv

(36,1,3) A^

^y;(/' + /';) sin [^v — V — w — w' — (-—/■)]

+ J ''/(/' + /") -siu [— V + ô> — w + (.T — r)]

— \yiI- sin [2v + V — F) + ô) — 27y — (- — /') — 2(i> — W)]

(37, ',3) p' t^os^^ =

_l^'(/^ + /-)eos[v-â)'-(;r'-/")]

— \r/{r + /''"O cos[v _ 2V — 03' + (-' — 7")]

+ s 577 ^ cos [v + 2V + <7/ - 2,y - (-' — /") — 2{ii — H)]

+ ~r'P cos [v + ô> — 2,v + (.T — /") — 2(i' — i-»]

+ ^3^7'- cos[v + 2V + O)'

[z - r') - 2{ii' - (■>■)]

-h ^ ^/'^ cos [v + â>' — 2,V' + (-' — /") — 2{il' — (-)')]

+ \r/ir es [v — (7/ — ,y + ,y — (-' — i") — (1' — (-)) + (ii' — H')]

+ ^ ////' cos [v — 2V — Ô3' — }) + //' + (-' — /") — {ii — Wj + {(>' — t-r}]

— \r/JI' cos [v + 2 V + (7/ — ,V — y — (-' — /") — (-'-f — t-^) — {ii' — (■>')]

— '-r/ir cos I V + (7/ — ,v — il' + (r' — 7^') — [iî — H) — {ii' — H')],

308 Traité des Orbites des PlauèteP.

/ r, \ ,3 COS U

(38, .,3) p~,— =

iV(/^ + 7-)sin[v-â3'-(;r'-/")]

.+ y{P + /") sin [v _ 2V - 03' + (V - /")]

— Jxy7'' sin [v + 2 V + (jy — 2,v — (-' — F') — 2{ii~ H)]
■ ■ • »

(33,2,3) C0S2i/ =

£f-'yy(7'^ + I") COS [3v — 2 V — ôi — 20)' — (tt — 7^)J
+ ^£'^',(/^ + I") cos[v — 2V + ô> - 20)' + (r- /•)]
e-V/(7^ + 7'^) COS [2v - V — 2c7)' — (-' — 7-)]

çr'//(7^ + 7"0 C0S[2V - 3V - 2c7y + (-' - /")]
£[''-•'7^1' COS [v + 2 V — ô) + 2â>' — 2/y — (" ~ 7') — 2{1> — 6)]
sl'-'-'y^P COS [— V + 2V + W + 2 0)' _ 2Ï/ + (- — /') — 2(<> — W)]
+ ^s-r'7?'7--' COS [3 V + 2w' — 2}J — (;-' — 7") — 2{ii — (9)]

cr-V/7^ cos[V + 20)' — 2^y + (-' — /") — 2(o _ 6/)]

s'i'-'''-/]!''' cos[v + 2V — «) + 2w' — 2,y' — (;r — 7^) — 2(iJ' — 9')]

£^-Vy7" C0S[— V + 2V + W + 2â>' — 2,y + (r— /'j — 2(iJ' — 6»')]
+ -jYil" C0S[3Y + 2w' — 2,y — (-' — /") — 2{il' — &)]

ev''r/I" cos[V + 2(7/ — 2,y + (r' — /") — 2{i>' — (/)]
c^'--' 75 77' cos [3 \ — 2 V— (7) — 2 s'— ,y + ,/— (.T— / ■) — (L> — ^y) + (!''— W')]
£-^-'' /^77' cos [v — 2 V + c7j — 2 ô)'— ,V -j- /y' + (r — / ') — ( ij — W) + ( i>'— R')]

Cette fonmile se lontimip j la i,:igt suivante.

Premii'-iv l'ailic. I.ivic II. 309

+ çy W/ir co8[2v — V— 2âi'—;j + }/'—{-'—/■') — {i>— (■>) + {'J~ (-)■)]
+ ç r' r/ir eus [2 V — 3 V — 2û)' — n + n' + (-' — / ") — {a — (■>) + {n' — (-r)]

+ ôf ■' 37//' cos [v + 2 \— ô> + 2(7/— ,v — il'— {- — F) — {ii — (■)) — {(/— H')]
+ s'^-'-' y;//' cos [— V + 2 \' + (7> -f 2 w'— ,v — //' + (-— / •) — ( o — 6»)— (iJ'— 6')]

— ^Vr/ir cos [3 V + 2(7/ — n — J)' — {?:' — r) — {<> — H) — [ii' — (-ï)]

— ç/-' y///' cos [ V + 2(7/ — ,v — H' + (-' — i ■') — ("'-' — 6») — {ii' — &)],

, , dcos2H

(34,3,3) ^^ =

— 5i^---' rj{P + /'■-') sin [3v — 2 V — cT, — 2(7/ — (- — F)]

— s\-'''rj{P + /") sin [v _ 2 V + (7) — 2(7/ + (-— F)]
+ çv-'yi'{l' + F') sin [2v - V — 2(7/ - (-' — F')]

+ çrvj'iF + F') sin [2v — 3 V — 2(7)' + [z' — /")]

— 2z\^'''riIF sin [3 V - 2 V - (7> - 2(73'- ,V + n' — {t. — F) - {il - W) + (iJ' - (j/)j

— 2c^-' >y77' sin [v— 2 V + (7j — 2(7/—,'/ + ,V' + (-— F) — {il— H) + {il'— H')]
+ 2^\~'rj'n' sin[2v —V— 2(7/— 1) + y— (r'— /") — (i> — i-f) + (/J— W)]
+ 2,-r'y///'sin [2v — 3V— 2(7/— D + //+ (-'+ /-)_(<>— (y) + [il'—H')l

(35>2.3) p(ios2H =

— \rj{F' + r"-) os [v — (7) — (r — r)]

-'-rj{P + /'^) cos[3v - 2 V - (7, - 2(7/ - (--/■)]

— '^rj{J'+ /'•-') cos[v — 2V + (7. — 2(7/ + Gt— /')]
+ ■ ^/= ,os [3v _ ô) - 2^ - (- - 7') - 2(iJ - H)]

Cette forniiile se continue A la pagr siiivantiî.

+
+

310 Traité des Orbites des Planètes.

j^ly^r- cos [v + (7; — 2,y + (- — F) — 2{ii — &)-]

+ ^ril" cos [3v — ô) — 2,r — (- — /•) — 2(f2' -^ 6')]

+ ^ /;/'■' cos[v + w — 2,v' + (?r — i') — 2[Li' — (-ïj]

+ ->j7= eos[v + 2V — w + 2ô)' — 2h — (r— /') — 2{ii — ^y.i]

+ -rjl' cos[— V + 2 V + w + 2(7/ — 2,y + (-— ■^') — 2(i>— W)]

+ Jîj/" cos [v + 2 V — W + 2w' — 2,y — (- — iO — 2{ii' — H')]

+ \rjr'' cos[— V + 2V + ô> + 2w' — 2,y + {-—F) — 2(i>' — &■)]

r;7/'cos[3v — 2V— w— 2w' — ,v + ,/ — (r— T) — (i'i— ^) + (i>' — (-r)]
y^ir cos [v — 2 \' + (7j — 2(7/ — ,V + .V + ("— T) — (iJ — W) + (iJ'— H')]

— '-rjU' cos [3V — (7i — ,V — />' — (- — i') — (-'-' — ^■^) — (-'-' — ^-^O]

— \rjir cos [v + ô) — ,V — /y' + (r — F) — {H — H) — {il' — (■)')]

— ' y^II' cos [v + 2 V— (7j + 2(7/— J) — //' — (r — /^) — {<> — l-i] — {ii'— H')]
~'-rjir cos[— v4- 2V +(7j + 2(7}' — // — ,V'+ {tt ^ F) — {ÎI — 6) — {(>' — 0')]
+ -rjir cos [v — (7j + // — ,'/ —(-—/') + {ii — H) — (iJ' — i-r)]

+ ^ry/i' cos [— V + iô + ,V — >'/ + (- — /') + (ii — (■>) — {il' — (-)%

, ^ , 3 cos 2 ff

(36,2,3) />-^^ =

^^ (7^ + 7-) sin [3v - 2 V - (7, - 2(ô' - (;r - /')]
+ -MP + r') sin[v — 2V + (7, — 2(7/ + (-— 7')]

— jry/' sin [3V — (7, — 2,v — (;r — F) — 2{ii — ^-V)]

Cftie lonnule se roiiliiiup à la page siiivanle.

PieiiiicTO l'aitie. Livre II. 311

— \ rjl'- sLu [v + M — 2,1 + (- _ i') — 2{i> — (■))]

— \yjl" sin [3v - s — 2// - (- — F) — 2{il' — H')]

— '-Yil" Siu [v + ô, — 2//' + (.T — F) — 2{ii' — W')]

— rjU' sin [3v — 2 V— w — 2(7/— ,'/ + ,v'— {n — F) — {ii— 9) + {il'— 8')]

— y.]!' sin [v — 2 \' + (ô — 2(7/ — // + //' + (r— r) — (.Q — H) + (iJ' — H')]
+ /,//' sin [3v - ô) - ,V - // -(--/')- {il - (-)) - {il' - H')]

TjW sin [v + w — // — //' + (- — r) — (iJ — W) — {il- — «')],

+
+

(37

•+

i
+
+
+
+
+

2,3

fl' C08 2 // =

r/(7^ + 7'>os[V-(.T'-r')]

^'(/^ + /-) cos [2v - V - 2B' - {-■ - F')]

r/{r- + /"O cos[2v - 3V - 2ô)' + (-' - F')]
r/F' cos [2v + V — 2,y — (-' — F') — 2{il — W)J
yy7' cos [2v — V — 2,'/ -1- (r' — F') — 2{il — H)]
r/F- cos [2 V + V — 2, y -- (-' — F') — 2{il'^ (■)')]
jy7'- cos [2v — V — 2,v' + (-'•— 7") — 2 {il' — l-r)]
ri'P cos [3 V + 2(7/ — 2,V — (-' — 7") — 2(l> — 8^^
■qP cos [V + 2(7/ — 2,V + (;r' — 7") — 2{il— W)]
-r/7-cos[3V + 2,-;)'- 2,v'-(-'-7")- 2{il' - (■)')]

'7'- cos [V + 2(7/ — 2»' + (-' — F') — 2(Û' — W')]

+ ^//7'^;-os[V + 2(7/ — 2!,' + {-' — y) — 2{il-—(-y)\

+ ^ ry'77' cos [2v — V — 2(7/ — ,^ + ,y' — (;?' — 7 ") — {il — H) + (i>' — 8'}]

Cette formule se coiitirme à l:i pa^'e siiivantf.

^12 Traité des Orbites des Planètes.

+ ' rfir ros [2v — 3V — 2(7,' — ,V + il' + (-' — T') — {i> — 9) + (O' — 9')]
Yj'ir cos [2v + V — ,v — ,y — (tt' — F') — (i2 — ^9) — {(>' — ^)')]
r///' cos [2v — V — ,y — 7/ + (-' — /") — ( i2 — ^) — (Û' — G')]
r/ir cos [3 V + 2m' — ,v — ,/ — (-' — 7^') — (Û — S) — {(J — G')]
— \r;ir cos[V + 2c7/ — H — ,V' + (-' — T') — {Û — f-)) — (Û' — /9')]
+ -^r/ir cos [V — ,y + ,y' — (.t' — F') — (<> — 8) + (i2' — H')]
+ ^)y'//' eos[— V — ,v + ,v' + (-' — r) — {ii — l-l) + (/>' — (■)%

(3<

, s cos 2 ff

3v

ry'(/' + /") «i" [2v — V - 20/ — (r' - F')]
+ ^r/(/^ + 7'^) sin [2v - 3Y - 2â>' + (-' - T'I]
r/r sin [2v + V — 2,y — (-' — 7"') — 2(0 _ ^9)]
r/P sin [2v — V — 2,v + (-' — T') — 2(/i — (-))]
rj'I"- sin [2v + V — 2,v' — {-' — F') — 2(<2' — (■)')']

— -^iP' sin [2v — V — 2J1' + {-• — F') — 2{Q' — ft')]

— r/lF sin [2v — V — 2w' — ,v + if' — (-' — 7"') — (fl — 9) + (i2' — (9')]

— ^'77' sin [2 V — 3 V — 2(7,' — ,v + H' + {-'^1 ") — {i2 — 9) + (i2' — ^/)]
+ r/IF sin [2v + V — ,v — ,V' — (r — F') — {Q —9) — {Q' — 9')]

+ 7/77' sin [2v — V — n — ,y' + (-' — F') — (.y — ^■^) — (fi' — (t»']].

Eu continuant ces développements, on trouverait des expressions dont
le nombre des termes deviendrait, de plus en plus, insupportablement grand,

Première Partie. Livre II. 313

tandis que très peu d'entre eux acquerraient, dans les théories des planètes
principales, des valeurs appréciables. En conséquence, il ne paraît pas
opportun de poursuivre le chemin dans lequel je suis entré, bien que les
résultats déjà obtenus ne soient pas sans intérêt, pour élucider la nature
des termes cherchés. Mais, en m'abstenant de donner les formules défini-
tives représentant les fonctions dont il s'agit, je vais en revanche indiquer
les expressions complètes de e'["(''-')+""] ^ ^gi[n(^~v')+'"'l ^ . . . ^ appartenant aux
valeurs de n depuis o jusqu'à 5, et de m: — 2,0 et +2, ces valeurs
toutefois restreintes à ne donner la somme n + m pas plus grande que 5.
Les termes appartenant à d'autres valeurs de n et de m ne causeront guère
des inégalités sensibles. Les formules qui suivent ne renferment, bien
entendu, que les termes du premier degré par rapport aux fonctions diasté-
matiques.

Voici les expressions dont il s'agit, et qui se déduisent presqu'inimé-
diatement en vertu des formules générales données dans le n° 59: elles
nous ont servi, d'ailleurs, à calculer les expressions (33,1,3) . . . (38,2,3).

(39, a) e-'^' = — e^'îye-

j(T-/')-|-î[v+2V-m+2,,V]

(39, b) . e''^-^'^ = — £j'.-'^e-'(-'')+'pv-v-,.-™]

(39, c)

+ ?!•

-V^--

(--/") + /fT-™

1

+ .'\'

':^V"^-

■r)-t-(|v-2v-6

il

>

-y.

^1

'7ye-''<"

-/■)+i[2v + V-,

i+,

— £[•

-l^g.C.-

-/')+i|V + rà + ,;

'J

Traité des orbites absohics.

.'U4

(39, d)

(39, e)

(39, g)

(39, h)

(39, i)

Traité des Orbites des Planètes.

-1 7*^

e-'"-''=: --.■^•-i5ye-'(-/')+i

,"'(2''— IV) ^4).-,-

■jye-

lX:r-/')+î[3v-4V— ii-4ci']

3.4^,1 ^gi(^-/')+i[v-4V+,5-4<I,']

g3;cv-V) _ g3^-,-l g-/(rr-n + i[-lv-3V-,;-3<

I ^S,-^ /g-,(,r-/') + ,[4y-2V-3d,']
^|M^,g,(,V-r,+i[3v--4V-3.D']^

(39, j)

(39, k

(39, 1)

(39, m)

(39, n)

l'rciiiii'i-u Parlic. Livre II.

gH^v- 5v) ^ 35^,-l^g-i(,T-/',+'14v-.-,V^»-6„/|

r-H'.l^e'('^-'') + 43v-4V + ,„-4„/|

+ ^{.■jy'e'l— n + i[4v-5V-4,iJ^
g.(4v- ■.,, ^ _ £2v'.-l^g-.(^-/'l+4-5v-->V-,„-2,„|

çJvM^g*( — r, + .13v-2V + ,i,-2,i

+ ç?'-':7'e-'<'^-'">+'[*-v-2'"J

r^V." ^g''l'r-/') + il4v-5V + ,„-5w'|

+ Ç-;.-'^'e-'( — /■') + 4=v-4V-5.'i

gl(.iv-3v) _^ £3»",-I^g-i('r-/') + .[Cv-3V-,„-;),i']

£3>-,1 gi(;r-/')+i[4v-3V + „V-3,i']

+ f3'-'5y'e-'('-^-'")+'T5v-2V-3.;/|

31i

31 (i Traité des Orbites des Planètes.

, .>,V î(;r-/')+î[v+3V-ci+2i]

(40, a) 2/>e-" = rje

(40, b) 2pé--^^ = ^,-..-r,+,..-v-.-.j

(40, c) 2^e^'^+'' = ,,--^(^-/'>+«l-+v-.+.]

(40, d)

(40, e)

(40, f)

(40,

(40, b)

(40, i)

(40, j)

+ rie'^''-

-/•)+i[V + i,+>.VJ

2^gi^v-3v, ^ ^g-<

C--r) + i[2v-3V-ci-3.1']

+ rjé'""-

-/■)+t[-3V + (i-3<iJ

2^g2Kv-v) ^ ^^^k

,;r-/') + l[3v-2V-»-2(i']

+ rjé'''

-/•) + i[v~2V+<;-2o/]

)

2/96-" = 5ye"'

l.T-r)+i[3T_<i]

+ ^/^'^

2^g«2v-4V) ^ 7ye~

,t:r-r) + t[3v-4V-,i-4à,J

+ ^e^"^

r-/') + '[v-4V + ...— WJ

2/)e'"''""''' = 3^e^

J;^-/') + i[4v-3V-,r.-3»]

+ >je'^'

T-/') + .[2v-3V + ,ï.-3™]

2pé^^'"^"' = îje^

n.T^/')+.14T-v-.i-..v]

+ ^e'*^

^-/•)+iL2v-V + «-<i']

2^gi(3v-5v, ^ jyg-

-.•(--/■) + i[4v-0V-»-5.i,']

+ y;e''

;r-/-, + ,l2T-5V+™^S.i.'l^

(40, k)

(40, I)

(40, m)

(40, n)

(4 I , a)

(41, b)

(41, c)

(41, d)

(41, e)

(41, f)

Première Partie. I>ivrr II.

2/)V '') = ^'e->U-/")+,:[v-,i-]

317

_j_^'e<<'"-'"'+'l''-2v-,./|^

P«(T+V')

2/>e'

''" ^^'^ = ;y'e-«^-/-) + <|v-2V-3,.-J

Ip'é''^"^"'^ = ^'(j~î(-'-/') + i|2v-V- 2.,,'J

2/>'e'" = 5y'e-'(--/")+.r2v+vi

318

(41, g)

(41, H)
(41, i)

(41,. i)

(41, k)

(41,1)

Trait 0

<le.s

Orbites lies Planèles.

2^.g<r.v^4V, _

y/e"'^"'"'"'"''*^'''''^'^^''"''^

+

^,^,(.._r',+ q.v-5Y-4„/|^

2^'e^'<-''> =

-g-,(:r'-/') + i[3v~2V-3,i'l

+

^,^.Vt-/", + .13v-4V-3„/]^

2^'e'(3v-v. _

^,^_i(.V_,", + il3v-„/J

+

„V(!T-/")+s|3v-2V-o.'|

2f/é'^^-'^'' =

^,g_,<-_/-, + i[SV_4V-.,„']

+

7 e ,

2^/e""'-^'' =

'g-H/"-/"l + .[4v-3V-4„/|

.Xir-/'') + i[4v-V-5,i']

(41, m) 2/.'e-'"'-^'' ■ = ^^-'■^'^■-'"'+'[=^-*^-^™J

(41, u) 2p'e'''^--'^'' = ^'e-H-'-^")+'l5-2v-3,vi

+ ^'e.X---'") + *|5v-4V-3.]

Avec ces formules sous les yeux, on écrira, et presque sans calcul,

les termes de cosnU, ou bien ceux de pcosnH , p' cosnll , p ,

' ■ ' ' av

p' ^^ , appartenant à un certain argument dépendant de v et de V.

En effet, puisque les divers termes de cos nH donnés dans le n° 50 se
mettent sous la forme

T = l cos L cos [u (v — v') + niv'] — / sin i sin [n(v — v') + mv'],

Première Partie. Livre II. 31i'

iVoù il découle:

pT = / cos L .p cos [n (v — v') + mv'] — l siii L p sin [n (v — v') -f" ™^' ],

ainsi qu'une formule analogue de p'2\ il suffira, pour arriver au résultat
cherché, de prendre, des formules que nous venons d'exposer, le terme
appartenant à l'argument dont il s'agit, de multiplier son coefficient par l,
et d'ajouter à son argument l'angle L.

Ainsi par exemple, s'il s'agit de mettre en évidence les termes du
troisième degré à caractère diastématique «'obtenant de l'expression de cos jH,
et dont la partie de l'argument qui dépend de v et V sera v seul, on
trouvera tout de suite l'expression que voici :

^ cos 7// = — ! r/{P + /") cos [v — 03' — (77' — Z")]
fi'

+ ^ rfP cos [v + ûi — 2// + [Tt- — T') — 2 {ii — 8)]
+ \ri-r' cos [v + -o' — 2,y + {t:- — F') — 2{ii' — 8')]

+ 1 r/ir cos [v — w'— ë+7^'— {Tt'—r) — {ii—e) + {H'—s')']

+ l Tj'ir cos [v — ô) + ,y — H'— {-'—F') + {ii— (■)) — {ii'— ft')]

— l Tj'ir cos [v + ûi'— » — »' + (-'— r') — {ii — S) — {ii'— (■)')] .

On se convaincra facilement, en inspectant les formules exposées précé-
demment, que les termes omis dans l'expression de cos jH que nous avons
donnée dans le n° 50, ne contribueront eu rien, en ne considérant que la
première puissance des fonctions diastématiques, aux termes de la forme
envisagée.

En étendant les procédés que nous venons d'expliquer aux termes
d'un degré plus élevé que le troisième, il y aurait très peu à ajouter aux
règles précédentes. S'agirait-il, par exemple, des termes du quatrième degré
par rapport aux fonctions anastématiques et du premier degré relativement
à 7j ou à y/, on les trouverait tout simplement, en introduisant, dans les
expressions du quatrième degré du n° 50, les valeurs précédentes de cos2v',
cos(v — v'), etc. Mais si l'on chercliait des termes affectés d'un facteur

320 Traité des Orbites des Planètes.

diastématique du troisième degré, il faudrait d'abord qu'on mît en évi-
dence les termes du troisième degré des fonctions cosv', cos(v — v'), etc.
ce qui s'effectuerait en introduisant, dans les formules (12, 0,0,3), ■ • • des
valeurs spéciales de n, et en ajoutant aux arguments certains multiples
pairs de v. Après en avoir trouvé les l'ésultats, les termes demandés s'ob-
tiendraient comme auparavant.

Il pourra se montrer avantageux, à certaines occasions, d'exprimer les
cosnH de la manière que nous avons indiquée dans le numéro 51, c'est-à-dire,
au moyen des fonctions 3 et 3', de leurs dérivées et des fonctions ti'igono-
métriques des multiples de l'angle v — v'. Pour opérer, dans les expressions
qui se présentent aloi'S, les transformations destinées à remplacer l'argu-
ment v' par V, ainsi que pour établir les expressions des produits
^j2gîn(v-v)^ etc., il serait utile de s'être procuré un tableau renfermant les
expressions transformées de tous les produits dont il s'agit. Mais comme
un tel tableau se dresse presque immédiatement, en vertu des formules
(20) — (26) et (39) — (40> .1^ ™^ dispense de le communiquer.

LIVRE TROISIEME.

Développement de la fonction perturbatrice.

Dans les équations différentielles dont l'intégration porte sur la dé-
termination des coordonnées d'une planète comme fonctions du temps, on
donne, avec Lagrange, aux composantes des forces troublantes la forme
de dérivées partielles d'une seule fonction nommée fonction perturbatrice.
Cette fonction, symétrique par rapport aux coordonnées des diverses planètes
et ne dépendant, ni immédiatement du temps, ni des dérivées des coor-
données, est néanmoins d'une nature tellement compliquée qu'il n'y aurait
aucun espoir de parvenir aux intégrales des équations du mouvement, ni
même à des valeurs approchées de ces intégrales, si Ton voulait retenir les
dérivées dont nous avons parlé sous leur forme primitive. Il en naît la
nécessité de développer la fonction perturbatrice d'une manière telle qu'on
en puisse détacher les termes exerçant l'influence la plus considérable et
qui, nùs au lieu de la fonction totale dans les équations du mouvement,
les rendent intégrables au moyen d'approximations successives.

Déjà, plusieurs méthodes d'effectuer le développement dont il est
question sont mises en usage; mais, de ces méthodes, il faut, lorsqu'il
s'agit d'établir la théorie absolue d'une planète, éviter toutes celles qui
n'ont pas le caractère purement analyti(]^ue. Il faut, en d'autres mots, pour
atteindre le but proposé, éviter les procédés d'interpolation et se restreindre
à n'employer qu'un mode de développement tel que les diverses quantités
variables d'où dépend la fonction perturbatrice, les fonctions diastématiques
et auastématiques non moins que les fonctions trigonométriques ordinaires,
soient mises, algébriquement, en évidence.

Parmi les méthodes ])urement analytiques maintenant en usage, il suffit
de mentionner celle de Laplacr, notablement jx'rfcctionnée par PorssoN

Truilr des nrijllcs tthxoliKS. 41

322 Traité des Orljites des Planètes.

et Leverrier; celle de M. Newcomb, laquelle, au fond, repose sur le
même fondement que la raétbode de Laplace; la méthode de Hansen
et finalement la méthode de M. Backlund qui dérive du même principe
que celle de Hansen, et qui offre, au calculateur, au moins les mêmes
avantages que celle-ci, mais dont le mécanisme parait plus simple que les
procédés de Hansen.

La méthode c[ue je vais employer dans l'ouvrage présent, offre les
mêmes avantages que les méthodes de Laplace-Leverrier et de Newcomb;
mais elle n'est en même temps aucunement inférieure, ni même au point
de vue du calcul pratique, à celles de Hansen et de Backlund, notamment
si l'on emploie les tables de M. Masal;' elle tient, pour ainsi dire, le
milieu entre les méthodes énumérées. J'en ai donné d'ailleurs, il _y vingt
cinq ans, un aperçu rapide.'

Mais avant d'entrer dans l'exposition du détail de la méthode dont il
s'agira, je vais rappeler certaines propriétés de la fonction perturbatrice qui
nous seront utiles dans la suite.

CHAPITRE I.
Géncyalités sur la Fonction perturbatrice.

64. La fonction perturbatrice étant formée par une somme de termes
tout à fait semblables, on pourra examiner ses propriétés essentielles et exé-
cuter formellement son développement en ne considérant que des formules
relatives à un seul de ces termes. Néanmoins, il sera utile de mettre en

' Masal, Tables de l'intégrale / '- — ~ — - . [Astrouomiska iakttagelser

J (1 — o" imfy

och uudersijkuingar pâ Stoekliolms observatorium. Vol. IV. 1891.]
" Astrouomisohe Naclirichten. Vol. LXX. 186S.

Preiuiùre Partie. I./ivie IJI. 323

cvideuce, tout (Valjord, l'expression complète de l;i tonction perturbatrice,
vu qu'on doit tenir compte simultanément, dans le calcul des inégalités du
deuxième ordre ou d'un ordre plus élevé par rapport aux masses troublantes,
(le plusieurs des termes mentionnés.

Prenons pour l'unité des masses celle du soleil, et désignons par
)«„ , m^ , • • • les masses des diverses planètes a , h , . . . . Posons ensuite,
en désignant par /" un facteur constant inaltéré pour toutes les planètes et
dépendant des unités de temps et des distances qu'on a choisis:

K = fi'ia . Ih = O'h , ■■ • ;

désignons par .r„ , //„ , ~"„ , ,-r,, , . . . les coordonnées rectangulaires rapportées
à des axes fixes se coupant dans le centre du soleil, et admettons finale-
ment la notation

,, __ ,1 I XA-n + ykVi + Zk^i I

1 ((.fA — ■lu? + {'.h - .'/;)' + («A — z.Yf \.v', + •;/; + z]]- I

Cela étant, la fonction perturbatrice complète relative aux forces
troublantes qui sollicitent la planète a sera:

/4 = -'4,. + fi.,,0 + -'4,,/ + ■ . . •

On écrira de même :

"^b — '^b,a T^ -^(z c T^ ^^b,d T • • • )

etc. ;
et on aura, en admettant les notations:

Ma = f{^ + '"„); Ih = /■('+ iih); etc.

''l = ■'■;; + ijl + sl\ n = XI + ni + zl\ etc.,

les équations du mouvement:

in' "^ ri 3'U '

dir "•" ",.;; ~ Si/, '

324

Traité

Orljik's (k'S Phiuètes.

Dans la suite, lorsqu'il ne sera pas nécessaire de distinguer les diffé-
rents indices, on pourra, en considérant une planète quelconque A: attirée par
une autre /, omettre ces indices et écrire x' , y' , z' au lieu de x, , iji , Si,
en sorte que l'on aura:

;^ + 7 "- atT '

(l) <jjl A.'^ ^^

^ ' df "*" r' ^' d;i '

d^z HZ __ dQ
di- "*" r' ~ dz '
ainsi que l'expression

(cx + Il II 4- ^^

v — x)"- + (//— li)-' + (z-zfY
En admettant encore la notation

A ' --= [x - :r.r + 0/ ^ i,r + (..^ - ^r,

lexpressiou de la fonction ii sera donnée par la formule

I I XX + nif + zz I

(2)

il

65. Dans ce qui précède, la fonction perturbatrice a été exprimée
comme fonction de coordonnées rectangulaires rapportées à des axes fixes,
mais cette fonction s'exprime aussi moyennant des coordonnées relatives à
des directions variables. En effet, si nous désignons par c , 57 , s", ç', fi -, C les
coordonnées rectangulaires des planètes A: et /, ces coordonnées rapportées à un
plan mobile passant par le centre du soleil, et que nous supposions qu'on ait:

(I)

(II)

X = a^ -{- pYj + )\ ,

Prciuirie l'artic. Livre JII.
nous aurons, après un (-alc'ul très tïuàle:

325

et

x-r^' + un' + -"' -= ^c' + rjr/ -\- :^

is-?y + (yi-r/f -^i^-'Cr^

relations, dont la vérité est, du reste, ininiédiatenient manifeste.

Mais considérons encore un troisième système d'axes rectangulaires et
mobiles ayant aussi l'origine dans le centre du soleil; désignons les coor-
données de la planète / rapportées à ces nouveaux axes par ç\ , y]\ , C» t>t
admettons les relations

(III)

En Comparant ces expressions des coordonnées .*', y' ,
(II), on obtiendra sans ditïiculté les é(|uations

avec les expressions

(IV)

A , A^ , A., , 7), etc. ayant la signification signalée dans le ii° 54, notannnent
dans les équations (3), (3') et (3").

Entre les dérivées partielles de la t'ouction perturbatrice relatives aux
coordonnées des divers systèmes, il existe quelques relations utiles à rappeler.

Ou obtient d'abord celles-ci:

diJ d.Q , ^ dQ , dQ

a. y dQ , d!i di>

dij 'a,- ' ' ' dYj ' ' ' ar

a Q d'J d"

a. y

dz

32(i Ti-aitù des Oi-hitts; des Planètes.

d'où l'on tire lu suivante:

d.Q , d.Q , d.Q ^d.Q , dn , ^d«J

(4) ^T + ^^ + ^T = S7 + '^s, + ST •

Ou déduit encore des relations sigualées, en ayant égard aux expres-
sions (c), (c'), (c") du n° i6, les suivantes:

/ 3/2 „o/A / a/2 ^3.Ç>

(5)

ai?

ai?
^aT =

/.ai?

ai?
'^aT

ai?

"a^

a/?

/.ai?

alA

ai?

_ai?_

/.ai?

ai?^

d'oîi il découle, réciproijuenient:

(5')

ai? ai? / ai? ai?. , / ai? ai?\ , / ai? ai?.

,ai? .ai? „ / ai? ai?^ , ^ / ai? ai?\ . „,' ai? ai?

,ai? .ai? - / ai? ai?> / ai? ai?N / ai?

'a; - 'J: = '^A-^'aT - '^^.) + '^^ V i. - -"a^j + /^l'^aT "

ai? ,ai? / d<2 ai?\ , / d<2 ai?\ , / ai? ai?

'aC ajy n a.'/' a.e/ ' '\ a.r aa ,' ' y' d: du

Passons maintenant aux relations où figurent les coordonnées polaires
des deux planètes. Nous admettons, comme auparavant, les expressions

X = rcos/'cos/, x' = r' cosb' cos/',

y = r cos b sin /, !j' = >'' c'os b' sin /',

z = r sin b, z' --= r' sin i',

.r.r' -f- y///' -|- ~"^' = '■''-' cos //,

ce qui nous donne, immédiatement:

(6) ■ A' = r- + r'- — 2rr' cos//,

(7) , -'=/^|À ^|-

Première Parti

III.

327

Avec les expressions sionalées, on parvieut facilement aux relations
suivantes entre les dérivées ])artielles:

(8)

dr dx ' •' d,/ ^ iz

dQ _ dii

dU

-r = — ■ '■ sni 0 cos l /' sm ii sni / \- r cos /> — ,

dh dx dtj dz

ainsi qu'aux relations inverses que voici
siii l dû

(8')

dx ^

' 2.'/ ~

+ cos / r cos 0 — — sin />- , \ ,
I dr dh I

I r fos II sni ^— r .

coft h dl.

cos / ai> , . , I ,

— ; -p + sm / r cos h
cos b dl d

dû . , dû , , dû

■ — =7' siu II h COS ù -r ■

dz dr dh

On déduit encore les formules données ci-dessous, dont la première
n'est qu'un simple renversement de la deuxième des é([uations (S):

(9)

,3^

dû

dû dû

dji
dz

dû JÛ
^•^ dz " dl/

sui h siu l dû , dû

ï r — COS / -- ,

cos h dl dh

sin h cosl dû , . ^dû
; r + sm ' -r •

COSO dl dh

66. Figurons-nous maintenant qu'on veuille choisir les coefficients
c! ,/?,/-, c<, ,..., ot', ;9', .. . de manière à avoir toujours:

s = o; C^' = o,

ce qui amènerait la nécessité de déterminer les coefficients dont il s'agit
conformément anx règles du deuxième chapitre du premier livre. Nous
aurons alors:

ç = r cos r ; ^J = '' ^i'i i' >

c, = r cos r ; ^/i = >' ^^i" ''' ,

328 Traité des Orbites des Planètes.

et nous parviendrons, en vertu des équations (IV), aux expressions

■ — r' 1/ir.c d^' — y^ cos 2" — siu (('' — 2") sin 2' cos J\ ,

(lO)

;■ cos y

r/ = >•' j cos (r' — 2") sin 2^ + sin (c' — 2") cos 2' cos J } ,
C ^ — r' sin ./sin (ti' — 2")-

En mettant, dans les équations (8) et (9), ç , )y , C et v au lieu de .r ,y,z
et /, ainsi que (/j au lieu de co^bdb, et en faisant finalement Cégal à zéro,
on aura tout de suite :

dQ

(II)

^Si2

ç y; ^ ■

3/' '

et puis, les relations récijjroques :

(II')

3c

dii

\- COS v — ,

)■ dv dr

l dr

cos V dii , . dii

+ sm V — .

r dv dr

Après avoir obtenu les relations précédentes enti'e les dérivées par-
tielles, nous allons en chercher les expressions qui, du reste, dérivent
très facilement des différentes formes par lesquelles on a représenté la
fonction perturbatrice Nous aurons, en effet, par l'équation (2):

(12)

dii

dii
dy

dii

y.

—

ri"

1

X

1^

—

.'/

1

x

h

—

z

+

et nous obtiendrons des expressions tout à fait analogues, si nous rempla-
çons, soit dans l'expression de ii, soit dans les équations (12), x par f,
y par rj et ^- par s'= o. Il viendra ainsi:

Première Partie. Livre Ilf.

329

(13)

3.y

9C ^'^ lA'

= — /^

= — /^

+

I A 3 I ' S

Maintenant, en considérant les relations suivantes qu'on obtient facile-
ment en vertu des équations (lo):

çc' + r/Yj' = /■*■' jcos (;; — 2') cos [o' — E') + sin ((' — S) sin («'' — 2") cos./{
= rr' cos 7/ ,

Cîj' — - rj^' = r/''| — sin [v — 2') cos(r' — 2") + cos (i" — 2) sin (r' — 2") cos J}
, 9 cos iEf

rr

9y

on parvient, moyennant les équations (ii), aux formules que voici:

(M)

dQ Av'' rr cos H r cos H 1

— = « rr'

Se '

I I 9 cos i7

A' ''•" 9" '

formules qui s'obtiennent, d'ailleurs, au moyen de différentiations directes.

Mettons encore en évidence une relation qui nous sera utile pro-
chainement.

En comparant la formule

9i2

a cos H

H rr

qu'on obtient facilement, avec la troisième des équations (13), il résultera:

:i5)

dQ

dSJ

3C rr d cos //

Traite, des orbites absolues.

330 Traité dés Orbites des Planètes.

Mais, puisqu'on a (équ. 3 du n° 47):

cos H = cos (v — v') -f- Il ,

la formule trouvée s'écrit de la mauière suivante:

On pourra se servir de ce résultat pour obtenir une expression re-

niarquable de la dérivée — .

Dans ce but, reprenons la troisième des équations (3), et introduisons-j'
d'abord les valeurs (11) des dérivées par rapport à c et >j. II viendra
aiusi :

dO

dz

'^■1 -

I . dii

- - sin V -
r d V

+

cos V —

di'

+ a|^

COS V \-

. dL> 1
sin V —

dr 1

En considérant les formules (D") du n° 22, le résultat obtenu se trans-
forme aisément eu celui-ci:

3-y . . / ^, S/J , . . . , ^, rdiJ , . :■ d.Q

r — = sm t cos 1 v — 6) \- sin r sin (v — 6 \- cos « - -r- j

dz - 'dr ^ ^ ' dr ' r d\\

expression qui, en vertu des équations (46) du numéro cité, s'écrit de la
manière suivante:

I -f Tjdvdr '^ ^ dr ^ \ ^ (I + !/)' \dv) r 3h '

Mais dans cette formule, il faut encore exprimer la fonction C' îiu moyen
de 3, de 3' et des dérivées de ces quantités.

Pour _y parvenir pi-omptement, considérons les équations suivantes qui
découlent immédiatement des formules (18) du n° 53:

l'reiilière Partie. Livre III. 331

siu J siu 2" = sin ï sin (e — G') cos (e' + 0')

— (ces l siu ï' — sin ï cos ï' cos (G — G')j sin (G' + 6"),
sin J"cos 2" = — sin l sin (G — G') sin (G' + f^")

— (cos ï sin ï' — sin i cos ï' cos (G — G')) cos (G' + G').
Ou eu tire:

sin i/ siu (;/ — 2") = — .sin i sin (6 — G') cos (v' — G')

— (cos i sin /' — sin l cos ï cos (G — G')) sin (v' — 9') ;

et maintenant, si nous rappelons Fexpressiou de cos (9 — G') que nous avons
donnée dans le u° 51, que nous remplacions cosi' par la valeur

I — - sin ^'■(I + f),
que nous introduisons:

sin i sin (v — 9) = ;, ; siu l cos (v — G) = -'-f- ,

sin i' sin (v' — G') = ,5' ; sin l' cos (v' — G

I + ;/ dv' '

et fiualeiuent, que nous mettions lo résultat ainsi obtenu dans la troisième
des écjuations (10), uous aurons:

— = cos il — X cos (v — v ) -j z -- sua (v — v )

+ ;.'(' + ni

\' +

du du'

L (■ +.7)(i +;;)]

cos (v — v')

+

%fw ^ du

sm v — v

332 Traité des Orbites des Planètes.

Avec cette expression, ou obtiendra de l'équation (17J lu suivante

d<J _ I d\ S.y , rd!J
a« ~ I + j/ (

'■- ~ ■ ^'dvdu + '5 dr + n ' ~'^'

(I + 7j)\dvJ /ah

_ [, cos (v - V') - ;p^ I siu (v - V')] V

I A/A-^a.y

(,1 + (/)' \dv/ rfh

+ ^3'(i +f')

+

,15' +

rfy dv

cos (v — v')

:lv'

dv

ce qui est la formule demandée

5iu(v — v')k/

I +

1 /'/S\'3.'^

(I + jYUvJ dh '

67. Lorsqu'il s'agit de développer effectivement les dérivées de la
fonction perturbatrice, on pourra opérer de deux manières distinctes. Ou
les trouvera d'abord eu développant les diverses expressions que nous avons
mises en évidence, dans le numéro précédent, mais on les obtiendra aussi
au moyen de différentiations directes, si l'on a établi, préalablement, le dé-
veloppement de la fonction perturbatrice elle-même.

Nous allons prochaiiiement développer la fonction perturbatrice dans
une série trigonométrique procédant suivant les multiples de l'angle H.
Par cette opération, on obtiendra d'abord les divers coefficients comme fonc-
tions de ;• et de r'. Mais jjuisqu'on va exprimer, finalement, r au moyen
de la fonction p et, r' au moyen de /?', il conviendra d'effectuer les diffé-
rentiations par rapport à ces dernières quantités.

Admettons le développement

(19) iJ = [\ + 2 l\ COsiï + 2 fr cos 27^ -f . . . ,

les U„ s'exprimant au moyeu de la formule

{«) [^„ = J„r' 4-^, '■""" + •••

ou bien par celle-ci:

{fi u.=?; + ^,+ . ,

les A„^ ainsi que les B„, étant des fouctious de r'

Première Partie. Livre III. 3.33

En vertu de ces expressions, la dérivée partielle de la fonction ij par
rapport à r i^'obtient immédiatement; mais il nous faut chercher la relation

entre les deux dérivées partielles -^ et — .
^ dr dp

JJiins l'orbite périplégniati<iue, nous avons la relation

I +f>

entre /■ et p., mais la valeur de r tirée de cette formule, après y avoir
remplacé p par 3^co.s(;' — o> — (- — /')), n'est pas identique avec la valeur
vraie du rayon vecteur, cjui est affecté des actions périodiques dépendant,
(piant à leur plus grande partie, des configurations des planètes. Les termes
représentant ces actions seront appelés inégalités diastémat'iques.

Désignons, dorénavant, le rayon vecteur dans l'orbite périplégmatique
par (;•), et mettons

(20) (;■) = ^ tA- ,

en sorte que nous aurons:

(21) {p) = rjco^{v — 10 — (-— ri),

= -q cos (v — Co ■ — {- — T)) ,

Posons encore:

ip-{p)=. R,

I r (v) - -

les fonctions R et ç, renfermant, toutes les deux, les inégalités diastéma-
tiques, sont liées entre elles moyennant une relation très simple, à savoir:

(23) E = (i-^%-.

Entre les dérivées partielles relatives à p , {/>) et R, on peut d'abord
signaler les relations

d.Q _ dli __ dL>
dp ~~ d{p) "~ dk '

334 Traité des Orbites des Planètes,

auxquelles on peut ajouter la suivante

dli I — -fj- dç '

Maiuteuaut, si nous différentions la relation entre ;■ et p, il viendra:

dr «.(i — /]'')

ou bien, en admettant la notation

(24) ^c) = /mil —rj'):

dr fir'

En vertu de cette expression, on parvient au résultat demandé, savoir:

(25) — = r= — ' ,

^ '^' dp d{p) {c) dr '

formule (pu peut être vérifiée facilement en y introduisant la valeur de ii
donnée j)ar ré(]uation (a) ou par l'équation (yî).

On obtient immédiatement, en différentiant le développement (a):

— = mJo'""' + (« + O^-^l'" + • . -,

d'où l'on tire, en vertu de l'équation (23):

H(0" A, (h + i)(c')''+' .-I,

,,n (, + i;yi+l ,^i+\ (I + p)" + '2

mais c'est justement cette expression qu'on obtient en différentiant, par
rapport à p, l'expression (a), après y avoir remplacé /" par sa valeur

— '■ — . La formule (2 s) se trouve ainsi vérifiée. Le calcul n'aurait

/;(l + ,0) ^ -^^

pas cluuigé beaucoup si l'on était parti de la formule (y?).

Première Partie. Livre III. 335

Celii étaut, .si les U„ étaient développés suivant les puissances de
(/') ' ip') ' ' '^^ ^'' "ous obtiendrions la dérivée partielle par rapport à p
moyennant la formule

(26) — = -7 -V + 2 — --!-C0s// + 2 ' -^COS 2// + ....

La 'dérivée partielle par rapport à v se trouve immédiatement en uti-
lisant l'expression

opération qui exige, toutefois, que les cosnll soient donnés par les for-
mules que nous avons rassemblées dans le n° 50.

Mais on jiourra au.ssi parvenir au résultat demandé en employant la
formule (7) du n° 49. On aura, en vertu de cette relation:

(28) ii = TT„ + 2 f/j cos w + 2 fr cos 2W + . . .

+ 2{V';,j/,+ >r,,i\ + ...]h

où l'on a écrit, pour abréger un peu, \v au lieu de v — v'.
Maintenant, nous remarquons que la relation

est visiblement légitime, ce qui nous permet de conclure l'expression suivante:

(29) -^ = — 2 U^ sin w — 4?^ sin 2\v — ...

dv

+ . . .

33G Traité des Orbites des Planètes.

Les dérivées partielles des fonctions V'',, „, s'obtiennent aisément en vertu
des formules indiquées dans le n° 49. On aura, en effet:

— 4 sin w ; '- = o

' dv

S^'i.i

s'/'v

av = °;

3v

dv

1 2 sin w

df'h

dv

I 2 sin w

d'f'x?:

^ = 0

dv

etc.

Quant aux dérivées partielles des fonctions /; , A^, . . . , on les obtient
en différentiaut l'expression

h = sin /'(i + f) sin (v — e) sin (v' — e)

— - sin i' ( I -}- f ') sin (v — 9') sin (v' — e')

+ - sin i' sin y'''( i + f)( i + f) cos (e — G') sin (v — e) sin (v' — G')

[voir les formules du n° 51] ainsi que les puissances de cette expression.
Dans les cas, en effet assez fréquents, où l'on peut égaler h à h,, [voir
éqv. (4) du n" 47], on emploiera tout simplement les expressions (5, a),
(6 , a) et (6 , b).

Eu différentiaut l'expression précédente de b, il viendra:

— — — - sin i\i + f) cos (v — e) sin (v' — e)

— - sin /''^{i -\- f) cos (v — 9') sin (v' — 9')

+ - sin i" sin T' ( i + f)( i + f) (^os (G — G') cos (v — G) sin (v' — G')
4

+ » 3v '

Première Piirtie. Livre III. 337

d'où l'on tire, p;ir un calcul tout à fuit seniljlable à celui du n° 51:
ah r r I + f (i^ I + f , rfj' 1 , ^

+ :i

' ' ' ' •■ 1^' ' •r)(i + ,</)'^ \''w/ t/^ "" dv]

+

^ (I + fXi + f)

4 1+1/

r ■ r<h 'h' ' .2 A'5\'i •

I I + ,/ '" </(M/y I 4- </* \^/v/ J

En ne retenant (jue les ternies du second degré, on aura:

(30 "--(é+i'i)-»+;(ê)'+<')--+^'

formule qu'on obtient aussi eu différeutiant, par rapport à v seul, l'équa-
tion (10) du n° 51, et en éliminant la seconde dérivée de 5 au moyen de
l'équation approchée

Il est en effet visible, par l'équation (55), du n° 23, c[ue la somme for-
mant le premier membre de l'équation indiquée ci-dessus est une quantité
du premier ordre par rapport aux forces troublantes.

Quant aux différentiations directes par rapport à ;; ou v, il faut re-
marquer qu'on doit les effectuer avant le changement de l'argument v' en
V, et avant avoir remplacé p ])ar son expression dépendant de l'argument
diastématique.

68. La dérivée partielle relative à cos // s'obtient en différeutiant les
divers termes du développement (19). Mais il faut y remarquer, toutefois,

la formule

d cou nH siu 11 H

= n

d cos H sin H

qu'on obtient sans difficulté.

Traité des orbites absolues.

338 Traité des Orbites des Planètes.

Eu vertu de cette formule, on obtiendra, si n est un nombre pair,

~7u^H~ ^ 4«*[cos7:/ 4- COS37/ + . . . + cos(2»» — i)F],

et si « est un nombre impair:
d cos(2m + i)H

d cos H

= {2ni, + l)[l + 2 cos 2//+ 2 COS47/ + . . . + 2 COS2Hi.i7].

Après avoir différentié réquation (19), il en résultera, en considérant les
relations établies tout à l'heure:

+ 2[4U^ + SU^ + I2f7, + ...]cos7/
+ 2[6U„ + lof/j + 14IL + . . .] cos 2//
+ . . . .

Mais cette formule se transforme aisément de manière qu'elle paraît
développée suivant les puissances de h . Pour cet effet, il ne faut que
substituer les valeurs de cosnH tirées de l'équation (7) du n° 49.

Admettons qu'on ait obtenu ainsi le développement

(32) ^^=^W,+2W,h + 3Wy + ...,

les W étant des séries trigonométriques procédant suivant les multiples de
l'angle w, et dont les coefficients sont certains développements linéaires
des fonctions C7, , U^ , . . . Nous aurons, en effet, par les opérations in-
diquées, les expressions suivantes, auxquelles est jointe celle de W^, dont
la signification sera élucidée prochainement,

W^ = [/„ + 2 U^ cos w + 2 C/j cos 2w + 2 U„ cos 3W + . . . ,

TF, = 2f7, + 611 + loU. + 14IL + . . .

+ jSr/, + lôf/, + 24 f'; + îcosw

+ {12^3 + 20l\ + 2SIL + . . .}C0S2\V

+ {i6f7 + 2^11^^ + 32[r + . .JC0S3W

+ .. .,

Première Partie. Livre III. 339

^, = 4f^, + r-i', + io8f^, + 2S6U^ + ...

+ {24L/3 + i2o[/., + ,336^^, + 720U,^ + . . jcosw
+ J48t/^ + 192 U^ 4- 480^7^ + . . .}cos2w

+ ...,

W^ = SIJ.^ + 120^, + 672 r. + 2400^, + . . .
+ \à4U, + 5760; + 2^6oU^ + . . .jcosw
+ { lôof/j + I I 20IL + 432of/,, + . . .} COS 2W

etc.
La relation

d COS H ah

nous fournit immédiatement un autre mode d'exprimer les fonctions W.
On conclut, en effet, facilement que l'intéçrale de l'équation (32) peut se
mettre sous la forme

(33) . ii= W„ + TF,h+ W.X+ ...,

W^ ayant d'abord la signification d'une fonction arbitraire. Mais alors, on
trouvera, en comparant l'équation (33) avec l'équation (28): quant à TF,,,
la même expression que nous venons de signaler, et pour les autres fonctions
W, les valeurs suivantes:

(34, 0 w, = 2 { '/'•,, u, + V.,, a + '/'V, u, + ...\,

(34, ^) W, = 2{ ¥,,, Il + V'-,., f/3 + V'V. lh+ ■■■],

etc.

On en pourrait retrouver les formules numériques que nous venons
de signaler, toutefois après avoir étendu, un peu, les formules du i\° 49.

Mais bien (|ue les expressions données suffisent aux théories des grandes
planètes, je vais, néanmoins, chercher un autre mode de représenter les

340 Traité ries Orbites des Planètes.

fonctions W, et j'ol)tien(lrui eu même temps une nouvelle métlioile d'évaluer
les fonctions '/'"„ ,„ , ce qui pourra être de quelque intérêt théorique.

69. En se rappelant l'origine des fonctions TF„, , on s'aperçoit sans
peine du fait que les coefficients numéi'iques des fonctions U„, entrant
dans les divers W,„, ne sont aucunement dépendants de la nature de la
fonction i2, pourvu qu'elle soit une fonctiou holomorphe de cos H . C'est
tout le contraire: chaque fonction de cos H qui se développe dans une
série de la forme (19), peut aussi être représentée moyennant un développe-
ment de la forme (33). Les entiers figurant comme coefficients des divers
développements dont il s'agit maintenant, restent constamment les mêmes,
seulement les U„ changent. Par cette remarque, on obtiendra les entiers
demandés en développant une fonction quelconque de cos H, ce qui donne
lieu à considérer une fonction dont le développement s'opère dune ma-
nière aussi facile que possible.

Dans ce but, supposons que la fonction ii ait la forme assez simple:

ii ^{i — 2y?cos7/+ /?■'}"';
alors, les fonctions U„ seront données moyennant la formule générale

D'autre part, si nous posons:

(2/9)"'

TT"

(I — 2/îcos w + jï'y"+^

la fonction ii sera représentée moyennant la formule {33).
Maintenant, si nous admettons le développement

(35) Tf„ = Tn"" + 2 TFi"" cos w + 2 TFi"" cos 2w + . . . ,

les coefficients TF^''"' étant des fonctions de "nombres entiers et des fonctions
f/„, nous aurons généralement:

W(m) = f -, oy. I (w+i)(m + 2)...(m-hi/) m + 1 (m+ i)(m4-2)...(w + v-n) ^.,

^''' I I.2...V '"'^ I I.2...(l/+I) '

(m+ i)(m + 2)(m+ i)[m-k- 2)...{m + v + 2) ^^^ |
"■ Ta \.2...{v + 2) 1^ "*"'■(•

Première Partie. Livre III. 341

Mais CL'tte e,\pre.s.sion s'écrit aussi de la manière suivante;

" ~ 1.2...!; ~ ^~i^'\ I I ^+' I'

m+ 1 m + V+1 I VI + 2 m. + v+2 ]. , |

1 u+l L^ H^2 'J' +■■ (•

d'où l'on conclut, en considérant l'expression de U,^, que les coefficients du
dévelo]jpeinent

(36) w^"'^ = Triu. + T:r,u„„^,, + ...

sont donnés par les expressions

riim,» _ (w-+ i)(m + 2) . . . (w + v) ^„,
" I . 2 ... 1/

rpm.v (^* + ' )(*" + -) ■ • • ('» + S') I «'' + ' »'• + 1^+1 I „,

■•'+■■'"" 1 . 2 . . . V I I V+I J" '

^^^m V _ «t + 1 H+ l)(m + 2) ■ . . ()». + !>+ 1) piH- 2 ??j, + !> + 2 j ,,^

^" + *-^^ 1.2. ..(V+I) L"^- . + 2 ~'J''

rpmv (ot+ i){m + 2)(m+ i)(»7. + 2) . . . (hi + v + 2) rm + 3m + i' + 3 i

'^+'' 1.2 I.2,..(l. + 2) L 3 v + 3 I

et». ,
ou bien, par l'expression générale

1 "V 2, = ^ ^ ' --— Un + V-\- 2 /■) 2 '" .

+ I.2...r I .2...(!; + r) ^ '

Cela établi, si nous comparons, avec l'équation (34, m), le résultat
s'obtenant par l'introduction de l'expression (36) dans le développement (35),
nous aurons les formules générales que voici :

fif _ rr\mfi

^ m,m ^ ^i) )

r,„^,^„^ =Tï"'cosw,

'/•„, , , ,„ = ^ T;"'" + T™'- cos 2%\' ,

342 Traité des Orbites des Planètes.

^''„.+3,„. = T^"'' cosw + T^"'' C0S3W,

y'"m+4,™ = ^T-T'" + Tr- cos 2VV + 17'' C0S4W,
etc.
Voilà les résultats auxquels j'ai visé.

70. J'entends par le symbole D^, une différentiation qui porte unique-
ment sur la variable v , tant qu'elle est mise en évidence dans les fonctions
(/?) et cos H. Sont alors considérées comme constantes, outre v' et {p)\
les fonctions )ycos(Â' — /'), ly sin (;: — T), Ism{ii — 0), I cos {ii — 0),
3y' cos (-' — /"') , . . . , ^ , ç', 05 et 03', ainsi que les arguments ô) , 55', ïf et />'.

Par la définition, il vient immédiatement:

(37) D...=|' + ^^D.W,

ou bien la formule suivante:

dQ dQ
(17') D,i2 = — + — D,r.

Que les deux formules en effet sont identique, cela se comprend en vertu
de la relation (26).
Par l'expression

(^>) = jy cos F , ■*

F étant l'arijumeut diasténiatique, savoir l'angle v — ô) — {- — /'), on ob-
tient sur le champ:

D^(^) = — îy sinF.

D'un autre côté, en admettant la relation

(A) étant une fonction de la même nature qu'on a introduite, dans l'équa-
tion (39) du n° 13, il viendra:

_ dp dR , .

- rfv"~;ï7+ w-

Première Partie. Livre III. 343

En introduisant la première de ces valeurs dans Icnjuation (37), il
résultera :

formule qui nous deviendra très utile dans la suite.

Concevons maintenant un terme isolé de îi , savoir :

a = 3i{py cos(nv — A),

où a et A ont la signification de certaines fonctions du temps, ne renfer-
mant pas, toutefois, (/>), ni v. En différentiant ce terme, il viendra:

^ =- sa (/;)=-' cos (nv — A); ^ = — ^'^(pT «i» ("^ — A),

et ensuite:

D^ij =^Jl^^Jl \)^,{p) = — sar/ cos F^' sin F cos (uv — A)
— nar/ cos F' sin (nv — A).
Mais puisque la fonction cos F" s'exprime par le développement fini
cos F" = Sa^-av cos (s — 2v) F ,
les a étant des coefficients rationnels, an aura aussi:

cos F'~' sin F = y^ — ;— ^ «g ^2, sin (s — 2 v) F .

Avec ces deux expressions, on tire de l'équation précédente le résultat que
voici :

(39) J),fl = — a5^'So(,_o„{(s — 2v) sin (s — 2v)F cos (nv — A)

+ n cos (s — 21;) F sin (nv — A)j,

d'où l'on conclut que la dérivée D,i2 ne renferme aucun terme dont l'argu-
ment soit exempt de l'angle v multiplié par un nombre entier. En eifet,
un tel terme ne pourrait naître que si l'entier s — 2y était égal i'i n,

344 Traité des Orbites des Planètes.

mais dans ce cas, la somme des deux termes eutre les parenthèses serait
égale à:

n sin (nF + nv — A) = n sin (2nv — nw — n(;r — /') — A).

Il est donc évident que le terme indépendant de v manque, dans
l'expression dont il s'agit, ce qui revient à dire que la dérivée D,.ii ne
contient pas des termes sousélémentaires du type (A).'

Dans ce qui suit, nous allons développer la fonction perturbatrice
suivant les puissances de ç et de f, de manière que nous aurons un ré-
sultat de la forme

(40) a = i4,„ + (i — r/)s-i2,,o + (i — rjyei2,,o + ■■ ■

+ (I + r/'Ol'lV, + (I - r/^)c ^'2,,,, + . . .

+ (i-^^)(i-r;-)l'„ + ...
+ . ...

Il s'entend, par ce que nous venons de dire, que la dérivée D^ i2 s'ob-
tiendra moyennant la formule

(41) r),i2 = l),.iA,,„ + (i — yj')S D.r^,,,, + . . .

+ (i —rj")ei)Jio^+ ,
et de même on aura l'expression

7 1 . Avant de terminer ce chapitre, Je me propose d'établir quelques
relations entre les dérivées partielles relatives aux coordonnées des deux
planètes, relations qu'on pourra utiliser, soit pour les calculs directs, soit
pour les vérifications.

' (^,uaut à cette iiotatiou, le lecteur est renvoyé à la page 37.

Première Partie. Livre III.
Remarquons iivant tout les expressions

341:

(43)

dii

= f-

==/'

A'
,\y — y

+ 3

x{xx + ijii + zz)\

y ii{.rx + fiji + zz\
— 7-3+3 -1 '■

dans lesquelles on peut remplacer, simultanément, ,t par f, x' par ^', //
par vj , etc.

Des deux systèmes (12) et (43), ou tire facilement la relation

(44)

qui s'écrit aussi:

(44')

Ou obtient ensuite:

(45)

3/- ' dr '

ai? si2

rr « —

3;/ ' 3.e

,3.y , ,dii
dtl ' • 3.1-

relation dans laquelle on peut remplacer, simultanément, .r par c, ■'"' p^n"
f, etc. de soi'te qu'on aura :

(45')

^d!J dii

^,dU , ,dii

Ensuite, si l'on désigne par Ci , rj\ , Ci , I! , >jl , C les coordonnées des deux
planètes rapportées à des axes dont deux sont situés dans le jilau instantané
de la seconde planète, on aura aussi:

Mais, il s'ae^it avant tout d'obtenir une relation entre les quantités

Trait^ des orbites absolues. 44

346

Traité des Orbites des Planètes.

t — — ri-^- et ç, — T — y)i ^: , ce qui revient a dire entre les dérivées —
d7j ' dt; ' a^y, ' 3ci av

et^,.

3v

Dans ce but, remplaçons, dans la troisième des équations (43), 2 par
C et z' par Ci' ; nous aurons alors, après avoir égalé, dans le second membre,
Cl' à zéro, le résultat

Mais la coordonnée C, , étant d'abord donnée moyennant la formule

C = A^S + -B,7j,
s'exprime aussi, en considérant les formules (1?") du n° 54, par celle-ci:

^, = r sin </sin (;> — ï).
On aura donc finalement:

(46)

~^, = u r sm J siu fi' — 2 ) --, ^

Le résultat que nous venons de trouver s'obtient encore d'une autre
manière, un peu moins directe, il est vrai, mais néanmoins, utile à indiquer.

En vertu des équations (IV) du n° 65, on aura immédiatement les
expi^essions

(47)

dç, dç drj d^

^ ^ ï aiy ^ ' aC

ai?

'aç

aC, ' a,- ' ^ ai; ^ ' ac

dont la troisième, si l'on considère les valelu's (43), après y avoir remplacé

;r , y , s , x^ , . . . par c , ^y , Ci Ci , • • • , conduit à la formule

; = ,AA,S + B,rj + ^.0(^,-71)

Première Partie. Livre III. 347

Mais puisqu'on a :

c; = A,e + B,rj' + ne = o,

la formule précédente change en celle-ci:

ce qui n'est pas autre chose (|ue notre formule (46). Ou s'aperçoit facile-
ment qu'elle peut aussi être mise sous la forme suivante:

(48)

d'où l'on tire, en la comparant avec l'équation (16), la relation que voici:

(49)

,3£

3c;

Ayant obtenu ces résultats, nous allons mettre en évidence les équations

(50)

ai2 3/^ a<2

^'il; + ^^' ^ + ^^ ^

dr; 3f, ' '3);, ' 3Ci

a^ 3fi ' ' 3)j, ■

3C

^ac;

qui découlent immédiatement des équations (47)- H eu résulte, après
quelques réductions faciles, l'équation

dL>

dii

d'où l'on tire, en introduisant les valeurs de 7", i^, et 1\, en faisant Ci'
égal à zéro et en considérant la seconde des équations (11) ainsi que
l'équation (45'), la formule

— = — cos J — . — r sm J cos Iv — 2 ) -^ ,

3y 3«; ^ ' 3^,

348 Traité des Orbites des Plauètes.

ou bien celle-ci:

— = — cos -/ — , — sin J sin u; — 2 cos ( (; — 2 -r- •
Par un calcul tout à fait semblable, on obtient l'équation analogue:

~, = — cos J sin J cos (u — 2 ) siu (y; — 2 -p •

En ajoutant, à cette équation, l'équation précédente, il viendra:

(5 0

-{ ; = — 2 Sin - -y Sin (v + v — 2 — 2 ) -^ ,

dv dv 2 ^ ' ^aii

ce qui est notre équation cherchée. Mais il convient de la mettre sous

d!J

une forme un peu différente, en remplaçant le coefficient de ^ par sou

expression en i , i', 9 et S'.

Dans ce but, rappelons-nous l'identité

V + v' — 2' — 2' --= V + v' — e — e' — (2 — a) — (2' — «r'),

et nous obtiendrons, en vertu des formules (21) du n° 53, l'équation

— 2 sin ;_ J' sin {v + "' — - — -")
3 i sin i' — - sin ?'^( 1 + f) + - sin î''(i + f)

— ' sin ;' sin i'\ i + f)( i -f f) I cos (e — 6') i sin (v + v' — 9 — 9')
4 J I

-+- %inr-'(i +£)-- %ini"(i -f f) j sin (e — 9') cos(v + v' — 9 — 6').

Ensuite, en considérant les égalités

sin (v + v' — 9 — 9') cos (9 — 9') — cos (v -|- v' — 9 — 9') sin (9 — 9')
= sin (v — 9) cos (v' — 9) + cos (v — 9) sin (v' — 9),

sin (v + v' — ^6 — 9') cos (9 — 9') + cos (v + v' — 9 — 9') sin (9 — 9')
= sin (v — 9') cos (v' — 9') + cos (v — 9') sin (v' — 9'),

Première Partie. Livre III. 349

ainsi que les forniuU's

3)1 . . / V 3î • -, / , ,\

-~ = sin t cos V — 9 ; — . = sui t cos v — 9 ,

on parviendra aux résultats que voici:

• I ,■! • , , ». ï., 2h , ah
— 2 sin - ./' siu {/; + z; — 2 — 2 1= r .

On s'apperçoit facilement de la vérité du résultat indique en observant
les expressions

î^ = ^' ?v ~ 5 '^^ ''^ ' + ^^ """^ (^ ~ ®) ''" ^''' "~ ®)

— - sin i'\ I -}- f) cos (v — 9') sin (v' — 6')

+ - sin /'^ sini'^(i + f)(i +f')cos(9 — e') cos (v — 9)sin{v' — 9'),
4

^- = 3 ^J- — 3 sin i\ I + f) sin (v — 9) cos (v' — 6)

— - sin l' '\ I + f'} sin (v — 9') cos (v' — G')

+ - sinT sini'^(i + f)(i +f')cos(G — 9') sin (v — 9) cos (v' — 9'),

dont la première a déjà été signalée plus haut. En formant la somme de
ces expressions, on retrouvera le résultat que nous venons de déduire rela-
tivement à — 2 sin _^ J^ sin ((; + ;/ — 2' — 2").
Ou est donc parvenu à la relation

dL' d<J _ dii /ah ah
v52j 3y "T 2^' — 21^ y^^^ -t- 2^,

Mais cette relation s'obtenant encore d'une manière directe, savoir en
introduisant l'identité

a cos (v — v) a cos (v V )

350 Traité des Orbites des Planètes.

dans l'équation

S.'<> dû _ diJ (s cos H d cos H

av 3v 3 cos Zï 3v av

on s'çst procuré une vérification utile, soit de nos calculs, soit de la
conséquence de nos notations.

En différentiant, par rapport à 9 et à 9', la fonction h, on aura les
expressions

a"^ "= ~ »' ^ + ^ ^'" ''(' + ^) '^^^ (^ ~ ®) *'" ^''' "~ ®)
+ - sin i'(i + f) sin (v — 9) cos (v' — 9)

sin j^sinï'^(i + f)(i + f) cos (9 — 9')cos(v — 9) sin (v' — 9')

sin i'' sin i' \\ + f j( i + f') sin (9 — 9') sin (v — 6) sin (v' — 9'),

4

Sh

39"

= — 5 —, + ^- sin i'\ I + f) cos (v — 9') sin (v' — 9')
+ - sin i' ^( I + f ') sin (v — 9') cos (v' — 9')

sin;''siu/'^(i +£)(i +f')cos(9 — 9') sin (v — 9) cos (v' — 9')

4

+ - sin ;^ sin i\ i + f)( i + f) sin (9 — 9') sin (v — 9) sin (v' — 9');
4

et maintenant, si l'on établit la somme des quatre dérivées partielles que
nous venons de mettre en évidence, on obtiendra:

ah , ah , ah , ah
av av ' a9 a9

Au lieu de l'équation (52), on peut donc employer la suivante:

a.y d<J __ diJ diJ
^^^^ av "*" av' ~ a9 a9' '

qui permet une application très aisée.

Première Partie. Livre III.

351

Quaut aux relation.s entre k\s dérivées partielle.s par rapport à z et z\
ou bien par rapport à C et Ci', il convient de .si<;;naler, outre l'équation
(49), encore celle-ci:

(54)

— + ^

«jf ^' ^ z{xx' + yy + g^ ) I

qui mérite d'être remarquée, vu que son second membre est indépendant de
la fonction A, et que son application, en conséquence, pouri'a être assez
favorable.

72. Mettons en évidence les indices qui marquent les jt appartenant
aux diverses planètes, eu sorte que, si il' est la fonction perturbatrice
relative à l'action de la planète h sur la planète /, nous aurons:

(55)

, I I xx + yii + zz I

= IL,. ^, .

ix = //;.

X , y , z étant toujours les coordonnées de la planète A", et ;r', y\ z' , celles
de la planète /. En comparant cette valeur de ii' avec celle de ii que
nous avons donnée moyennant l'équation (2), nous serons conduits, immé-
diatement, H la relation

H[ii — H\ii' = /4/i',{xx' -i- ////' + zz')[J.,—~j

(56)

Il résulte, de cette équation, plusieurs formules imjiortantes. Voici
d'abord celles-ci:

(57)

dO

, diJ'

:'{xx + yij' + zz)

f'^^'^f''^

diJ

diJ

/^'^^=f''à+f''^f''\'\?-rV +

_^ z {xx + .'/.'/ -f- 32 )

352 Traité des Orbites des Planètes.

qui Dous dounent, si nous considérons les équations (43):

(58)

= /«*•

X X X

y — y y

z — z z

expressions qui dérivent, d'ailleurs, directement de lu formule (55).
On déduit, de l'équation (56), encore celle-ci:

l^r - = /i, r ^ + MM ( ,7. + -J cos H,

et, en introduisant ce résultat dans l'équation (44) multipliée par /iî , il
viendra :

(59)

' '■ dr ' ' ' dr

11, ii' — /4/i; ( -^ + ^ ) cos //,

ou finalement, la formule symétrique:

(60) /^^ '■ 37 + /^' '■' 37 = — 2 (/^^ ^^ + /^' -'^') — 2 /4m> ( 7 + 7) cos H.

En remplaçant, dans l'équation (53), les dérivées partielles relatives à
v' et S', par les dérivées de la fonction ii', on obtiendra d'abord:

,diJ , , di/ , , , /r' r \d cos H
^^ ^ + /^' a~ + /'^/^' i? - 7^ j "^7-

= - ''"^- ^ - ^' aT ~ /"*■/'' b'~r^)^W"'
résultat, d'où l'on déduira facilement, ayant toujours égard à l'équation (53),
la relation

(6.)

, ^L> , , 3/^ , , , r r\..

,3i2 ,3.y , I , ,/»•'

^'3h 3h 3h 3h

V3v 3v' ~' 39 36

qui est, évidemment, symétrique.

Première Partie. Livre III. 3r)3

Finalemeut, si nous introcUiisons, dans l'équation (54), la valeur de

fi't — 7 donnée par la troisième des formules (57), nous trouverons tout de
suite le résultat, aussi symétrique:

On pourrait enrichir les formules qu'on vient de donner dans ce
numéro ainsi que dans le numéro précédent, par plusieurs autres de même
nature. Cependant, puisque ces formules non communiquées ici, ne sont
d'aucun intérêt général, je les développerai plus tard autant qu'elles seront
utiles aux calculs numériques qu'on va trouver dans les parties suivantes
de ce travail.

Traité (les vrfntcs absolues. 45

354 Traité des Orbites des Planètes.

CHAPITRE II.
Développement des puissances impaires de la fonction

A

73. Nous u'alloDS considérer d'autres cas que ceux où l'un des
rayons vecteurs des deux planètes est constamment ou plus petit ou plus
grand que l'autre. Certes, une telle restriction n'est qu'une hypothèse,
mais lorsqu'il ne s'agit que de quelques milliers d'années, elle est sans
contradiction légitime. Pour les temps historiques, les observations nous
ont montré que les rapports entre les rayons vecteurs de deux planètes
principales restent ou plus petits ou au contraire plus grands que l'unité; et
les calculs des variations séculaires des éléments elliptiques, alors même que
ces calculs ne jouissent pas d'un caractère absolu, sont en mesure de nous
donner la certitude qu'un tel état des choses durera pendant des temps
beaucoup plus considérables. Donc, il est certain qu'une telle hypothèse
peut être admise, bien qu'on ne soit pas à même de juger à priori, si
elle reste légitime pour toujours.

Mais a-t-on le droit de considérer comme généraux et absolus les ré-
sultats qu'on obtient eu intégi'ant les équations du mouvement des planètes,
après y avoir admis une hypothèse qui paraît de plus en plus incertaine au fur
et à mesure que le temps augmente; ne peut-on pas craindre que les résultats,
obtenus de la sorte, ne soient produits par l'hypothèse elle même? Voilà
une question que je chercherai à élucider par quelques réflexions rapides.

On pourrait, en efïet, croire que la supposition dont nous venons de
parler, implique un cercle vicieux lorsqu'on veut démontrer la stabilité
absolue de notre S3'stème planétaire; on pourrait même être amené à nier
la portée absolue des résultats s'appuyant sur l'hypothèse indiquée ou même
sur une hypothèse différente, en imputant à la supposition faite la nature
spéciale des résultats qu'on peut trouver. Mais en réfléchissant, plus pro-
fondément, sur la question dont il s'agit, on sera l)ientôt convaincu que les
objections qu'on pourrait alléguer contre l'emploi général de l'hypothèse
admise se réfutent facilement.

Première Partie. Livre III. BST)

Que l'on peut employer une apiigogie au lieu d'une démonstration
dii'eete, cela n'est aucunement une question en litige. Or, considérons un
système de corps libres soumis à l'attraction universelle; admettons de plus
que le système soit instable, mais que les divers corps parcourent, pendant
un ti"ès grand nombre de leurs révolutions, des orbites sensiblement égales
aux orbites actuelles des planètes. Cela étant, si l'on voulait démontrer
l'instabilité du système imaginé, on aborderait la question tout à fait de
la même manière que s'il s'agissait du problème opposé : en démontrer la
stabilité. On admettrait d'abord l'hypothèse que le rapport des rayons vec-
teurs des deux corps est moindre que l'unité; on développerait ensuite les
expressions des forces suivant les puissances des rapports mentionnés ou
plutôt suivant certaines fonctions de ces rapports. Après avoir effectué
les intégrations, on parviendx'ait finalement à constater l'impossibilité de l'hy-
pothèse pai" l'impossibilité de mettre les résultats sous forme de développe-
ments convergents. Ayant mis au jour ce fait, l'instabilité, ou au moins
la non-validité de l'hypothèse serait démontrée par apagogie. Mais si, par
contre, on avait obtenu des développements convergents,' l'admission ab-
solue de l'hypothèse serait nécessairement légitime, pourvu seulement qu'il
fût possible, les données numériques étant changées, d'arriver à un résultat
opposé. Pour démontrer la stabilité, il faut encore qu'on mette en évidence
que certaines fonctions gardent toujours des valeurs entre des limites dé-
terminées. Notre manière de conclure ne revient donc nullement à com-
mettre un cercle vicieux, mais bien à tirer une conclusion hypothétique.

Mais on pourrait, par un paralogisme, prétendre que notre conclusion
revient à un dilemme: on pourrait, en effet, alléguer: Ou vous trouverez
des développements divergents et alors l'hypothèse est illégitime, ou vous
trouverez des développements convergents, mais dans ce cas vous re-
tomberez dans un cercle vicieux et alors vous ne pourrez rien conclure
sur la légitimité de l'hypothèse. Mais comme je viens de dire, une telle
manière de raisonner serait tout simplement un paralogisme: on aurait
commis, en effet, une erreur logique que Kant flétrit par les mots: ))Die
»Alten machten sehr viel aus dem Dilemma und nannten diesen Schluss

' Je ne parle, saus dire expressément le contraire, que d'une convergence uni-
forme et absolue, quelle que soit la valeur du temps considéré comme variable indé-
pendante.

356 Traité des Orbites des Planètes.

wornufits. Sie wussten einen (léguer dadurch in die Eiige zu treiben, dass
))sie ailes hersagten, wo er sich hinweiideu konnte, und ihm daun aucli ailes
))widerlegten. Sie zeigten ihm viele Schwierigkeiten bei jeder Meiuung, die
))er aimahra. — Aber es ist ein sophistischer Kunstgriff, Satze nicht geradezu
»zu widerlegen, sonderu nur Schwierigkeiten zu zeigen ; vvelches deun auch
»bei vielen, ja bei den mehi'esteu Dingen angeht.»

))Wenu wir nuu ailes das sogleich fur falsch erklàren wollen, wobei
))sich Schwierigkeiteu findeu, so ist es ein leicbtes Spiel, ailes zu verwerfen.
)i — Zwar ist es gut, die Unmôglicbkeit des Gregentlieils zu zeigen; allein
))hierin liegt doch etwas ïâuschendes, wofern ruan die Unbegreit'lichkeit
))des Gegentheils fi'ir die Unmôglichkeit desselben hiilt. — Die Dilem-
»mata haben daber vieles Verfangliche an sich, ob sie gleich richtig schlies-
))sen. Sie kônnen gebraucht werden, wahre Satze zu vertheidigen, aber
))auch wahre Satze anzugreifen, durch Schwierigkeiten, die raan gegen sie
))aufwirft.))'

En résumé:

Dire que l'admission de V hypothèse mentionnée implique un cercle vicieux,
c'est prétendre ou que cette hypothèse entraîne avec nécessité la convergence
des développements ou bien que les développements sont toujours divergentes.

Pour montrer comment des solutions stables également que des solu-
tions instables pourront ressortir de conditions peu différentes, les unes
des autres, je me permets de renvoyer le lecteur au n° 2 du § i de mon
mémoire nouvelles recherches etc. On conclut par là que le problème de
la stabilité de notre système planétaire n'est pas seulement une question
d'analyse, mais aussi une question de calcul numérique.

Après cette digression sur la portée logique de nos supj^ositions, nous
allons désigner par r' le plus grand des deu.x rayons vecteurs et par /", le
plus petit. Mais nous ne prétendons pas, .dès le début, que les développe-
ments qu'on va effectuer en vertu de l'hypothèse

< I

Kant, Werke, éd. Haktenstein. VIII, p. 127.

Première Partie. I;ivre IFI. 357

soient convergents jiour tcnijoiirs; il suffit qu'ils soient convergents pendant
un interviiUe limité de temps, disons pendant ([uelcpies dizaines de siècles.

74. i^ar l'hypothèse que nous venons d'établir, les développements
fondamentau.x pourront être ini.s sous la forme générale

(■) (î)"'-(7)"^:"' + =U7)"Vco.//

+ 2( (-^ a""c0S27/+ .. . ,

où les coefficients CJ,"" signifient des fonctions du i-apport (

Considérons d'abord le cas oii m ^= i, et admettons la notation

En vertu d'un théorème bien connu, on aura sur le champ l'expression
que voici :

Cl" = -

1 ^'^" d(p

' ./ V/' -"•(")"©"

Evidemment, on pourrait développer cette fonction suivant les puissances
de a*, et le résultat obtenu de la sorte serait, on le voit facilement, con-
vergent, mais la convergence dont jouirait ce développement ne serait pas,
toujours, suffisamment rapide. On s'aperçoit, en outre, que la méthode
qui serait mise en usage, en abordant les développements de la manière
indiquée, ne différerait pas, quant à son principe, des méthodes de Hansen
et de Backlund.

Pour rendre plus rapide la convergence de notre développement fonda-
mental, je l'opère suivant les puissances d'une quantité j, déterminée par
l'expression

358 Traité des Orbites des Planètes,

ou bien par celle-ci :

w ^-'-{^'{

1 + /?,

Il est visible que la fonction ^ prend sa plus grande valeur positive
lorsque p est égal à y] et />', à — r/. En désignant cette valeur par ;^, ,
on trouvera:

^{V + V)(2 + r, -yj)
^1 (I + yjy

^ ^-(71 + T,) (y; + Tj'Y

Egalement, la plus grande valeur négative de ^ sera obtenue eu mettant
p égal à — jy et p' , à r/ . La désignant par — )(^, on aura:

_ ^(? + y") , (y + 'yT

En considérant que les fonctions diastématiques tj et r/ ont toujours
des valeurs positives, on voit que les valeurs de j(^ sont toujours plus
grandes que celles de j(^, exception toutefois faite du cas oii r/ est égal à zéro.

Comparons encore les deux modes de développer les fonctions C*„'':

ou suivant les puissances de o(^(i + /), ou suivant celles de -,j( .

Par la supposition que - soit constamment moindre que l'unité, la
quantité, â.^, déterminée moyennant l'équation

A' + x-2) = 1 — «;.

est nécessairement positive et moindre que l'unité. On en tire :

«- ^ I — ^^

Première Partie. Livre III. 359

Maintenant, si l'on attril)ue à i — ^ <^t à ;/ leurs plus grandes valeurs,
il sera visible qu'on développe: dans le premier cas, suivant les puissances
d'une quantité dont la valeur maxima est i — Oj, et dans l'autre, suivant

les puissances d'une quantité qui prend tout au plus la valeur — '— (i — «?.,).

l\int que â.^ est considérable à côté de^;^^, la seconde manière de développer
l'emporte sur la première, ce qu'on voit immédiatement.
Cela établi, je fais encore :

(3) ^ = - I +

en sorte que j'aurai:

(4) x=^-i^+-){'rij

^ ip—p){^ + p + p) _ / 1 + p'\ '
(1+^)^ \^+p''

En supposant toujours /; et p' moindres que l'unité, la fonction j
ainsi que ses puissances se développent suivant celles de p , p' et o-. Mais
avant d'entrer dans le détail de ces développements, j'introduis la fonction ^
dans l'expression signalée de 0,^ . Il viendra de la sorte:

" ,/ v'' — "' '^'D f' + ^^y, ^iu f'^

0

En admettant ensuite les notations

(s) /5;;' = ^ ' sinç^^'v?^

j I — «^ sin f"^

l(^\ .,-1,1 1.3. 5.. .(28 1) „^;,^i„(2,-)-l)

^' ^' ~~ 2.4.6... 2s "^ P"^' '

on obtiendra, en développant la formule précédente, l'expression

(7) c;/' ^ ri-" - r\-x + r^"/' - ■ • • •

360 Traité des Orbites des Planètes.

Supposons maintenant, que nous ayons obtenu un résultat de la forme

/ étant un entier, et les Ls'', des l'onctions des indices et de la fonction
0-; supposons ensuite que l'expression de C^,'' soit mise sous la forme

(8) Q" = rrc'3/>v'^

alors nous aurons généralement:

(9) (^^ = -r^''i^} + )'ri^--..,

et en particulier:

(^'\ fi,i .^1,1 ,.1," rd) _i_ „i," r(2)

[9 ) "^0,0 — To h ^0,0 + Ti ^o,a — ■ • • •

75. Les fonctions i^'^. que nous venons d'introduire sont des polynômes
finis en a que nous pouvons nous figurer ordonnés suivant les puissances
de cette quantité. En admettant les développements

(10)

L 0 + pf J
^ /' + p'\'r.(/'— /"'x^ + p + p

vt +/>/ L (I +pr J

P fj

(I + p)

etc.,
on aura facilement l'expression générale que voici :

(i i) L% = K^;^ + Ki;> + K:;;.^' + . . . .

Il s'agit maintenant d'évaluer les coefficients K^'-^ qui ne dépendent
que des entiers / , .9 , s et s', et qui sont eux-mêmes des entiers. On les
obtient en développant les formules précédentes, mais on les déduit plus
aisément en considérant l'expression

if , n/''+/'\', -'■(•'•—0/ , \V+/0'

Première Partie. Livre III. 301

Eu effet, kl manière la plus simple de mettre eu évidence les coefficients
dont il s'agit paraît être celle-ci:

Soit, eu désignant par h un nombre entier,

^)"^ YTKifV^

alors les coefficients sont exprimés moyennant la formule

^ '' ^^2^3^ . ..s"^ (« +i)(s +2). ...s

si s est plus grand que s', mais dans le cas opposé, par celle-ci:

,4/114/1'— I-)(4/'''-2'')...(4/'' — (s— I)°) (2/(— s)(2/(, — s— l)...(2/(— s + l)

^-(c~^]

\\2\l\ . . ^■' (s + 2)(s + 2). . .s'

Si les deux indices s et s' sont égaux, les deux formules coïncident, en
sorte qu'on aura:

Après avoir fixé ces notations, on obtient:

K''" = — ' R<'), 4- 'iiilzJj R(2) _ ■i(t- i)a-_^ ^:>(.„ , _

K''l = '''^'" U I R(2), _ ''—^ R13), ^ ('■- ")'^'- 3) J^,4)

etc.,
avec la seide exception

Ko == ^ — , + , -, — . . . = O,

formules qui permettent de calculer, d'une manière assez simple, les coeft'i-
cients dont il s'agit.

Traité des orlntes ahuolurs, 4Q

;;î(32 Tiaitr des Orbites des Planètes.

De la sorte, ou a obtenu les nombres suivants qui suffisent si l'on
s'arrête aux termes du septième degré, inclusivement, par rapport aux fonc-
tions diastématiques :

K''" = o

K1,0

Ki:;; = - 3,

K!;î = 4,

Kl:: = 4,

K''" = 6

-tri.o _ 2

-^^1,2 •'>

Kl:: =

— 5,

k;;ï =

8,

K^;? =

— 3,

6,

KI;Î =

— 10,

K';? =

4,

-■^6,0

— 7,

KJ;Î =

I 2,

lvl:2 =

— 5)

Kl;: =

8,

— 14:

KJ:2 =

6,

K^;2 =

4,

Kï;? =

— 8,

J^o;2 =

4,

K^;: =

— 12,

K;ï =

28,

Kii" =

— 20,

K?;: =

4,

K4;;; =

25,

17-2,0

1^3,1 —

— 64,

Ki;S =

+ 54,

K;:: =

— 16,

Kl:l =

I,

— 44-

K-;î =

120,

K^;: =

— 112,

J^2,3 —

40,

Ki;! =

— 4,

70,

K3;î =

— 200,

K;;» =

200,

K^;: =

— So,

K:» =

10,

Première Partie. Livre III. 363

K?;» = — 104, Klil = — 285,

Km= 308, K?;»= 36,

i^v° = — 324, Kl'l = — i,

Kl = 140,

K-^» = - 20,

8,

K^;? = —

24,

K^;° =

24,

-■^0,3

8,

T,'-3,0

J^i.o = —

36,

Ki;î = +

120,

T7-3,0

Ji.2;, =

144,

K?;» = -1-

72,

K^;: = -

12,

K,':S = 102,

Kl':" = — 366,

K^;^ = 492,
^a - - 300,
Kl:l = 78,

K^;^ = - 6,

6,0 = 231,

K^:î = 876,

K^;? = -i275,
K^;» = 880,

17-3,0

=

456,

J7-3,0

=

— 1806,

Ky

=

2790,

77-3,0
^4,3

=

2 100,

17-3,0
-■■^3,4

=

780,

T7-3,0
■^2,5

=

126,

17-3,0
-1^1.6

=

6,

Ivl;2= 16,
iq;î = — 64,
K;S = 96,

Kt:? == - 64,
K^:l'= 16,

^5,0 =

-96,

-■^4,1

416,

J^3;2 =

— 704,

K^;S =

576,

Kî:î =

— 224,

Xri.o

32,

-•^6,0 ■ —

344,

K^î =

— 1584.

k:;;! =

2920,

304

Kt;3 = — 2720,
K*;4 = 1320,
Kt'j = — 304,
lCo;"e = 24,

K!'; = — 952,

Iv^^.» = 4600,
j-4,0 _ — 9048,

Kfj -= 9240,
Kt;4 = — 5160,

Kfs = 1512,

Ktfe = — 200,

K?;: = 32,
Kî;î = — 160,
iq;? = 320,

K;" = — 320,

T7-5,0 _ i5o,

V^." = 1,2,

Traité des Orbites des Planètes.

K?'» = 1040,

Kf;î= 1280,

K"'" = — 2800,

■■^4,2

"-3,3 -J '

Ko' 4 = — 2000,

iq;î = — 5840,

K^^.o= 13680,
K^,"3 = — 17200,
K|;»= 12400,

k:?;°5 = — 5040,
K?-; = 1040,

K-5;0 = _ 80,
K|;S = -64,

K^.:î = - 384,

K!;;'^ = 960,

iq.o = — 1280,

iq.o = g6o,

K«.» = — 384,
Kf,;"e = 64,

k;;: = - 576,

iq;0 = 3648,
I^;?, = — 9792,

K"'" = 14400,

IQl = — 240, »^<.^ ^^

KM = — 12480,

Kl-; = 6336,
K5:", = — 1728,
Kr7 = 192,

K^.o = 640, K;;"„= 128,

K^„.« = - 80, Ky = — 896,

KJ;J = — I, Klil. = K>
Ko;ô = o,
K?;J = - 4,

K^;l = 4,

Ko-1 = 2,

S,0 = lOO,

K^;! = 260,

K2,I
J^2,3 = ÔO,

Kj;] = - 8,

-^^0 5 = O,

Première Partie. Livre III.
Km = 2688,

'^4,:l = 4480,

Kglî = 4480,

K';» = _ 2688,

Ki;° = 896, ==

K'7 = — 128, i^V> = ~l2,

^^1,1 = 24,

J^0,2 = 12,

J^iilô = 60,

i^2,. = — 156,
*^>.= = 132,

m:.

^li = 14, Kl'}, = _ 36,

K?;î = - 24,

K'n'l =10,

K^;J = -32,

K^;! = 68,
Kî;^ = - 44,

=

-183

=

552,

K^]

=

— 594,

=

264,

X3,l

=

— 39,

Kf;J = 43^

^4,1 1458,

^3, = -144, K|;'== ,812,

^^■'^ '^4, K^:J = -_,o2o,

Ku==-32, Kl;. _ ,46,

K3,l o

0,5 = 18,

3.0 = 32,

Kp} = 96,

366

Traité des Orbites des Planètes.

Kt:i

=

— 96,

m

^=

32,

Kl;>

208,

-•-^3,1

=

-736,

-1^2,2

=

960,

TJ-4,1

=

— 544,

1^4,1

-•^0,4

-

1 12,

Tr4.i

— 792,

TJ^4,1

=

3128,

17^4,1

-1^3,2

=

— 4784.

-[^4,1

=

3504.

Tr4,i

-1^1,4

=

— 1208,

Ko;J

=

152,

K5;'o

=

— 80,

K^;î

=

320,

^l',l

=

— 480,

-1^1,3

=

320,

^»-0,4

-

— 80,

640,

J^4,l

=

— 2880,

7^5,1

=

51 20,

i^;^

=

— 4480,

Ktl

=--=

1920,

1^:1

=

— 320,

— 192,

-1^4,1

960,

17-6,1 _
-•^3,2

— 1920

i^2;3 =

1920

Tre.i _
^^1,4 —

— 960,

Tr6,i
J^o,6 —

192,

3^^:3 =

I,

K?;^ =

— 4-

K:l =

4.

K?;s =

10,

Kï;5 =

— 16,

J^0,2 —

6,

Ksio =

— 20,

K;? =

40,

Kï;^ =

— 24,

KS;i =

4,

rr3.2 _

0.

J*-i,o —

6,

^7-3.2

-6,

K?;^ =

— 33,

K?;; =

60,

i^;^ =

— 27,

K^:S =

108,

K;? =

-258,

Prcmii've Partie. Livre III. 'Î67

K^;^ = 198,

K^

K?;^ = 6,

K?;? = - 6.

Relativement aux coefficients K';'} , il y a quelque.s remarques à faii'e.
1°. On a généralement:

K:l = K-" ,

toutefois avec l'exception

tandis que i\'," est égal à zéro.
On a du reste:

Ko'; = (— i)'.

2°. Dans les formules (10), les valeurs de s s'étendent depuis s =^ o
jusqu'à s = co, et celles de s', à partir de s' = o jusqu'à 5' = 21 inclusive-
ment. Mais la plus petite valeur de la somme s + s' est égale à i — g.

3°. La somme des coefficients appartenant aux mêmes valeurs des
indices supérieurs et dont la somme des indices inférieurs garde une valeur
déterminée, est égale à zéro.

4°. En supposant, dans les équations (10), p égal à zéro, on obtient:

d'où l'on tire:

"'^ ^ ^ 1 .2 . . . <j ■^

Les résultats que nous venons de donner, dans la liste précédente,
sont vérifiés de diverses manières:

d'abord en formant les sommes SSK!,'v , s + s' = nombre déterminé;

ensuite en formant les sommes 2 Kj,'^,. ;

368 ' Traité des Orliitcs des Plauètc?.

finalement, eu renouvelant le calcul des coefficients dont il s'agit au
moyen des formules

etc.,
Il , h' , /i , k' étant des entiers assujettis aux conditions
/, + /.• = s; h' -4- /,' = s'.

76. Après avoir déterminé les coefficients K';" , nous allons introduire,
dans les développements (9) et (9'), les valeurs des Uj^ données par l'équa-
tion (11). Les résultats qu'on obtient de la sorte, étant des développe-
ments suivant les puissances de a, on peut les mettre sous la forme générale:

(12) Cl::. = SI;r + '^lfa+ ^l'^ro^ + . . . ,

si l'on attribue aux coefficients S';"'' les valeurs que voici:

(13) ^r = - ri'"K^;^. + r^'"K;-..- r^"K^- + ..,

avec l'exception de

[^o) '%,» — i — V r^ 1^0,0 - /., ■

Cela étant, nous allons établir les développements suivants, où l'on
ne mettra en évidence que les termes jusqu'au sixième degré inclusive-
ment :

(7 = — 2-// + 2)j'^ + V* — W^î"' + 3>j"

+ 2y/y/-^ — 6r;V^ + 4//",

ff' = 4''/' — Syy V' + 45;"

— 45^'' + -Ori^Yj'"' — 2'àrj'rj'^ -{- i 2)y"^,
<T^ = — 8)y'"-f 2^Tj*rj''' — 2\rf-ri^ -f S3^"\

Preniii''ie Partit'. Livre III. 369

Si nous introduisons ces valeurs dans l'expression

\a/ \r / (I — )y -)" + ' (l + o)" ' "'" '■' ' '■" ' 1/ -/ » '

et que, d'autre part, nous admettions qu'on ait établi le développement

('4) (;;)"(7)"''^;;' = 2:^liJ(.^s,so,,,„-i^(.^s,so,,^^ + i^(",s,Oo,,v'

+ ii{n , s , s'),, „y/ — <I{ii , s , s'),,,^/ V/^ + iJ(» , s , s').,,.,r/^

il devient indispensable d'exprimer les coefficients constants Ù{n , s, s')^^
moyennant les S.

Dans ce but, supposons d'abord:

\ (' V )" lul,..,() I gl.".l ., I J_ TTC")

et nous obtenons facilement, après y avoir introduit les expressions de

(T , a" , . . . , ainsi que le dévelt)ppement de — -- "^iTi ' ^^^ expressions
suivantes :

Traité des orbites absolues. 47

370

(.6)

Traité des Orbites des Planètes.

TJ(n) ^ 31,",,0

ui::^,,,,, = (« + i)^^:;"'" + ^^ir,

u<">,„ ="^""~ '^^"~^si':v° + n'ai':-' + 4(«. + i)s;':/-' + ssi^r,
, , , 1.2.3

+ 4(3n + 6)S!-^+ 24S:;r^

Uw^,, = "^" + '>^'^ + l)s:;:.." + (3';r + i 2« + 12)8:;^'

+ 4(3« + gjSl;^^ + 248^;^
U(;o_,3 ^(».+ .)0^ + 2)(»4-3)g,,„,o ^ ^^^= ^ 6^^ ^ ^)g,,„,,

etc.

+ 4(/' + 4)^:::'^ + 8s:

Il convient de remarquer que la forme générale des coefficients U
est celle-ci:

(17) Ui-,„, = ç,i^\ -f çr.S-, + çr,S-> + . . . + çr„+.S^r\

où, en employant la notation abrégée

H'-'l = S''".''

on a désigné par ç'^ , çr, , . . . des fonctions rationnelles du nombre n et
d'autres entiers, mais indé])endautes des indices s et s'.

Mais on pourra aussi mettre les coefficients U sous une autre forme,
en les représentant comme fonctions des transcendantes yl'" . En effet, si

Pieniière Partie. Livre III. IÎ71

l'on i-emplace, dans les c'quations (i6), les S,"j moj'ennant les développe-
ments (13) et (13'), et qu'on admette la notation

('8) a:;"„. = f„K:;^ + ^.K:;:. + . . . + f„+.K;;:+%

les U seront exprimés par la l'ormule

{19) ui;;^,„,, = — a:;'; „,„7-!'" + (i;;:>,,ri'" — ■■.

mais dans le cas exceptionnel, où s et s' sont égaux à zéro, on aura, au
lieu de la formule précédente, celle-ci:

(19') u^:^,.,, = e,ri-" + ç,r\'" + r./->" + • ■ + r>+.r'^.'-

Venons finalement aux coefficients iL
En multipliant l'équation (15) par:

(1 -f />')" + i I »/ + I („ + 1)11 ,., Il n v(,i + \) ., I

( I + ,0)" I ' I ' ' 1.2'^ ' I l '^ ' \ .2 ' I '

on aura, en comparant le résultat avec l'équation (14), l'expression suivante
de la fonction ii[ii , s , s'),,,, où j'omets les indices n, v et >', vu qu'ils
sont partout les mêmes:

(20) i.'(»,s,s').. = U.,-«U, ,, + !iil^±i)u. ,,-..+ "^"+'^-'"+^-l)u„,

\ I \ ' ' I'.' f.s s i,s I s .,s — I r? 3_ K "'^

I '*"' * '■ ' 1.2

«()(,+ I )...(//. + s— I)

I ("+0"|rT ,TT , n(u+l)...(/i+s— I)

+ .. .

/i(u+l)...(/>+s- 1)^
1.2. 3. ..s

372 Traité des Orbites des Plauètes.

En voici quelques valeurs spéciales, où l'indice n est toujours omis:

.y (h , O , 0).,.y = L\„.,,.,

ii{n , I , o)„,,. = U,,,,,,,. — nU„,o,„_„.,

i^(« , o , i)„,, == U„,,,.., + {n + i)LT„,„,„,,,

!>(« , 2 , o),, = U,,„,,,, - «U,,„,,,, + !ii^)u„,„,„,,,

^-'('« , I , ^).y = Ui,,,„,,. — n\Joj,,y + (« + i)Ui,„,„,„. — w(h + i)Uo,o,„y,

ii{n , o , 2\y = Uo,,,„,, + {n + i)U„,,,,, + ^-!i±ii!^U„,„,,,.

77. Cherchons maintenant les expressions de la seconde forme des
coefficients il, et admettons d'abord qu'il s'agisse du cas le plus simple oii :

V = <y = o.

On a alors:

Fo = I ; f 1 = ^^2 = • ■ • = O'

et, eu conséquence:

(21) UK = - Ki:ir\'" + K;;^ri'" - i^l-:y/' + ■■■■

En substituant cette valeur dans l'expression générale (20), on obtiendra:

(22) iÉ{)i, s,s')„,„ = Tiî::!,r\-" ,

les coefficients H"'s étant donnés moyennant la formule

(23) (— i)'H:;:. = K;;». — nK'-l,^ + '"^"^t '^Ki'\, — . . .

I "■ + ' I K-'" _,;K'.« I "('^+ Oyso I

1.2 s,s 2 !,-l,S-2 I j ,,

K::^..._o — ..

+ ...

(h+ l);i(ji-l)...(n-s' + 2) n(«+ l)(r(.+ 2)...(n + s-l)„,o
X T"! ^ ~ T~^ ■'^0,0 ■

Première Partie. Livre III. 373

C'est à M. Hahzer qu'on doit cette seconde forme des coefficients i2.
Il n'en a pas donné, toutefois, l'expression générale, mais seulement les
expressions numériques des coefficients H"'J. jusqu'à ceux, inclusivement, qui
appartiennent aux indices satisfaisant la condition

s + s' = 3.
Voici d'abord les expressions des //";J calciUces par M. Harzp:r: '

h;';= I, h;';= — (« + 2)^

H.";; = 3w' + lOH 4- 9,
H;*;.] = — 3k' — 8« — 6,

xqn.o _

-"■1,0 —

— '"' >

TT".o
■tlo.i =

n -\- 1,

■"-2,0

n{n + I)

1 . 2

-tll,l =

— "(" + l)>

XT«,0 _

■"■0.2

n{n + 1)

1.2 '

rjn.O

h(h + \){n + 2)

1.2.3

Hï;? =

^1.2^"'

TTn,0

-tii,2 =

nX" + I)
1.2 '

W 0

-f-03 =

(H— I)îf(/(. -f I)

1.2.3

■H-i.o =

— 2,

h:;J =

2,

H2',0 =

2« + 3,

Hï;,^ =

— 2(2/i + 3),

Ho":^ =

2M + 3.

H:;^

=

A,

Hï;?

=

— 8,

H-

-

4,
— 4(«

Hâ'io

+ 3),

ffi:f

=

4(3^

1/ 4- s;

H^:?

=

-4(3^

B + 7;

-"■0,3

=

4(«
— 8,

+ 2),

TTn,3
■"3,0

T1T)1,.T
^2,1

=

24,

TTn,3
^1,2

=

— 24,

TTn,3
-"0,3

=

8,

' Mémoires de l'aoad. de St. Pét. Tome XXXIV, N° 12.

374 Traité des Orbites de.« Planètes.

J'ajoute les valeurs suivantes qui appartiennent aux indices dont la
somme est égale à 4 ou à 5. Les voici:

H .1,0
4,0 =

H>|,0
1,3 =

Hn,0
0,4 =

m =

H 11,0
•i,3 =

H 11,0
1,4 =

1.2... s

■"(

i) + I)(H + 2)(«,

+ 3)

1-2. 3-4

'

"(

u + lyia + 2)

!

1.2.3

1l''\

> + 0'

I

.2.1.2 '

(n

— \)n'in + \)

'

.1.2.3

(n

— 2){n— \)n{n

+ 0

1-2. 3-4

ni

n + i)()i. + 2)(n

. + A)in

4- 4)

1.2...

5

ni

n + !)'(«. + 2)0

'* + 3)

1.2.3.4

11''

in + i)-^(m + 2)

'

1.2.3,1.2

in

— i)h-()i + 0'

'

1.2.1.2.3

in

-2)(n- I),r(

», 4- I)

(".

- 3)(". - 2)in -

- \)n.in

+

i)

h;':ô = 5 + 4« + 3 ^ — h 2 — — — —

Hr^=-i2-io»-8"^" + '^- ^^^^±SÈ!^±ll^

-^ ' ' 1.2 ' 1.2.3

„ji(» 4- i)(u 4- 2)

H";J =

1.2.

TT„,, _ «(«- + I) , ., n(n 4- I)(u 4- 2)

1.2 + ' ..2.3

Première Parlie. Livre III. 375

„, n{n+l) n{,i+l){u+2) n(a+ i){u +2)(n + j)

"■" ^ ^ 1.2 -^ 1.2.3 ^ 1.2.3.4

^•' 0 -r o -r ,.2 ^ ^ 1.2.3 ^ 1.2.3.4

H".; = _ I o _ I I „ _ 1 o "(" + ') _ 6 "(" + 'H'^ + -) _ 20 " ^" + ')(« + 2)()i + 3)

1.2.3.4

JJ",i = . 1 .„ 4. , "(" + ') _ 5 n(n+l)(n + 2) ^ ,,{n.+ l){i,+2){n + 3)

2,3 o -t- o 1- 4 j3 j_2, -h- 1.2.3.4

R".' _ _^n(w + l) , ^n(n+l.){n + 2) ^ ^ ,, („ + i)(„ + 2)(n + 3)

1.2 ^ 1.2.3 1-2. 3-4

TT",! _ 9'(« + i) ^ «(-.+ i)(« + 2) )i,(fi4-i)(w4-2)(u4-3)

-n-4.0 =

25 + 14" +

2«^

m^ =

— 76 — 48W —

8«,^

Hïj =

82 + 6o« +

1 2W'",

Hïj =

— 36 — 32;/ —

8«-,

H.|";4 =

5 + 6» +

2«.•^

„„, n(n 4-1) « (u 4- I)()(, 4- 2)
H5:o- = — 44— 2sn— 12 \ ^— 4^ — —^ ^.

H:;,- = 145+ 8g» + 48 --— —' + 20 -^ ^--^^^^ '

H;';.; = —170 — ii8;<— 72 ^ — 40- -r a -r ;

1.2.3

H:,;; = 94 + 7o« + 48 - \ ^ + 40 ^ ^^^^ ^ ■

H";4 = — 20 — I 7w — 12 ^ — ! — - — 20 — ^^ — ~ — - — ~ — i

-tio.-î — I + ?/ + 4 — r'v~7 — •

Îi70 Traité (les Orbites des Planètes.

H;'j= 36+ 8«,

H;;,^ = — 128 — 32»?,
H?;| = i68 + 48«,
m^ = — 96 — 32»,
H-|=- 20+ 8»,

H;';,, = — 102 — 36» — 8 ^ — —' ,
H;';; = 402+1 56;/ + 40 — p^— ,

R"i = 6 1 2 — 264», 80 -^ ' :

'•- ^ r.2

TT«3 1 /- 1 O "■("■ + ')

H";! = 444 -f 2 1 6u + 80-^ — ^ :
H';;i = — 1 50 — 84?7 — 40 ^^ ,, :

-H-O 5 = I 8 + I 2W + 8 — -— :

H^;?=-64,
H^! = 96,
H^;ï=-64,
HS:1= 16,

HjIo = — 96 — i6w,
h;';,* = 432 + 80W,
h;';.' = — 768— iôO'W,
H."j = 672 + 160H.,
H';;{ = — 288— 80»?.,
Ho'5 == 48 + i6u,

H-lfi =

— 32,

nii =

160,

m =

— 320,

Hy =

320,

H';;f =

160,

On ,5
^0,5 —

32.

Première rartic. Livre III. 377

78. Venons maintenant au cas général où les indices v et v' ont
des valeurs quelconques, et supposons que les coefficients il soient exprimés
moyennant dos formules du type

(24) /i(»,s,s')„, =ZHv„,j-;-;

il s'ensuit, eu égard aux expressions (19), (21), (22) et (23), que les H^';,' „_,/
sei'ont encore exprimés par la formule (23), en mettant toutefois (t^'^' „,,,
au lieu de K," . Donc, en désignant par N";^'' ce que devient Hj',' lors-
qu'on met Kj'y au lieu de K^;" , dans la formule (23), il viendra:

(25) h:^,,, = ^„(. , /)N^::.'" + ^,(v , v')N:;i:' + . . . .

Dans cette formule, on a mis eu évidence les deux indices v et v' d'oîi
dépendent les facteurs ç. Ces facteurs dépendent encore du noml)re // ,
il est vrai, mais ce serait inutile de mettre en évidence cet indice, vu qu'il
ne change pas dans nos formules.

Puisque le facteur c^^,(o , o) est indépendant de n et toujours égal à
l'unité, on aura avant tout:

Quant aux expressions des facteurs ç',,{v , y'), on s'aperçoit facilement
qu'ils ne sont pas autre chose que les coefficients des divers Sl'l'" entrant
dans les formules (16); on a en conséquence:

fo(l . 0) = W, ^,(1 , o) = 2,

çr„(o, i)--«. + I, ç.'j(o, i) = 2,

Fo(2 - o) = j 3 . r,(2 , o) = 2« + I , çrj2 , o) = 4,

etc. etc. etc.

Pour obtenir les expressions des H";J„.y, il faut évaluer les N"!,", r/
étant plus grand que zéro. Dans ce but, nous introduirons, dans la for-
mule (23), les valeurs des K^';' , en attribuant à // les valeurs 1,2,3.
Nous parviendrons de la sorte aux expressions suivantes:

Traité des orbites absolues. ^g

378

Traité des Orbites des Planètes.

N;':^

' =

— 2 — n,

mil'

-

3 + ",

N^;^'

3+-+ "^':t'^

' =

6 r -"^" "*" '^

"^ " 1.2 '

^"•i.-

. , .„ , ''(" + ')

^",1.1 _ , .„ o ^'('^ + 0 ^'('^ + ')(" + 2)

i,u -TU j 2 i . 2 . 3

^2 1 = 9 + /"• + 5

N;';^'' = -6-5"-4

1.2 1.2.3

1.2 1.2.3

^'ôr = 4,
n;;,v'= 14 + 4»,

N';;r' = — 28 — 8»,

Nôv' = 14 + 4W,

n;;;,7' = — 32 — i4«^- 4

mr = 82 + 38» + I

N;;7' = 18 4- 10// + 4

I

.2

)(

(u

+ 1)

I

.2

)(

("■

4- I)

I

, 2

)/

("'

+ 1)

Preinière Partie. Livm III. 379

N?;;;'' = 1-2,

Nôt' = 12,

iSI;;;,^'' =. — 6o — 1211,
N.^i''' = i68 + 36rt,
N;'j'' = — 156 — 36»,

ISJ».^.' — ri-^

N?,t' = 96,
Nî;^.ï = _96,

mr =

Ni'r = — 4 — «,

"NI"'^'^ = 6

Les N"j'' étant évalués, on en déduit sans peine les H^';' „„ , en faisant usage
de la formule (25). Voici ceux de ces coefficients qui sont nécessaires au calcul
des termes jusqu'au cinquième degré, inclusivement, par rapport aux fonctions
diastématiques :

'0,«,1,0

H';',?,„ = — l^=

n, 11,1,0

HS;?,,,o = n{n + I),

380 Traité ile.s Orbites des Planètes.

TT„o "■'(''- + ')

il-i.o.l.o —

I .2

-H-i, 1,1,0 —

— '»> +0'

TTn.O

'ur(ii- + l)

-^-^0,2,1,0

I .2 '

TTii.O

n'in. + l){ii + 2)

1.2.3

TT/I.O

1.2 '

tli,.,,i,o =

n%n + i)
1.2 '

TT>!,0
-■^0,.3,1,0

{n — i)n-{u + i)

1-2.3

0,0,1,0 — 2,

H';;o,i,o = — 4 — 4«,
H;';î,, 0 = 6 + 411,

H?;^,„= 6+5-+ 6"('^+')

1 .2

Tl„l "(" + ')

Il;';,\,,o = — I 2 — IO« — I 2 p^-- :

HS;Uo= 6+ 5«+ ô'i^^^

1.2.3

h;,'' , „ = 1 8 + 1 6« + I 2 ^ ^ ' + 24 ^ ^^ -! ,

■' • ' 1.2 1.2.^

, ?)()) + i) n(?i + i)(w- + 2)

H '. ,„ = — 12 — II M — 6 -^ ' — 24 -^ .

i,.,i,o j 2 ^ 1.2.3

h::J,,,= ^+ -. + 8ïii4^=i:

Première Partie. Livre 111. 381

H 11,2 Q

1,0,1,0 — — ^j

-H-o']" 1 n = 8,

H.";^j,„ = 28+12».,

H-ï.'u.o = — Sf'' — 2 4«,

H,":2,i,o = 28 + I2«,

H";o,,,o = — 64 — 36H — 16

!(h + I)

2;,,,,o = 164 + g6« + 48 -^ — 3—-'

1.2

H";Uo = -i36-84«-48"^" + '^

1 .2

h;;;;;,,,o= 36 + 24» + ,6^^^^^:^

1 .2

HS1,,„ = 24,

-n-1,'1,1,0 = — 4"i

H-ô;.>,i,o = 24,

H II,, H
3,0,1,0 = 120 32;/,

-H2;i,i,o = 336 + 96»,

H",'2,i,o = — 3 I - — 96/?,

Hô,'3,l,0 = 96 + 3-'^

Ha^'o.i.o 64,

H2;?,i,o = 192,
H;';2,,,o = — 192,

Hô,'3,1,0 = 64,

382

Traité des Orliites des Planètes

m:%., = (« + I)^

TTn.O
2,(1,0,1

11 (n + l)

TT„,0 _ ^^(^^ + 0'

XJii,0

-■^3,0,0,1

HH,0

H«,0

li-'.O.l =

TT»,0

n\

[n

+ ■)'

H"

+ 2}

I .2

•3

■)i 1

[n.

+ ■) =

)

1

[ .2

)('

^'('^

' + •:

)'

I . 2

{a

-

- I)«(

n

+ 2y-

H"' — 2

-'^-'-0,0,0,1 — ^»

ITn,l

J^l, 0,0,1 —

TJ'M _

"'■-'-0,1,0 1 —

TT;l,l

-■^2,0,0,1

Hi,'i,o,o ="

TTil.I

-'^0,'.',0,1 —

— 6 — 4»,
S + 4?z,

9 + 7« + 6

— i8 — 14» — 12

9 + 7'* 4- 6

)'(n + I)

I

.2

■))

("•

+ 0

I

.2

n

(«■

+ 0

Première Partie. Livre III.

H" ' — — T

■■-^a, 0,0,1 — I

h'!S1+A__ o'iO'- + 1)(". + 2)

1.2.3

I -> 1^ - -+ : r :

-"^1,0,0,1 — — O,
-'^-'-0,1,0,1 — o,

32 + 12»,
64 — 24//,

"^0,3,0,1 — 32 + 1 2n

1,1,0,1 ' —

H!,'',^

76- 4o«__ lô^ii^J)
1 .2

H.",|o,, = 196 + io8« + 48^^^-^,

H;,t„,, = — 164 — gSn _ 48!ill^-i)

1 .2 '

H;;:i,„,, = 44+ ,8« + ,6^^^^-^
=^ 1.2 '

Hï;;;,o,, = 24,
'"'-",'1,0,1 = — 48,

Hii.S
0 2,0,1 = 24,

-■^3,0,0,1 — — I 2fc> 3 2W,

H.";i',„_| = 360 + g6«,
Hi,'o,o,i = — 336 96;?,

Hô;3,o,, = 104 + 32M,

583

'^^^ Traité des Orbites des Planètes.

Tq„,o 'i('i — i)

' I . 2

V 1.2

rTO,l (" — l)>l(ll + l)

^^0,1,2.0 ■

1.2

Ho;J,2,„ = 2H + I ,

H»,i
1,0,2,0 = — 2 4W — 3>r

Hô,'!,2,o = 3 + 6h + 3»^

-'-'-0,0,2,0 — 4)

H',';,';_2,o = — 2o — 1 2w ,
H;';f._,_„ = 24 -{■ 12 II,

H^j,,^ = 24,

H„":,1,,,, = Il {11+ 1),
H^'j,,,! = «(« +1)-,

Hï;o,i,i = 6 + 4n,

H";,',,,,i = — 12 — 16» — 6«',

Hô,'i\i,i = 18 + 20y^ 4- 6ii\

TTn,2 Q

-•^0,0,1,1 — ",

H";o.,,, = — 56 — 24»,
Hô:?,i,i = 64 + 24/?,

l'iemière Partie. Livre III. î?8'

H-;,,,, = - 48.

H;;;?,,,, = 48,

TT„,0 {" + ')(" +
^o,o,o,-. = T-T

TT„,0 "(" + l)(" + 2)

H»,o

I .;

(" 4- i )■-■(" + 2)

Ho;ô,„,., = 2 y/ 4- 5,

H";,',,(i,.3 = — 12 — 12// - 3;/''j
Hôj'.o,, = 17-1- 14" 4- 3"'-

Hn;o,n,'.

4,

H":^o..

I 2)/ ,

Hoj'.n.î

40
— 24,

+

I 2 // ,

n 1,0,(1,2

Ho.'l.O.O

=

24.

Dans les cas où l'on est amené à aller plus loin ([ue ne permettent
les expressions des ILstes précédentes, on emploiera, pour le calcul des iJ ,
les formules (iS), (19) et (20).

7g. Par les formules que nous venons de mettre en évidence dans
les derniers numéros, nous avons épuisé nos matières autant qu'elles con-
cernent le développement de la fonction — , soit suivant les multiples de

II, soit suivant les puissances et les produits de /',//, rj" et vj''': on a
exprimé les coefficients de ces développements au moyeu de pnhuômes linis

Traiié des orbites absolues. .ri

^% Traité des Orbites tles Planètes.

et linéaires des transcendantes ;-,'". Passons maintenant à exprimer les

fonctions -— par des développements semblables.

En dénotant, de la manière suivante, le résultat de la différentiation
par rapport à r, de l'équation (i):

(26) r'-^ = (;i )"'e;;"' + 2 ;: (^) E-^ cos H +

ou trouvera facilement, après avoir effectivement opéré la différentiation
mentionnée, la relation

dr
En considérant, toutefois, la relation

qui s'obtient par définition, on aura aussi:

dr "'' ^ 3/ '

d'où il s'ensuit:

Maintenant, si nous supposons les développements

I E„"' =- -^;"'" — };;"■" ^ + ^'"'"x' — • • ■ '

et que nous les introduisons dans l'équation précédente, il viendra, (piand
nous égalons à zéro les coefficients des diverses puissances de ^,

(2 8) y^r ^ [2i + «]rr + H' + ')?-:;"

Première Partie. Livre III.

387

De riiutre côté, si nous (litïcrontious l'cxprussiou de ( "-) , il vient

,r'' — rr cos H

mais puisqu on a :

;•- — /■;•'(•< )s// = ^ (A '^ + y' — y"),

l'expression précédente se transforme en celle-ci:

--="'(!)"+ S G)\.-?)(i

d'où l'on tire la suivante:

,A/ *" Si"

En y portant les valeurs de ("— ) et |-^) selon l'équation (i), ainsi que

celle de y donnée par l'équation (26), nous serons facilement, en

considérant les développements (27), conduits aux expressions

m+->,„ ^^ fr'"'" 4- —Y)'"'" ,

,,,42 '. "' \ o,,, , 2 ,„,„ , «■■ / ,„,, , 2 ,„ „\

"■ r m u I - m n , "■ l m,u | - m.n '

+

j^" + ^^"ni

etc

formules (jui se renqilacent par l'vinique formule

(29')

r'li~r -, Il I -y " I • _i_ Y) ' I —I— — V* . '

.188 Traité des Orbites des Plauètes.

Les expressions que nous venons de déduire se prêtant avantageuse-
ment aux calculs numériques, les transcendantes ;-"'■" s'obtiennent aisément
si les ;-]•'" soxit connus d'avance.

Pour arriver, finalement, aux coefficients numériques du développement
général (i), ou calculera, en employant les formules établies des coefficients
ii{n , s, s')„,y, mais avec les valeurs des ;-•"" au lieu de celles des ;-•'", les
quantités numériques entrant dans le développement

après quoi ou trouvera le résultat cherché en multipliant la formule précé-
dente par

En opérant de la sorte, on se procure l'avantage de profiter des coefficients
W.s^v;/ que nous venons de donner dans les deux numéros précédents.

80. On pourra encore se procurer le développement envi.sagé de
dift'érents autres modes. On y parviendra, par exemple, en utilisant les
développements du n° 68. Voici les transformations nécessaires.

Si l'on introduit, dans l'équation

A y/r' 4- r - — 2rr' cos W

la valeur

cos H = cos w + Il ,

qu'on développe suivant les puissances de h, et qu'on admette finalement
la notation

on aura, en adoptant la forme de ré(juation (33) du n° 68, c'est-à-dire, en
admettant :

PiemièiT Partie. Livre III.

3S9

les expressions

(30)

w„

I r T

a. a (i \l>

^~2.// v<7 Wi \nr

Ou aura ensuite, par les notations du u° 74, les formules

n'^==]!!i|ryc;^)4_2!:(^)c-cosw + . .1

' a a a \r J n Vc /

C^O

I

2 «' \'( ,' \a

dont la première, quand on la compare avec Fexpression de Tl'^, donnée
dans le \\° 68, eonduit à la valeur

U..

Maintenant, si l'on se rappelle les équations (35) et (36) du n° 69,
et qu'on les compare avec les expressions des fonctions IF,,, et f'„ que
nous venons d'établir, on parviendra aisément aux deux formules que voici:

(32)
(33)

W

o^'war

+ n /„ \ m + <i + l

+ , ...

390 Traité des Orliites des Plauètes.

En portant, dans la deuxième de ces formules, les valeurs des quau-

tités f-j ( - j Q,lV«+v qu'on a données par k formule (14), et en
admettant l'expression

y"'[ii , s , s')„,„ — }'"'(« , s , s'),^„->^' + . .

(34) tf;;">

on trouvera:

11

+ )""{u , s , s')„,)y'

+

(35) r>,s,s')= Tr"i.'(/« + », s,s'),,

+ T;;'4;',,i2(H< + /^. + 2 , s , s')„,,
+ T;;'^r,i^(;/i + >* + 4 , s , s'),,,.
+ .. ..

Ayant ainsi obtenu les IT',"", ou en déduira facilement les coefficients

du dévelo])pemeut de la fonction

toutefois a])rès avoir restitué l'angle

H au lieu de \v. Ou aura eu effet, en vertu de l'équation (32), la for-
mule suivaute:

(36)

..) h)

o-

{2m — I)

W\

Il serait facile de mettre cette expression sous la nu'me forme que
nous avons employée pour l'équation (14); cependant, puisqu'eu même

temps on pourra tenir compte d'autres facteurs multipliant les

0

nous remettons la multiplication algébrifjue par les facteurs ( - j et ( A
à l'occasion oii nous ferons Tajaplication de la formule établie.

81. Je vais encore communiquer les principaux traits d'une méthode plus
directe que les précédentes pour étal)lir le développement (1). De l'écjuation

(3 7)

...l-

a - - e
« r

Fieiiii('rc Partie. Livre HT. 391

il est l'ucile de conclure, eu reuiphieant tuuj(Hir8 le produit (-) i^\ par
I — ;/■, le.s expressions

tvm) mi , "' '*' -V N r "'.{"'+ 2) 1)/ (///-|- 2) j, , ., 1

Cr'=«"->!'^+^^î^^ocX'-/)+ !

et o-éuéralenient :

(38) 0'"> = ^.-.4,.|'"<m + 3)...(m + 2»-2) „,..,(,.+ 2)... (,,^+^.0 _
^"^ -* " 2. 4. ..2)/ ' 2 2.4...?li(2i; + 2) ^ ^-^

m(m + 2)m(iii + 2)...(m + 2u + 2) ^ ._, 1

+ ~3:4-^.4...(- + 3)(2.+4) "^'-^^ + I

Cette équation devant être identique avec la première des équations
(27), on en tire le dévelojipenient général

(39) ^J'"" =

m [un \ fin . \ m /m \ /m

2 2^')- 2--) 2 (2-- -(2-"^-/ „ .«. .™ . , _ .^

: ; ; a" + -U' — + i, - + n + 1,11 + 1.+ I , a ,

1.2. 3.. .1 1.2.3..,.(ri4-7,) \2 2 /

F[a , b , e , .r) étant la série hypergéométrique de Gauss.

Nous voili'i donc conduits à un premier résultat utile; ou pourra
l'employer ])our vérifier les calculs numériques exécutés d'après les formules
du n° 79, qui donnent les y"'-" exprimés moyennant les transcendantes ^^Jf .
Des nombreuses formules de transformation (|u'ou a établies relativement
aux séries liypergéométriques, il n'y a lieu de l'aire apjdication, quant à
présent, que de celle-ci:

,,/m .m 1 • ,

7- ( 4- î , I —-,'" + ' + I

(■-«r"

392 Traité des Oïliitcs des Plauètef

11 en résulte la t'drmule

(40) ;^ ?-"'•" =

\ 1» /m. . \

i.2.3...';.i.2.3.{h.+î;) '1

dont l'application le plus souvent et surtout si n est un grand nombre, sera
plus aisée que celle de la formule (39)

Mais eu partant de la première des formules (27), il sera facile de
trouver les développements demandés sous une nouvelle forme Pour y
parvenir, multiplions la formule mentionnée par

I =(>-z)•^

ce qui donne un résultat de la forme

On pourrait, il est vrai, représenter les ê au moyen de séries pro-
cédant suivant les puissances de a^, mais, pour le calcul numérique, il
convient mieux de se servir des formules

etc.
Maintenant, pour établir le développement

(4-) C)"^)"^'"" = ^^! ^ -"•" + ' -"■■'^ + »"'

un reiKiuvelera les procédés des numéros 74 et 76.

Première Partie. Livre III. 393

Ou formera donc les fonctions

D:;: = s'rwii — ê'rmi + ■ ■■,

ce (jui donne d'alx.ird:

,L P'P' ■
Ensuite, si l'on fait:

on aura, en vertu de l'équation (ii),

après quoi l'expression (41) s'obtiendra immédiatement.
Pour obtenir un résultat de la forme

(4^) ( j"ft )" "'t'»"' = ZZ(i>"'(«, s, s')„,„ - ir(.^ s, s'),,or + ■ ■!/'>".

il ne nous reste qu'à introduire dans l'équation (41)' '^^ valeurs de ct,o-^, ...
données dans le numéro 76, et à multiplier le résultat par

82. M. ScHEiBNEK, dans un mémoire de l'an 1S53, a montré comment
on peut exprimer les coefficients du développement de la fonction pertur-
batrice, tant qu'ils dépendent du rapport a, au moj'en des transcendantes
13. ' Dans les numéros précédents, j'ai poursuivi les mêmes intentions, .sans
les regarder, toutefois, comme l'objet principal de mes transformations. Les
procédés du dernier numéro ont abouti à exprimer les fonctions 6"/"' ainsi

que leurs jiroduits par (-) (-) , moyennant les transcendantes /- et »9, qui

' Pour les détails du procédé de M. Scheibner, ou coui5ultera son mémoire: Ueber
die Bereclinung eiucr Gattung von Functioneu, welche bei der Entwickluug der Storungs-
fuiictiou erseheineu. Gotha 1853.

Traité des orbites absolues, 5(1

394 Traité des Orbites des Planètes.

à leur tour se ramènent, par les équations (6), (27) et (28), aux transcen-
dantes ^. Le calcul numérique, si Ion utilise ces dernières formules, est, il
est vrai, aisé et conduit aux résultats dont l'exactitude nest pas amoindrie
par l'imperfection des formules, mais ces formules ne permettent, 111 étant
plus grand que l'unité, qu'un calcul de proche eu proche. Or, puisqu'il
pourra être utile de disposer des règles d'un calcul direct, je vais chercher
les expressions s'y rapportant.

En mettant, pour abréger, k^ à la place de a - - , de sorte qu'on a :

on parvient facilement à l'expression

(lY (^X Q'--') = ^ l^ji _ 2A-J cosf + klf^co^n^d^.

Cette formule, se transformant en vertu d'un théorème bien connu de
Jacobi, on en tire:

a + 2(ii— I)) «"'+" / / siu ç y

-«-!) ^ J \v/l-2fc,cos?+A-;/

m(m + 2) .. .(m + 2(ii— I)) «"'+" y f siu ç '^^" (?ç

{i^2/r, cosç-f7,-r)2
Cela étant, si nous employons la substitution de Landen, en posant:

cos ^ = A", sin <f -\- cos <f \ji — k'{ siu f- ,

d'où il s'ensuit:

sin f = sin f (y' i — /,■'; sin (f' — k^ cos ^^),

^i _ 2 A-, coss^-f F; = \Ji —k-Wm<p' — k^ cos ç?

et

di d<p

\J\ — 2A-, cosç -f k\ \jï — k\ siu <f''
la formule précédente devient:

- p(„,) w(m + 2)...(m + 2(w— D) «"'+" / siny^^t^y» k/i — Âr^siny' + A-, cosy |

Première Partie. Livre III. 395

Pour m égal à Fiiuité, on retombe dans l'expression de C'\j\ que nous
venons de donner dans le numéro*74.

Considérons ensuite le cas général où m a une valeur impaire et po-
sitive, mais d'ailleurs n'importe (Quelle. Posons 2i)i -{- i au lieu de m et
prêtons attention au fait que tous les termes ayant comme facteur une
puissance impaire de cos^^ disparaissent par l'intégration. L'expression (43)
se met alors sous la forme suivante

im+ i)(2wt-f-3)...(2j» + 2)i— 1)

i.S...(2n-i)(i-k-i)-"

2a-"'+' + " / Hiu w-"da:> |, ,„ . ,,„
Z / 1 — 77T^ ' —kUm<^ry

2w(2m— l), „ . 2x,,,_l,2 2 r

H '-—■ '-{i — ki sm f-7" 'k\ cos ^r^ +

Il s'agit maintenant d'obtenir le développement suivant les puissances
de — X, car leurs coefficients ne sont autre chose que les transcendantes
^'"'"; et puisque les ternies sous le signe / se mettent sous la forme

; , ce qui est immédiatement visible, les ;- seront exprimés

(l — a'^ siu ^'')''
moyennant les /3.

En inspectant la formule précédente, on voit tout d'abord que les
termes figurant entre les parenthèses sous le signe / constituent un po-
lynôme fini eu /, du degré m. On aura en effet:

j(i -/;:;sinçrr +^^^^^^^^A:;cos^'(i -AIsin^7'- + . . .j

= A^ + A["'^x + ^'/"Z' + . . ■ ,
si l'on admet les notations

j;;») = (i - «^ sin ^^y -f ^^_pil«^ cos^^Xi — «' «iûrO'""'

, 2wi(2m — i)(2m — 2)(2m — 3) 4 4, 5 . jw,,-" ,

' l .2.21.4. ^ ^ r J I

396 Traité des Orbites des Planètes.

, 2llli2m l) <) ^r / 2 • 2\m— 1

-I ^ — -^ '- oc^ cos çr' — (i — a sm çj" '

-\ a' sm ^ [i — a sin ç- ) "

, 2in(2lll l)(2Wi, 2)(2lll l) 4 iT / 2 • 2\m-"

-^ ^ '-^ — ot cos çr — 2(1 — a sm ^" 7" "

1-2.3.4 ' L

-] a sm^ (i — a smç-)'

~r • • • )

,,.,.^ mini 0 .1 • i/ 2 • 2\m-'>

1.2 '^ ^ ^ ^

, 2m {2m — 1) o "T '" — ï 2 • 2/ 3 • 2\m-"

-j ^ — ^ ^ a cos ^^ ' c( sm çr % I — a sm ^' 7"

(m — i)(m — 2) 4.4/ 2 • 2\,»-3n

+ '- f^ -'a^smçr^(i —a sm^-)" ^'J

, 2w(2))i — l)(2m — 2)(2W — 3) 4 ^r, 5 . .^.,„_.2

-A !^ ^ ~ a cosc (i — a sm çr )

^ 1.2. 3-4 ' L

— 2 a^smçr^i — a sm çr )

, (m — 2)(in — s) 1 • 1/ 1 ■ ■i\m—i~\

+ - 7^ ^a* smç''(i — a'smçr')'" M

+

m(m. — l){in — 2) _ „ ._^ __r7^ ^2 _._^ ..2\m-3

J'"" = ^ -a sm ç\\ — a^ sm c

3 1.2.3 ^ ^

, 2«((2m — i) „ 2! ('"■ — •)('« — 2) 4.4, 2 . 2\„

A -a Qoac \ — ^ -a smt- (i — a smçr')"

+ ^^-^)(:-^-^t^-i) ^-^ ,i„ ^.o(j __ ^^ ,i„ ,.^).-.-.J

, 2tH(2w— l)(2m — 2)(2m — 3) . Am — 2 „ . .,, „ . .,

^ 1.2.3.4 ^ L I ^ ^ ^

{m 2)())i 3) 4 • 4/ 2 • 2\,„-4

' a smçT (i — a .smç^7

1 . 2

, (m — 2)im — 3)(i» — 4) ,. . ,-, 2 . oxm-^n

etc.

Fartiu. Livix' III.

397

Après avoir reinarcjué que lu valeur m = o rend J',/"' égal à l'imité,
ce qui reconduit à la formule (6), nous allons mettre en évidence les
formules spéciales des ^-/>"" appartenant aux valeurs vi = i et m = 2, les
seules que nous aurons occasion de considérer. Les voici:

A''
A''

I -\- ol'^ — 2a''' sin ^'\
o.' + 2a'' sin (ç"^ ,

Af = I + 6a'' + a' — 8 (a'' + «*) sin f + 8a' sin (f\
Af = — 6a'' — 2a' + 8 (a'"' + 2a') siu^-'' — i6a' m^ç\
^•l!/' = a* — 8a' sin <f'^ + Sa* sin f'\

En introduisant, dans l'expression précédente de C',;'"'"''^' les développe-
ments des facteurs }(i — /i'', sin ^'')"' + • ■ •' M^^*^ nous venons d'établir, on
parviendra facilement au résultat

rc-''" + i) _ (-'» + ')(2»t + 5). .■{2m + 2n - I) ,,„+i + „| ,„.) ,,„, ,,„, ,

i.3.S...(2«— i)(i -A-j)'"" '^

les pi'"'' étant donnés au moyen des expressions

p\r

2 I Ao" siu (f'"\i<p

pr =

p'r' =

etc.

1 / (/.'An" .siu ç''" ^ d(f I Al s'm <p"d(p

ijl — a' si

a .■!() fiin <p df I / a A\ sin ^ a<p

2.4 / !

1 1 — a' siu (f^ ]-

( •• • 2 1 ;^

+

■i

/Aï" siu ^ "dip
y/i — a^ <m<p''

398 Traité des Orbites des Planètes.

Les diverses intégrales entrant dans ces formules s'expriment aisément
au moyen des transcendantes /55,": quand m est égal à i ou à 2, on déduit
facilement les valeui-s

.Jl».i„/"# - (1 + a')j3i:'—2a'lS\:\„

«y M — "' '^^'^ y'i

I — «^ siuç?'!'

~ I I ■) . 2 1 7

/ il «■ Slll ID 1 "

i I — a' siu ^ j

2 / A.; s.m<p'"d^ 4 ,„ o„4/}(si j_ q„4,o(,i

i •> ■ 2I2

1 1 — «■ sin f j

On tire de là les expressions

i^^" = i^^^[(i + cc0;5-,- 2a'a;:|,] + i.^[,9-, - 2^?-,],
_ .4

etc.

^^^''^^'^'t^' +^V.^^-'«''^'^*^ + 7^='"t/^'^^- '^'^^^-

Première Partie. Livre III. 399

y/' = ^^T(i + 6«'^ + a')i^:u - s«xi + o^')i^:-u + sot^/?;,"!,]

+ ^^T^(3 + «^)/5ÏÏ. - 8(1 + 2a')l3^U + i6a^5;-,]

etc.

En introdui.saut, Hnalemeut, daus l'expression prucédente de CJf '"''"", le
développement

T T ( 2m «- , 2m (2m + i) / a^ \'- „ 1

I -y -\ ^ '- y'

I T A/-^ ' T -7 \ I „''/'■

(I — A-;)-'" (I —aT" I I I — a-^ ' 1.2 \l — a' ' ^ ' ' ' j '

on parviendra, après avoir effec^tué la raultiplicatiou des deux séries pro-
cédant suivant les puissances de — ;^, au développement dont les coefficients
sont identiques avec les ;-'"'" . On aura ainsi :

(,.\ ^2™ + !,.- _ (3>H+l)(2m + 3)-..(3m + 2»-i) a^'"+' + " ( ,„., 2m g-

^'+4^ ^^ ~ . 1.3.5. ..{2W-I) {i-a'r'"f' ^ I l-a'^'^'

2m(2m+ 1) / rr y^ , j

~ 1.2 \i — «7 -' ~= "■" ' ■ ■ '

Telle est l'expression demandée, réduite à la forme la plus simple.
On pourra l'employer avantageusement pour vérifier les résultats obtenus,
soit par la méihode du n° 79, soit par la formule (39).

400 Traité des Orbites des Plauètes.

83. Disons fiualement quelques mots sur les méthodes d'évaluer les
transcendantes y5-,''. M. Masal, dans ses tables de la transcendante dont il
s'agit, en a donné, il est vrai, les valeurs numériques dans une étendue
telle qu'elles suffisent généralement aux demandes du calculateur. Néan-
moins, il peut arriver qu'on aura besoin d'autres valeurs de notre trans-
cendante que ne donnent ces tables, ou bien des valeurs calculées avec
un plus grand nombre de décimales. Pour de tels cas, voici les formules
se pi'êtant le mieux aux calculs numériques,

En partant de l'équation (5), on déduit les développements bien connus
que voici:

_ i.3.5---(^« — I) L , « 2^J „2 , ■'±±2) {2».+ \){2n + 3) , I

i.3.5...(2i!,— I)

' + ^;

2.4,6...27t

i.3.5.,.{2M.-i)

I

' " 2.4.6

('-«T

LJ ^^_ .

2.4 {2n + 2)(2n + 4)' .|

Dans le second, on a employé, pour abréger, la notation

/?' = ^^ •
' I — a'

Voilà les formules appropriées au calcul d'une transcendante isolée.
Mais il s'agit le plus souvent d'en calculer une suite appartenant aux valeurs
consécutives des indices. A cette fin, on remarquera la relation

qui s'obtient facilement par la définition. En ap])liquaut cette formule
successivement, on obtiendra celle-ci:

Qu'on fasse attention qu'une erreur affectant les valeurs de y5î,+, , j3'].2, ...
et de /SJ"^;' n'entrera que diminuée dans le résultat du calcul.

On pourra encore signaler la relation suivante entre trois y9 consécutifs:

o = {2n + i)/3r- [2» + 2 + a\2,—.^ + 3)]/9!;i, + «'[2» - .^ + 4]/?!;;..

Première Partie. Livre III. 401

Le calcul d'après cotte formule est généralement moins aisé, mais on
peut la remplacer par une fraction continue servant à calculer, de proche
en prociie, les rapports de deux transcendantes consécutives.

En introduisant les notations

P'i + 1

k =

2/1 + I

2;*. + 2 + a\2u — .s- + 3)

„ 2». - .s + 4 , ,

'" 27) + I " " + "

on obtiendra de la relation signalée celle-ci :
qui s'écrit aussi de la manière suivante :

De cette formule découle immédiatement la fraction continue que voici:

/;.

dont l'application numérique est souvent très avantageuse. On peut encore
y remarquer que, pour de grandes valeurs de n , (9„ tend vers la limite i -|-a^.

C'est là l'algorithme introduit par H.vnsen qui s'est servi, d'ailleurs,
dans le cas où la fraction mentionnée cesse de converger suffisamment,
des recherches de Gauss sur la série hypergéométrique.

A peine est-il nécessaire de rappeler que quel([uesunes des transcendantes
j3',p s'expriment, d'une manière très simple, moyennant les intégrales ellip-

Traitc des orbites absolues, 5 [

402 Traité des Orbites des Planètes.

tiques complètes de la première et de la deuxième espèce. Mais il ne
faut pas passer sous silence que M. Harzer, dans son mémoire ))Unter-
suchungeu liber einen speciellen Fall der drei Kôrper» que nous venons
de citer, a employé, en suivant une remarque de M. Bruns, la méthode
des quadratures numériques pour le calcul des transcendantes [i. Dans
certains cas, cette méthode paraît, en effet, supérieure aux méthodes pure-
ment analytiques.

Quant aux transcendantes ;-, on remarquera encore le rapport entre
celles-là et les coefficients du développement

j 1 — 2a cos H + ot^r^ = ^ SZ' + Zc6;,f cos«7/.

I i I 2 — ™

On a d'abord:

m \ m fm
\- n— \] — 1-1'

K' = — ^ ~ — ^ a" h +

\ .2 . . . n y I 9) + I

m /m

+ 1.2 [n+ î){n + 2) " ^

d'où l'on conclut, eu comparant cette expression avec l'équation (39),
réaalité

■Jo

•"= -c6î."'.

Les f"-" s'expriment moyennant les dérivées des transcendantes o6J,"\

Je ne m'y arrête cependant pas, vu que les relations entre ces deux genres
de transcendantes ne nous seront pas utiles dans la suite, et qu'elles ne
sont pas assez simples. Quant à une propriété importante des dérivées
mentionnées, il y a toutefois lieu de consulter les notes de M. M. TissE-
RANi:), Callandreau et Darboux, toutes les trois insérées dans le tome XG
des comptes i-endus de l'académie des sciences de Paris.

84. Si l'on avait calculé la transcendante /9 avec une valeur de a
non parfaitement exacte, et qu'on eût obtenu en conséquence un résultat
un peu erroné, il serait avantageux, pour parvenir à la valeur exacte,
d'inuployer des formules donnant la correction due à l'incrément de a, au

l'rumicre Partie. I;ivic III. 403

lieu de refaire le calcul en entier. On déduit une telle formule de correc-
tion tout facilement en diiïéreutiant l'équation (5). Il s'ensuivra:

Or, en désignant par Aa et A|?',*' les incréments de a et de yî^i", et en
admettant la notation

> A«

On peut encore signaler la fornnde

où A;']'" signifie la correction de ;-]•" due à l'incrément de a.

Quant aux f"'" , ni ayant une valeur plus grande que l'unité, on ob
tiendra facilement, eu différeutiant la formule (44), la correction à ajouter
aux valeurs préalablement calculées. Il ne paraît pas, cependant, nécessaire
de mettre en évidence, à cette occasion, l'expression de cette correction,
vu que sa forme analytique est sans intérêt.

Quant au calcul des corrections dont il s'agit on pourra aussi utiliser
les tables de M. Wellmann publiées dans les »astrouomiscbe Nacbricbteu)^
n° 3040.

Finalement, en diiïérentiant l'équation {24), on aura l'expression de
l'incrément des coefficients iJ(« , s , s'),., dû à l'erreur de a.

404 Traité des Orbites des Planètes.

CHAPITRE III.

Exposition détaillée dit calcul des coe/f'icients du développement de
la fonction perturbatrice ainsi que de ses dérivées partielles.

85. Les équations diflérentielles que nous allons traiter dans le
livre pi'ochain contiennent, dès l'abord, des termes dépendant des quatre

dérivées partielles D„ û , — , ^ et — . Mais au lieu des trois dernières

^ dr dv dz

dérivées, nous verrous toutefois apparaître, par les transformations succes-
sives, les produits suivants:

desquels il convient de chercher, immédiatement, les développements.

Il est bon de rappeler tout d'abord l'équation (25) du n° 67, eu vertu
de laquelle on écrira, au lieu de l'expression (1), celle-ci:

(I') P = _??^.

En outre, si nous considérons la relation

r' a(l — Tj'^)

nous pouvons remplacer les formules (2) et (3) par les suivantes:

Première Partie. Livre III. 405

Les dérivées partielles entrant dans les formules (i), (2), (3) ainsi
que dans (i'), (2'), (3'), s'obtiennent de deux manières différentes: ou
moyennant des différentiations directes, ou en employant les valeurs

(4) ^ :r^ = — /•* TT + !>■ >>' hrr ^J cos 11 ,

dSJ ' ' I ' ' I ^ ^"^ ^^

*5) s7 ^ -" '''' I A^ ~ r' I ~'dv~ '

(6) 3,,= /^''l^-T^]-

Evidemment, de ces formules, les deux premières s'écrivent aussi de
la manière suivante:

d'J r'^ d'J

(4') r ■-"- = — n - ,, + Y t'OS H,

, ,- dSJ dii d cos H

^-^ ' dv ~ ah dv

Avec les expressions signalées, on aura facilement celles-ci:

/ „\ D /' * '',/'« 3 - I • 'I rr

(2") ci= —/--^

(3") K =

m" A--.- '

dont les deux premières se mettent sous la forme

En introduisant, dans ces formules, le développement (i) du dernier
chapitre, nous trouverons les trois fonctions P , Q , li développées suivant

406 Traité des Orhites des Plauètes.

les côsiuus des multiples de H, l'expression de la fouction Q toutefois
renfermaut le facteur — — — , qui se remplace facilement par une fonction
de V et v', eu vertu de l'équation

3 eos H ... ,\ , 3li ' •
= — sui ( V — V ) H .

Mais les séries obtenues de la sorte, on les doit convertir eu d'autres
ayant pour arguments v et v' au lieu de //. Daus ce but, on pourra
emjjloyer deux procédés différents: soit la substitution des expressions des
cosnll que nous avons mis en évidence dans le deuxième chapitre du livre
précédent, soit le dévelo])pement suivant les puissances de h , développement
que nous avons entamé pareillement dans le chapitre mentionné. Il peut
se présenter des cas, il est vrai, où ce développement n'est pas toujours
convergent, mais lorsqu'il s'agit des plauètes principales, nous admettons que
ce cas n'aviendra pas. Au reste, quant à la légitimité de cette hypothèse,
il y a lieu de rapprocher du commencement du chapitre précédent, ce que
vient d'élucider M. Tisserand dans son mémoire inséré dans le tome XV
des annales de l'observatoire de Paris.

Supposons donc qu'on ait développé, dès le début, la fonction per-
turbatrice de la manière suivante:

(7) '^i^= w, + TF.h+ wy + ...,

TFg étant ce que devient - il quaud on y met v — v' = w à la place de

H, et les autres TF,„, les expressions des fonctions W,„ du n° 68 qu'on
obtient en partant de la valeur indiquée de W^.

Or, en posant, conformément à l'équation (35) du n° 69,

(8) W,„ = T'F';" -I- 2 TFV" cos w + 2 "PF<"" cos 2w + . . . ,

on trouvera:

9 ^ = -^ + 2 —^ cos w + . . . ,

dp dp dp

(10) ^-^ = — 2 TF',"" sin w — 4TF!,"" siu 2w — . , . .

(lO

Preiiiiric Paitio. Livre III.
Cela t'tant, si l'on admet les (k'veloppciiiciits
P -_-= 1><") + p>"h + P-'lr + . .

Q = Q"" + <.>"Mi + Q'--"ir-' + .

K = ir"'+ li'"h + R'-"li- + , . .

407

+ h:

ou obtiendra:

p(„„ ^

air;,'"

+ 2

]\T' , OU!,""

eos W + 2 COS 2\V 4-

d,o dfi

(12)

()'"" =

^|2Trr«i..w + 4Tr<

sin 2\v -)-

("' + i;

(' +r

,in'i;"*" + 2Trv"+"cosw+2Trr+"cos2w+.

Déjà dans le n° 70, j'ai prévenu le lecteur, que la fonctiou totale iî
sera développée suivant les puissances de ç et c', en sorte que ce développe-
ment aura la forme de l'équation (40) du numéro cité. En conséquence,
il faut représenter les fonctions W,„ , P'"" , Q'"" , R'"'' au moyen de pareils
dévelopi)ements. Soit maintenant BI une de ces fonctions, on aura, con-
formément i^i l'équation que nous venons de mentionner, un résultat de la
forme

(13)

M= M„„ + (I — >./^)M,,„ç +

+

et on comprend sur-le-champ que les divers M; ^^ s'obtieinient moyennant
la formule "générale

:i4)

M,, =

d'^''M»a

1 .2 . . . /,-. I . . . /,-' d{pYd(p)

Les différentiations demandées s'effectuant aisément, il n'y a pas de diffi-
culté quant h la formation des coefficients du développement (13). La
fonction il/,, „ finalement, n'est autre chose que ce que devient M lors(|u'on
y change p et f/ en (//) et (//).

408 Traité def? Orbites des Planètes.

86. Supposons maintenant que les ilf,. j. soient mis sous la forme des
équations (14) et (42) du cliapitre précédent. Nous écrivons alors:

(15) M,,, =^ SZ{ilf"'(/,-, /,:',«, s, s')„,o- ilf"'(/.-,/.-',W,S,s'),,oy/' + ...

+ 71f'"(/,-,A-',».,s,s')„,,^'^- ..

+ ..Î(^)V)%

où les ilf' '"'(/i' , h' , M , s , s')„ „■ désignent des coefficients dépendant de nombres
entiers ainsi que des transcendantes y ou H.
En premier lieu, nous allons admettre:

W^ signifiant la valeur de —, Q-, en y supposant h , t et $' égaux à zéro.

Nous aurons alors, en supprimant les indices m , k et h', tous les trois
étant égaux à zéro,

(16) Trr = TY\o{n , s , s')„,„ - i2(n , s , s'),,or/ + . . î(/>)'(^>)%

la fonction totale }]\ étant donnée par l'équation (8).
Il s'ensuit de la formule signalée la suivante:

"^ = Zi:(8+ x)\ii{:n , s+ I , s')o,o - iii^r , s+ I , s'),,„r/ + ...

4- ii{n , s+ I , s')„ ijy''' — ...

Cela étant, si nous admettons la notation

(1 7) '-. Pf = — S2:iP(" , s , S')„,0 — P(" , s , s'), .n'y' + . . .

nous aurons, en comparant les deux derniers développements avec la pre-
mière des équations (12),

(18) P(« , s , s').,, = (s -f ^)\iî{» , s + I , s'L. + <.>(" , s + I , s')._,,, j.

Première Partie. Livre III. 409

Eeprenon.s ensuite l'équation (34) du chapitre précédent. En y mettant
(p) et (//) au lieu de p et // nous aurons

(19) Tri"" = ZZ|r"'(». , s , .s')o,„- )•"'(«. , s , s'),,„^'^ + . -lipTipr,

équatiou d'où dérive lu formule (16), en mettant dans celle-là vi cgjal à zéro.
Par la formule (35) du n° 80, les coefficients )'"'(«, s, s')„„ sont exprimés
moyennant des séries procédant suivant les fonctions fi(« + i)i -\- 2p , s , s')„.y,
p ayant successivement les valeurs des nombi'es entiers, à partir de p égal
à zéro. Mais bien que les séries mentionnées soient toujours convergentes,
cette convergence peut être extrêmement lente, d'où naît la nécessité de
chercher d'autres expressions représentant les coefficients dont il s'agit. Dans
ce but, écrivons l'équation (42) du n° 8 1 de la manière suivante:

G)"(7)"""'c:f'"^'^ = 5:rîi2-(« , s , s-).,»- ir(» , s , so,...^^ + .

+ ir(».,s,s')„,,v^— ...

+ ■ ■ \py>'",

ce qui revient à donner à l'indice m, dans les termes du membre droit,
une signification un peu modifiée. En introduisant cette valeur dans l'équa-
tion (36) du \\° 80, on obtiendra l'expression que voici:

^y(m) ^ i.3-.-(2m- 1) I /i

X^T\ o-{n , s , s')o.o — ir(:ti , s , s'),,,^^ + . . . j////
En effectuant la multiplication ])ar

\i + pj \i +p j

!„ , mlm — I) 4 II ,, , m (m — l) ,< I

' 1.2' ' ' 1.2'

I. m (ni -4- I ) , Il , . m (»;. -4- I ) ,r

I — wp + -~-~p' — ... I — V>p' + ^^p-

Traite des orbites absolues.

410 Traité des Orbites des Planètes.

et en comparant le résultat, après y avoir mis [p) et (/>') au lieu de p et
/>', avec l'équation (19), on sera conduit à la formule g-énérale:

/ N %.»,/ /\ i.3...(2m— i) I

(20) }"'(W,S,s')„y^ ^ '

1.2. ..m. a"

X i2"' (w , s , s')^ „. — mii'" («- , s — I , s')„ „. — mii"' (w , s , s'— i ), „■

m(w?.+ 1) „,„, ,, , „ , , ,

H ^ ^ ii yn , s — 2 , s )^y + mmii [n , s — i , s — i )^y

■A ^ irin , s, s — 2)„ . — . . .

+ ÎH il'" (». , S , S')„_] ,. — JH i2"' (m , S — I , S')„_, „■

— m ii'" (w , S , s' — I )„^, ,,/

w.(m+l) „„,. ,, -|

+ ^7^ i2"' (h. , S- 2 , S')„_,y + - . J

— iH[i2"'(w, s,s')„„._i — «*fi"'(«, S— I ,s')„„._i — .. ,]

-f '"^"'7 '^ [i-2'"(« , s, sVv-"'-^"'('^> '^-^ ' s')^-v- •••]

+ ...[.

Cette formule étant de la même nature que celles que nous allons
déduire prochainement, je trouve convenable de l'insérer à cette place, bien
qu'elle appartienne aussi au n° 80.

87. Mettons, maintenant, en évidence les coefficients du développe-
ment des trois fonctions que nous avons définies par les équations (12)

D'abord, si nous différentious, par rapport à {/>), l'équation (19), il
viendra :

^' = rrfs + i)î }•'"(" , s + I , s')o,„ — )■'"(" , s + I , s'),,„5y^ + . .

Première Partie. Livre III. 411

rûsultut d'où l'un tire, :iprès avoir établi l'équation

+ .-.}(a>)V)%

la formule que voici:

(22) P"'(h , s , s')„y = (s+ I) î r"'(« , S + I , s').y + r"'{n , s + i , s')„_,,.|

Qu'on remarque l'analogie, avec la formule (18), de l'équation que
nous venons d'obtenir et qui, du reste, revient à celle-là, si l'on fait m
égal à zéro. On s'en convainc facilement, en considérant l'équation (35)
du n° 80 ainsi que les expressions des coeiîicients T"'f.,,. que nous avons
données dans le n° 69. Il en résulte, eu effet, l'égalité

}•> , s, fi'ly = i2{li , S, S'Xy

Admettons ensuite:

(23) ^ Ql/"' = — «Sr |Q"'(w , s , s')„,o — Q'"(« , s , s'),,o52' • • .

+ ■■■lipnp'Y,

et nous aurons, en consultant la seconde des équations (12), ainsi que
l'équation (19), la formule

(24) Q'" (« , s , s')„ ,, = } •'" (« , s , s'),,,. - 2 ] •■" {n , s — I , s').,. + 3 > '"' (" , « - 2 , s'), , - . . .

±(s+ i) r"'(«,o,s'Xy

+ )■'"(«, S,s'X^,,„-2 r'"(«, s— I,S'X_,., . + 3 )""(/t,S-2,sV,,.— -

+ (s+ i) /■'"(«, o, s V, y
Finalement, si nous posons:

(25) ^A Ri"" = {m + i)TT |ir(« , s , s')o,„ - R"'(« , s , s'),,„^^ + . . .

+ ...!(/>)V)%

412 Traité des Orbites des Planètes.

lu comparaison de cette l'ormule avec la troisième des équations (12) et
avec l'équation (19) nous conduira à l'expression suivante:

(26) E^'"'(>i , s , s'iy = !•'"+■ (« , s , s')„,.' — 2 )•■" + ' {a , s — I , s'),,,,

+ 3r"'+'(«,s— 2, s'X, — ...

± (s+ i)f"+\ii , o , s'Xy
+ }""+'(« , s , sVi.v — 2r"' + '(« , s — I , sViy
+ 3 >""+'(«. «— 2 , s'X-... — • ■ ■

±(s+ i)r- + '(«,o, «').-,,/■

On conclut encore, en vertu des formules (24) et (26), la relation

(27) R"'(ii , s , s')„,y = Q"' + '(n , s , s'},y;

une autre relation du même genre s'obtient eu comparant les formules (22)
et (2-1). La voici:

(28) (,)'"(;/. , s , s'), .,. = - P"'(« , s — I , s')..,„' — TZ^ P"'(« > s — 2 , s')„ .,.

+ sF{n , o , a'iy ± (s + i)(.i"'(/« , o , s%„..

Evidemment, par PJ,"" , QJ"" et lil,"" nous avons désigné les coefficients
du développement, suivant les multiples de w , des fonctions (i — 2y'')P""',
Q""' et K""', en sorte que nous avons, au lieu des équations (12), les
suivantes :

(29)

(1 — 52-)F"" =- J'i,"" + 2PV'"C0S\V + 2Py"' C0S2W +
R'"" = 11'"" + 2RV"'C0SW + 2lÇ'>C0S2W +

Il faut encore remarquer qu'on pourra identifier la fonction il/j,, de
l'équation (13) avec les PJ,"" , ^"'^ et ïi['"\ après quoi on déduira les fonc-
tions il/i,i , y correspondant, en utilisant la formule (14).

Première Partie. Livre III. 413

88. Les développements ([lie nous venons d'effectuer, dans le chapitre
précédent, et dont les coeft'icicnts sont des fonctions des transcendantes ;-
ou &, se rapportent seulement à la partie [)rincipale de la fonction {)er-

turbatrice, c'est à dire au terme - entrant dans l'expression de 4 L' Pour

A ' !'-

rendre complets les développements mentionnés, il faut, au terme déjà
considéré, ajouter celui-ci:

-,cosH = ,,{cos\v + h ,

r r ^ '

supposant toutefois (ju'il s'ayisse de rinilueni'e^ de la planète (extérieure sur
la planète inférieure. Dans le cas opposé, nous désignerons la fonction
perturbatrice par ii! et nous mettrons /i^ à la place de /i', /4 étant ce que
devient /i' (juand on change la masse ;», de la planète extérieure en celle,
;y/i, de la planète inférieure. Nous aurons alors:

(30) ^^2' = ^(j)-'^cosi/.

Occupons-nous d'abord du premier cas.
En remarquant l'identité

-^Gos II = a^ - (- ) cos//,
r a \r J

on aperçoit facilement ([u'il suff'ii'a, afin de tenir compte du terme indé-
pendant de A , de remplacer, dans l'expression de - ii donnée par l'équa-
tion (i) du n° 74, la fonction C\" par Cj" — -a", ce qui, en vertu de

ré(|uation (7) du numéro cité, revient à remplacer ^1'/' par ;-,'■' — :^'x\

Les incréments à ajouter aux coefficients ij(l , s , s')„,y s'obtiennent
facilement au moyen de ré([uation (24) du n° 78. En effet, si l'on y met

a^ au lieu de yl'\ et qu'on désigne l'incrément dont il s'agit par

AiJ(i , s , s')„y, il résultera:

(31) A 1' ( I , s , s')„., = — ' oi'IIl:",^^y .

414 ' Traité des Orl)ites des Plauètes.

(^hiand on ii déterminé cet incrément, il sera facile, en ntilisant les
équations (i8) et (24), d'obtenir les expressions des quantités qu'on doit
ajouter aux coefficients P(i ,s,s')„„ et Q(i,s,s')„,y communs aux dé-
veloppements, tant des fonctions (i — rj'')i' et Q suivant les multiples de
//, que des fonctions (i — ^y'-')?"" et Q'"' suivant les multiples de w . Mais
quant à l'incrément de la fonction 11, dû à la seconde partie de la fonction
perturbatrice, il est visible qu'il s'exprime moyennant la formule

(32) ^AAR-

;>.r_
r "

\\ —fj-'i (i + pY
Donc, si l'on avait développe la partie principale de ' \l suivant les mul-
tiples de H , seulement le terme indépendant de // aurait été altéré par la
seconde partie.

En développant le second membre de l'équation (32), il résultera

(33) j^Aii = -a'v +<t)|i- 3/^ + yy

— lOp^ + I2/5y 2>PP'''

-f 15// — 2op''p' + 6/?y=

— 21^0' + ôOp'p — lOp'p'' + . . ,|,

(T étant la fonction — 1 -4- ( -,\ , dont nous avons donné, dans le n°

\ I — fj -/

76, le développement suivant les puissances de rj' et de rj''\

L'expression de Aiî est donc ramenée à la même forme que celle des

fonctions PJ"" , Q'„"'' et R',"", et on comprend que seulement la fonction Rî,°*

est altérée par l'incrément AU.

On peut encore remarquer que les incréments AP et AQ s'expriment

aisément au moyen de l'incrément AR. On tire, en effet, des équations

(i'") et (2'") les expressions suivantes:

I (i — /y')AP = (i -f- />)ARcos//,
(34) I ^.jScostf

ACi= AR-— — .

Proniii'ic Pnrtic. Livre III.

41f

8g. Le cas où la jjlanètc dont il s'aq'it do dc'ti'rmiiiei- le inoiivemeiit,
est plus éloignée du soleil que la plaucte sollicitante, exig'(> quelques remarques
ultérieures. Fixons avant tout les notations

(35)

P' =

r''a'dff

R' =

(0^

De ces équations, tout analogues avec les équations (i), (2), (3), dé-
coulent les suivantes, analogues aux équations (i"), (2"), (3"),

(35')

P'

0'

R' =

&^ J^ 4.

/'** ,.....'2

A^

(«) |A =

I A'

I I 3 Pos H

30S/7,

r' dv

équations qui s'écrivent aussi de la manière suivante:

(35")

Q'=~

R' =

aY) [r

\v

d C'<.8 H

dv

-\- - R' cos //,

a ((• ) \r ' \n / | A i"

La forme sous lanu(

nous avnns mis ces trois fonctions est choisie

afin de mettre en évidence le rapport -— - , dont nous supposons le développe-
ment établi. En partant de ces dernières formules, il sera donc facile
d'établir les dévelo])pements des trois fonctions dont il s'agit. Cherchons
cependant, pour les ol)tenir d'une voie jilus courte, Ti exprimer les I", Q',

416 Traité des Orbites des Planètes.

E' par les P, Q , R, dont nous supposons les développements déjà établis.
On y parvient facilement en utilisant les identités

I I _ I II I

_//,r'r' (f)

a l'aide desquelles la troisième des équations (35') nous donne celle-ci:

Avec le résultat obtenu, il sera facile de tirer, des deux premières des
équatious (35"), les suivantes

{:^7)

P' = —

V r - X'T + - --^VT-T K COS i/ + '— — :, COS // ,

/'i'" *('■) p I ,"<■'" /'■ '■ '\ I 3 cos /f

Q'= V!:^l^^,j^l!ïLr

!i,r\r) (,•) \r r'J I av

d'où l'on déduit, par un calcul assez simple, que je passe cependant sous
silence, les expressions en P et en Q. Ce sont, en effet, les expressions
en R qui se prêtent le mieux aux développements dont il est question
maintenant.

90. Mais ou jiarviendra, d'une voie encore plus facile, aux résultats
demandés.

Eu ne considérant d'al)ord que la partie principale de la fonction

perturbatrice, c'est-à-dire la partie qui s'annule avec — , on exprimera les

trois fonctions définies ])ar les équations (35) mo^'ennant des formules tout
à fait semblables à celles qui ont servi à "établir les expressions de P , Q
et R. Or, en supprimant les seconds parties des fonctions ii et ii', on
am-a la relation

qui, du reste, n'c^it autre chose cpie l'équation (56) du n° 72, si l'on en

Première Partie. Livre III.

417

supprime le second membre. On parviendra maintenant, eii considérant
l'équation (7), au développement

•58)

^ir =-\w, + Tr,h + wy + . ],

les TF,„ , donnés par l'équation (8), étant ]rar consécjuent, les mêmes dans
les deux développements (7) et (38).
On aura ensuite:

3lF„, aH'o"*

■5p

3H'„,
3v'

+

3U'

3/^

cos vv +

= 2 ir','"' sin w + 2 TT'!;" sin 2\v +

d'où l'on tire immédiatement, eu égard à l'équation (10), la relation
(40)

3 H'„, 3 )r,„ _
av "^ 3v' "

Ensuite, puisque, ce qui est facile à voir, les fonctions W,„ doivent
satisfaire la condition exprimée par l'équation (44') du n° 71, nous aurons:

(41;

Arrêtous-nous uu moment pour déduire, d'une manière immédiate,
l'équation dernièrement énoncée. Dans ce Ijut, rappelous-nous d'abord les
relations

3 W,

(> +/')

d W,.,

(> +P')

3 W,

Considérons ensuite les équations (30) du n° 80, dont le type i^énéral est
celui-ci:

W,„ = con.st. r'"r""D~'-'"'+'\

Il s'ensuit, par difîérentiation,

~ i dWm m , , , , —

Tn = (2»» + I)-^ rr

r — r cos w

W,„ dr

I dWm m. , , , r

-— ~ = -. (2JH -4- II—

Traité des orbites absolues.

V + r — 2rr cos w
*• cos w

418 Traité des Orbites des Planètes.

d'oii l'on tire, après avoir multiplié la première équation par r et, la
seconde par r',

311™ , ,311.. rj,

dr dr ""

ce qui revient à l'équation (41).

ail''"'' aH'*'"'

Les dérivées — -4- , liées avec les — — ^ par des relations de la forme

de l'équation (41), s'obtiennent maintenant de deux manières différentes:
en premier lieu par différentiation directe de l'équation (19). On arrivera
de la sorte à l'expression

^"^'^ '^li!'i^ ZZ(s'+ ,){)•'"(«, s, s' + .)„,„- )•"'(«, s, s' + i),,oV + ---

+ ■ Mpyip'Y-

L'autre mode d'exprimer les dérivées dont il s'at^it est fondé sur
l'équation (41). En y introduisant la valeur de TF','"' selon l'équation (19),
ainsi que celle de sa dérivée par rapport à (^/), il viendra

(' + ^^''') '^i^y - ^^i ^'■"(» ' ^ - «')o,o - >•"'(» , s , s'),,or + • • ■

+ ■ -K/'n^/r
— (i +(.;))ZZ(s+ ,){)""(«, s + ,,s')o,o—... !(/')"{/>?■■

En effectuant les multiplications demandées, on arrivera à une ex-

3))""'
pression de '.' qui, comparée avec l'équation (42), conduit à la relation

générale que voici:

(43) (S'+ l)r'"(»,S,s'+ !)„,,=

— (s + i)[)-'('». , S + I , s')„,. — r"'(« ; s + I , s' — l)„,, + , . .

+ f"'(« , s + I , o\,;\

— (s — \\V"'{n , s , s')„,. — )'"'{n . s , s' — i)„„, + . , .

± )■"'(« , s , o)„„.].

Première Partie. Livre III.

■119

9 1 En analogie avec les opérations expliquées dans le n° 85, nous
allons introduire les notations

(44)

F = F(»)+ F")li +

,ah

àv

K' = ir"' + ir"h + . . . ,

ofi les eoefl'ieients des diverses puissances de li sont donnés, ce tpi'on
trouve facilement en consultant les équations (35) ainsi ([ue l'écjuation [s'a),
moyennant les développements que voici :

(45)

- -. 1- 2 — COS \V + 2 ,— COS 2 VV +

I dfi dp dp

/ ~'^.' j 2 TFV" sin w + 4 W\r sin 2w + , .
(i + pY 1011

fit

/4

Posons en outre:

• (1 —rî"-) P'^"" = P;,""^ + 2P;""' COS w + 2P;""> COS 2W + . . , ,
(46) (i'""' = 2(i;*""sinw + 2(^:'""sin 2w + . . . ,

li'""> = 11;""' + 2R;'"" COSW + 2li;""'cOS 2W + . . . ,

et encore:

qp;("')=_Zl|P""0^s,s')„,„-P""(«,s,s'),,„oy^+...

+ F>,s,s')„,,)y'^-...

'"', q;/'"'= «ZZ{Q""(«, s, s')„,« - Q""(« , .'^ , s'),,„^'^ + . \{f>)\py ,

''-',R;/'"'= («j + i)ZZîE""(n,s,s')o,o-H""(«,^,s'),,,^M- ...j(A'r(/'')%

(47)

420 Traité des Orbites des Plauètes.

et quant aux coefficients de ces derniers développements, nous arriverons
facilement, en considérant les équations (19), (42) et (45), aux formules
suivantes:

(48) aP""(u,s,s').y = (s'-f i)|r"*(H,s,s'+ ily+ }■'"(«,«, s' + 1 )„,„_,!,

(4 9) aQ"" {n , s , s')„ ,y = ) '"' (u , s , s')„ ,, — 2 ) '"' {n , s , s' — 1 )„,„' + ■• ■

+ (s'+ i)r"'(w,s,o)„y

+ } '"' (« , s , s'), „■_, 2 } '"' (« , S , s' I ),„•_, + . . .

± (s' +!)}•'"(«, S, 0),_,_,,
(50) R"" {h , S , s').,.' = Q""^' ("■ , s, s').,.'.

(51) (r('^s,sO^.■ = 7i""('^«.«'-0..-7^l'''"('^«>s'— 2)„,, + ...

+ s'P"" {n , s , o)„_,. + (s' + 1 ) Q"" (w , s , o),,,. .

Telles sont les expressions servant au calcul immédiat des coefficients
dont il s'agit; mais puisque les fonctions )'"'[n , s , s')„„. y entrant sont en
partie communes aux formules (22), (24) et (26), on pourra les éliminer
de deux équations correspondantes, et ou parviendra ainsi à des relations
entre les P"'( ) et les P""( ). Ces relations s'obteuant très facilement, je
me restreins à n'en signaler que celle ci:

(52) (s + i)P"*(u , s , s' + i),,„ = a(s + i)P""(" , s + I , s')„,„.

Au moyen de cette formule, les P""( ) dérivent d'une manière extrême-
ment simple des P"'( ).

92. En employant toujours les notations introduites dans les numéros
précédents, nous aurons, en vertu de réc[uation (30):

- A iJ = r ces H

=■ i-(cos\v 4- 1j),

r ^

termes qu'il faut ajouter à l'équation (38) afin d'avoir l'expression complète
de la fonction perturbatrice. Or, le second membre se divisant en deux

Première Partie. Livre III.

421

parties dont ruue s'ajoute à W^ et l'autre, à W^ , nous aurons, en dé-
signant par A IF'i"' et A IKV' les inercments à ajouter aux eoeffieients IF*,"'
et TF'":

(53)

A TF',"> = A Wi'^ = — ^

r

^ _ I I — ;?' (I + rï'
«(1 —vT ' + p'

Apres avoir établi cette valeur, on parvient aisément aux formules
suivantes des termes supplémentaires à ajouter aux expressions (46):

(54)

(i — r/V"! AP'"" -— ^

(i — ry'^)"! AP"'

^A Air" =

!'-k

'À

-, AR'^"' - — ^,

— r

- fi

I +,"

1 +/>

— 1 cos vv ,

.1 +/>

rJ (' + pY

(> +/>)'

'7V (■ +PY

formules qu'on développera sans peine suivant les jjuissances de />,/?', jy* et
r/^. On obtient de la sorte les incréments des coefficients P'''(i , s, s'),.,,
P"'(o , s , s')„_,. , Q"'(i , s , s')„,,. et ii'"(o', s , s')„_„.. Il suffit de mettre en
évidence un seul de ces développements. J'ai choisi celui-ci:

(55)

Ali

a I + <T

! I + 2/> — 3//

+ />' — 6pp' + 6/y"
+ .-l,

qui, on le voit immédiatement, est tout à fait analogue avec le développe-
ment (33).

422 Traité des Orbites des Planètes.

Signalons encore les relations

AF =^ AR'cos/y,
r

AQ = AK

3v
qu'on obtient immédiatement en vertu des équations (35")-

93. lieste à dire quelques mots sur le développement de la dérivée
D^fJ, développement qui s'établit facilement si ceux des fonctions P^Ti,'"'
sont connus, et qui se ramène, au reste, à ceux des fonctions P , Q et
R. On parvient au développement demandé en partant de l'équation (37)
du n° 70, si l'on y introduit le développement (7) du chapitre présent. Il
viendra de la sorte

(56) ^T)^il

aTF„ , air, , ,zW,.^. 1 ., , -
H Il -\ h + . . \JÀp)

' av ' av av '

iali
1^

+ |TF, + 2TF,h + :,w.y +

formule qui se remplace par la suivante:

(57) }À^ -rf-)\\i>-='^^,-{i-ri^)\>\K{p) + {i +,o)H,)[,
ou bien, par celle-ci:

(58) '}{^ - ^^)D,i.^ ^ j;.|- (1 - r/)(P"" + F"h + . . .)D,(^)

+ (1 +/>)=(ir> + K<'4i+ ...)'l\.

av)

Par ces formules, on obtiendra, dune manière aussi aisée que possible,
le développement de la dérivée dont il s'agit, sous la forme que nous venons

Premiiie Partie. Livre IIL 423

de mettre en usage j)ar les équations (21), (23), (25) et (2g). Cependant,
très souvent il paraît préférable de eliereher eette dérivée moyennant la

différentiation direete, après avoir substitué, dans le développement de -. ii

H

les valeurs de {fi) et de h. De ces valeurs, celle de {/>) est donnée, comme
nous savons, ])ar la formule

{f,) = rj cos (v — tT) — (- — /')),
d'où il vient :

{py =\-fi' f"^ (^' — '"' — (" —'''>) + 4 ''i'' ^'"^ 3(v — «"' — (- — T)),

etc.

Quant à la valeur de h, nous l'avons donnée à plusieurs reprises:
d'abord, dans le n° 47, jiar les équations (4) et (5). On j' a aussi donné
les expressions de la deuxième et de la troisième puissance de h, en ne
considérant, toutefois, (|ue la principale partie de cette fonction, ce qui
suffit le plus souvent, notamment dans le cas des jjlanètes ])rineipales.

En ne tenant compte toujours que de la partie mentionnée de h,
nous aurons, en vertu de l'équation (5, a) du numéro cité, l'expression

(5g) h = </»„ cos (v — v') + 0, cos (v + v') + 0.J sin (v — v') + (/|, sin (v + v'),

(b^ , '/>,,... étant des fonctions restant inaltérées des différentiations ])^. et
1)^, et dont voici les expressions:

(60) <fi^ --= - ~(i + i)r -^-(i + V)I" + ^ //' cos(,V, — ,% — {G — G'))

-f _^(i +fX' +f')/v^[i +oo^2{fl,~>y,~{G-G'))i

(60') </>, = - (i + f) /' cos 2(,9, — G) + ^ (i + f) I" cos 2(,% — G-")
— ' //' cos (,9, + ,'f\ -—G — G')

— -^(i +f)(. +f')/=/"'[eos2(/y, -r;) + cos2(,v;-6^')]>

424 Traité des Orl)i(es des Planètes.

(60") <D^ -= \ II' sin (,9, — 1% — [G — G'))

+ ^(1 +f)(i -^.r)]U''s[n2{,%-.%-(G—G'))

(60'") 0,= ^(i + f) r sin 2(,9, _ (?) + 1 (, + f) /''^ sin 2{,% — G')

— \n' sin ('•^1 + »'/; — G — 6-")

-(I + f)(i + f')/^2'T8in 2(,9, - r;) + si" 2{H\ - G')].

Dans ces formules, ou a employé, pour abréger, les notations du u°
32, savoir:

79, == n + (j — 0; n\ = n' + fi' — 0'.

Evidemment, après avoir mis la fonction h sous la forme (59), il sera
très facile d'effectuer les multiplications que demandent les formules (7) et
(8), (11) et (12), ainsi que les formules analogues relativement aux fonctions
P', Q', R' et aux dérivées D^ij et l)^, iJ'. On aura en effet, pour en donner
uu exemple,

(61, a) h cos«(v— v')= - '/'„[cos(« — i)(v — v') + cos (h + i)(v — v')]

+ ' ^/',[cos((«-i)v-(«+i)v') + cos((«+i)v-(»-i)v')]

+ \ 'I>1— «i" (•" — 0(^' — v') + ^'" (" + 0(\' — ^'')]

+ \ 'l'A— •'^•»((" — ')v — (" + i)v')

+ sin((j/ H- i)v — ('« — i)v')],

(6 1,1)) h sin«(v— v') = \ '/'^[sin {;n — i)(v — v') + sin (w + i)(v — v')],

+ \ <'/',[sin((«-i)v-('»+ i)v')+sin({»+ i)v-(«-i)v')]

-f- - (/'.^[cos («. — i)(v — v') — cos {n + i)(v — v')]

+ ^ '/A; [cos ((« — i)v — {n + i)v')

— cos ((M + i)v — (« — i)v')].

Première Partie. Livre III. 425

On comprend encore que les puissances de h, ainsi cjue les produits de

ces puissances par - ou - , se forment aisément et, (lue les multi|)lications

de ces puissances ou ])roduits par cos«(v — v') ou sin «(v — v') s'opèrent sans
difficulté.

Mais au lieu de l'expression (59), on ])eut aussi, dans certaines occasions,
employer la forme de h qu'on a donnée au n° 51, forme qui ne conviendra
pas, il est vrai, quand il s'agit de former les dérivées partielles, par rapport
à V ou à v', au moyen de différeutiations directes. Mais à certains égards,
la forme du numéro mentionné nous rendra des services iinportants. Je
ne jiarlerai, quant à présent, que d'une seule cjuestion dont la solution
s'obtient aisément eu employant la forme mentionnée.

On sait que l'expression complète de h renferme des inégalités périodi([ues
des fonctions ,^ et ,'/ dépendant des configurations des planètes et s'évanouissant
avec leurs masses, inégalités qu'il convient d'appeler inr.f/nlitrs anastématiqucs.
Or, ces inégalités formant des incréments à ajouter aux parties élémentaires
de i et ,V, c'est-à-dire, aux (juantités que nous avons désignées, dans le
n° 51, par (,^) et (y), on parviendra le plus promptement possible à détacher,
de la fonction totale h, la partie qui dépend des incréments d^ et o}l , si
l'on a exprimé h par ,^ et 5'

Désignons dorénavant par (h) la partie élémentaire de h, en sorte que
(h) sera la fonction déterminée par l'équation (4) du 11° 47, et, par u\\ la
partie de h qui disparaît avec les inégalités anastémati(pies: nous aurons
alors :

(62) h = (h) + Jh

Cela posé, en consultant l'équation (12) du n° 51, on reconnaîtra tout
de suite (pie la partie (~1\\ sera donnée par la formule

(63) ^h = ilf,.?^ + MV>^ + A^ g + AT; g.

+ l\ù^,' + P\àf + Q,,)^'f^ + Q\â{]^r + I\o^à.; + . . . ,

les il/| , M\ , A', , . . . étant donnés dans le numéro cité.

Afin de tenir compte, dans le développement de la fonction perturba-
trice ainsi que dans ceux de ses dérivées partielles, d(»s tcriin's dépendani

Traité des orbites absolves. ,-,.j

42G Traité des Orbites des Planètes.

des inégalités anastématiqiies, il faut développer les expressions (7), (11),
(38), (44) et (56) suivant les puissances de oh. Ces développements
s'effectuant d'une manière très simple sans qu'il soit nécessaire d'eu donner
une explication détaillée, je les passe sous silence.

Quant à la fonction (h), il faut encore observer qu'elle n'est pas tout
à fait identique avec h donné par la formule (59), vu qu'il manque les
petits termes sousélémentaires qui dépendent des fonctions (C) et [C'),
termes qu'on a mis en évidence dans l'équation (4) du n° 47.

94. A la fin du chapitre présent, je vais, mettre un résumé succinct
des développements établis, et fixer le système des indices, dont le nombre
est assez grand.

Soit N une des fonctions - iJ , P , Q , . . , nous allons d'abord établir

le développement

(ot) N = N<»> + N"'h + N'-'h' + . . . ,

auquel il faut ajouter, dans certains cas, un terme qui jJîiraît multiplié par

- ou par — : . Il ne sera pas nécessaire de tenir compte, dans cet exjjosé,

de ce terme. En introduisant, dans la formule [a), l'expression complète
de h, on considérera, d'une manière tout à fait rigoureuse, l'infiuence des
inégalités anastématiques.

Cela étant, nous allons développer la fonction N''"' suivant les puis-
sances et produits des inégalités diastématiques, en établissant la formule

(/9) N'-' = Xî,:;,> + K'^'h + N'^V^.^ + . . .

+ N<';;Vy/ + ^\":^àpûp' + . . ■

+ ^'^'^âp' + ...

+ . .,

où j'écris, pour garder plus de S3'métrie, ûp et op' au lieu de (i — 3y^)f
et (i — y/')^', c'est-à-dire, au lieu de R et de E'.

Maintenant, je puis omettre tous les indices, eu considérant les termes
des divers N[™] comme formant des groupes isolés qu'il faut traiter séparé-
ment des autres. J'écris donc tout simplement N au lieu de NJ'".', mais

l'ieniioio l'artie. Livre III. 427

([uelciuel'ois, s'il est nécessaire do distinguer les termes appui-tenunt à divers
groupes, j'emploierai la notation

Nl:i!="GrN,

ce qui me permettra de charger le symbole N d'un grand nombre d'indices
nouveaux.

Les N étant des fonctions de w , [/>) , (//') , Yj' et y/'\ je les repré-
senterai, conformément à nos développements fondamentaux, au moyen de
l'expression suivante:

(;-) N = ZZ{N(o , s , s'j„„ — N(o , s , s'),,,//' + . . .

+ N(o , s, s'j„_,5y'-— . . .

+ 2ZZZ|N(«. , s , «■)„_, — N(u , s , s'),,,ry-^ + • • •
+ N(« , s, s')»,i ''/"—- • •

Voilà la forme fondamentale du développement de la fonction ])er-
turbatrice. Il est certain que l'expression (y) est convergente, tant que les
fonctions diastématiques restent moindres que l'unité. C'est de même quant
au développement (y'î): Les inégalités diastématiques pourraient être beaucoup
plus fortes qu'elles ne le sont à l'état actuel des choses, sans que le dé-
veloppement (y9) cesse d'être très convergent. Mais la fornmle (a) peut
être divergente même si la valeur de h reste toujours n()tal)Iement inférieure
à l'unité; s'il s'agit des planètes principales, il n'y a pas, cependant, lieu
de craindre qu'un tel cas n'arrive

De la forme fondamentale, i»n pourra, déduire, moyennant des trans-
formations convenables, plusieurs autres formes du développement de la fonc-
tion perturbatrice: je me restreins à n'en iudicjuer que les trois suivantes:

A) En introduisant, dans l'équation (/-), l'expression du produit
{py{p'y ^'"''"'"^ donnée par l'équation (3) du n° 55, on aura, après un calcul
assez simple, bien (pi'il puisse paraître laborieux, la fonction N développée
suivant les multiples de F , F' et F — F' -j- <o — 10' + " — ^ — (^' — 1")-

428 Traité des Orbites des Planètes.

Mais cette forme n'étant pns appropriée à l'intégration directe des équations
différentielles que nous allons déduire prochainement, je ne la considère plus.
B) Les arguments E et E' ainsi que (j et G', définis au n° 26, étant
lioraorythmiques avec F et F' respectivement, on pourra exprimer le dé-
veloppement de la fonction N moyennant les arguments E , E' et

E — E' + w — w' + -—/'—(-' — /"),

ou encore par Ct , (V et (t — (t' -j- oj — w' + ~ — -^ — ("' — -^")- C'est
surtout la dernière forme qui mérite d'être mentionnée, vu qu'elle porte à
exécuter un certain nombre des intégrations demandées d'une manière assez
simple. Il faut toutefois rappeler que les angles G et d' ne sont pas
homorythmiques, ni même isocinétiques avec les angles vf -\- A — /' et
n't + .1' — F' respectivement, parce que les différences 7if — G et;/'/ — G'
renferment, chacune, un terme séculaire. On aura, en eft'et, si l'on introduit
dans l'équation (10) du n° 26, la valeur

^= t — T,
l'expression

G = (1 — ç)nt — (i — ç)nT + A — - + (i ^ ç)X,

d'où l'on voit, immédiatement, que le terme séculaire dont nous avons parlé
est çiit. Il est donc impossible d'employer, comme arguments, les angles
;;/ + .1 — /' et n't + •'!' — / ' sans être obligé de développer suivant les
puissances du temps, ce qu'il faut, cependant, éviter dans une solution
absolue de notre problème.

Mais les angles G et G' étant isocinétiques avec (1 — c) '"' + 1 — /'
et (i — ç')ii'f + A' — I ' respectivement, on peut employer ceux-là comme
arguments au lieu des premiers. Cependant, les agrégats périodiques ( i — ç)iiT
et (i — ç')ii'T' renfermant des termes dont les vitesses de l'argument sont
extrêmement faibles, en sorte que la nature isocinétique des arguments dont
il s'agit paraît altérée pendant de longs intervalles du temps, on pourra
douter que l'introduction de ces derniers arguments soit favorable. Elle
est, au contraire, interdite dans certaines occasions. '

' Dans mou mémoire »Untersuchungen iiber die Convergeuz etc.», j'ai évité le dé-
veloppement suivant les puissances de la quantité T (ou Z), ce qui m'a permi de mettre
en évidence qu'une inégalité déjjendant d'un très petit diviseur ue peut pas excéder une
limite déterminée, bien que ce diviseur soit évanouissant.

Picmière Partie. Livre III. 429

Pour arriver :iu dcveloppement qui procède suiviiut les multiples de

G et de (!', il ne fiiut (lue mettre en usac^e les expi'essious de («)'" «F

données par Le Vicrkikk dans le Tome premier des Annales de l'ob-
servatoire de Paris.

C) Il existe cependant une seconde forme trigonométrique du dé-
veloppement de la fonction perturbatrice qui paraît amener beaucoup de
facilités, soit parce qu'elle est plus convergente que celle où l'on a employé
les arguments (t et (}', soit parce qu'elle se prête le mieux aux intégrations
des équations différentielles d'où s'obtiennent les coefficients diastématiques.
Cette nouvelle forme qui présente, d'ailleurs, plusieurs analogies avec la
forme employée par Hansen dans ses recherches sur les perturbations des
petites planètes, dérive de la substitution, dans le développement fonda-
mental, des expressions de (^')'(/>')^c"''"'~'", dont nous avons donné l'ex-
position au n° 59. C'est en particulier de cette forme que nous alhms
nous occuper dans le chapitre qui suivra.

430 Traité des Orbites des Planètes.

CHAPITRE IV.
Forme diastciuatitjtie du dci'clopitement de la foiiition perturbatrice.

95. La forme sous laquelle se présente le développement de la fonction
perturbatrice lorsqu'on introduit, dans la forme fondamentale (équation (;-)
du dernier numéro), les expressions des produits (;'5)X/^T ^"'*'^" données
dans le 11° 59, sera appelée forme diastémaliqite, parce que l'argument diasté-
matique de la planète dont on cherche à déterminer soit l'orbite absolue
soit les inégalités, y entrera comme argument fondamental sans être remplacé
2)ar un autre argument astronomique.

La conversion de la forme fondamentale en la forme diastématique
s'opère d'après des règles très simples; néanmoins, le travail à y effectuer
peut être assez considérable, vu que le nombre, soit des termes qu'il faut
transformer, soit des termes résultants, est généralement très grand.

En inspectant les formules du n° 5g, on voit facilement que le terme
général d'un produit du type dont il s'agit est formé de la manière suivante :

(i) T(/)>"e'"") = EV+"y/^'+"'e*''^+"--^'^'-^-'''i'<^'+"'--^"'^'-'''

v/ g.[(« + (s+/i-2r))ï-(n±(s' + /.;--5r)jV±(s+,a-2r),ù-«,i']

OÙ l'on a écrit p et // au lieu de [p) et {/>') et désigné par /j. , //.', r et r'
des entiers positifs. On y a encore employé le symbole T(F) pour signifier

le terme général du développement de la fonction F, et, le symbole E
pour représenter le coefficieut, effectivement dépendant des sept indices n,
s, a' , fi , it , Y et r', et encore de la combinaison des signes qui, dans la
formule (i), sont ambigus. Ces combinaisons, en nombre de quatre, je les
ai indiquées par la petite lettre (c) mise entre parenthèses à la tête du
symbole E, en sorte que

(i) signifiera la coml)inaison ,

(2) )) » » -| ,

(3) >^ » » h -

(4) » » » + +.

Première Partie. Livre III.

431

S'il est nécessaire de distinn'iier les dilTéreiits indices, j'einploiei'ai la
notation

Ainsi, pour donner un exemple, si l'on admet:
s = s' = I ; /J. = 2,; /^' = o ;

r = o,

et qu'on prenne les signes supérieurs c'est-à-dire la combinaison (4), le
coefficient aura la valeur

(4 1 1

ce qui est immédiatement visible par la formule (14, 1,1,5) du n° 5g.

Dans un second exemple, nous allons chercher, parmi les termes de
la formule (14,2,1,5), celui dans lequel les coefficients de /{rr — F) et de
/(tt' — F') sont respectivement +3 et +2. Evidemment, il faut prendre
la condjiuaison (4), et le coefficient du terme d(int il est question est donné
par l'expression

E;'

On obtiendra de même:

(11

iiii , 1 .1 =

8" ^'

18^' +4^'

(2)

J'adopte encore les notations que voici:

• p = s -f fl,
P = s' + //' ,
s = 91 + (p — 2r),

, s' = n ± (p' — 2r'),

ce qui me permet de rendre la formule (i) un peu])lus courte. Je l'écris,
eu effet, de la manière suivante:

(i') T{f,y/''é"') = Ey/îy'i''ef'i'--"-><-''''"t>'-^'--i<-'-'''+'r'(v-«)-.'v+„<.^-.o^

432 Traité des Orbites des Plauètes.

formule qui se remplace par la suivante

(i") T(/>Vy^'e'"") = E)y'':y'"'e"

-r)+iU(7-,r,)-s'v+«ui

On voit immédiatement que le degré du terme auquel appartient le
coefficient dépendant des indices s , s', /x et /ï , est déterminé par la somme

d = p + p'

= s + s' + /< + /i

Evidemment, il existe une infinité de termes dont les indices s et s'
restent les mêmes. Le groupe renfermant tous ces termes sera appelé la
synechie des indices s et s', et il convient de la désigner par le symbole

s,s'

y..

Encore, pour exprimer que différents termes appartiennent à la même sy-
nechie, je les nomme ternies coordonnés.

On voit facilement que les termes coordonnés forment une série infinie
procédant suivant les puissances et les produits des fonctions diastématiques.
Mais il faut remarquer qu'il y entre plusieurs termes du même degré dont
le nombre est, toutefois, fini.

Les termes coordonnés du degré le plus 1)as déterminent le degré de
la synechie; je les appelle ternies coordonnés 'principaux ou plus brièvement
termes principaux. Le nombre qu'indique ce degré étant évidemment égal
à la plus petite valeur que peut acquérir la somme p + p', je vais montrer
que la valeur minima de p + p' est égale à la différence s' — s prise
toujours positivement.

Dans ce but, il suffit de remarquer qu'on aura, en vertu des deux
dernières des équations (2), la relation

p + p' = s' — s + 2(r + r'),

ou bien:

p _|- p' = ,s _ s' -I- 2(r -f r'),

les différences s — s' efc s' — .s étant supposées toujours positives. Or, les
nombres r et r' étant toujours positifs, la valeur minima est, en consé-
quence, ou égale à s — s', ou, à s' — s.

l'i-cmi.'ir Puilic. Livre Ilf. 433

Concevons iniiintcuant (mi particulier les termes iiriiicipaux afin de dé-
terminer leur nombre.

En désignant par d le degré de la syneebie, il est aisé de voir que
les termes principaux sont au nombre de d + i.

En effet, les divei'S termes principaux étant différents des autres,
d'abord par les différentes valeurs de p et p', dont la somme est toujours
constante, on peut distinguer les coefficients

dont le nombre est évidemment d + i .

Si l'on a tixé les valeurs des trois nombres .9 , s' et p , on obtient
celles des nombres n et p' en vertu des relations

(3) s = n — p: s' = H + p',

supposé toutefois que s soit moindre que s'. Dans le cas opposé, ou doit
prendre :

(3') '5 = « + p; •'*' = " — p'.

Dans le premier cas, il faut prendre ])' tout au plus égal à .s'; dans le
second, p tout au 2>l'^is (^g^l i^i •''■

Au contraire, si les valeurs de s , s' et p' étaient données, on dé-
terminerait les valeui's de n et de p, en utilisant les relations indiquées.

Ces règles seront utiles lorsqu'il s'agit de cberclier les t(:'rmes d'une
certaine forme appartenant à une synecbie déterminée.

Pour rendre les cboses ]ilus claires, passons à traiter un exemple.

Supposons:

s = 2 ; .s' =: 5 ; p = 2

Le degré de la s_yneclne est 3, et il est évident qu'on doit prendre p'
égal à I .

Maintenant, les relations

n = .S' + ]3 ; « = s' — p'

donnent, toutes les deux,

n = 4.

Trailt: de fi nrhiles absolues. .^^

4o4 Traité des Orbites des Planètes.

Cela étaut, puiscju'ou a:

2 ^= s + /j; I =:: s' + H' ,

on doit faire successivement:

's = o,/z=2; s=i,/^=i; s=2; ^_i = o,

s' = o , /i' == I ; s' ^ I , // = o,

et chercher, dans les formules (12,0,0,3), (12,1,0,3), (12,2,0,3), (12,0,1,3)
(12,1,1,3) et (12,2,1,3), en _y faisant n égal à 4, les termes qui renferment
le facteur

On trouvera de la sorte les coefficients çf-'s"'''" , çî''£,^''' , - 5\'^ ,

2 4

- £2*''' , — - £^^'' , - , dont les produits par le facteur indiqué donnent tous

les termes de la forme envisagée.

Il convient de remarquer que la somme p + p' est un nombre pair
tant que la différence s — s' est paire; dans le cas opposé, p + p' est un
nombre impair.

Mais il peut arriver que les nombres s et s', tous les deux ou seule-
ment l'un d'eux, acquièrent des valeurs négatives. Dans un tel cas, le
degré de la synechie est encore égal à la valeur absolue de la différence
•S — s', et servent les formules (3) et (3') toujours à déterminer la valeur
de 11.

Soient par exemple:

.9=2; a' = — 2 ; p = I ;

il en résultera:

d = 4; p' = d — 1=3,

et nous aurons, d'après le,-; relations (3'),

n = i .
En introduisant ces valeurs dans la formule (i"), il viendra;

Fieniière Partie. Livre IIl.

et ])iiis(ju'()ii a:

I = s + /i, 3 = s' -f IL.

on doit chercher les dittercutes valeurs du coefficient Vj dans les formules

(1,1,0.0.4) , (i 3, '-">•*) , (13,0, 1,4) , (13,1, 1,4) , (13,0, 2,4) , (13, '.-.-i) , (13,0, J.4)

etc.

96. 8'il s'agit des ternies d'un degré jilus élevé ((ue celui de la
synechie à laquelle appartiennent ces ternies, il i'aut que les nond)res p et
p' satisfassent à la condition

p + p' = d + 2(r + r'),

d étant le degré de la synechie; tandis (jue r et r' représeutent des entiers
positifs pris à volonté.

On eu conclut que le degré d'un ternie ap])artenant à une synechie
donnée ue peut différer du degré de la synechie que d'un nond^re pair.

Mettons en évidence les quatre combinaisons auxquelles sont soumises
les deux dernières des équations (2). Nous aurons:

s' — ti ^ — (p' — 2r'),

s' — u = — (p' — 2r'),

•s' — H = p' — 2r' ,

s' — n = p' — 2r' .

En ajoutant les équations de chaque groupe, l'une et l'autre, il résultera:

s' — s = — (p — 2r) — (p' — 2r'),

.s' — s == p — 2r — (p' — 2r'),

s' — s = — (p — 2r) + p' — 2r' ,

s' — s = p — 2r + p' — 2r' .

1

n — s =

— (p— 2r);

11

n — s -=

P — 21- ;

m

Il — *■ =

-(p-2r);

IV.

n — s =

p — 2r ;

(4)

Cela étant, on peut prendre s' , s , p et p' à volonté, à la seule con-
dition que la somme p + p' S'oit paire ou impaire selon que la différence
est paire ou impaire; et encore ([u'elle soit plus grande ou tout au moins

436 Traité des Orbites des Planètes.

égale à la valeur absolue de cette différence. Mais pour rétablir l'égalité,
il faut attribuer à r et r' certaines valeurs positives, assujetties aux con-
ditions

p >^ 2r; j)' >l 2r',

Alors, les différences {) — 2r et p' — 2r' seront toujours positives ou nulles,
et l'on doit considérer celle ou celles des équations (4) qui seront satisfaites,
les valeurs de s , s' , p et p' étant données.

Supposons, pour étudier un exemple spécial,

s = 2; s' = 5; P = 3; p' = -•

Evidemment, les conditions nécessaires seront satisfaites, soit par la
seconde, soit par la quatrième des équations (4). On aura en efl'et:
i) si l'on choisit la seconde de ces équations:

3 = 3 — 2r — (2 — 2r'),

d'où il est visible qu'il faut adopter les valeurs

r = o ; r' = I ;

2) si l'on prend la quatrième des équations dont il s'agit:

3 = 3 — 2r + (2 — 2r'),

équation qui sera satisfaite de deux manières différentes: d'abord eu faisant
r ^= I ; r' = o, et ensuite par les valeurs r= o , r' = 1 . Mais ou s'aperçoit
sur-le-cbamp de l'identité de cette dernière hypothèse avec le résultat ti'ouvé
dans le premier cas.

Examinons un peu eu détail, les deux cas que nous venons de distinguer.

D'abord, les équations II nous donnent les relations

" — - = 3 ; 5 — " ■= o,

d'oîi il résulte:

« = 5-
Mais puisqu'on a

3 = s -f /i; 2 = s' + /i',

on doit chercher, parmi les termes des formules (14,0,0,5), (14,1,0,5),

Preiiiii'iX' l'artic. Livre III. 437

(14,0,1,5), . . . , (4,3,2,5), ceux qui, » pris l'^-ul à 5, dépendeut du facteur
varial)!c:

iJe la pivniicre des formules énunu'rée.s, un tire le eoelTieient çYs''/'^'; de

la secoude, le coctïicieut ç!/^ £'!,'•'''' \ etc.

Venons au second cas.

L'équation IV nous donne, en supposant r = 1 , r' = o,

11 — 2 = 1; 5 — ;< = 2,

donc, il faut prtnidre

" = 3.

Or, dans le cas présent, on a, outre les relations

3 = s + /i; 2 = s' + /i',

qui sont communes aux deux cas, les valeurs

n — s = I ; .s' — n ^= 2 ;

on doit donc chercher, dans les expressions énumérées tout à l'heure, les
termes qui ont pour facteur variable l'expression

Tj rj fi

On aura, par exemple, de la première des e.xpressions mentionnées: ç^'-'ô'*''.
Après avoir montré comment on détache, de la forme fondamentale,
les termes isolés appartenant à une syuechie donnée, je passe à trans-
former la totalité des termes de la forme mentionnée.

97. Il s'entend, par ce qui précède, que les termes d'un type donné
appartenant à la forme diastéraatique, se produisent en transformant diverses
parties de la forme fondamentale. Or, il convient de réunir tous ces termes
en un seul, ce qui sera, évidemment, possible. Dans ce but, on se rappel-
lera que les divers produits />'/>"" 6""' entrant dans le développement (;-)
sont multipliés par les coefficients N(« , s , s'),. y. En conséquence, pour
avoir le coefficient complet d'un terme dont le facteur variable est

Xe'

[(nq:(p-2r))(T-,i)-(»i + {p'-2r'))V + n(.^-':'')J

' 438 Traité des Orbites des Planètes.

il faut funiier la somme

(5) <'>(p, P', !•,••', "X. =-nN(«, s, s'X,. %-,_.,,,„ |,

en éteudaut la sonimatiou sur toutes les valeurs de s et s' (jui, à partir
de s = s' = o, ne surpassent pas s = p et s' ^ p' .

En faisant usage de la formule (5), on remarquera que le résultat
sera indépendant de s et s', c'est-à-dire que ces nombres n'entreront
pas comme indices dans le résultat, mais que l'indice n y reste comme
symbole algébrique.

Prenons pour exemple le terme du quatrième ordre dont le facteur
variable est

En inspectant les équations (13 , s, s', 4), et en détachant les termes du
type mentionné, on trouve, après avoir effectué les multiplications par les
N(tt , s , s'),„. que demande la formule (5),

(2)

(i(2 , 2 , O ,0,fl),y ■= - e:''~-s'^""''^f'-N{ll, O , oXy

+ ^ r,'-''-'4"---''^'-N(«,o, lly

4

— - çr''-'£r-^'^''N(«, 1, 1),.,.

4 ' ^ ^ '

+ g .^r'-'N(u,2,i)„,,

— ^ £V'-'^'^'''N('H, 1,2),,.
+ igN(u,2,2)„,,.

Pieniièie Partie. Livre III. 439

Evidemment, dans notre exem])le, il faut prendre

V = '/ = o;

autrement, le facteur dépendant des fonctions yj et jy' devrait être

Les formules servant au calcul des coefficients (I sont, comme on voit,
soit jxir l'expression (5), soit par l'exemple que nous venons de traiter, de
la, même forme, quelles cjue soient les valeurs de u et v'.

Qu'on remarque encore que les cinq indices p, p' , r,r et « détermi-
nent complètement, avec le nombre c l'argument du terme. Ainsi, jiar
exemple, l'expression complète du terme dont le coefficient est

(4)

(t(3 , I , I , o , !/)„,,',
sera :

On sait que la valeur du nombre c peut être 1,2,3 o^^ 4', ce-
pendant, si l'indice p est nul ou égal à 2r, les combinai.sons (i) et (2) se
réduisent, l'une à l'autre, et c'est de même ([uant aux combinaisons (3) et
(4). Egalement, si l'indice p' est nul ou égal à. 2r', les combinaisons (i)
et (3) ne diffèrent pas, l'une de l'autre, ni les combinaisons (2) et (4) non
plus. Si p et p' sont simultanément égaux à zéro ou à 2r, respectivement
à 2r', toutes les quatre combinaisons reviennent à une seule, et ce ne serait
plus nécessaire de les distinguer par la notation (c): je vais cependant,
dans ces cas spéciaux employer la notation (o). Mais on pourra éviter
cette notation encore si Fou emploie les indices p , p', .9, .s' et n. En effet,
la relation

(t(p , p', r , r', w)„,/ = G(p , p', .s , s', n),„.

sera légitime si l'on a déterminé la valeur de c en considérant les signes
de n — s et s' — n , et qu'on ait choisi les nombres r et r' de façon que
les relations

n — .s = + (p — 2r) ; .*>•' — n = + (p' — 2r')

440 Traité des Orbites des Planètes.

soient satisfaites, 2r étant toujours moindre ou tout au plus égal à p, et
2r', moindre ou tout au plus égal à p'.

Supposons, pour élucider le rapport entre les deux manières de dé-
noter les coefficients G,

p = 3, p' = 2, *■ = 2, s' = 3; n == i.

D'abord, puisqu'on a

n — s = — I ; .s' — n = + 2 ,

le cas considéré appartient évidemment à la troisième comljiuaison; et il
est encore clair qu'on doit prendre

Selon les circonstances, on. pourra donc se servir de l'une ou de l'autre
des notations signalées: la première, ovi l'on met, directement, la com-
binaison en évidence, est préférable lorsqu'il s'agit de termes appartenant
à une valeur indéterminée de l'indice n, et la seconde, s'il s'agit d'une
synechie déterminée.

Quand p est égal à zéro, on aura nécessairement aussi r égal à zéro
et s égal à. n. C'est de même quant aux indices p' , r', s' et ji .

98. Voici maintenant la liste complète des coefficients appartenant
aux termes jusqu'au troisième degré inclusivement. J'y adopte la première
manière à mettre en évidence les indices, et j'omets les indices u et v' qui
sont communs à tous les termes.

(Il)

Ct (o , o , o , o , vv) = N (» , o , o),

(1(1 , o , o , o , «) = — £';•''"' N(» , o , o) + - N(» , I , o),

a

(r{l ,0,0,0, II) = — ci*'-'N(« ,0,0)+ ' ]S[(» ,1,0),

in ,

(t(o , 1,0,0, 11) = ç';- "^N(;/ , o , o) -f - N(h , o, i),

(3) ,

G(o , I , o , o , 17,) = f "•' N (n ,0,0) + - N(w , o , 1 ),

Pieinière Piiitic. Ivivrc III. 441

(0) ,

(jr(2 , o , I , o , ii) = — s:''''"N{n ,0,0)—^ (£';*'■' + £';*■• ')N(y; ,1,0)

2 ^ ' '

G(2 , o , o , o , «.) = c;'*"'"-N(« ,0,0) — _^ £';*'•-' N (7/ , I , o) -f - N('H. ,2,0),

(2) [ I

Ct(2 , o , o , o , «-) = £7'-N(h ,0,0) £"*'■' N(h , 1 , o) + - N(j/ , 2 , o),

G(i , 1 ,0,0,») = — ç';'-'c',"-"^-'N(h,o,o) +^ci''-'N(», I ,0)

~ -£',""'»•"■- 'N (m, o, i) + 'N(m, I , i),

2 4

G(i , I ,o,o,«.) = — 6;''"'e',"^"^"''N(M,o,o) + Jf;''-'N(«, i ,0)

— '£("-"*'■• N(»,o, i) + iN(?^ I , i),

G(i , I , o , o , «) = — f ;'•' £;" + "^-'N(h ,0,0) + ' f '.'■'N(>?. ,1,0)

_i £(" + ■),,-. jj(„ ^ o . i) -f - N(» , I , i),
- 4

G(i , I ,o,o,w) = — e;'''£'i"+"^"''N(»,o,o) + ^e;'''N(«, I ,0)

(0)

G(o , 2 , O , I , «) = — erN(» ,0,0) + ^ (c.;'-' • + cr''--')N(» ,0,1)

+ 2N(»,o,2),

<') , j

G(o , 2 , o , o , w) = ?;''-^N(h ,0,0) + -fr''"'N(«, o, i) + N(h ,0,2),

(3)

G(o , 2 , O , O , «.) = c.^-N(« ,0,0)+;^ ^;' + '''N(» , o , i) + - N(». ,0,2),

7Vai7e des orbites absolues. eo

442

G (3 , o , I , o ,

G (3 , o , I , o , n) =

G(3 , o, o, o, «)

Traité des Orbites des Planètes.

£''»-'-^N (« ,0,0) — -^ (s^-" — s7-^')'^{'i' > I . o)

_ (Is'r'' + - £?'■') N(« ,2,0)+ |N(« ,3,0),

r;;^-'' N(w ,0,0) + ' (£?'-' — £r''')N(« ,1,0)

_ ('i e7-' + ~ s?'-') N(w , 2 , o) + I N(« , 3 , o),

;S^''-'N(« ,0,0) + 2 £7" 'N(m ,1,0)

._ ! £7.-'N(î? ,2,0) + ^ N(/? , 3 , o),

+ -!N(«,3,o),

G (2 , 1 , I , o , «)

G(2 , I , I , o, n) =

^„,-i^0,^i)v-,0]sj(^„^O ,0)

• ^„,-i^^(«-nç.-i _|. c("-iH-'')N(«, I ,0)

.1 3(n-l)v-,nN(,„ ,0,0 + -C'/'^'N^» ,2,0)

.1 (^g(«-iV,-i _|_ £("~'HM)N(» , I , l) + -'-N(«, 2 , l),

■ £;'■' 4" "^''^'"N^w, 0,0)

- -^ï'Vf'i"^"*''^' + s','"^ "*"'') N("', I ,0)

.!,(n+iv,"N(«,o, i) + '-?;'''N(w, 2 ,0)

.(£("+iv,-i _^ £("+''*'.') N (m, I , i) + -N(m, 2 , i),

Première Partie. Livre III. 443

(1)

(î(3, 1,0,0,..)= ^r'^r''^'-^N(..,o,o)-ifr",->v.-.N(„, r,o)

+ :; e<"-^--=N(u , o , I) + i f -'NCw ,2,0)
4 '

-^sr"^''-'N(/^ ,, I) +^N(«,2, i),

<^(3,i,o,o,«)= ^r'er"-=N(«,o,o)-ifr'sr''-'N(,.,i,o)

+ ^£r"*-'^N(»,o,,) + ifr'N(«,2,o)

^(2 , I , o, o, «) = ^r'sr"--^N(,., o, o) _ifio,;«...,~:N(.., I , o)
+ ^4"^"--N(«,o,i)+i|^..N(«,2,o)

4

_!,("+%.-.N(«,i,i)+iNC«,2,,),
G(2 , . , o, o, «) = fr''.r-=N(. , o, o) - l-.',^"+.v,,j^^^^^ , ^ ^^

+ 3£r"-^N(«,o,,) + ;-..N(v.,2,o)

4

-^£r'-'N(«, ,,,)+.^N(«,2,.),

(1)

G(, , 2 , o, , , ,,) = çr£r'-'N(n, o, o) - ' c^''NO^ , , o)

+ ^N(«,r,2),

444

(■-•)
(î(.

Trnité des Orbilcs des Planètes.

2 , o , i , //) = c-ï'" £?'■' N {n , o , o) — J ç;''" N (;/ , t , o) '
_l(^.Mi,-> _^ ,^;'-'->)£';v.'N(«,o, i)

+ '(,-;-M 4. ^iM.,-.)N(«., I , I) — j2r'N(«,o, 2)
4

+ - NT», I , 2),

G(i

'N(y/,o,o) + ^ç.r'N(«, I ,0)

— :;^i

..-1,-1 ^(«-2v-,-l AT

N(«,o, i) + ,çr'-'N(«, I , i)

G(i

— ^ £',"-'-''^'-'N(-K , o , 2) + ^N(« , I , 2),

,0,0,») = — c;'''"'-' £',""'■■*'■' N(« ,0,0)+- <f.:;'^-N(y/. ,1,0)

^cr''-'^r^'^''N(»,o,i) + i?r''-'N(»,., .;

£("-%-,! N(«,o, 2) + ^N(«, I , 2),

(:0

G(i

2,0,0, )/) = — ?;■'-'£',"+'-' ^■"' N(» , o , o) + - ç:"N(n ,1,0)

'£V' + -^''"'N(«,o, 2) +-N(//, I
4 û

G(i , 2 , O , O , «) = — c.;;''c',"+"*''' N(/i ,0,0) + ^ ç,;''N(« ,1,0)

— -,?;'+'■' £',"^"'''N(»,o, i) + -s-r'''N(«, 1 , i;

_ ! 3u-+-iv,i ^ („ , o , 2) + ^^ N (« ,1,2),
4

PiciiiitiL' l'iiitit'. Livre III. 445

G(o,3,o, I ,;,) = _ç;;. 'N(«,o,o) + ^^ (ç-"' - — ^r '■")N(«, o , i)

+ il er' + _^cr-') n(» ,0,2) + 1 n(« ,0,3),

G(o, 3,0, I ,») = — ^;;''N(m,o,o) + J(çr''- — cr''")N(»,o, i]

+ [^ 11"' + _^r' + -^-')N(«, , o , 2) + ^^N(v/ , o , 3),

Gr(o , 3 , o , o , ?i) = Ç3'"'N(// , o , o) 4- - ç." '■''N(». ,0,1)

+ ^çr'-^N(«,o,2) + ■N(»,o,3),

G(o , 3 , o , o , n) = C3''N(h , o , o) + J c;;^'-N(/i ,0,1]

+ -cr''"'N(«,o,2) + -N(«,o,3).

Bien qu'un ait continué le développement général de pareilles for-

(c)

mules des coefficients (j(p , p', r , r' , ») jusqu'à p + p' = 5, je ne tiens
pas convenable de les reproduire à cette place. Elles sont, en vérité,
très compliquées et elles occuperaient, en consé(]uence, beaucoup de place
sans qu'on eût l'occasion, sinon dans les cas. exceptionnels, d'en faire usage.
En revanche, je vais donner, dans une partie suivante de ce travail, les
expressions de divers coefficients appartenant aux syuechies les plus im-
portantes, en étendant quelquefois le calcul même aux termes du sixième
et du septième degré.

99. La forme diastémati([ue du dcvelo])pement par laquelle sera re-
présentée la fonction N , devient, après les transformations indiquées, la
suivante :

446 Traité des Orbites des Planètes.

(6) N = ZZZZ I (l(p , p', r , r', o)„,„^^^'" "^^ [+ (p - 2r)(;r - F)

± (p'- 2v'){7r'- I") + (p - 2r)(v - ro) + (p'- 21-') V] j

■ - ZZZZ JG(p , p', r , 1-, o),,rrr/''^^{± (p - 2r)(;r- /')

± (p- 2 !•')(-'- /") + (p - 2r)(v - ô)) + (p- 2r')V] j
+ ...

+ ^rZZZÏ j(i(l., p', r, r', <„^>'^"> '^[± (p - 2r)(r- /■)
± (p' — 2 !•')(-' — /") + {n + (p — 2r))(v — S)

— (" ± (p' — 2r'))V + H\ro — w')]|

- ^rzzsz I <"up , p, •■ , v, '0,,»'j""-''?"' '^' [± (p - ^-r){^ - /■)

11 = I 1 *'li

+ (p' — 2r')(;r' — /") + (« + (p — 2r))(v — û>)

— (m + (p' — 21-')) V + n{w — cô')]
+ ....

Après avoir établi cette expression générale, je vais l'appliquer, ainsi
que les formules du dernier numéro donnant les divers coefficients G, à la

représentation des fonctions -(i — >9^)P'"'' , ''AO""' et '-ll""\ Dans ce but,

(c) (c)

je vais désigner par A(p , p', r , r', ii).,y ce que devient 2G(p , p', r , r', ■w)„„.
lorsqu'on y^ met — «Q'" (" , s , s')„ „ à la place de N(k,s,s')„„. Egale-
ment, en changeant N(« , s , s')„,y en — f" (« , s , s'), ,• , dans les expres-

sions des G, je désignerai le résultat qui en découle par B(p, p', r , r', n\y .
On doit toutefois excepter le cas où n est égal à zéro, cas dans lequel on
doit prendre G au lieu de 2G. En introduisant, finalement, dans les for-
mules mentionnées, {m -f i)ll"'{ii , s , s')„, au lieu de N(?2 , s , s')„„ , j'em-

(c)

ploierai la notion C(p , p', r , r', n)„.^ pour exprimer le résultat ipi'on ob-

Prcniièiv Partie. Livre III. 447

tiendra ainsi relativement à (f ou à 2G. Nous aurons, do la sorte, les trois
développements

(7) ;^ (i - ^^)P^"'> ^ V I l'ifp , p', , , ,', lOo..^^'"' cos [± (i, - 2r)(r - F)

± (p' — 2r')(-' — r) + {:n + (p — 2r))(v — S)
— (" + (p' — 21-')) V + v[m — <T)')] j

(8) Jj.Q""> = L I A(p , p', r , r', "),v,'7"r/" ^in [+ (p - 2r)(r - F)

± (p' — 2r')(;r' — /") + (h. -+ (p — 2r))(v — «>)
— {n + (p' — 2r'))V + n {â, - ,r,')]\

(9) ^7 H'"" = r I c(i' . lA 1- , !•'■ ")..,«''/'-''/"■ '•"«[+ (p - 2r)(- - n

+ (p' — 2r')(7r' — /") + {n + (p — 2r))(v — â
— {n ± (p' — 2r'))V + i/{cT, — ôy)]\

De la même manière, on pourra représenter toute autre fonction de
même nature que les P""' , Q""' et R'"'*, par exemple les II',,,, moyennant
la forme indiquée. On pourrait même l'employer aux développements des

mettre en usae^e, pour représenter ces fonctions-là, les formules suivantes:

fonctions '4(i — 57'')?'""' , '—(2""' et '4 H'""*; mais il convient mieux de

(7') 5(1 ->y'^)P''"" = V } B(p , p', r , r', »0:,,„r/;y"'' cos [+ (p - 2r)(;r - F)

± (p' — 2r')(-' - F') + ('«. + (p — 2r))V'
— {n + (p' — 2r'))(v' — o/) + n{ô) — cT/)]]

448 Traité des Oibites tics Planètes.

(8') j;-^Q''-= VrA(p,p',r,v',<„./,y''' .m[+ (p- 2r)(;r-r)
+ (p' — 2r')(7r' — F') + (n + (p — 2r))V'
— (" ± (p' — 2r'))(v' — ô>') + V {â> — <7)')] I

(9') '4 R""" = r rC(p , p\ r , !•', »):,,o V>/'"' t'"S [± (p - 2r)(;r - /')

/'A-

± (p' - 2r')(7r' — /") + (" + (p — 2r))V'
— (« ± (p' — 2r'))(v' — w) + n{w — w )]j

loo. En dénotant par (i(p , p', r , r', î?)„'y le type général des coeffi-
cients entrant dans les formules (7') , (8') et (9'), il s'agit d'en établir les
expressions analogues à celles que nous venons de donner dans le n° 98.
Pour y arriver, il faut consulter les règles, indiquées, soit dans le n° 58,
soit dans les numéros suivants, pour établii" les développements des pro-
duits p^p'^e*"^, les angles V, (v' — ô)') et 55 — Si' étant pris pour argu-
ments. D'après cela, on obtiendra aisément les expressions suivantes:

(0)

(jr(o,o,o,o,«.)' = N'(w,o,o), %

(1) J

G(i ,o,o,o,?i)' = 6"''N'(«-,o,o) + - N'(w, 1 ,0),

(2) ,

G(i ,0,0,0,»)' = cî'^'N'(«,o,-o) + - N'(«, I ,0),

(1) ,

G(o , I , o , o , «)' = — b"/-' W{n ,0,0)+- N'(" ,0,1),

(3) ,

Gr(o, I ,o,o,w)' = — s;'*-"'"'N'(m,o,o) -f -N'(m,o, i),

Première Partie. Livre III. 449

(0) ,

(1(2 , o , I , o , ri)' = — Ç2'"N'(« , o , o) + ,(?;'+'■-' + er'-')^'{n , i , o)

+ - N'(« , 2 , o),

G(2 , O , O , O , n)' = f.î'^N'(« , o , o) + -' ?;'+'■' N'(« ,1,0)+- N'(w ,2,0),

(21

G(2 , o , o , o , ??.)' = c."'^'N'(b ,0,0) + ^ f r''-'N'(w, 1,0)+' N'(y/, 2 , o),
¥ 24

G( I , I , o , o , «)' = — 6;''' £("+'V.' N'(» , o , o) — i £<,"+"*"■•' N'(« ,1,0)

a(i , I , o , o , «)' = — f ;'■-' £'r"'''''N'(" ,0,0) — ' £',"-"^''N'(«. ,1,0)

+ ; ?;'•-' N'(w ,0,1) + ' N'(w ,1,1),

(3) ,

G(i , 1,0,0, «)' = — ÇÎ'' £';'^"i"''~' N'(» , o , o) — J g("+iK''-. N'(h ,1,0)

+ -'61'''N'(«,o,i) + 'N'e«,i,i),
j 4

G ( I , I , o , O , «)' = — ^l''-' £<;-■ v,-i n'(m ,0,0)—^ 3(.-i v.^i n'(m , , , o)

+ ^ e"'~'N'(w , o , i) + - N'(h ,1,1),

(0)

G(o ,2,0, I , w)' = — s^'^-'^N^w ,0,0)—- (£';"■■-' + sf'')ls'{n ,0,1)

+ ^ N'(« ,0,2),

(1) j ,

G(o ,2,0,0, h)' = £^^'''N'(w ,0,0)—- £Ï^''' N'(w , o , i) + - N'(« , o , 2),

(3) , ,

G(o, 2 , o, o, n)' = £^*''"'-'N'(rt,o,o) £';^'^^N'(«,o, i)+ - N'(« , o , 2),

2 4

Traite des orbites absolues. e;7

450 Traité des Orbites des Planètes.

S(3 , o , I , o , il)' = — $;■' N'(« ,0,0)—^ (ç.r '•" — ç.r'-)N'(«. ,1,0)

+ (ie;'.> +i,^;'+^.->)N'(«,2,o) +3n'(»,3,o),

(5) ,

G(3 , ô , I , O , «)' = — $:-^'W{n ,0,0)—- (c.r''" — ?.r''"')N'(» ,1,0)
G(3 , o , o , o , v)' = Ç3'-''N'('H ,0,0) + - 6.j + ''-N'(« , I o)

(2) j

G(3 , O , O , O , «)' = f ^•-■'N'fH. ,0,0) -(- - if.r''"-N'(«. ,1,0)

0(2 ,1,1 ,o,«)'= ?.:;■" s7''N> ,0,0) _i (,£-'.' + ,^;'+'.->)ç';V.'N'(«, 1 ,0)

— l e;'"N'(w ,0,1)—^ £'/^-''' N'(« ,2,0)

0(2 ,1,1 ,o,h)'= i;''''cr''-'N'(«,o,o)— ^(cr'''+c"+''-')£r-'N'(«,i,o)

— '- c:'"N'(» , o , I ) — i sr-'N'(>/ ,2,0)

+ - (cr-'' + cr^''-')N'(w ,1,0+^ N'(» , 2 , i),

4 4

G(2 , I ,0 ,0 ,«)' = — f;''=£',"+^'^''N'(«/ , o , o) — - e;'+'''£("+^'^'''N'('H ,1,0)

+ 1 e;- N'(« ,0,1) — - £<''+'-'^''^ N'(«. ,2,0)
+ ',-;'+'■' N'(//, 1,1) +^N'(»,2, 1),

Première Partie. Livre III. 452

+ ~ s-?'-' N'(/. , o , I ) — i s»"-^v.' N '(>i ,2,0)

+ _^ ?;'--'■-' N'(«, 1,1) + ^;;n'(«,2,i),

+ :^ c:- N'(« ,0,1)—-' ç("+^v',-. ^v,, )

4 \ ' /

+ ^s-r'''N'(«, 1,1) +^N'(«,2,i),

+ ^c."'-'-'N'(«,o, ,) — i £<"-=)/,-. N'(,,, 2,0)
4

+ _Jçr'-'N'(», I, i) + ^N'(«,2,i),
(I)

(i(i , 2 , o , I , «)' = — ,-;'■• £>;+>'v-.0N'(/^ 0,0) — ^ 4"+ '^•■■"i\'(«, 1,0)

4

+ ^N'('M,2),

— 3 c^ -•(£;"-'"■■■' + £r^"^'-')N'(«,o,,)

_i (,..-..•,. + sr"--jN'(., . , .) + ^ -.-N'(.,o, 2)
+ -'N'(«,i,2),

4

452 Traité des Orbites des Planètes.

G(i , 2 , o , o , n)' = ^ï'' 4" + "^''-N'(« ,0,0)+:^ £.^"+'^^- '-N'C» , i , o)

4

+ ;J,^1"'N'(«,0,2)+-^N'(«,I,2),

G(i ,2,o,o,y/)'= c;''-'£!;'-"*-'-N'(m,o,o) + ^ £Î,"-"^''N'(«, i,o)

— -?';■-' £i"-"^'''N'(H,0, l) — -'£r-"^''N'(K, I, l)
2 4

+ ^çr>N'(«,o,2)+-^N'(«,i,2),

(3) ,

G(i ,2,o,o,n)'= f;'''£'2"^"^'-^N'(«,o,o) -|-;;£.î,"+''^''-=N'(«, i,o)

— ^?;'''£r^"''^'N'(«,o, i)— -£V'+"^-'-'N'(«, 1, i)

" 4

+ ^r;''N'(«,o,2) + ^N'(«,i,2),

G(i , 2 ,o ,o,«.)'= çl''-'£l"^"*''-'N'(«,o,o) + i£("->H--'^N'(«, I ,o)

— ; fî'"'£r ''*■■■"' N'(«, o , i) — ' £l"-"^'-'N'(«, I , i)

+ ^fr'N'(«,o,2) +iN'(«,I,2),
4 o

G (o , 3 , o , I , n)' = s^-' N'(«- , o , o) + ^J (£7'- — £?'■") N'(w , o , i )
-{^e'--' +^£;--')n'(«-,o,2) +|N'(«,o,3),

(3) ,

G (o , 3 , 0 , I , m)' = s7-~' N'(w , o , o) + - (£i"''''-- — £^'^--"') N'(« , o , i )

3 xTv

+ -£r''jN'(«.,o,2) + |N'(«,o,3)

l'n'iiiii'ie l':ii(ic. Livre III. 45."

'" I I

G (o , 3 , o , o , II)' = — s"/ '■' N'(/i , o , o) + ; z7 ■'-■ N'(" , o , I ) s"/'^ N'(« ,0,2)

4

+ 'N'(">".3),

(j(o , 3 , o , o , II)' = — z;^'-^^ N'(«,o,o)+ ~ j7'--'N'(" ,0, i)— s';*-' -'N'(«,o,2)

4

+ ^N'(«,o,3).

(r-l

L'argument (Vuii terme avec le coefficient (i(p , p', r , r', «)' t'st, d'après
les é(iuations (7'), (8') et (9'), celui-ci:

± (p - 2r)(-- 70 + (p' - 2r')(-' - /") + [n if (p - 2r)) V
— (« ± (p' — 2r'))(v' — û)') + n{iô — û)'),
c'est à dire:

dans la cumb, (i): _(p_ 2r)(-— /^-(p'— 2r')(-'— i") + (« + (p— ^''O V'

— (" — (p' — 2v')){\' — w) + n{ïô — ô)').
); » ); (2): +(p^2r)(7r-y') — (p'-2r')(-'— 7") + (« — (p-2r))V'

— (" — (p' — 2r'))(v' — û)') + n (w — w'),
» ^> » (3): — (p— 2r)(7r— iO + (p'— 2i-')(?r'— /") + 0' + (p— 2r))V'

— (h + (p' — 2r'))(v' — V)') + «(w — ô)'),
» » » (4): +(p— 2r)(7r— r) + (p'— 2r')(-' — r') + (« — (p— 2r))V'

— (« + (p' — 2r'))(v' — û)') -\-n{ô) — w).

iVIais au lieu de ces quatre expressions différentes, ou j^eut utiliser
celle-ci :

{n — s)(;r — /') + (s' — n){Tr' — /") + sV — s'(v' — w') + w(â} — w),

qui remplace seule, sans anibiguité, les quatre précédentes. Ayant ado^^té
cette expression de l'argument, il convient de désigner le coefficient par
le symbole G(p , p', s , s', n)' , analogue à celui que nous avons introduit
au n° 97.

454 Traité des Orbites des Planètes.

Quant à ces argumeuts, il faut encore rappeler ([u"on a écrit partout,
pour abréger, V au lieu de V + U et, V au lieu de V + U' (voir la
remarque qui précède les formules (4 , s , s') du n° 56).

10 1. M. Masal, dans son mémoire: Formeln und ïafeln zur Be-
rechnung der absoluten Stôrungen der Planeten, a exjjrimé les coefficients
A( ) et B( ) d'une manière sensiblement différente de celle que nous
venons de mettre en usage. Néanmoins, la forme employée par le savant
nommé dérive directement des expressions que nous avons mises en évi-
dence. Il suffit, en effet, pour établir la forme de M. Masal, d'introduire,
dans nos expressions des coefficients G( ), les développements suivant les
transcendantes ;-"''", des fonctions N {11 , s , s'), développements dont le type
est donné par l'équation (24) du n° 78; et encore, de remplacer les coeft'i-
cieuts eJ'" et $"'•'' pur leurs expressions dans les n"^ 29 et 30.

Tant que la somme des indices p et p' est un petit nombre, les sub-
stitutions indiquées s'opèrent avec une grande facilité, et ou parvient de
la sorte à des résultats assez simples ; mais à mesure que ce nomljre aug-
mente, la déduction des formules demandées paraîtra plus laborieuse, sans
que les résultats obtenus l'emportent essentiellement sur ceux que nous
venons de donner dans les derniers numéros. M. Masal a étendu ses
transformations jusqu'aux termes du troisième ordre par rajjport aux fonc-
tions diastématiques inclusi:vement : pour donner un écbautillon de la forme
employée par lui, j'emprunte à son mémoire, les expressions des coeff'icients
appartenant aux termes du premier degré et du degré zéro.

Les voici :

(0) ,

A (o , o , o , o , m) = — 2 «;-',■" ,

m

A(i ,0,0,0, h) =- [{li^ -t- 2») — 2/tY];'o" + -'T'i'")

A(i ,0,0, G, m) = [{n'' -\- 2h) + 2My];-,V" + ->'t\'" ^

(Il

A (g , I , O , G , «) = n (m I ))-l''' 27tf/' ,

(3)

A(o, 1,0,0,7/) = — n{sii + i)ri'r" — ^"fi'" ,

Fremirre Partie. Uvre III. 4").')

(0)

B(o, 0,0, O, «) = 2>iy];" + 4;-|'",

(n

B(i ,o,o,o,w) = — [n^ + n — 2«Y];-,V" — [411 + 6 — 4''f'^]/-l'" — 8;-.''",

(2)

B(i ,o,o,o,w) = — [11'^ + " + 2«V];-,V" — [4" + 6 + 4«c'];-l'" — ''^;-2'" ,

(I)

B(o, I ,o,o,m) = — "(" — ■)/'"'" + ''^?'l'" + ''^ri'",

B(o, I ,o,o,«) = (3w' + »);-;,■" + (8« + 6)j-\-" + 8^1-".

Pour avoir les formules sp rapportant à la fonction porturbatrice
complùte, il faut mettre, dans les expi-essious signalées, ;-,'•' a^ au lieu

de ry-

Si n est égal à zéro, il faut observer que seulement la moitié des
valeurs obtenues au moyen de ces formules doit être mise en usage.

Mais il convient d'ajouter aux ])récédentes, les expressions analogues

des coefficients C( ), ce qui nous donnera occasion d'élucider, par un
exemple, la manière d'obtenir les formules de M. Masal.
Nous avons d'abord :

0(11 (w, 0,0) = y!;",

G(U('rt, 1 ,0) = — {n + 2,)ro" — ^r\'\
«uc^»,o,i)= (» + 2)ri'^- + 2fr,'

formules, où les deux indices v , v' sont partout égaux à zéro et par cette
raison supprimés, et où l'on doit mettre yY — a'' au lieu de flf , afin
que les R se rapportent à la fonction perturljatrice complète.

Ensuite, nous aurons, par les formules des numéros 29 et 30,

s^'v'.-i = _ n(r, ^'1'-' = — n,

' Los viileiir.': ilnunri's ilaiis lo U'xlc se troiivoiil ilrji'i dans le niémoire de M. Harzkr.
On les (Irduit aisrnicnt, en faisant, iisaii;e des rrules ipie nons venons d'établir dans les deux

456 Traité des Oibites des Planètes.

Maintenant, si nous introduisons, dans les cinq premières formules du
u° 98, les valeurs signalées, après y avoir remplacé N(w,s,s') par 2R(w,s,s'),
il eu résultera:

(0)

aC(o,o, 0,0, w) = 2j-l-\

chapitres précédents: je vais en reproduire le calcul pour donner un sjiéeinicn de l'applica-
tion de ces règles.

On aura d'abord, par la règle donnée vers la fin du n° 79,

.<3'0-.,o,o)= ri'"' />•(., 2,0)= '"^"+'^-:;'" + (2. + 3)r.'"+4^'^

^'(,,,,0,1)= {n. + 3)//' + 2fl-\ Si' (n, 0,2)=. " '^^'^'^-ro" + {2n. + 7)yV' + 4n'''-

Puis, en utilisant la formule (20) du n° 86, ou parvient aux valeurs

a r'{n, 0,0)= yT,

a>''(>i., I ,0) = — (j) + l);-o'" — 2;-,''",

ur\n,0, l) = (il + 2)yl'"- + 2yY\

ar\n , I , I) = _ {n"- + 3», + 2)/,'" — 2{2n + 5);-^'" - 8^''",

ai\ii,o,2) = -^ — ri'" + {2n + s)rv + An >

au moyen desquelles on obtient, par l'équation (26) du u° 87, les résultats signalés dans
le texte et encore les suivants

«R(», 2 ,0) = "'^ + 7»^+'^ ^3,n _^ (2,^ _^ ^^^3,,, _^ ^^..n^

«R(w, I , I) = — («' + 5« + 6)rT — 2(2)1 + 7)rl'" — S;-?;",
«R(»,,o, 2) = >^' + 3» + 2 ^3,„ _!_ ^^^^ _^ çj^,j,« _^ ^^Y,

qui ne diffèrent de ceux de M. Harzer que par la notation des transcendantes jY ; en
effet, il a écrit «;-','" au lieu de ;-,'"

Première l'iulie. Livre III. 457

(Il

aC( I , o , o , o , «) = — [n + 3 — 2/;^^] ;-;','" — 2fl-" ,

(■-•)
otC(i ,o,o,o,«) = — [tt 4- 3 + 2nç]f,l'" — 2;-i''",

(1)
ctC(o, I ,0,0, h) = [ — n + 2] ;-■;•" + 2J--1'" ,

(SI
aC(o, I ,o,o,'«) = [31/ + i]-^'^-" + 2j-'l'".

Lors(|iie n est égal à zéro, la transcendante y','" (^loit être changée en -j^,'" — a'\
et les formules indiquées divisées par 2.

102. Les différentes synechies étant des agrégats périodiques, on
peut les représenter moyennant des produits de deux facteurs dont l'un
reste toujours, sauf dans les cas exceptionnels, positif et plus grand que
zéro, et l'autre est une fonction trigonométrique ayant pour argument initial
un nouvel agrégat périodique.

Pour y parvenir, supposons qu'on ait exprimé les huit fonctions
;ycos(7r — F), ly sin (tt — F), r/ cos{~' — /''), :y' sin (-' — /''), Icos{ii — 0),
/sin(ij — 0), J'cos(i^^' — 0') et l'm^^ii' — 0'), dont les quatre dernières
apparaissent dans les expressions des fonctions (l>^ , (I>^ , <l).^ et <l>. cpie nous
avons introduites dans le n° 93, moyennant les formules (19) du n° 9 et
(48) du n° 23.

Rappelons-nous ensuite que l'angle V est donné par la formule

V = (f{v — w) + L
= f{y — ôj) + L,
et l'angle oj par celle-ci:

to = c(r — .1) + /';

nous aurons, par rousé([ueut, en admettant la notation

_^_
I —
d'où

- = s — se

;io) A=- s(i — ç) — i-'/i(i — ç').

Traité des orbites absolues.

458

la relation

0^)

Traité des Orbites fies Planètes.

.s'(v — G)) — s'V = — — ((; — io) — s'\

= Iv + -^/l ^'^r— s'L.

I — e I — e

Après avoir ainsi détermiiu' la partie principale de rargnment, on parviendra
à représenter la synecliie des indices .s et s' par un résultat de la forme

(12)

c

2-v s

h. ]).,

(^0,

les «j , «., , . . . ainsi que les o', , ^^ , . . . étant de petites quantités con-
stantes de l'ordre des forces perturbatrices, dont les premières sont encore
multipliées par certaines puissances des coefficients diastématiques et anusté-
matiques, et les Z», ,/>.,,... , des angles constants dépendant de .1 , /]', F, F',
Q et 0'.

Mais l'expression (12) se réduit en un seul terme, en appliquant la
méthode de transformation indiquée dans le n° 6. Soient en effet:

",

"n

£ COS â =

C

^1 — ^

(T., — n

-A - ''

h, - h

".

(t„

£ sin â =

S

rr, — a

n.j — n

L - h

l>, — ^'

(13)

nous arrivons facilement aux résultats

(14) Zi^ = £ cos((/ + rr)v + h + 0),

ou bien

(M')

(■"),

'"),

Zv = £siu((A + ^)?' + h + â):

Première Fartie. Livre IIJ. 459

, , ,, . , discoaff) . ilisHhi fi) . , ,

et iiiMis sutiposou.s (lue les (UTivces ' et -^—, fsou'iit cU' iJL'tites

' ' ' dv dv '

(luiuititôs (lu deuxième ordre ])in' ra[)])()rt ;iux forces troul)l;intes, vu ([u'untrc-

raent lu traiisforraatioii serait sans succès. Evidemment, les constantes rr

et b , dont nous supposons la première du même ordre que les o-, , ct.^ , . . .

pourront être choisies de manière (jue 0 devienne exempt, soit du terme

constant, soit du terme séculaire.

Par ces suppositions, on comprend aisément que le j)remier terme du

second membre de la formule

(15) /c eos((^ 4- ^),; 4- /, + i})dv = j^sin ((A + t)o -\- h + Û)

-^ f.iu{(?. + a)^, + ù)'^^do

À + (T J ^ ' dv

À + (T I dv

l'emporte beaucoup sur la somme des deux derniers, tant que À est une
quantité de l'ordre zéro; c'est-à-dire notablement plus grande que a, en
sorte que ce terme donne une valeur approchée de l'intégrale proposée.
Les deux derniers termes sont en effet, on l'entend facilement, des quantités
du deuxième ordre. Mais si au contraire, X était aussi une petite quantité,
comparable à o-, , t^ , . . . , le premier terme du second membre ne donnerait
plus la valeur appi'ochée de l'intégrale. Pour parvenir à une vraie approxi-
mation dans un tel cas, il faut d'autres méthodes d'intégration; et avant
tout, il ne faut ])as alors oublier que l'argument renferme le terme — s'U.
Ce que nous venons de dire s'applique aussi à la formule

(15') fs Siu ((A + rr}V + h-{-())(h = — j^ cos ((/ -}-^)v + b + 0)

Le premier terme du second mendjre donne encore la valeur ap])rochée de

460 Traité des Orbites des Planètes.

riutcgrale formant le premier membre, toutes les fois que X est notable-
ment plus grand que les o^ , rr.^ , . . . .
On aura également:

(16, a) f<Iv j\ co^{{X + <7] V + h + â)(h^

y(£cos/y),,,.

—, / sin (U + ^)" + à)^ ^dv

a)' I ^ ' dv

(^ +

ainsi i[u'une ftjrmule analogue exprimant la double intégrale sur la fonction

£ sin ((A -\- (r)v -]- b -{- â), savoir

(16, b) /"'^"j'^ '^'" (''^ + ff)'' + ^> + ^^)

+ jy:^. /^sin ((A +.). + /; + ^) "^^^ dv
(^' + '^) J

+ wh^'\'-<^' + ^^^- + ' + ')— a

dv
l (s siii 6)

h

iv

/. + <T ] I ^ dv

Premioie Paitie. Livre III. 401

Dans les seconds mcinhrcs de ces fiinnulcs, les termes affectés de la

sit;-iie j sont ('\ideiiiiiieiit des (|uantités du second ordre, supposé toujoui'S

(|ue ?. soit une (juantité de l'ordre zéro.

De ces résultats, nous allons tirer une consé(|uence importante.

En multipliant l'éc^uation (15) p;ir la (piaiitité cpii apparaît, dans son

[)reuiier membre, sous le siyne / , il viiMidra:

(17, a) c cos((/', + ff)v + A + Û)fs cos((/ -{- rr)o + Ij -{- Û)i/r

les termes qui ne sont pas mis en évidence étant (Ui troisième ordre.
Nous aurons de même:

(17,])) s sin {(X + fT)v + b + 0) fa siu {(k + ^)/' + A + 0)di)

= — ^ j^sin 2((/ + ^)^; + /> + ft)

et encore:

(1 <S, a) c sin ((/ + n)o + Ji + fi) fdo fs cos (fA + rr) n + I> ^ (f)dv

= — ' Tj-r-v^'^'" -('^' + 'T);' + /> + II]

2 [A + 0)

(18, 1)) £ cos((/^ + ^)'- + /> + II) fdr j'i sin ((/ + ^);' + /> + ^^)r/r

i'uisipie k's premiers termes de droite, dans les cpiatre l'orniules (17, a),
(17, b), (18, a) et (18, b), ont pour argument le double de {X -\- a) v -\- h -\- 0 ,
et que les termes su])primés sont toujours du troisième ordre, on conclut

462 Traité des Orbites des Planètes.

que les termes sousélcmentaires qui peuvent se produire dans les seconds
membres sont tout au moins du troisième ordre.

On jxu'vient à un résultat analogue eu examinant la question suivante.

Supposons d'abord qu'il s'agisse de déterminer une quantité R par
l'intégration de l'équation

(19) ~! + (i —i3,)n = s cos((;. + n)v + b + â),

s , À , (7 , h et Û ayant la même signitication qu'auparavant, et y3, , celle
d'une constante du premier ordre On en tire, après avoir posé:

(20) n =-- ^_^^^^(;^^.cos((/ + 0)0 + /> + û) + ç^

l'équation que voici:

/ N <'''<f , / n\ 2O. + ff) ■ ,, , , ,^./(eeos^)

fr'(cfos^y)

,vcos(a 4- 't)^ + Z/)-

Kn intégrant cette éipiation, il viendra, relativement à ^^, si Pi n'est
pas trop près de l'unité, de sorte que i — ^ yî, — (A + ^)^ puisse être
considéré comme une petite quantité du premier ordre, un résultat du
deuxième ordre.

Admettons ensuite qu'on soit obligé de former le prodidt de la l'onction
R par le facteur

Q = Csiu((Â + ^);> + i, + â^),

C étant un coefficient variable de la même nature que s , et h^ ainsi que
^, , des quantités peu différentes de b et de Û, de sorte cpu' la ditt'éreuce

Première l'iutic. Livre III. 4G3

(|ui est exempte de terme séculaire, ])uiwse être considérée comme une (|iian-
tité du premier ordre.

En effectuant la multiplication, il viendra:

+ sin (A, — h + (\ — 0)\
+ ^<sin((A + o)v + /;, + 6,),

résultat qui montre qiie les termes sousélémentaires, se produisant dans
l'expression de TK^ , sont tout au moins du troisième ordre.

1.»
103. Il convient de considérer en particulier la synecliie 2lv , et de
la réduire à la forme fondamentale.

Prenons d'abord l'équation (6), et introduisons y:

+ (p — 2y) = 11 — I ; + (p' — 2r') =- '1/ ,

ce qui revient à mettre :

,s- = I ; s' = o.

Il s'ensuit la condition

+ (p — 2r) + (p' — 2r') = I,

à laquelle sont assujettis les quatre indices p , r , p' et r'.

Evidemment, en attribuant à n les valeurs 0,1,2,..., on aura:

pour « = o: ]) = 2r -}- I ; p' = 2r',

» w ^= I : p ^= 2r ; p' = 2r' + i ,

» Il = 2: p = 2r + I ; p' = 2r' + -,

» n = 3 : p = 2r + 2 ; p' = 2r' -|- 3

etc ,

4(54 Traité des Orbites des Planètes,

et ]'é(ju;iti()u (6) prend maintenant la forme suivante:

(22) N == ZZZZ(- ir^'i^(2r + I , 2r', r , r', o),,r/^+'+^V/='-+^"- .

sm ' ^ ' '

+ 2Z2:ZZ(- irS(2r , 2r' + i , r , r', iX,,r/'-^=V/-"-+'+-'

+ 2i;Z2:r(- 0"<>(2V+ ■ , ^r' + 2 , r, r', 2)„,,ry-+'+'^V/'-"-+'^^'^'

+ 2ZZZZ(- ir<^'(^'- + 2 , 2r' + 3 , r, r', sX.T' ''''>r''''''

+ . . . .

Cela étant, nous allons mettre en évidence les ternies, jusqu'au troi-
sième degré inelusivement, faisant partie des fonctions -(i — ;^^)P"" et

-Q'"'. J'écris ces termes de la manière suivante:

(23) ^7(.-xy=)2:y(P'"))

jii) ,(1) (1) \

= l B(i ,0,0,0,0),,,,^ + Uî(3,o, I ,o,o)„„ — B(i ,o,o,o,o),_„! rf'

,11) (1) . I

+ \B(i ,2,0,1 ,o)„„ + B([ ,0 ,p,o,o)„^il lyî^'^i cosF

jC2) ,(2) (2) ,

+ iB(o, 1,0,0, l)„(,y/ + U3(2 , I , I ,0, i)„„ — B(o, I ,0,0, i), J -yy'Y

+ (b(o,3,o, I , i)„,„ + B(o, I ,0,0, i)„,,) y/-^jcos(F' + V — v')

(2)

+ B(l ,2 ,0, o,2)„„y;y/^ eos(2F' — F + 2(v — v'))

l'icniière Partie. Livre III. 465

(24) JAZKcr) = rA(i,o,o,o,o).,,„^

lO) (I) ï

+ \A(3,o, I ,0,0)0,0 — A(i ,o,o,o,o),,o))y''

,(1) (I) . 1

+ \A(i , 2 ,0, I ,o)„^o + A(i ,o,o,o,o)„,l rjr/'- is'm F

+ |A(o , I ,0,0 , i)o,„r/

I ,(2) 121 ,

\A(2 , I , I ,0, i)„^o — A(o, I ,0,0, \),,Jrj'Wj'

;(•■!) (2) . I

+ \A(o,3,o,i ,i)„_o + A(o, 1,0,0, i)„^,)jy"'(sin(F'+v — v')

(21

+ A(i ,2,0,0, 2)„_„;y)y'^siu (2F' — F + 2(v — v')).

Dans ces formules, F et F' désignent toujours les arguments diasté-
matiques des deux planètes.

Mais les termes que noiis venons de trouver, soit dans l'expression
(22), soit dans les formules (23) et (24), ne sont pas encore au nombre

complet; c'est-à-dire: outre les termes mis en évidence, il y a encore des

—1,0
termes du même genre appartenant à la synecliie Sy . En ne considérant
que les termes de cette synechie, nous aurons:

(2)

. (22 -) N = ZZZZ(- 0-G(2v + 1 , 21-', y , !•', o)„,,^'^'+'+-^--+-^"

X'"'[7r — r— (v-c5)]
sin '- ^ ^-'

+ 22:ZZS(- i)'(i(2r + 2 , 2r'+ I , r, r-, i),,^^'-+'-'+'^V/^^'^'+'-'"'

^ sin t'(^ - ^') - (^' - ^") - (" - '''^ + ''- ''''^

+ 2rZZZ(- >r<'U2r + 3 , --r' + 2 , r , r', 2)„,,^^'-+'^^=V/='- ■ ^+="

cos
Xsin

T[^(^-^')-%'-n-(v-^) + 2(5 -«)')]

+ . . ,

Traité des orbites absolues.

466 Traité des Orbites des Planètes,

d'où l'on tire, comme auparavant,

(23-) ■;^(i-^=)2:.(P'"^)= rB(i,o,o,o,o)„,„^

;(2) (2) V

+ \B(3,o, i,o,o)„_o— B(i,o,o,o,o),,„!ï^'

Ai) (2) . I

+ lB(i,2,o,i,o)„„4-B(i,o,o,o,o)„_,)y;ry"|cosF

(2)

+ B(2,i,o,o, i)„,„r;Vcos(2F — F'— (V — V')),
(24-) J-^ rKQ"")=-!A(i,o,o,o,o)„.„ry

,(2) (2) X

+ \A(3,o, 1,0,0)0,0 — A(i,o,o,o,o),_„) 3y'

;(2) (2) \ ,1

+ IA( 1 , 2 ,0, 1 ,0)0,0 + A( 1 ,0,0,0,0)0,,! y^r/ ') sin F

— A(2,i,o,o, i)„,or/)7'sin(2F — F' — (V — v')).

En opérant de la manière que je vais indiquer, les quatre formules
(23), (24), (23 — ), (24 — ) se réduisent à la forme fondamentale, ou plutôt
à une forme qu'on peut appeler forme fondamentale généralisée.

Nous connaissons déjà les valeurs

(a) 7iCosY=p; ^y sinF = -;j^ - (P.).'

p étant placé au lieu de (/>); il s'ensuit immédiatement un résultat de la
forme

(/5) v' = r'' + (;!!^)'^-\-if^y

L'expression de (/i) étant celle-ci:
' Voir le n° 70.

Première Partie. Livre IJI. 467

on en conclut que (//) est une quantité du premier ordre et du deuxième
degré.

Mais puisqu'on a:

rf' + rf' cos 2F = 2^^,
on obtient ensuite :

(r) ^^ cos 2F ==/>^ -(!)-(/.).

Aux relations (ot), (/î), (;-), se joignent les suivantes (jui ne sont,
toutefois, que des simples conséquences des premières:

{à) ^^sin2F = -2^J-2^(;),

(e) ^^cosF= ,> = ^,^ + ^(J;;)V,«(/z),

(0 v'«i>^^^ = -'?^(;J^+w^

On comprend sur-le-champ que les formules mises en évidence restent
en vigueur, si l'on y change: p en />', v en v', F en F', rj en ly', (A) en
(A') et (/i) en (//). Par cette remarque, on déduit les expressions que voici:

("/)

ryr/'^ cos F = p[ir^ (^l^y^J _!- /.(//),

468 Traité des Orbites des Planètes.

('9) 1

-p{fï) + 2p''^{X) + 2^'|(r) + 2p'{^){X']

dans lesquelles ou peut changer, simultanément, p en p', p en /> , v en
v', v' en V, etc.

Après avoir établi ces formules, nous allons d'abord réunir les termes
appartenant aux deux syuechies considérées. Nous aurons de la sorte les
résultats que voici:

(25) ^^(i-./)|2:.(rn + i:Knl
= [iv;:)y + ^'^;i^^ + Z'\:i^>j'^]cosF

+ [<1 r/ + «,>; V/ + ii;j,7y'^][cos F' cos (v — v') — sin F' sin (v — v')]
+ ^■M^'^y^'^T'^"'^ (^F — F') cos (v — V) + sin (2F — F') sin (v — v')]
+ ^A>///"[cos(2F' — F) cos 2(v — V') — sin (2F' — F) sin 2(v — v')],

(26) ^-^jZv((.r) + 2:I(Qn|

= ["!m 5^' + ^''-^y^i^^l' + "n',3^'"][^iîi f" cos(v — v') + cos F' sin(v — v')]
— «■.j"5y'''->y'[sin (2F —- F') cos (v — v') — cos (2F — F') sin (v — v')]
+ "i/i 5^ '?'"[*'» (2F' — F) cos 2(v — v') + cos (2F' — F) sin 2(v — v')],

Première Partie. Livre III. 469

où les notiitions suivantes sout mises en usuge:

(1) (■-')

^'i!o = B(i,o,o,o,o)„,o + B(i,o,o,o,o)„,„,

(1) (1) (3) ('-')

U"l ^ B(3,o,T,o,o)„^„ — Jï(i,o,o,o,o),„ + B(3,o,i,o,o)|,„ — 13 (i ,0,0,0,0),,,,

(1) (I) Ci) CJ)

l/^} = B( 1,2,0,1,0)0^0 + B( 1,0,0,0,0),,,, + B(i,2,o,i,o)„,o — B(i,o,o,o,o)„,,,
b^W =B(o,i,o,o,i)„,,„

(2) Ci)

W^'î = B(2,i ,1 ,o,i)o_o — B(o, 1,0,0, 1)1 „,

(■-') (2)

l>'„\l = K(o,3,o,i,i)„,„ + B(o,T,o,o,i)„,,,

b'^^ = B(2,I,0,0,I),,„,

i<;i =B(i,2,o,o,2)„,,„

ai\\ = A(o,i, 0,0,1 )„,„,

(2) C2)

éPi = A(2,T,i,o,i)„,o — A(o, 1,0,0, 1)1,0,

(2) (2)

a\,\i = A (0,3, 0,1,1)0,,, + A (0,1,0,0,1)0,1,

«v'^ = A (2, 1,0,0,1)0,0,

(2)

«<;?, == A (1,2, 0,0, 2)0,0.

Maintenant, si nous introduisons, dans les formules (25) et (26), les
expressions de 5j ces F, tj' cosF', etc., données par les formules (et) , (yî) , . . . ,
nous parviendrons aux résultats se trouvant ci-dessous, où les termes dé-
pendant de (A) et de (//) sont sup])rimés.

470

Traité des Orbites des Planètes.

+ Kl + ^!'l rj' + bZyj'-'-]fy cos (v - v')

dv ^ '

+ v^'

>-©>+=/'ll^]-('-v)

+ tt^"

'('''-©■)|-Vy4].sin(v-V)

+ ^>i:i

H"--(*^)>='''*:;î-]-=(-'

— y^i

|(.-(,^)")-V./|]..=(v-v,

(^8) ;7l^K<r)+ÏKQ'«')|

= [<! + <!^' + <3^"]a/ sin(v — V')

- Kl + ('"iW + «<'i^'^]^CO,s(v-v')

^Jco.s(v-

dp

' '' \ »„' I -, dp dp .

V)

'PP~n I cos 2(v

•("■"- (^^)>=^ -S] »-(>-

Première Partie. Livre III. 471

Dans ces formules, on peut, n'importe quand, remplacer ri'' par

/>* + ( — ) et fj'^ par p'"^ -\- \-\-\ , et on restituera ainsi la forme appelée

forme généralisée, parce qu'elle renferme, outre p et p', encore les premières
dérivées de ces fonctions.

104. De la même manière que nous venons d'opérer dans le nu-
méro précédent, on arrive aux résultats tout à fait semljlables aux for-

0,1 n,— 1

mules (27) et (28), exprimant les synechies ^v et 2v tirées des fonctions
P'^"' et Q'^"*. On aura en effet, par les équations (7') et (8'), les termes

(23') g(i-^"OZ.(Fn

j (:i) .(3) (3) i

^lB(o, i,o,o,o);,„îy' + iB(o,3,o,i,o),',_„ + B(o,i ,0,0,0);,) 5^'-'
-f U>(2. I > I .0.0)0,0 — B(o, I ,o,o,o)J J r/^Y] \cos ( — F')

)(2i Ai) (2) ^

+ iB(i ,0,0,0, i);„37 + lB(3,o, 1 ,0, i);o — B(i ,0,0,0, i),\o) y/'

Ai) (2) , I

+ iB(i ,2,0, I, i);_o + B(i ,0,0,0, i);,! j^îj/^|cos(— F + v— v')

(2)

+ B(2, I ,0,0,2),',_„)yV/ cos( — 2F + F' + 2(v — v')),

j (3) ,(3) (3) V

= lA(o,i,o,o,o);,oîy' + U(o,3,o, i,o),;„ + A(o, i ,0,0,0);,) ^'^

,(3) (3) . I

+ IA(2, 1,1 ,o,o),;o — A(o, I ,o,o,o);,o)y/5y'|sin(^F')
+ ...,

(23'-) g(l-r;-)Zl(Fn

jC') ,(2) (2) ,

= lB(o, I ,o,o,o),;o)y' + 1B(2, I , I ,o,o);,„ — ]5(o, I ,o,o,o);,„| 5y'5y'
+ \B(o,3,o,i,o);„ +B(o,i,o,o,o),;,)y/''(cosF'

(2)

+ B(i,2,o,o,i);„7y;y''cos(2F' — F + v — v'),

472 Traité des Orbites des Planètes.

(24'—) ''-/Zi;(Q'<°>)

|C3) ,(2) (2) ■

= lA(o, i,o,o,o);,„7/ + iA(2,i,i,o,o);^„— A(o, 1,0, 0,0);^,,) 3^ Y

+ . . . I sin F'
+ .. ..

0,1 0,-1

Maintenant, si l'on forme les sommes des sj'nechies 2^y et Sv, que
l'on y introduise les expressions de jy cos F , jy'cosF', etc., données par les
équations (a) , (/9) , . . . , et qu'on établisse finalement les notations que voici:

(3) (2)

h[i^ = B(o,i,o,o,o);,„ + B (0,1, 0,0,0); 0,

(3) (3) (2) (2)

h\^^^ = B (2,1,1,0,0)',,, — B(o,i,o,o,o);_o + B(2, 1,1,0,0)^^0 — B(o,i,o,o,o);^o,

(3) (3) (2) (2)

K^ = B(o,3,o,i,o);,_o + B(o,i,o,o,o),',i + B(o, 3,0,1,0);,, + B(o,i ,o,o,o);_,,

(2)

/;;•;,' =B(i,o,o,o,i);,o,.

(2) (2)

Z/;';' =- B (3, o, I, o, I );,„ — B (1,0,0,0, i);_„,

i>^]} =B( 1,2, 0,1, !),;,„ +B(i, 0,0,0,1);,,

/

(21

/;;;^" = B(i,2,o,o,i);„,

(2)

?^;|î' =B(2,i,o,o,2),;„,

(2)

A(i,o,o,o,i);_„,

etc.,

Première Partie. Livre III.

473

il iTsultera

(27')

+ ['■';;.',' + K'^^rf' + Kl''^"]/> Pos (v — v')

4- k:^

'p{r"-i^) + ^p

d\ dv

\dv

— ^pp

dv \ '' \dv

ipp

,dp

cos (v — v')
sin (v — v')

cos 2(v v')

sin 2(v — v'),

(28') giXv(Q'*"') + Zv(Q''"')i

= Ki' + <^' + «I^i'^y'^ sin (v - V')

+ i^^ + <ô'r + «î!^^'?"] Jcos(v - V')

;!?i^

dv I

dp \ '

,dp
-PP 1

dp

dv d\

,dp

+ <

^'(^^-©V^^^l

cos (v — v')
sin (v — v')
cos 2 (v — v')
sin 2(v — v').

Traité fies orbites absolues.

60

474 Traité des Orbites des Plauètes.

Par les formules (27), (28), (27') et (28'), on a donné tous les termes
à caractère diastématique jusqu'à ceux du troisième degré inclusivement, ces
termes étant toutefois indépendants des fonctions anastématiques et appar-
tenants aux synechies que nous venons de considérer. Mais il y a encore
des termes du même genre qui sont du premier degré par rapport aux
fonctions diastématiques et du second, par rapport aux fonctions anasté-
matiques, et qui sont coordonnés avec ceux que nous avons déjà mis en
évidence. Nous allons les chercher.

105. En ne considérant que les termes du premier ordre par rapport
aux fonctions diastématiques et du second, par rapport aux fonctions ana-
stématiques, nous am-ons, en vertu des équations (21) et (29) du n° 87,
l'expression

(29) ■^(i-,y^)P"h

= — h{P'(o,o,o) + P'(o,i ,o)fj + P'(o,o,i)^y}

— 2hV{P'(",o,o) + P'(h, I ,0)^ + PXw,o, i)//jcos«(v — v'),

où nous avons omis les .indices v et v', vu qu'ils sont inutiles lorsqu'il ne
s'agit que des j^remières puissances de jy et de yj'.

On parvient à transformer l'équation (29) dans la forme diastématique
de deux manières différentes: d'abord eu substituant l'expression (10) du
n° 51 au lieu de la fonction h, et ensuite, en remplaçant cette fonction
par la valeur que donne l'équation (59) du n° 93.

En utilisant la première des expressions mentionnées, nous obtiendrons

(30) ^A(. -r/)F"h

= 1 (,^ + .r')î P'(o , o , o) -f V\o ,1,0)^ + PXo , o , i)^/| cos (v — v')

-53'jP'(o,o,o) + PXo,.,o)/> + P>(o,o,iyj

Première Partie. Livre III. 475

+ ^(î'+ 5")V{P'(«,o,o) + P'(«, I ,o)p + !'■(«, o, i)^/}

X JC0!S(7< — l)(v — V') + C()S(«. + l)(v — V')}

X { sin {n — i )(v — v') — sin (m + i )(v — v')}

— 253' V |P'(w ,0,0) + P^rt , 1 , o)p + P'(« , o , i)p'\ co.S'h(v — v').

Dans cette formule, il faut maintenant introduire les expressions de

1^1 ,1'^' 3 j^» ^tc, que nous avons données par les équations (20) — (26) du

n° 61 ; mais puisqu'il ne s'agit de trouver, finalement, que les termes, ap-

1,0 -1,0

partenant aux synechies 2y et Sy, qui .sont multipliés par tj ou par rj' ,
nous cherchons à exclure, dès l'abord, les termes uon-coordonués, en opé-
rant cette substitution simultanément avec les multiplications par les fonc-
tions trigonométriques de v — v'; ce qui nous permettra de choisir, d'abord,
les valeurs utiles de l'indice n.

En multipliant les équations mentionnées tout à l'heure par e""^^'>^ il
viendra immédiatement des résultats dont les différents termes se mettent
sous la forme générale

n étant un entier positif ou négatif, et les ^, des fonctions dépendant
d'arguments à longues périodes, arguments qui ne peuvent pas déranger
les indices des synechies qu'on obtient en effectuant la transformation à la
forme diastématique.

Or, il s'agit d'établir la forme mentionnée, ce qui s'effectuera très
facilement, lorsqu'on ne demande que les termes multipliés par tj ou rj'.
Dans ce cas, il suffit de remplacer les facteurs e''"'"'" *'"*"' et e'"'"'"^' par les
expressions que nous avons données dans les équations (3g, a) — (39, n) du
n° 63. Mais en inspectant ces expressions, il se montre que .seulement les
équations (39, b) et (39, c) renferment des termes appartenant aux synechies
dont il s'agit; c'est-à-dire qu'on n'aura des tei'mes de ce genre que si l'on
attribue à n les valeurs i et — i . Pour mettre en évidence ces termes,
il faut donc, en Hup[)riinant les termes inutiles, partir des expressions

470 Traité des Orbites des Planètes.

^ 2 4

,<2 iXï-y')

3 ^ —

2 4

-W')-2i*'+JCv+ï')

J

i^"-' =

4 ' '

,|„.-,..

4

)

\dvj 2 ' 4

„'„2hï-t) ' 7-r» i(J'-'-ty)-i(J-'-«')+'(5->r) + i(v-v')

30 '^ — ^ '

4

" dv 4 '

auxquelles il faut ajouter les formules (22) et (25) du n° 61, qui sont
dès le début mises sous la forme que demande l'application des équations
(39, b) et (39, c).

Considérons encore les quatres fonctions

<p étant toujours une fonction dépendant d'arguments à longvie période.

Par les équations (40, a) — (40,0) et (41, a) — (4i,n) du n° 63, il est
visible que sevdement les expressions />, /je*^", /)'e*"*~" et /j'e*'""^'* donnent
naissance à des termes ajjpartenant aux syuechies indiquées. Voici les termes
de cette forme se produisant par la multiplication des facteurs mis en
évidence dans les premiers membres:

,/2 1 T(2

^,,2g-.i(v-V) _ _ip2g-2.(//-y')-2»r^g2iv^

^>5^ = — - ;7^e--"-'--*"-="Ve'-'^- + - /JV"'-

2„2i(.'.'-tf) + 2iï/ ,

4 ' ■ 4 ^

-^(ij = >^' + ~ /v-'^-'^>-'Vr'' + ^iv^'^-^^^-V-

Première Partie. Livre III. 477

4 '^

4 '^

+ - j//'e~'(-'2-«)+'V-'-«')-.(5-S') , ,{v-v)

4 '

'4 /" >

' ^ ttv 4 '^

478 Traité des Orbites des Planètes.

Par les équations (39), (40) et (41) du u° 63, il est maintenant facile
d'établii' les termes suivants qui appartiennent à la forme diastématique et
aux synechies mentionnées

2 4

j'V'-'' = _ Ly^7'V"C'^'-'"'+'<'-"') + -ri'I'

2„^2i(fl-«') + i(ir'-r)-2i<y + iCy + <i')

'•dv 4 '

'' dv' 4 ' '

' _, i 'JJ'g-HSi-ti)-HS-tf) + H7r-r)-i<.Ô + în + i(v+A')

4

4 '

4 '

1 1 „'/j'g'(.'.'-«)+i(i'-«)->c-'-r)+K'V+S')-((v+<i')

= - j^'2J'g-».'.'-«)-'(l''-«') + i(!r'-r)-.(// + tV')+.(v + û')

I 1 1 ' ji'gi(.'.>^e)-<(.Q-H)+i(7:-n+i{ri-ë)-nw-w)
4 '

I .^■„'jr2'g-i(C-«)+itf-«')-l(^-/")-K5-i')+i(v~û')

4 '

4 ' - '

'^ <iv 4 '

Dans toutes ces formules, on a mis la valeur — i au lieu du sym-
bole ^1~\ retenu dans le u° 63 pour jjermettre au lecteur de retrouver
l'oriçine des différents termes.

Première Partie. Livre III. 479 ,

On aura encore:

2 6 g / )

Pi = 2^^ '

' ^ dv 8 ' '

+ - 5^'i/'e-'<^'-«)+""-''-«')-'('^'-/")-'"(5-5')+,(v-û)

r 01) g / ,

480 Traité des Orbites des Planètes.

„',' îii l ■ , j-p ni.>-e)-Kii'-ff)+i(!^'-r)-ui/+îi')+ny+w)

I ^•„'^j'g.(i?-«)-.(i'-w')+i(.T-/')+.(5-,r)-,(y-û')

I ^ ^•^' j/y(i'-«)+'(/.''-«')-'(--r)+((i'+5')-i(v+<;')

Ayant obtenu ces formules, nous allons les introduire dans l'expres-
sion (30). Il en faut, toutefois, considérer seulement la partie suivante,
vu que les autres termes ne contribuent rien aux synecbies demandées,

= lil' + r)|P'(o,o,oj + PHo,.,o)^ + P'(o,o,i)/,'Jcos(v- V')

-K'5È-5'ï)i^''(°'°'°) + P'(o,i,o)^ + P'{o.o,iyjsin(v-v')

-3,^'|PXo,o,o) + P'(o,i,oV + P'(o,o,i)/,'î

+ liy + r)|P'(^o,o) + P'(i,i,oV. + P'(i,o,iV/l

+ l{?>' + .r)|P'(2,0,0) + PX2,I,0)/> + P'(2,0,I)^/1COS(V-V')

+ -2 (s|- 5'!^) li*V^o,o) + P'(2,i,oV. + F\2.o,i)p'\ sin (v - V)

— 25ViP'(i'0-o) + P'(i,i.o)/î + P'(i,o,iV/|cos(v — v')
+ '3-P'(i,i,o)^cos2(v-v')

— 2:,3'P'(2,0,l)// C0S2(v — v').

Prptilièro Partie. Livre Ilf. 481

Par les substitutions dont nous venons de parler, nous parviendrons
finalement au résultat cherché. En y réunissant les termes dépendant des
mêmes arguments, ce résultat prendra la forme

(3 0 J(i — ^')|rv(P'>h) + 2:l(F"h)|

= ^P'(i,i,o)/)(/^+/'^) — M^'(i,i,o)^>//'cos(,v-,/ + iJ-0-(L>'-0'))

— JP'(i,i ,0)^7/' ces (F — 2V + 27> + 2(Û — 0))

+ - P'(i , 1 ,0)37//' cos(F — 2v + 7/ + 7/ + iJ — 0 + <>' — 0')

— ^P'(l,I,o)3y7"c0s(F— 2V + 2,V' + 2(<>' — &■))

— {f> + K>/{I' + n cos(F' + V - V')

+ br^'P CCS (F' — (V 4 v') + 2,y + 2(Q — 0))
+ hrj'I" cos(F' — (v + v') 4- 2,y' + 2{0' — 0'))

— 2hr/ir cos (F' — (v + v') + ,y + ,y' + il — 0 + <>' — 0'j

+ 2hyi'II' cos (F' + (V — v') — (,y — /)') — [ii — 0) + Û' — 0')
+ 2h^r/ir cos (F' + (V — v') + » — Ji' + il — 0 — (iJ' — 0')),
où l'on a employé, pour abréger, les notations

i = '.P' (0,0,0) — iP'(o,o,i),

/., =ip'(2,0,0)-iP'(2,0,l).

L'expression analogue relativement à la fonction Q'" est un peu ])lus
simple: la raison en est que les termes dépendant de l'indice )i = o n'y
existent pas. Nous aurons en effet, par un calcul semblable avec celui (jue
nous venons d'exposer, la formule

Traité des orbites absolues. Q\

482 Traité des Orbites des Planètes.

(32) ;^|zKQ<'ni) + i:l(Q"'b)| =

— ^ QH I . I ^^)pii' -^iu ('^ — ^^' + ^' — Q — (ii' — 0'))

+ ^Q,Vi,i,o)yyr sin(F— 2v + 2,v + 2(^2 — 0))
+ ^Q,^(i,i,o)5y7'=siu(F— 2v + 2// + 2(Û' — 0'))

— '-Q'(i , I ,o)rjIT sin (F — 2v + ,y + ,v' + ii — 0 + >-'-^' — 0')
-Qq'(2,o,o)-^Q^(2,o,i)')V(Z^ + i")sin(r' + V- V')

+ (Q'(2,o,o) — 'Q'(2,o,i))x///'siii(F' + v-v' + //-,y'+ii-0-(i2'-0')).

Cherchons encore les syuechies des indices 1,0 et — 1,0, détachées

du produit E"'~, ou plutôt la soTïirae de ces syuechies. Les termes y

contenus, étant de la môme nature que ceux que nous venons de considérer
précédemment, doivent être réunis, ce qu'on voit facilement par la deuxième
des équations (11) du n° 85, avec ceux-là.

Dans le but proposé, considérons l'équation

^-R'"'- = - jirfo.co) + E''(o,i,o)/> + n\o,o,i)p'\

+ 2-jR''(i,o,o) + n\\,\,o)f, + R"(i,o,i),o'jcos(v — v')

+ 2^-{R°(2,0,0) + R\2,\,0)p + E"(2,0,I)//|COS2(V— V'),

et introduisons-y la valeur de — donnée par l'équation (31) du u° 67,
c'est-à-dire la valeur

ï— ;(é+4)-(^-'')+i(fêr+i")""'^-"'+^--

Après avoir remplacé les produits dépendant de 3 et 3', ainsi que de
leurs dérivées, nous aurons de la sorte, par les expressions que nous venons
de déduire, la formule que voici:

Piciiiit've Piutie. Livro III. 483

(33) |;;i.(R-=j)+i.(,r^)|

- l pRX I , I ,o) //' cos Çj- — ,y' + ii — 0 — (i2' — &))
+ '- nXi,i,o)rjP sin (F — 2v + 2,v + 2(ii — (-)))

+ ^ ir(i ,1 ,o)^/''^ siu (F — 2V + 2,y' + 2(1'' — 0'))

— - ir( I , I ,o) rjW sin (F — 2 V + ,y + ,/ + i^ — 0 + i^' — &)

- (A - A J r/{P + /'^) siu (F' + V - V')

- Ar^T sin (F' — (v + v') + 2/y + 2(i> — 0))

— \r/I" siu (F' — (v + v') + 2,/ + 2(iJ' — 0'))

+ 2Xrj'ir sin (F' — (v + v') + ,V + //' + iJ — 0 + ii' — 0')
+ 2 A77' //' sin (F' + V — v' — {7y — ,y') — ( ii — 0) + ( ii' — 0'))

— 2\^rj'ir siu (F' + V — v' + ,y — 7y' + i^ — 0 — (ii' — 0')),
les A étant donnés moyennant les formules

A =-ll\op,o) — ln\o,o,i),

A„ = -ir(2,o,o)— iir(2,o,i).

Les trois expressious (31), (32) et (33) se mettent, ou le voit facile-
ment, sous la forme fondamentale généralisée; nous y arriverons prochaine-
ment.

106. Les résultats auxquels nous sommes parvenus dans le numéro
précédent, s'obtiennent plus rapidement en utilisant l'expression de h donnée
par l'équation (59) du n° 93. La circonstance que, néanmoins, j'ai pour-
suivi aussi le chemin plus long, s'explique par le désir d'atteindre le but
de deux manières différentes, chose utile, lorsqu'il s'agit de résultats d'une
certaine complication.

484 Traité des Orl)ites des Planètes.

En abordant les opérations qu'entraîne l'emploi de la valeur mention-
née de h , je remarque avant tout que les quatre fonctions (l>^ , . . , <l>.^ sont
composées de termes appartenant partout à la synechie des indices 0,0;
la multiplication par l'une ou l'autre de ces fonctions ne peut donc pas
altérer les indices d'une synechie donnée. Par cette remarque, on se procure,
en considérant les expressions (61, a) et (61, b) du n° 93, des formules gé-
nérales que voici:

(34) Zv(/)>" h cosh(v — v'))

= - (I>AHv{ffp'^ cos(« — i)(v — v')) + Sv (/>'/?"' cos(;<+ i )(v — v'))j

+ [ </'i Zi;(^//y'^cos((H— i)\ {n+ i)v'))

+ Sv [ffp'' eus {(il + I ) V — (n — 1 ) v')
— - <!>., I Sv(///7"' 8111 in — I )(v — v')) — 2^v(,oY'" sin (11 -\- i){\ — v'))

Sv(,o'/9" sin [{n — i)v — (n -\- i )v'))

— Li;(/>Vy'sin((«-f i)v— («— i)v'))j,

(35) T.^j{ffp'^'\\ sin n{Y — \'))

= - </»(, Sv(,r//>"'sin(« — i)(v — v')) + Zy (///>"' sin (/(-l- i)(v — v'))

+ 3 </^j Zy(/)7y'' sin ((«— I) V — (u -f I )v')\

+ Zi^(,o>"'.sin((«-f i)v — («— i)v'))j

+ 3 '/', iZy (/>>"■ ces (« — i)(v — v')) — Zv (////"■ cos(»+ i)(v — v')) i

+ - </-»., Yv [p\o'^' cos {{il — 1 ) V — [n -f T ) v'))

— Zy(,o',r/'' cos ((// + 0 V — (n — ' )v')) .

>..

Première Partie. Livre III. 485

Ensuite, si l'on forme les dérivées partielles de l'expression de li dont
il s'agit, il viendra

(36)

dh

— = — 0g sin (v— v')— <J>^ sin (v + v')+ (p.^ cos (v— v')+ 0., cos (v + v'),

-A =: (/>^ sin (V — v') — «/'j sin (v + v') — <P., cos (v — v') + 0.^ cos (v + v'),

résultats, eu vertu desquels il est facile de voir que la synechie

iv(/^^>"'?7C0s(v — v')

se met immédiatement en évidence, si, dans la formule (34), ou change
(l>^ eu (P.^, 0j eu (p.^, (p.j eu — 0^, et (/'., eu — </', . légalement, ou ob-
tient la syuechie 2^v(/oY>'" — sin (v — v')j, en faisant dans l'équation (35)

les changements indiqués. Pour obtenir les syuechies appartenant aux
fonctions oii la dérivée de h par rapport à v' entre comme facteur au
lieu de celle par rapport à v, il suffit de remplacer, dans les équations
(34) et (35), (P„ par — (p.^, (P^ par (p.^, <P^ par (p^, et finalement (P.^ par — (p^.
Ayant ramené, de la manière exposée, les syuechies qui appartiennent

aux produits renfermant uu des facteurs h , — ou - . , aux syuechies ne

dépendant d'aucune fonction anastématique, il sera facile de mettre en
évidence les termes coordonnés du deuxième degré par rapport aux fonc-
tions auastématiques.

Considérons un exemj)le spécial, en supposant:

s = 2, ,s' = 5 , s = I , s' = 2 , n = 2;

et ne cherchons que les termes ayant pour coefficient le produit jjjy'^ mul-
tiplié par une des fonctions (p^ , ■ ■ , 0--

L'équation (12,1,2,3) du n° 59 nous fournit les valeurs

2,.j

V

486 Tfaité des Orbites des Planètes.

avec lesquelles, faisant usage de léquatiou (34), on déduit ensuite,

'ïlvlpp'^h cos 2(v — ■ v'))
^i^V^'^'^'o cos (2v - 5V + w - sôï + TT- r+ 2{7r' — F'))

+ '^yiv"'^\ cos (2v _ 5 V - s- 3(5' _ (--/') + 2(-' - F'))

+ ië'^v"^, sin (2v _ 5V + S - 355' + z- F+ 2(.t' - /"))

- ^^i'(P, siu (2v - 5V- «} - 35' - (~-F) + 2{r' — n),

ou bien, eu considérant les valeurs des fonctions (P^ , . . , (I>„ données par
les équations (60), (60'), (60") et (60'") du n° 93,

2^y (/7/y'^h cos 2(v — v'))

64

' ^r/^(r + /'Vos(2v-5V + (7}-3cTy + ;r-7^+2(;r'-r'))

+ -^7;r/V/'cos(2v-5V + w--3â>'-(,y-,y') + --i'+2(-'-i")-(.'>— 0)

+ iJ'-0')

+ ^y;V'^'cos(2v-5V-«5-3â5'+2,V-(r-r) + 2(-'-r') + 2(ii-0))
+ g-îjr/'/''cos(2v-5V-â}-3âJ' + 2,y-(--7^) + 2(r'-i") + 2(iJ'-0'))

— ^)yy/V/'cos(2v-5V-cD-3cry + ,V + ,V'-(--r) + 2(;r'-7^') + l'-0

+ L>'-0').

Venons maintenant aux cas qui en particulier nous intéressent, savoir
aux synecbies des indices 1,0 et — 1,0, synechies qu'on peut traiter en-
semble en formant immédiatement leur somme. Mais il nous faut aussi
les synecbies des indices 0,1 et o, — i, dont les différents termes cooi--
donnés s'obtiennent simultanément, et dont seulement la somme nous sei'a
utile. Quant aux premières synecbies, il suffit d'en donner un spé-
cimen du calcul, vu que nous les avons déjà mises en évidence par les

Première Partie. Livre III. 487

équations (31), (32) et (33); mais quant aux deux dernières, j'en vais
donner les expressions complètes.
Admettons les valeurs

5=1, s = o, s ^ I, s = o, w = I ;

les équations (34) et [t,^) nous donnent immédiatement, en supprimant dès
le début les termes qui ne contribuent pas à la s^'nechie demandée,

1.0 j j 1,0 j 1,0

Sv(/>h cos(v — v')) = - (p^p + - <I>^Y.v{p cos 2v) + z, <P.^T.v[p sin 2v),

1,0 I '•" II '•"

T.v{p\\ sin (v — v')) — - 0^'E]j{p sin 2v) + - (P^p — - 0^T,u{p cos 2v). ^

On en tire ensuite, par la remarque relativement aux changements simul-
tanés de h en ~ , (fi. en (fi.,, etc., les expressions

1,(1

V^ ' dh \ I I ''" I ''"

2- v (p - cos (v — v') j = - (fi.^p + ~ (fi.^ Zv {p cos 2 v) — - (/>, Zv (/> sin 2 v),

1,0

2^v[pyiiin{v — v')j = - (I>^pHv[p sin 2v) — - (fi^p + - (fi^Y.v{p cos 2v).

Mais les synecbies entrant dans les seconds membres sont données
moyennant l'équation (40, f) du n° 63, si l'on ne demande que les termes
du premier ordre par rapport aux fonctions diastématiques. On en tire
les expressions très simples

1,0 J

Zy (/> cos 2 v) = - jy cos (v + w + ~ — r),

1." . J

Zv(/> sin 2v) = - 5y sin (v + tTi + r — F).

1,0 -1,0
' C!es forimiles reiii'ernieiit déjà les f-oinmes des synecliics Si; et Z^i/, ce (lui est
facile à c<3inpiendie.

488 Traité des Oi-))ites des Plauètes.

En vertu de ces valeurs, ainsi que de celles des fonctions 0^, , ., (D^,
ou déduit, des équations précédentes, les expressions que voici:

1,0

(a) ZK/di eos(v-v')-- ^^ p{r + I'^)+ '^pW cos(,y-,y+ Û-0-(/>'-0'))
+ ~ 7jP cos (v + ô) + - - r- 2^ - 2( i>— 0))
+ -^57/'^cos(v + w + ;r-r-2rr-2(i2'-0'))

— ^ :y//'cos(v + w + r-r-(,y + ,v')-(fl-0)-(i'J'-0')),

i.o
(1)) T.v{f,\\ sin(v-v'))= ' pli' ^mÇl—f^' + fl-(d-[ii' -&))

+ -j^,yi^sin(v + â} + r-7^-2,v-2(l>-0))

+ -l57Z'^sin(v + <7, + r-r-2y-2(i2'-0'))

— \ rjir^m{x+ô-^+z-r-(Ji-\-jn-{ii-Q)-{ii'-&)),

1,11
(c)£i^(/>^.cos(v-v'))=: i ^,/7'.si„(,y_,^' + ij_0_(i2'-0'))

--^3y/\sin(v + w + ;r-r— 2,V-2(fl-0))

— 'g y;i"sin(v + w + 7r-r-2,y— 2(^^-0'))

+ i r;//'sin(v+S + ;r-r-(,y + ,y')-(i^-0)-(i2'-0')),

1,0

(a)y,^^,?Jsin(v-v'))- ^ fiP-^n- i^-//'cos(,y-7y'+fi-0-(l>'-0'))

+ -^5^7' C0s(v + «} + --r— 2,y— 2(Û-0))

+ -j^)27''cos(v + w + -— /"'-2y-2(L>'-0'))

— g yy//'cos(v + â> + r-/-(7y + y)-(/2-0)-(i2'-0')).

Première Partie. Livre III. 489

Pour obtenir, en vertu de ce.s formules, les tenues dépendant de la
fonction rj qui entrent dans les expressions (31), (32) et (33), il ne faut
que multiplier l'expression (a) par — 2P'(i,i,o), l'expression (b) par
— 2Q'(i ,1,0) et l'expression (c) jwr 2R''(i ,1,0).

Je passe maintenant au calcul des termes appartenant aux synechies
des indices 0,1 et o , — i , dont je cherche la somme ; dans ces termes,
j'introduis d'abord l'argument v' au lieu de V.

Cela arrêté, on déduit facilement, par les équations (34) et (35), les
expressions suivantes

0,1

Ev(h) = —jy </.<(, cos (F + v' — v)—3y(/^, cos(F — (v'-f v))

+ rj </>, sin (F + v' — v) + jy (D.. sin (F — ( v' + v)) ,

0,1

Yv{fA\) = ^)y<'/'„ cos(F + v' — v)+ ;^37i/^, cos(F— (v' + v))

- \ri(l>.^ sin(F + v' -v)- ^y//;, sin (F — (v' + v)),
11,1
T.y[/i'\\) = O,

0,1 0,1

5!^y(hcos(v — v')) = Sv(/vhcos(v — v'))=o,
0,1

Zy(/>'hcos(v— v'))= -f>''l*o-\- -'^i'I^^ cos(F'— 2v') r/ (p.. sin(F'~2v'),

24 ' 4 '

0,1 0,1

2v(hsiu(v — v')) = Sv(/^disin(v — v')) = o,

0,1

Zv(/>'hsin(v — v'))= -fi''I\ sin (F'— 2v')4- f>'<I>.^+ -r/(l>.^ cos(F' — 2v'),
4 2 4'

0,1

Lyfh cos2(v — v'))=— -^r^<I)^ cos(F + v'— v)— \y]<l>., siu(F + v'— v),

1.1

Sy(/-.ihcos2(v— v'))= ^^i^i^ cos(F-f v' — v)+ -rj(l>.^ sin(F + v' — v),

0,1

Sy(//hcos2(v-v'))= o,

0,1

Zv(ii sin 2(v — v'))= -y//',, sin (F4- v' — v)— r^dK, cos (F -f v' — v),

Traite lics orbites absolues. (32

490 Traité des Orbites des Planètes.

0,1

Zy(/?h sin 2(v — v')) = — - rj<I>^ sin (F + v' — v)4- t/I>.^ cos (F-f v' — v),
4 4

0,1

Sy(/)'h siu 2(v— v')) = o.

Maintenant, si nous étal^lissons les formules

^4(i-^'^)L(F<''h)

0,1

= — Zi^(li(P"(o,o,o) + P"(o,i,o),o + P"(o,o,i)^/))

0,1

— 2ry(h(P'V,o,o) + P"(i,i,o)/> + P'V,o,i)/5')cos(v — v'))

0,1

— 2Zt;(h(P"(2,0,0) + P"(2,I,0)/> + P"(2,0,I)^/)COS2(V — v'))

etc.,

qui sont de simples conséquences des équations (44), (46) et (47) du n° 91,

et que nous y introduisions les valeurs données précédemment des synechies

0,1 0,1

Sv(h), Sv'(yoli), etc., nous nous arrêterons à des résultats de la forme

11,1
(37') '"; (i - x/^)Zy(P""b) = 7][A'J), + A\il>, + A'JD, + A',<I>,]

l'k

fil

(38') '- 5:v(Cr"h) = rj[C',0„ + C[0, + (Z<h + (",<!>:]

,- ^ -. yi[E', (h + E\ 0, + E', <D, + E', 0,]

(39') ■^r.i'ir»'?^^

+ ri\F;iK + F\0, + r,(K + F',(D.;\.

Les fonctions A'^ , A\ ^ . . . , B'^^ , . . . s'obtiennent au premier coup
d'oeil en vertu des expressions que nous venons de donner. Ainsi ou a
par exemple:

a; =|p" (0,0,0) + P"(2,o,o) — i;(P"(o,i,o) + P"(2,I,0)) cos(F + V— v'),

A\ = I P" (0,0,0) — - P" (o, 1 ,0) ! cos (F — (v + v')),
etc.

Pi

eiuirrc l'arlif.

Livre III.

b:

= -

-r"(i,o,i)

cos F',

B\

= ■■

-,ii^"(i'0.

1 ) COiS (F' —

2V'),

B',

=

o,

B',

=

;i"'('>o.

i) siu (F' —

:^v'),

491

etc.

11 iR' paraît donc pus nécessaire de citer, à cette occasion, les t'oriniiles s'y
rapportant. Mais eu revanche, il ne faut pas passer sous sileuce la re-
marque que les synechies des indices i ,o et — i ,o se mettent sous une
forme parfaitement analogue à celle des équations (37')> (38') et (39')- Ou
déduira en effet facilement les formules

{'^D '^\i-^-')Tv{V'''h)== .,[-]//:, + J,0, + AJl^ + A,<i>.;\

+ ri'\B„ <K + B, <l>, •+ /?., <K + /i, <I>.A,

(38) ■;; i:.((,r 'h) = v[<\ 'K + ^; ^^ + ^; '^ + g, 'i>,]

+ iUK <K + iK <i\ + iK <i>, + T\ <i>,\

1,0
(39) J7 ^=^(1^"'^-) = ^^^^ '^^ + ^' '"^ + ^'^ '^'^ + ^3 ^/^3]

où l'on a employé, en analogie avec la manière d'écrire les équations (37'),

i,fi
(38') et (39')> l'i notation abrégée T.v{X) au lieu de la notation complète

1,1) "1,0

Yv{X) + Yv{X).

En substituant, dans les expressions signalées, les valeurs des quatre
fonctions 0^ , . . , (/l^, on retombera sur la forme des équations (31), (32)

et (33).

Quant aux fonctions A^ , A^, etc., on les déduit facilement d'une ma-

1,0 1,0

nière directe, ayant dressé uu tableau des valeurs de 2v(li) , ziv{p), etc.,

0,1

tel ([ue nous avons donné précédemment des valeurs de Z-!;(li), etc., ce

492

Traité îles Orbites des Planètes.

qui s'effectuera presqu'iramédiîitement en vertu des équations (34) et (35).
Mais on pourra aussi, les équations (31), (32) et (33) étant données, en
tirer non seulement les fonctions A^ , A^ , . . . , mais encore les quatre
fonctions (p^ , . . , <I>.^. Nous ne nous y arrêtons pas à cette occasion.

107. Les expressions (37) — (39) et (37') — (39') se ramènent facile-
ment à la forme fondamentale généralisée : on y parvient en effet par la
simple remarque que nous allons signaler.

Nous n'avons pas, il est vrai, mis en évidence la structure analytique
de toutes les fonctions A^ , etc., mais nous nous convainquons, par une
inspection rapide des formules servant à les établir que leur type général
est donné par l'une ou l'autre des formules

(I)

A = /„cos(F +£v + £V),
B = /jCos(F' -t- £v+ s'y'),
C = /, sin (F + £v + sV),
D = /^ sin (F' + £v + s'y'),

les /g , . . , l.^ étant des coefficients numériques, et s et s', aussi de pareils
coefficients, mais n'acquérant que les valeurs — 2 , — i , o et + i . 11
convient d'ajouter que les A et les C sont toujours multipliés par jy, les
B et les D, par 7^'.

Cela étant, si nous rappelons les équations (a) du n° 103, et que
nous négligions les parties dépendant de [À), nous aurons:

(II)

jyA = /„ cos (sv + s'v')p + /„ sin {sv + s'v') '£ ,
T^'B = ?j cos (cv + s'v')p' + /j sin (sv -f s'y') ^ ,

y]C = l^ .sin (cv + £'v')/5 — l.^ cos (sv + s'y') -f- ,
rj'D = l^ sin (sv + s'^"')p' — A, cos (sv + s'v') ^ •

Pn'iuii'-iv Partie. Livre II [. 493

Ensuite, si nous introduisons les valeurs ayant ces types dans les
équations (37) — (39) ut (37') — (39')» il résultera des expressions de la forme
générale

(40) rv(X) = L,n + Ly + K '^^ + K'^-,

où X est mis à la place des fonctions P , Q et K; s et «' signitient les
indices 1,0 ou 0,1, et 1j , L', K , K', des quadrinômes, dont les différents
ternies sont des produits d'une des fonctions <Pg , • • , '/'.j par un cosinus
ou un sinus de l'argument sv + s'y', ce produit multiplié encore par un
coefficient constant.

Dans certaines occasions, surtout quand il s'agit de réduire la fonction
perturbatrice à la forme foudamentale généralisée, il sera utile d'avoir ex-
primé les (p„ , . . , <l>.. moyeunaut les fonctions \ ■, \' , -r et ^ •
X 0 ' ' o ./ " '^ ' ((V av

Pour y parvenir, je rappelle les relations

5 = / sin (v — h — {ii — 0)) = /sin {v — »9,),

|=/cos(..-,9j + (C),

la fonction (C) n'étaut pas tout à fait identique avec celle que nous avons
désignée par le même symbole dans le n° 23; mais la différence entre ces
deux fonctions est toujours une très petite quantité, d'ailleurs facile à mettre
en évidence.

Des équations signalées, on tire facilement les suivantes

; sin V + ^ cos v = / cos (&. — G) -(- (C) cos v ,

' dv \ ■ / \ / '

— 5 cos V + --- sin V = / sin {&^ — G) -{■ (0 siu v ;
et on obtiendra également:

^' sin v' + -17 cos v' = /' cos (1% — G') + (C) cos v',
— 3' cos v' + 7^ sin v' == /' sin (?9; — G') + (C) sin v'.

404 Tniité (les Orbites des Planètes.

Par un calcul assez simple, on déduit de ces relations en négligeant
tout terme multiplié par l'un ou l'autre des fonctions (C) et (C), les for-
mules que voici:

//' cos (*, - f}\ - [G - G-)) = (sj' + Jl ^) cos (v - V')

+ {é-^ï)^^-''^^

IL' sin (,9, - f}\ - (G - G')) = U + J^ ^) «u (v - V)

^dV ^ (Zv

cos V — V

II' cos {,% + ff[ - G - C;') = - U' -Tvtv) '^''' ^"^ + ^'^

+ 6è+5':l)-(v+v')

d^ 'h'

'dv' ' '' d\
ir sin (d, + ,% - G - G') = - (^33' - ;g ;^) «" (v + V)

-6è + 5'è)-(v + v'),

dv' ' '^ rfv

r cos2(,!/.-60 = 23 I sin .V - (3^ - (!:)"]

/-cos2(,9;-(^')= 25'^sin2v'-(^3-- (;|^)^ j cos 2V',

i'' sin 2(,9; -(?')=- 23'^ cos 2v'—^''— (^^:) jsin2v',
formules qui entraînent ensuite les suivantes

Pipmièro Partie. I^ivrc III. 49i;

(4.') <i>,^ ^3;;^sin2v-i(5^-(;;i)^)cos2v + ;,';;^sin2,

^Vleos2v-

(4.") <!>.= ^U'+|;lt>-(v-v')-3(^|-^';;t)oos(v-v'),

(4.'") ^, = -i4^os2v-'(,5^-(;;;y)sin2v

En substituant ces valeurs dans* les quadrinômes K , K', L et L', on
exprimera comme fonctions des quantités p , p' , 5 et 3', les synechies données
par l'équation (40); en d'autres mots, on mettra ces synechies sous une
forme analogue à celle que nous avons employée dans les équations (27),
(28), (27') et (28').^ Cette forme, bien qu'elle renferme les fonctions 3
et 3' ainsi que leurs dérivées, sera toujours appelée forme fondamentale
généralisée.

Mais les synechies que nous venons de considérer renferment les termes
sousélémentaires du type [B), c'est à dire, les termes devant entrer dans
les équations différentielles destinées à déterminer les fonctions p , //, 3 et
3', bien attendu, les parties de ces fonctions que nous avons désignées par
[p) , {p') . (,5) et (3').

On exprimera de la sorte, moyennant les inconnues mêmes et leurs
premières dérivées, les termes faisant parties des équations nommées.

108. Outre les termes nouvellement considérés, il y en a qui sont
coordonnés avec eux. D'abord les termes du cinquième degré qu'il ne
faut pas, généralement, négliger, mais desquels on pourra tenir compte dans

' .T'eni[)Inir toujours les notations abrégée.-; f^i , p , l et ^' au lieu de [p] , [p], (^) et (,^).

496 Traité des Orbites des Planètes.

une seconde approximation ; puis des termes d'un degré impair et plus
élevé. Il y a ensuite des termes sousélémentaires du second ordre, dans
certains cas acquérant des valeurs assez considérables.

Quant à ces derniers, on les déduira, après avoir établi, sous la forme
appelée diastéraatique, les inégalités diastéinatiques du premier ordre, ainsi
que les inégalités anastématiques du même ordre, ce qui, dans la plupart
des cas, s'effectuera, en procédant d'une manière analogue à celle que nous
avons employée dans le u° 102. Or, en multipliant deux séries de la
forme diastématique, ce qui est demandé par l'équation (yî) du n° 94, il
se produira, entre autres, des termes appartenant aux synechies que nous
venons de considérer, termes qu'il faut détacher des autres et réunir, du
moins tant qu'ils sont du troisième degré, avec les termes du même genre
qui sont donnés par les équations (27), (28), etc.

De pareils termes se produisent encore par des opérations destinées à
déterminer les inégalités du premier ordre. Supposons, par exemple, qu'il
s'agisse de la fonction W donnée par l'équation

-— = a sm (àv + ?' + ^),

a étant une constante du premier ordre et d, un agrégat périodique ren-
fermant entre autres le terme

(? = ^sin((i —;,)?' + B),

le seul duquel nous nous occuperons maintenant. On y a désigné par y
une constante du premier ordre.

Cela étant, nous supposons que W soit exprimé par la formule

Alors, pour déterminer la fonction ([> , nous aurons facilement l'équation

Il s'ensuit, si l'on considère la valeur de ^,

|l' = _ Hlj^ si,i (Xr + h + d) cos (( I -/)?' + B),

Première Partie. Livre III. 497

d'où l'on conclut, immédiatement, que ([> contient un terme sousélémentaire
du second ordre et du type (7?), terme qui devra être réuni au.x autres
de même espèce.

Mais à cette place, il me faut reproduire une remarque que j'ai faite
déjà dans mon mémoire ))nouvelles recherches etc.)), § 5. La voici:

En abordant les appro.ximations successives (pour obtenir les intégrales
des équations semblables à celles que nous allons établir dans le livre
suivant) par l'intégration d'une équation linéaire ou bien, ce qui revient
au même, d'un système d'équations linéaires, on n'arrivera pas toujours à
des résultats satisfaisants. Et même, si en partant d'un résultat obtenu
par l'intégration d'un tel système, on continue, d'une manière conséquente,
les approximations successives, on tombera tôt ou tard sur des développe-
ments divergents. Il en est autrement quand on commence par l'intégra-
tion d'un système d'équations, chacune du troisième degré: on pourra alors,
sauf dans des cas exceptionnels, réduire de telles équations à des équations
linéaires et horistiques, après quoi on arrivera, en les intégrant, à de vé-
ritables approximations. Ayant obtenu des résultats de cette qualité, on
déduira de proche en proche les expressions des quantités cherchées avec
une exactitude aussi grande qu'on voudra.

Voilà la raison pourquoi j'ai donné beaucoup de soins à mettre en
évidence les termes du troisième degré: ils devront dès l'abord entrer dans
les équations différentielles, et il importe de les avoir mis .sous la forme
la plus convenable.

Mais jusqu'à présent, je n'ai traité que les termes faisant partie des
équations qui serviront à déterminer les fonctions (/>) et [p'), termes que
j'ai appelés, au n° 62, termes à caractère diastématique. Quant aux termes
à caractère anastématique, c'est à dire les termes qui entreront dans les
équations destinées à la détermination des fonctions (3) et (3'), on les dé-
diiira, en temps et lieu, très facilement des développements donnés dans le
numéro cité.

109. Il convient d'ajouter quelques remarques relativement au nombre
des arguments fondamentaux entrant dans le développement de la fonction
perturbatrice, ce développement supposé mis sous la forme diastématique.

En exprimant les fonctions (/>) et (/>') moyennant les arguments diasté-
matiques, et cas H par la formule (15) du u° 53, les arguments entrant

Traite des orbites absolues. (J3

498 Traité des Orbites des Planètes.

dans la fonction perturbatrice seront, sauf ceux qui pourront se trouver

dans les expressions de >j , )y' et siu - J^, au nombre de quatre, savoir:

V ,F', V — 1' et v' — i", ou bien: F ,¥', x et y, si l'on veut remplacer
les angles v — i' et v' — 2" par leur différence et leur somme. Mais ces
arguments fondamentaux, étant transformés et combinés les uns avec les
autres, de manières très différentes, on n'a pas toujours eu soin «de relever
la propriété des inégalités planétaires d'être liées aux arguments se com-
posant de quatre éléments. Mais à cette omission contribuent encore
d'autres motifs.

Ayant remplacé les arguments F , F', v et v' par les longitudes moyen-
nes des planètes et des périhélies, on a eu effet mis eu évidence six ar-
guments distincts, qui se réduisent, toutefois, sur-le-champ à cinq, et qui
doivent être calculés séparément. C'est seulement M. Lindstedï qui, dans
un mémoire renommé,' a tenté d'exprimer, moyennant quatre arguments
étant des fonctions linéaires du temps, sans intermédiaire des longitudes
astronomiques, les distances mutuelles des trois corps, c'est à dire les quan-
tités d'où dépend la fonction perturbatrice. Mais M. Poincaré, à diverses
reprises, a montré que les séries résultant des procédés de M. Lindstedt
ne sont pas convergentes dans le sens rigoureux du mot. Pour une solution
absolue du problème des trois corps appliqué aux théories des planètes, la
seule dont nous nous occupons dans l'ouvrage présent, la méthode de
M. Lindstedt ne paraît donc pas convenir. Il semble au contraire presque
prudent de ne pas sortir des notations usuelles, où sont mis en évidence
les arguments astronomiques, notations qui d'ailleurs n'augmentent pas d'un
seul le nombre des inégalités.

C'est M. Weiler qui, le premier je crois, a prononcé expressément
la nature des arguments, entrant dans le développement envisagé, d'être
composés de quatre éléments ou arguments fondamentaux.'

Si l'on passe à la forme diastématique, et que l'on compte les longi-
tudes des noeuds sur un plan fixe dans l'espace, le nombre des arguments
fondamentaux sera encore six, nombre qui s'abaisse sur le champ à cinq,
et qui se réduit ultérieurement à quatre, si le plan invariable des trois corps

' Voir le mémoire de M. Lixdstedt inséré dans les astr. Nachr. T. 107.

'' Voir les notes de M. Wer^eh inséré dans les astr. Nachr. N° 2515, 2516 et 2762.

rremièic Partie. Jjivrc III. 499

est pris pour plan foiidamontal. En inspectant les développements donnés
dans le livre présent et dans celui qui précède, t)n trouvera en effet que
les si.K arguments sont d'abord, v , /'', (o , o)', H et H' , au lieu desquels
on a admis, toutefois, ceux-ci: v , v', îï) , iô\ l'J et If', isocinétiques avec les
premiers et ne différant d'eux que par les agrégats périodiques G et G',
en sorte qu'on a: v = v — G, etc.

^lais ces éléments, c'est à dire, les v , v', . . . n'entrent dans les divers
arguments que par leurs différences. En effet, chaque argument apparaissant
dans le développement de la fonction perturbatrice, .s'exprimera, on le voit
facilement, par la formule

Arg. ^ s(v — â>) — s'V -\- \{û> — ,v) -f i'((T/ — //') + iiiQj — ,v'),

où l'on a désigné par s , s', i , i' et w des entiers positifs ou négatifs, où
V remplace la dift'érence v' — îô' , et où finalement on a mis de côté les
agrégats périodiques - — 7', -' — i", etc. Dans le cas de trois corps, la
différence ë — ]j' devient égale à zéro ou plutôt à un agrégat périodique,
si l'on choisit le plan invariable pour plan fondan)ental, et on sera l'éduit
il. quatre arguments. Dans le cas do plusieurs corj^s, par contre, on ne
saurait faire disparaître les différences J) — ,'j' à l'exception d'une seule;
mais cette simplification n'étant pas de grande importance, il convient
mieux de fixer la position du plan fondamental par d'autres motifs que
par la condition qu'une des différences 8 — ('/ disparaisse. On pourra donc
prendre l'écliptique fixe à une certaine époque ])our plan fondamental, ce
qui amènerait quelques avantages aux calculs astronomiques. Le nombre
total des arguments fondamentaux d'où dépendent les inégalités des planètes
principales, dues à leurs actions mutuelles, est doue égal à 3.8 = 24, ou
bien, si l'on veut, égal à 3.8 — i ^ 23,

Le Verrier, dans les théories de Jupiter et de Saturue, a employé
les arguments fondamentaux

0 + r — 1' , r', 0) + ï' — i: , 0)' et — 2 2",

ou plutôt des arguments variant proportionellement au temps, mais iso-
cinétiques avec ceux-là. Dans le cas de trois corps, le nombre des argu-
ments fondamentaux n'excéderait pas celui qu'on aurait trouvé en employant
les angles signalés précédemment. Mais déjà dans le cas du soleil et de
trois planètes, le noml)re des arguments fondamentaux de Le Verrier est

500 Traité des Orbites des Planètes.

plus graud que celui des nôtres, et ce nombre croît avec celui des planètes.
L'ensemble des arguments figurant dans les développements que j'ai exposés
dans ce qui précède, paraît donc l'emporter sur le sj'stème employé par
Le Verrier, du moins lorsqu'il s'agit des inégalités d'un ordre j^lus élevé
que le premier. Voilà la raison pourquoi je compte les angles v , (o ei&,
ou bien v , cô et ?>, d'une direction légèrement variable et différente pour
les diverses planètes.

LIVRE QUATRIEME.

Les équations différentielles des mouvements des planètes.

Pour l'étude des mouvements des planètes, les équations en coordonnées
rectangulaires qu'offre la dynamique ne sont pas les plus convenables. Elles
jouissent, il est vrai, d'une symétrie parfaite, mais elles donnent, en re-
vanche, les quantités demandées au moyen de formules où rien n'est fait
pour aplanir les complications. En effet, les coordonnées rectangulaires
s'obtenant, toutes les trois, par des opérations semblables, il n'}^ aura pas
lieu de séparer les difficultés, de les distribuer sur différentes équations, et
de les rendre, de la sorte, moins sensibles. Aussi n'a-t-on guère, que je
sache, fondé l'analyse des inégalités planétaires sur l'emploi direct des équa-
tions dont nous venons de parler, mais bien sur d'autres qui eu dérivent
plus ou moins facilement. ^ Il y eu a plusieurs systèmes, desquels je men-
tionnerai les deux qu'on obtient:

1° eu remplaçant les coordonnées rectangulaires par le rayon vecteur,
la longitude comptée sur un plan fixe, et à partir d'une direction fixe dans
ce plan, et finalement la latitude sur ce plan;

2° en employant la méthode de la variation des éléments képleriens.

En introduisant les coordonnées polaires, ou obtient au lieu des équa-
tions déjà mentionnées, trois équations nouvelles se pi'êtant avantageuse-
ment comme base à l'étude des inégalités. Les préparations pour y arriver
sont, en quelques mots, les suivantes.

Les trois équations en coordonnées polaires, n'étant pas symétriques
se mettent facilement sous diverses formes, soit en clrangeant les fonctions

' Il faut toutefoifs consulter le passage dans les numéros 631 — 634 du »Die Diffe-
reutial- und Integralrechnung» par I. L. Raabe sur le problème dont il s'agit. La méthode
de l'auteur, ainsi que celle d'ENCKE ne se prêtent, cependant, pas à des solutions véritables.

Les théories de la lune dues à Euler et h d'Oi'POLZER sont fondées sur l'emploi des
axes rectaugulairps, il est vrai ; mais ces axes sont nu)l)ik's dans l'espace.

502 Traité des Orljites des Planètes.

cberchces, soit, la viiriable inde'pcndante. Parmi elles, il me faut men-
tionner la forme employée par IjAPLace dans sa théorie de la lune, ainsi
que celle que Hansen a mise en tête de ses travaux. Ces deux formes ne
diffèrent pas, au fond, essentiellement l'une de l'autre; et le système d'équa-
tions que nous allons mettre en usage dans la suite est d'une forme
analogue, sauf toutefois les altérations qui sont dues à l'emploi de fonctions
élémentaires au lieu d'éléments constants.

Le nouveau système d'équations que nous allons faire connaître ])rochaine-
ment, est susceptible d'être décomposé en systèmes partiels dont les solutions
absolues peuvent être obtenues, du moins dans le cas des planètes principales.
Cette décomposition est le moyen le plus eiïicace de trancher les diffi-
cultés inhérentes aux problèmes dont nous nous occupons. On a bien aussi,
dès que ce problème fut posé, considéré le moyen signalé; mais ou a,
à peu d'exceptions près, opéré la décomposition envisagée en développant,
suivant les masses des planètes, les quantités dont il s'agissait de trouver
les expressions eu fonctions du temps. On a même quelquefois égalé à
zéro la somme de tous les termes du même ordre, de façon à avoir chaque
système partiel indépendant de ces masses. De la sorte, la solution du
problème s'obtenait par des approximations successives; mais, par malheur,
ni les solutions des systèmes partiels, au moyen de séries trigonométriques,
n'étaient généralement convergentes, à l'exception de celle du premier système,
ni la suite des approximations successives non plus. Il faut donc qu'on
établisse les systèmes partiels suivant un autre principe: c'est ce que nous
allons faire dans la suite.

La méthode de variation des constantes arljitraires conduit a un système
d'équations dont la rigueur ne peut pas être contesté, il est vrai; mais
dont intégration se montre très difficile, si l'on en veut tirer des solutions
absolues, c'est à dire, des solutions sans développements suivant les puis-
sauces du temps, et où les développements trigonométriques sont uniformé-
ment convergents. Eu effet, l'intégration des équations établies de la sorte
ne s'opère d'une façon aisée que si l'on y néglige les termes du second
ordre ou, -au moins, les termes du troisième degré. Dans le premier cas,
on ne saurait éviter des développements suivant les puissances de la variable
indépendante; dans le second, des séries trigonométriques divergentes appa-
raîtront tôt au tard. Je reviendrai cependant à cette question.

Première Partie. Livre IV.

503

CHAPITRE I.

Traiisforniafions f/riK' raies.

I lo. Par une niétliode ingénieuse et bien à la connaissance des a.stro-
nonies, Lagran'gk a transTornic le système primitif des équations de la dy-
namique. Son résultat relativement aux é([uatinns en coordonnées polaires
consiste en le système que voici:

dh\'- . n dii

dr '

r-r

cos //

dt

d{ r" cos h^

r
II

dt

dt

)■'' cosi sin '^(',7) +

3/^

dh ''

les notations étant celles que nous avons employées dans le troisième livre.
Ce n'est cependant pas eu con.servaut la forme signalée que nous
allons utiliser les équations en coordonnées polaires, vu que l'emploi de la
longitude dans l'orbite offre quelque supériorité à celui de la longitude
comptée sur le plan fixe. En rappelant les équations (14) et (19) du n° 19,
on obtiendra:

7 9 /dl.\ '' , I dl> \ ■ COS ("' + sin i" cos {w — a)"' Idw

^«^^^'Uj + (7/T,) = ^^' U"

cos w =i= cosi^ -f sin /^ cos («: — rT)^

En vertu de ces relations, on déduit immédiatement de la première des
équations (i) la suivante:

(I)

d't
di'

a7'

)ù l'on peut introduire la valeur

dw

777

m + ''-

504 Traité des Orbites des Planètes.

L'équation (I) est notre première équation fondamentale; la seconde
ne découle pas aisément des équations (i), mais on la déduit sans peine
de la manière suivante.

En multipliant les équations (27) du n° 20 respectivement par ^^ , ^,
et ;-, et en formant ensuite la somme de ces produits, il viendra:

•i/'lv , ,A / dii dx\ , / dx dz\ , / dz dy

Après avoir différentié cette équation, on en tire, en remplaçant les se-
condes dérivées par les composantes des forces

{-CI?--)]

diJ d9\ . I dQ dL>, . I ^ii ZQ

dt - r. [-r 3- - 2/ 3:^ j + r, [^ 3- - ^ j, ) + r[îi ,- - ^ ,,,

^ dt \ dt '' dt ) ^ dt V^ dt dt) ^ dt V dt dt

Mais cette expression se simplifie beaucoup, si l'on y introduit la
valeur de la premier ligne du second membre d'après la première des équa-
tions (5') du n° 65, ainsi que les valeurs des binômes x-r- — Il 'Jj ■> ^^c.,

données par les équations (27) du n° 20. On aura alors, en considérant
la relation

ainsi que la seconde des équations (11) du n° 66, la seconde des équations
fondamentales. Elle est:

\^^' dt "•" dt dv ■

Notre troisième équation fondamentale s'obtient tout de suite en introdui-
sant, dans la troisième des équations (1) du n° 64, l'expression

Il viendra ainsi:

3 ^-J^, /<z^- M a^

de ^ dldt ^ \dt' ^ r"-l^ dz

Première l'aitie. Livre IV'.
résultat qui, en vertu dv l'équatidii (1), prend la forme suivante:

5o:

(in)

d''^ drdi
r — - + 2 ^ 4- r

df

dt dt

dii

III. Avant (l'aller plus loin, nous nous arrêtons un peu pour obtenir
les résultats précédents par un procédé rais en usage par Hansen
En différentiant les équations (25) du n° 20, uous obtenons

d^c d'i d'-yj dadç .Ifidrj dN, .^.

de=''dP-^^J^dl dt+dtdi~di^~l^'^

-kt/ 'l'fl r,d$ , d.a ^d,l\

dt,

etc.

d'ofi Ton tire, ayant égard aux équations (21) du n° 20 et (i) du u° 64,
les deux suivantes:

(2)

dt-

.N^+(ji-y'U

.dr^ + '^d, + ^i^-''^h + dt^

dN dQ

dT'l^^Vç-

Mais des écjuations précédentes, on déduit encore celle-ci:

du da da\dç v\ 1 / ''/^ 1 '^^^. I '^PAi'^'l LVA 2-^

^77 + ?-' ,7r + y-' -ft) ht ~^V + VTt+ r. -ft + r. .r) [jf + ^'^) = ,^ ■

Ensuite, les équations (;-) et (f) du n° 20 conduisent aux valeurs
du , da, , du, I /du„ . ,.,\

' dt ^ '" -// ^ '" dt r, \''t ' )

(|ui, introduites dans récpiation précédoite, la changent en la suivante:

.lu

\dt

Traifé des orbites absolues.

A'^')(;;r-*^) + (;;f+'>^)(s+^f)

3.y

3,"

506 Traité des Orbites des Planètes.

Si à cette relation, nous joignons la troisième des équations (26) du
u° 20 qui s'écrit ainsi:

(î-'-a4= +(;«■+'-*)'=

nous arrivons aux résultats que voici:

f + ..*)(f:|-,| + i^(i' + .')) = r,f|

la,,

De ces relations, on tire immédiatement les valeurs de ,— ^ — S„N et

dt ' ■'

de — 4- (x N; mais, pour sim))litier les résultats, fiutroduis d'abord une
dt '^ '

notation importante, savoir:

(3)

(4)

'^~rj^+^iS' + v') = r^{^ + N]=^,

dt ' dt

Il s'ensuit, en considérant l'équation (II),

dt ~ an ■

En vertu de l'équation (22) du n° 20, ainsi que des valeurs des déri-
vées da. et ilB données au n° 17, on arrive aux expressions

da

_._y5.^iV=-cos*(sin^^^ +

. . dQ\

sin i cos (^-tt]i

dS, , ,r ./ àt . . . de\

-^ + (x,N = cos M cos<7^ — sm V sin (7-— ,

dt ^ \ dt dt J

i\ l'aide desquelles on tire des résultats précédents les formules

(5)

di 7] s'ma + $ cosadiJ

.dQ rcosa — çsinadii
dt ^c 3C

Première Partie. Livre IV. 507

Cela étant, nous allons rétablir la valeur de N dont nous avons parlé
vers la fin du n° 22, savoir:

en l'introduisant dans l'équation (3), il viendra:

(6) r'±" = JL-

^ ^ dt i +(j'

et, avec cette relation, on tire des équations (5) les suivantes:

(7)

^ ~ -^ cos h — e — Cr) -s ,

sm I -r = = sin (t; — 9 — Cr) -- ,

dv c ^ ^ aC

en ayant égard, toutefois, à la relation

or = e 4- G^.
Reprenons maintenant l'équation (55) du n° 23, et introduisons-y les

di dQ

valeurs précédentes de -;- et de -- ; il viendra de la sorte, si l'on remplace

■^ dv dv '-

le produit sin i sin (y — 6 — G") par la notation 5,

,77.+ (■ +!J) 5= 5 — cos.^,

ou bien, en considérant l'équation (16) du n° 66,

(in.) S + C+^ft = ^^^-4f-

L'équation que nous venons de trouver doit être une simple trans-
formation de l'équation (III). Pour mettre en évidence l'identité de ces
deux équations, introduisons comme variable indépendante, dans l'équation
(III), V au lieu de t.

508 Tniité lies; Orl)iU'S des Planètes.

En coDsidéraut l'équatiou (o), nous aurons d'abord les relations

''h "'5 v/c

(8)

lit ilvr'\l + ij)

' !.. .1 .. ..'I,

d^ dr

^^'^ :

.//'•' dv'r'{l +iiy~'~ do dv r'(l + ;/)' 'dvd-vr''{l +;/)''

en vertu desquelles ou arrive, en partant de l'équation (III), à celle-ci:

(Z'5 II de d

r' d!J\

(ni„) ^ + l^l^f + i.+,rU+^^U==^

^ "' V 2 <.■ du du (■ dr

(I +ûrd!i

Mais ])uisqu"on aura, en introduisant, dans la formule (17) du n° 66,

d'J

la valeur de -^ selon 1 équation (4),

3/2 I I 'Icdi , d.Q , .C'3/2

dz 2 r'(l + ij)' dvdu ' ac '' ,■ ah

on retrouvera immédiatement l'équation (IHi), en substituant la valeur
signalée dans l'équation (IIl2)-

Je vais maintenant indiquer une troisième transformation de l'équation
(III); et dans ce but je pars de l'équation (III^)

En écrivant la troisième des équations (12) du n° 66 de la manière
suivante:

et en introduisant cette valeur dans l'équation (HI.J, il viendra sur-le-champ:

r Va,- "^ AVI' <■ ^A' rV'

équation qui, en vertu de la première des équations (14) du n° 66, se change'
en celle-ci:

(III,)

d:h , I I dr. d}, . , -N^l , /''•'»■ / I

dn 2 c dv dv ^ c

cos// 3

,'(i + IiV- i I 1 \

Preiiiièrc l'arlic. Livre 1\'. r)()'J

Miiiis revenons encore un moment à ItMiutition (OIJ pour en tirer un
résultat ipii peut être mis en usage au lieu de l'équatioti (lllj.

Dans l'écpuition (111,), ou doit finalement exprimer C' moyennant les
deux iouctions j et 5', ainsi que par leurs dérivées, ce qui s'opère en utili-
sant l'expression de ^ donnée au n° 66. En écrivant cette expression

7 = — M I — 3 3 ) *-'o« '^ ~ 2 ^ (17 '^"^ ^^' '^

où l'ou a placé w au lieu de v — v', et, supprimé tout terme surpassant
le troisième degré, il résultera de la sorte:

d'] T'ii + 7i)c<>sid<J\ / I ,,\ . , I ,'li, \di

^ *^ (lir c. 3h \ n ' / 2 ' (/v d\

, , , - , , , r' c.js i diJ j / I ,.,\ 1 d'. .

^ COS l h , ■

<■ * ah

d"

équation, où Ion peut remjilacer la dérivée partielle " par sa valeur

/i rr

A'-' r

112. Le résultat que nous avons indi(|ué par les équations (3) et (4),
et ((ui n'est autre chose que l'éciuation (II) sous une forme un peu mo-
difiée, se retrouve immédiatement des équations (2), de sorte qu'il ne se
présente pas de motif d'eu faire Texpositiou. C'est à peu près de même
quant à la déduction de l'équation (I), en partant des équations (2); mais
puisqu'il y a là quelques points utiles à observer, je m'y arrête quelques
instants.

En multipliant la première des équations (2) par ç, et la seconde par

510

Traité des Orbites des Planètes.

■q, en ajoutaot eutsuite les deux produits obtenus, et en considérant tinale-
ment la première des équations (i i) du n° 66, on obtiendra:

i:^_L ^^_ ^v/'i'^^.

4'>

'^'^) ',/r' ' '' df '"\^dt

Ou déduit, d'autre part, les relations

d-r /'''A' ^il'ç , d-r.

^V^+^=;

d!i

(b;

dt ^ \dt !

I (i) + (^) - & + '"Q

d'oïl il s'ensuit:

.d'^

^:i7^ + 'y

./■^/

i/'^y'

Avec cette relation, on tire de l'équation (a), après y avoir remplacé

N par sa valeur g-

Iv

drr

J +f/fr

,/dvY

d!J

r di

ou bien:

drr
dV'

+ ^

dr '

résultat (|ui, évidemment, est identique avec l'équation (I).

Nous allons maintenant déduire encore une quatrième équation fon-
damentale qui, à certaines occasions, nous sera très utile. '

En multipliant les équations (2) par -^f > respectivement par -t~ , et en

formant la somme des produits, il résultera:

dç\' _ td-n.''

(IV)

im'-Q)

dt

.7^-^^ j'dt+dTVdt'

dii dç dû dr/
' dç dt~^ -3^ dt

J'remi(''ie l'arlie. Livic IV. 511

Si Ton y introduit les valeurs

dtj ' \dt I \(UJ ' (i + ijyr"

dr. dç

dJ-^lû-^-^'-

et encore celle ci :

(9) d^ Ji ^ d7i dt ~' \d^ '^ d^ dv' di '

ou obtiendni, après avoir ajouté au résultat obtenu l'équation identique

W« _ AT^W'-

^-|r-^,«

l'égalité que voici :

d

dt) ^ {i +g)'r^) dQ xd{W^r--) cl{N^Î)

^ 1^ 2 dt ' dt 2 dt ^ dt

dlj d.(Jdr\ d.v jdsj\

a\Jc

di) dr dvj dt dt

Nous apprendrons, dans la suite de nos recherches, que la fonction c
s'exprime moyennant un agrégat périodique, ne renfermant que des termes
en cosinus, ce qui est, du reste, facile à prévoir. Il s'ensuit que le petit
terme que nous venons d'ajouter aux deux membres de l'équation (IV,)
pour que son premier membre fût une différentielle exacte, est aussi un
agrégat périodique, vu que la fonction Y ne renferme, outre un ternie
constant, que des termes en cosinus.

Mais nous allons mettre le second membre de l'équation (FV,) sous une
forme nouvelle qui présentera un intérêt particulier.

En considérant les valeurs de — et de .^ données par les équations
(24) du n" 20, ainsi que celles de -^ et de t^ tirées des équations (3) du
u" 6s, on exprimera facilement les produits -^-^ et -"--rr par les dérivées

'" ^ '^ dç dt dYj dt '■

512 Traité des Orbites des Planètes.

partielles de la fonctioD perturliatrice par rapport aux coordonnées r ,»/, r.
Fai ajoutant à la somme des produits mentionnés l'équation identique

qui découle de Féquation (3) du n° 16, on trouvera tout de suite, en re-
gardant la seconde des équations (11) du n° 66, la relation remarquable

d.Qdç dSJ <l-f^ _ a.y ds dU di/ d<J dz d<J

^ ' °) di Jt '^ d^ dl '^ d^ dt '^ il/ dJ '^ dJ dt^ dv '

Mais par l'équation (4), il est visible que le dernier terme du second

membre est égal à — -^^jy ' *^'^^^ ^ '^^^'^ ^^^ terme que nous avons ajouté,
avec signe contraire, au premier membre de l'équation (IVJ, pour rendre
ce membre intégrable.

On arrive à ce résultat aussi de la manière suivante.

En considérant les relations

diJdrdv dSJ dr dw
• dr du dt dr dw dt

et ensuite celle-ci

on aura sur-le-cbamp:

dv dw '-.r

di=dt-^^

,s /d!J d!J dr\ dv _ /d.Q dQ dr \ dw ^d y/c

Cette valeur, introduite dans l'équation (IVi), fera détruire, immédiatement,
le dernier terme du second membre.

Il convient d'ajouter, à cette place, une formule analogue à l'équation
(11), savoir la formule qu'on obtient en remplaçant, dans le premier membre
de l'équation précédente, v par la variable indépendante v. En rappelant
la relation

V = V + G,

Première Partie. Livre IV. 513

1)11 aura, coiiiiiH' dans le cas précédont,

,s /dJJ dU ,h-\ ,h- _ ,d!J dJJ dr \ dv 'IG'Ul

^ ~' \dc "^ drd.r) di * Ov """ dr dw ' dl "^ ,ll dl '

Pour vérifier une partie essentielle de nos formules, données dans le
deuxième et le troisième livres, je vais déduire autrement l'équation (lo).
On a (Valiord:

diJdx dIJdii dSJdz _ dOdr dlJdl diJdM
dxdi.diidt ' ds df ^' drJt ' dlJf "•" dh dj ■

Mais en vertu des équations (5), (8) et (8') du n° 65, on tire facile-
ment les expressions

— - = ces / /■ sni I cos /• (r 6) ,

dU _ r diJ r sin /- dU
dli cos /( 3z cos h 3/- '

bien entendu, après avoir fait, dans les équations citées, Ç égal à zéro.
En considérant l'équation (17) du 11° 66, nous aurons ensuite:

3/^ I 1 d}^ d!J r eos i d!J

dh I + g cos II dvdv cos II d' '

Puis, les équations (icj) du 11° 19 nous donnent:
dl . -, cos (' dv

d.h . . dv

- = (i + ,/) siiw ces (/ — e) — ,

, , -, siii i oos [n — G' — 0) (/;;

= ('+'^^) W^ .¥'

et nous avons encore :
dx

, do

Traité des orbites absolue

^ ^^ ( I + (/) sin / COS (r — (i

514 Traité des Orbites des Planètes.

En coûsitlérant finalement la relation

cos h'' ^^ cos P + sin /'^ cos [v — G

les valeurs indiquées nous conduisent à la relation

(13)

dU dl dU dh __ , -,, dU <lv

df Jf^dhdt~^^ '^■'^d^dt

ou bien :

diMx diidy diJdz diJdr , ~.diidv

(14) ^^dt+Jiidt-^V.dtr=B7dt + ^' -^'''ivdt-

Avec cette ét,falité, on parvient facilement à retrouver l'équation (10).
Mais de ré(|uation (14), on tire siir-lc-cliani]) la conclusion ini])()rtante
que ](> produit

,,dsj^ diJdv

^-ir-'"i^d^

est une fonction de termes périodiques en sinus sans terme constant. En
effet, tout ternie constant doit avoir disparu j)ar la différentiation du
premier membre de l'équation (14); c'est de même quant aux termes

— ^ -f '" — du second membre. Il s'ensuit que le terme restant du second

du dt ^ drdt ^

membre ne peut pas être affecté d'un terme constant.

Il convient, pour certains usages, d'exprimer l'équation (IV, ) sous forme
d'une intégrale, bien qu'une telle représentation ne puisse être que formelle.
Le premier membre de l'équation mentionnée étant une différentielle exacte,
il n'y a pas là de difficulté, mais quant au second membre, il faut se
contenter de la notation. On aura de la sorte:

(IV.) (S"+,T^^-=^-*''- + *V?

// étant une constante qu'il faut déterminer en considérant la valeur de la
constante arbitraire qui est ajoutée aux termes de la fonction c.

Première Partie. Livre IV. 515

113. On g'Ugue uu peu en siiiiplicitc, si l'on lulinrt la notation

(15) c = c{i +r/f:
alors l'équation (6), par exemple, s'écrit ainsi:

(16) '''dt=^^-
Cela étant, nous observons les relations

dr dr dv - r

Jt "" dv dt ^ ~ ^'' Jri '

dp r" du" r' dv dv

eu vertu desquelles l'équation (1,) se met sous la forme suivante:

d'^ -d-

^ ■'' dv^ ~^ ^l dv dv "^ r c cdr '

Dans cette équation, l'argument v est introduit comme variable indé-
pendante; mais il peut arriver qu'il se montre favorable d'eu détacher une
certaine partie, supposée toutefois un agrégat périodique, en sorte que la
partie retenue comme variable indépendante soit isocinétique avec?;. Pour
garder toute la généralité, nous allons mettre en évidence ce nouvel argu-
ment, en établissant la notation

(•7) '>^ = i\+X^

nous réservant toutefois d'annuler l'agrégat périodique y ([uand il paraîtra
convenable.

Multiplions l'équation (IJ par la constante «, et introduisons-y, au
lieu de r, la fonction p donnée par l'équation

,. =^ <L-fl = (g)
I + >, /t{i + p) ■

5 1 (j Traité des Orbites des Planètes.

Supjjosons ensuite, entre c et (c), la relation

(.8)

s/c

M^-Î)

I +s

s c'tant une nouvelle fonction qui, avec /, reste à notre disposition, à la
seule condition que l'équation précédente soit satisfaite.
On en tire, par difïérentiation

dS d^'y

I dyjc.

(■9)

Sjcdv, yj{r) dr^

l '/v'('') '^^\ _i_ '^î-'

dm..

el maintenant, il sera facile d'établir l'équation que voici:

(^■) -fk

dS

I d{) ih^ dr,

'// c , 3 > /'/('■)

dS

dS

I (i'(c'| !(/((;) dv^

où P est la fonction définie par la formule (i) du n° 85.

En considérant les équations (4), (15) et (16), on parvient à la formule

( I + r/) -^ — ~- = — -

(1 + sy-

d V„

,Q,

la fonction Q étant définie par la formule (2) du n° 85. Ensuite, si l'on
introduit, dans l'équation (19), la valeur signalée de rfy'f, il viendra:

(VI)

dS

I dsj{c) d^„

1 + .S

+

dv'fi

(I + F!r

■+;/7 ('+^H,^+:/7

r.Q-

Première Partie. Livre IV. ^>\7

Au moyen do cette équation, on trouvera l'une de.s fonotion.s S vt ^/ .
l'autre étant fixée d'une manière quelconque. Nous admettons dans la .suite
que la fonction ^, jsi elle n'est pas égale à zéro, reste peu considérable et
qu'elle ne renferme que des ternies à courte période.

Ayant introduit la variable indépendante v^, on doit évidemment
établir la relation

qui remplace l'équation (i) du n° 25. Mais l'équation (16) nous donne,
en considérant la valeur de c,

(21) dt^^^{i+S}dv^;

v(')

on sera donc conduit à la relation suivante entre le tenqts et le temjjs
réduit :

liappelous-uous la notation du n° 40, savoir: ^

t = Z+ T,
ainsi que l'expression

a

qui découle immédiatement de la seconde des équations (22) du n° 67.
Avec ces valeurs, l'équation (22) prend la forme

(23) '+T^ =

i: 7, +(0A-^'

d'où il s'ensuit:

(VII) 4^ j^ -^

^ ' dv„ dv„ d\

dT 1 + 8' ' (r) ,

1 + ,. I + — ?

)18

Traité des Orbites des Planètes.

Nous reviendrous à cette équation après avoir obtenu une autre relation
entre 5' et ç qui nous permettra d'établir une é(juation différentielle du
second ordre en T.

114. Keprenous l'équation (V) pour y introduire la valeur

"-w + 'âf-

Par cette substitution, l'équation nommée se divise, d'une manière con-
ventionnelle, en deux autres, l'une eu (/>), l'autre en ç. Nous allons dé-
terminer la fonction {p) de manière à ne contenir que des termes du type
[B), de façon que ç soit l'ensemble des autres termes, savoir, des inégalités
diastématiques. J'écris les deux équations mentionnées de la manière
suivante :

(VIII)

d-\p) 3 I d{,-)d{,p)

dvl

2{C)

^/\

dS

I dlr) ^„

3 I /d(r)Y I d-'(r)\

(^')-ÏÏCP) + M-^]-[c,(A')],

(IX)

d-ç

1 +

ds

' I d{r) .77:

2 (,•),/,.„

I -f .S.

J.S'

ï+('+'n'+:

3 fjia /d{r)\'' imd(c) dv„

/ia.d%c) /M\d{p)

2(c)'\'^"o7 {'-ydv^i + S {rf dol ' {'■)\dv^

- (. + 5)'^p + (p) +;^|[ç, {p)] - [{p),^]\.

l^f J d„,
' (c) du, ^^^' \\ + S

On voit sur-le-cbamp que la somme de ces deux équations, la dernière

Première Partie. Livre IV.

ilfl

multipliée par — , reconduit à l'équation (V); mais quant aux symboles

employés, il faut des explications.

Pur [S) et (P), on a désigné les parties des fonctions S et P qui
sont composées de termes du type (7?). On a, par consé(|uent, les formules

(P) = Z(P) + Z(P),

dont la seconde peut être remplacée, tout de suite, par une autre où
seraient introduites les expressions détaillées des synechies respectives.

Quant aux symboles [(/)) , f] et [c , (p)], ils sont introduits afin de
délxirrasser entièrement l'équation (VII) des termes d'autres formes que
celle du type {B), et, l'équation (VIII) justement des termes de ce type.
En conséquence, le terme — [c , (/?)] doit être égalé à la somme des termes
qui n'appartiennent pas au type (B), et qui se produisent, par les diverses
approximations, dans le premier membre de l'équation (VII); le terme
— [(/>) , ç], est destiné à annuler la somme des termes du type mentionné
apjjaraissant dans l'équation (IX).

Si l'on voulait déterminer directement la fonction ù/j = E au lieu de
ç, on emploierait l'équation que voici:

:ix

d-i,'

'' ,h

dS

3 I <Hr) jJ \,ll! \ , „/ dy

+

3 I (à{>-

dS
I d\c) 1 d{r) dv„

7 +

ds

\R

ds

2 ('■)' \''"o / i'^) <''V- {<■) dv„ I + .S' "*" I dv^^ (<•) dv, ^^^> \\ + S

+ (i + .^^-2(.s)-(,+.;/)^(.+;|^)-(;i((i + 5)^p-(P))

520 TraitA des Orbites des Planètes.

Cette équation paraît, il est vrai, un peu plus compliquée que l'équa-
tion (IX), mais en revanche elle renferme le produit de P par — = i — 5^'\

produit dont nous supposons le dévelojjpement immédiatement donné en
vertu des formules que nous avons données dans les deux derniers chapitres
du livre précédent. Or, la division par i — rf' est une opération très facile;
mais c'est de même (|uant à la considération des termes par lesquels l'équa-
tion (IXj) diffère de l'équation (IX). On peut donc dire que les deux
éc|uations mentionnées se pi'êtent également bien à la détermination des
inégalités diastématiques.

Puisque la fonction Q dépend de f, ce qui est visible, par exemple
par la formule (y5) du n° 94, les équations (VI) et (IX) forment un système
simultané qu'il faut intégrer. Nous allons montrer prochainement comment
s'opère l'intégration demandée en tenant compte, dès le début, des termes
du second ordre; pour le moment nous nous contenterons d'un résultat
moins rigoureux, mais (|ui suffit ])our notre but immédiat, toutes les fois
où il ne s'agit que de termes à longue période.

Nous allons voir, dans ce qui suit, que, dans l'équation (VI), le terme

-^=r sera compensé par un terme analogue se troi;vant dans l'expression

v/(--) <;<•„ ' ' ' , , . .

de Q, de telle manière que les termes sousélémentaires du type [A] qui

fis

sont encore contenus dans l'expression de -— seront du deuxième ordre

tout au moins. Une autre partie des termes de Q seront annulés par la
fonction y, et une troisième partie, par (S). Il s'ensuit que, si l'on dé-
signait la somme des termes à longue période par ,s', et tjue l'on posât:

(24) Ç=2« + f,

les termes à longue période qui sont encore contenus dans l'expression de
la fonction "ç seraient très petits. On a donc obtenu par la valeur 2,S, je
ne veux pas dire une valeur approchée de ^, mais bien une expression
telle de cette fonction cjne, si on la met au lieu de c, dans l'équation
(VII), les termes restants, qui ne seraient pas mis en évidence, n'entreraient
pas notablement agrandis dans l'expression de T.

Il convient de signaler l'équation en ç, s'obtenant immédiatement si
l'on introduit, dans l'équation (IX), la valeur (24) de ç.

Première Partie. Livre IV.

521

La

(IXJ

S +

r75

2 (-•) ^ T+s__

S + ('+^)'0+ïn

as

+ j(, + .sr-=(s)-(. +,r(, + ;y|;;f

=c + ^)'0 +!;)"«-=?

dS

I d{c)

dv„

ds

('•) dv.

"

i + S_\

dv^

- (I + syv + (P) + {[c, (^.)] - M, çjl'i;*.

Certes, le second membre de cette équation renferme encore des termes
à longue période, mais ces termes-là sont beacoup plus petits que ceux qui
font partie de ,S', et ils ne deviendront pas agrandis par l'intégration.

Du reste, on pourra facilement transférer ces termes à ,S' afin d'obtenir
cet agrégat périodique si complet qu'on voudra.

Une remarque d'un certain intérêt .se rattache à l'équation (VIII).
En la comparant avec l'équation (47) du u° 14, on s'aperçoit immédiate-
ment de son analogie avec cette dernière. On sera donc à même de con-
clure que, si la fonction [p) se montre toujours inférieure à l'unité, la
courbe définie par la relation entre (r) et [p] est une courbe périplégma-
tique. En effet, les termes de l'équation (VIII) qui sont représentés, dans
l'équation (47) du n° 14, par X, restant très petits tant que [p) est une
quantité peu considérable, les conditions nécessaires, expliquées dans le nu-
méro mentionné, sont remplies.

115. Lorsqu'il s'agit de l'intégration de l'équation (VU), il se pré-
sente deux routes différentes à suivre. Ces deux alternatives se distinguent
par le choix de la variable indépendante, savoir ou le temps réduit C ou
l'angle v.

Traitt' d(s orbites absohies. Çg

522 Traité des Orbites des Planètes.

Certes, il y a plusieurs avantages qu'entraîne lemploi de la variable
C, mais ces avantages ne deviendraient actuels que si l'on avait développé
la fonction perturbatrice suivant les multiples de G et de G'; et outre cela,
il y aurait alors des motifs pour changer, dans l'équation (VIII), la variable
v^ en C, ce qui aurait rendu plus compliqués, non seulement le procédé d'in-
tégration, mais encore le résultat: on se serait trouvé, en effet, dans une
position analogue à celle, dans la théorie képlerienne, où l'on aurait
voulu éviter l'emploi de l'anomalie vraie pour exprimer immédiatement le
rayon vecteur comme fonction du temps. On doit donc penser que le
choix de l'argument v^ comme variable indépendante l'emporte sur celui
du temps réduit.

D'autre part, l'abandon de la variable dernièrement nommée entraînera,
on ne doit pas le nier, une certaine complication quant à l'équation (VII),
complication qui sera sensible, surtout quand il s'agit de déterminer la diffé-
rence T — T ou bien, la fonction U, définie par la troisième des équa-
tions (3) du n° 40. Mais les difficultés en naissant seront d'une nature
moins grave que celles ayant leur origine dans l'introduction du temps
réduit comme variable indépendante. Je me réserve cependant, pour cer-
taines occasions, d'employer cette variable.

Après avoir déterminé la fonction »S' en vertu de l'équation (23), ou
bien, d'une manière que nous allons connaître prochainement, on parviendra
à déduire les fonctions (p) et ç, après quoi la fonction T s'obtiendra en
intégrant l'équation (23), qui s'écrit de la manière suivante

dT {ry \ l +s ,1

(25) â, -

V/M ^4.11

1 +—S

Cependant, bien qu'on puisse, le plus souvent, déduire, de la manière
indiquée, un résultat assez approché de la vraie valeur de la fonction
cherchée; une solution absolue ne s'en obtient pas, c'est à dire une solu-
tion en forme trigonométrique dont la convergence uniforme puisse êti"e
mise en évidence. Pour y parvenir, on doit recourir à l'équation (VII)

qui devient, après y avoir remplacé le terme " , par la valeur tirée de

l'équation (VI),

Première Partie. Livre IV.

523

I dsic)

(1 +sy-q

1 +

(.+<7)(.+f

\ d y„

^ +

<?=■)

<ii;„

I +

'^Z

I +

ir).

OU bien, eu introduisant au lieu de (i +5')^ la valeur découlant de l'équa-
tion (23), celle-ci:

(26)

d'T
d^

^ {ry- dv„

[ry

I rfv'W

(-f^.sy(-'?-f

v'('-)

V/(C) ^^î^o

'-K-sfj

'('•)

+

1 -f

^

(?(;„

I -f-

d{p)

+

3i_'iW

2(r) dv, I -f (/5)ciy„ (Zr
dv^

I +

(r)- dv„

Dans cette équation, la fonction S se trouve éliminée, mais il y reste
encore la fonction ç inconnue. Or, jjuisqu'on a établi la relation (24), on
23ourra mettre, à la place de ç, une fonction qui, du moins quant à sa
partie lentement variable, est connue. J'opère l'introduction de la fonction
2S au lieu de ^ de la manière suivante.

Soit T une fonction qui dépend de S moyennant l'équation

(27)

, dT

I -f .S'

li\ (1+2,9)^'

il s'entend que T , en ne considérant que les termes à longue période, n'est
pas beaucoup différent de T.

De l'équation (27), il découle réciproquement le développement

(28)

3 dv, "^27 \dv.

68_ /<^y,

243 \dvj + • • • '

qu'il convient de signaler.

Admettons encore la relation

129)

dv„
I + S

(■ + sy

(I + 2S)

-.Qo + 2N(ii +4.S'Q3 +

+ S,

524 Traité des Orbites des Planètes.

les premiers termes du second membre étant la partie de l'expression de

° qu'il convient de considérer ici. Le dernier terme E est ajouté à

l'équation établie pour y transférer non seulement tous les termes à longue
péi-iode nécessaires pour détruire les termes de ce genre se produisant
d'abord en f, mais encore, pour introduire, dans cette équation, un certain
nombre d'autres termes qu'il convient de considérer simultanément avec
les termes dont la détermination est notre but principal.

On a introduit, dans le premier terme du second membre, le dénomi-
nateur (i + 2S)^, vu que la fonction Q donnée par l'équation (2) du n° 85
est affectée du facteur

,2 001

I + ~ -

Cela étant, si nous différeutions l'équation (27), il viendra:

d'f ds

d^ d^.

<^ ■" i + s\ 31 + 2,SV

équation qui en veiiu de la formule (29), et en con.sidérant le développe-
ment de S suivant les puissances de -;— , prend la forme

dv^ ^

f^, '^■"^' - .1,1 'S-'ï' , 103 .àTy\- dj[ i3dT

Cette équation n'étant pas entièrement indépendante des fonctions T
et /, vu que ces fonctions apparaissent dans les arguments, ou pourra ce-
pendant l'intégrer en négligeant, dans une première approximation, ^ ainsi
que la différence T — T. On aura ainsi une valeur approchée de T qui
s'exprimera, nous le verrons, moyennant une série trigonométrique uni-
formément convergente. Après avoir obtenu ce résultat, on formera, en

■ Preini('u-e l'artie. Livre IV. 525

retranchant l'équation (X) de l'équation (26), une nouvelle équation du
second ordre, où la différence T — T et la fonction ;f entrent comme in-
connues. L'une de ces quantités peut être prise à volonté, l'autre se trouve
ensuite, en intégrant l'équation restante. (3u y pourra égaler à zéro, soit
la fonction ;f, soit la différence T— T : mais on pourra aussi les choisir
d'autres manières, ayant toujours en vue de pousser, autant (|ue possible,
la convergence des développements.

En ne considérant que les termes à longue période, il est visible que

la dérivée — - doit être considérée coinme une quantité notablement plus

petite que la fonction T elle-même. En particulier, lorsqu'il s'agit des
termes élémentaires du type {A) entrant dans l'expression de T, ces termes

deviendront sousélémentaires du premier ordre dans l'expression de y- . Il

s'ensuit que la fonction S déterminée par le développement (28) est, en

général, une quantité peu considérable, d'où l'on conclut finalement, eu

d"
considérant l'équation (22), que le rapport ~ reste peu différent de l'unité,

du moins s'il ne s'agit que de termes à longue période. Voilà la con-
firmation de la loi de Kepler telle que nous l'avons annoncée au n° 25.

116. Il nous faut encore introduire, dans les diverses équations (III),
l'argument i\ au lieu de v. Ces équations n'étant toutefois pas réellement
distinctes, il suft'it d'opérer la substitution mentionnée dans l'équation qui
se prête le mieux à nos intentions, savoir l'équation (IIIJ. En rappelant
la relation entre v et ('„, on déduira sans peine le résultat que voici:

(XI) s +

dol

dS
l I d{r) dii,

2{c) dv, I -f- 'S'_

'X\

^^ + {^+W[^+^)^

= (i +5)Mi(^' — ^cos//).

L'équation obtenue doit être divisée en deux autres, dont l'une donne,
par l'intégration, les termes élémentaires du type (i/), et l'autre, les iné-

52G Traité des Orbites des Planètes.

galités auastématiques. Dans ce but, cherchons les sjuechies des indices
I , o et — I , o appartenant au second membre de l'équation signalée.
En vertu du développement

(7) R = IC + ^R'/' cosw + 2Rf cos 2W + ...

+ jR*" + 2RV' cosw + 2R</> cos 2w + . . .}h
+ ...

on déduit immédiatement celui-ci:

(13) UcosH = Rf' + (R<»» + Rf ) cos w + (R'i»' + R^"') cos 2w + ...
+ jR'/' + Rr + (R!," + Ri" + 2Rn cosw

+ (RV' + R^'^ + 2Rf) cos 2w + . . . }h
+ ....

Mais les coefficients des développements (a) et (/9) sont des fonctions
de (p) , (/?') , )y^ et r/''. En introduisant les expressions de ces coefficients,
lesquelles s'obtiennent facilement en considérant l'équation (25) du n° 87,
en négligeant les termes surpassant le second degré, et finalement, en ad-
mettant les notations

2ff\ I , S , ^'\^y = R''(0 , S , s').,,/ + R"(2 , s , s').,.- ,

2r/°(2,S,s').y = R"(i,s,s').,„ + R"(3.s,s').,,,
etc.;

^'(0,S,S')..y = 2R'(I,S,S\, + R"(0,S,S%„.,
2r/'(l,S,S'X,y = 2[R'(0,S,sV + R'(2,S,sV + R°( 1 , S , S')„„] ,
2^'(2,S,SV = 2[R'(I,S,SV + RX3,«,S').,. + R°(2,S,S')„,„],

etc.,

Preinièie Partie. Livre IV. 527

les développements (a) et (/9) se clKuiyent en ceux-ci:

(r) J R = K"(o,o,o)„,„ - ir(o,o,o),,„r/^ + ir(o,o,o).,,,r/'^

+ u°(o,i,o)„,„(^.) + ir(o,o,i)„,„(/y)

+ R\0,2,0\,[pf + ir(0,M,),,„(/.)(^/) + ir(0,0,2)„,„(^/)'^

ir(i,o,o)„,o — ir(i,o,o),,„^'^ + K"(i,o,o)„,,x/'^

+ 2. +K''(l,I,o)o,.(^>) + ir(l,0,l)„,„(^/)

. + iv{i,2,o\,{py + ir(i,i,i),,„(^>)(^/) + ir(i,o,2X„(/
+ . ..

+ 2{R'(0,0,0)„„ + 2R'(l,0,o)o„COS\V + 2li'(2,O,o)„„C0S2W + . . .jh

{f}) jRcos/f = E"(i,o,o,)o.o — R°(i,o,o),,„ry'^ + R"(i,o,o)„,,r/'^
+ R»(i,i,oV„(^.) + R°(i,o,i)„,„(//)
+ R°(i,2,o)„,„(^>)^ + R''(i,i, .),,„(/.)(//) + R''(i,o,2)„,„(^/

,(/°(i,o,o)„,„ — //V,o,o),„y/ + //''(i,o,oj„,,r/'
+ .V"! I , I ,o)„,o(av) + l/\ 1 ,o, I )„,„ (/>')
+ ^»(l,2,0)„,„(/,)=+^\l,I,l)„,„(/,)(^y)+^»(.,0,2),,„(^')'l

+ ...

+ {i'Xo,0,0)„„ + 2^Xl,0,o)o,„COSW+2^'(2,0,o)„„COS2W+...jh

+ ... .

En multipliant les expressions (;-) et (à), la première par j', et la
seconde par 3, nous aurons, sans compter le facteur (i + Sy, les deux
produits qui forment les termes du second membre de l'équation (XI). Il
s'agit d'en séparer les termes élémentaires du type (B).

528 Traité des Orbites des Plauètes.

Si l'on ne met eu évidence, dans les produits nommés, que les termes
jusqu'au troisième degré inclusivement, ou en pourra distinguer trois groupes:
le premier contient les termes du premier degré; le second, les termes du
second degré par rapport aux fonctions diastématiques et du premier degré
par rapport aux fonctions anastématiques; les termes du troisième groupe
finalement sont indépendants des fonctions diastématiques et, en conséquence,
du troisième degré par rapport aux fonctions anastématiques.

Quant aux termes du premier degré, on consultera d'abord les for-
mules du groupe G du n° 6i, d'où l'on tire:

Zv {]' cos w) = - /' sin (v — //' — Q' -\- 0')

= ^ /' sin (v' — ^' — i2' + 0' + V — v'),

formule qui s'écrit, en uégligeant la fonction (C), de la manière suivante:

2y (,V cos w) = - ]' cos (v — v') + - --, sin (v — v').

On voit maintenant que les termes du premier degré qu'il faut placer
au second membre de l'équation (XI) sont ceux-ci:

{e) j^ ! — ir(i ,o,o)„,„5 + ir(i ,o,o)„,„3' cos (v — v')

+ R«(i,o,o)„,„|,sin(v-v')j.

Les termes du second degré par rapport aux fonctions diastématiques
se produisent seulement des parties de R et de Rcosw qui sont indé-
pendantes de h. En inspectant les formules des groupes G du n° 6i et J
du n° 62, on parvient aux expressions suivantes où ne sont considérés c|ue
les termes du second degré relativement aux fonctions diastématiques, et
du premier, quant aux fonctions anastématiques:

Pioiiiière Puitic. Livre IV. 529

j^J|Z.(R3') + 2:l(iv)i

= ^|R<'(o,i,i)„,o + 2çj'-'E»(o,i,o),,„|/,,j7'[sm(Lr + F-F')+sin(lJ'-F-F')]
-Ur^R»(i,o,o),,„ + ^ç'--'li''(.,o,i)„,„

+ -R''(i,o,2)„„U/7'sin(— IV + 2F' + V — v')

+ j-«l»(i,o,o),,,^= + R»(i,o,o)„,,,y''^ + 3(sV'' + ç!'-')K°(i,o,i)„,„r/'^

+ \ ir(i ,2,o)„,„yy' + l ir(i ,o,2)„„r/'^ j /' !sin {V + v— v')

+ - R°(i,2,o),,„5y-/' sin (ir — 2F + V — v')
4

+ ^[c!' 'R»(2,i,o).,,„+iR»(2,i,i).,,„],j-,//'sin(ir-F+F'+2(v-v')),

I 1,0 -1,0 I

^^ I Zv(R cos // . ,:;) + Zy (R cos Jf . j) |

= U(R°(i,o,o),,,-~R»(i,2,o)Jr/ + tai,o,o),,,, + Mi«(i,o,2)Jr/'^L

+ -R°(i,2,o)„,„,=/sm(U-2F)

+ j-U-V-\'7"(i,i,o),,,„ + ^.7"(i,.,i),, ly,,;.'/sin(lT-F + F' + v-v')
-Uf;'"\r/°(i,i,o)„,„ + ^,^"(i,i,i)„.„Ly//sin(-U + F + F' + v-v')
-Uçl'-'^°(i,i,o)„,„+ir/«(i,i,i)o,oL,y'/siu(-U-F + F' + v-v')

-U5-=//"(2,o,o)„,„ + 3ci-'//°(2,o,i)o,„

+ '.r/»(2,o,2)„ Jr/Vsin(-U + 2F' + 2(v-v')).
4 I

Dans ces formules, on a employé la notation du n° 32, savoir:

U = v — ,y — (i^ — 0).

Traite des orbites absohics. 57

530 Traité des Orbites des Plauètes.

Cherchons finalement les termes du troisième degré par rapport aux
fonctions anastématiques. Dans ce but, établissons les expressions

Zv (5'h) + zVh) = \ r <Po si» (U' + V - V') + ^ 7' 0, sin (U' - v - v')

— ' 7' </»., ces (U' + V — v') + - I'<D^ cos (U' — v — v').

On a de plus, en omettant les termes inutiles,

h cosw = - (l>^ + - '^i cos 2v + :, '^a sin 2v,

h cos 2w = - (p^ cos (v — v') </'„ sin (v — v'),

d'où l'on tire facilement les expressions

1,0 —1,0

ZvC^h cosw) + Zv(-ih cosw) = - 0^;^, + - 0Jhiu (U — 2v)

- 4

+ - c/A,/cos(LT — 2v),

0,1 --1,0

2v(3'h cos 2w) + Y.u(] h cos 2w) — - 0^1' sin (U' + v — v')

4

+ - 0.J' cos(U' + V — v'),
4

1,0 —1,0 1.0 —1.0

Y,v{i'h COS w) -\- Sy(à'h cos w) = 2y(,')h cos 2w) -f- 2^''(3h cos 2w) = o.

Par les formules que nous venons d'obtenir précédemment, il est vi-
sible que les termes du type (B), qui sont du premier ordre, faisant partie
du second membre de réquation (XI), renferment comme facteurs, soit (j),
soit (j'), soit encore les dérivées de ces fonctions par rapport à v, respec-
tivement à v'. On en conclut nu résultat de la forme suivante:

1.0 —1,0

i;:.(R(3' -,5 cos//)) + Zv(R(5'-5 cos //))
= [-r + (//) + (/)](ô) + [(//),+(A}^^+[rcos(v-v')-f(/y')+(/')](3')

+ [r «in (v - V) + (//'),+ (m ^>

Preniière Partie. Livru IV. 531

les [H) , {H)^ , {H') et (//')j étant des fonctions du second degré des fonc-
tions diustcmatiques, c'est-à-dire, de [p) , (p') , -~ et , les (/) , (/)j,
(/') et (/'),, de pareilles fonctions des fonctions anastématiques, ou bien
de (,^) , (j') , — ^ et . , et j-, une constante donnée pur la formule

dv

cW

r=^:^ir(i,o,o)„,,.

Après avoir établi ces formules, la séparation des termes du type (Z?)
s'effectuera immédiatement. En effet, si l'on se rappelle la relation

?, = (.)) + <>3.

on parvient tout d'abord, en vertu de l'équation (XI), aux résultats qu'on
pourra écrire de la manière suivante :

(XII)

<.f + 2M^^'-t^^)>+('^'^

'M

dw

dV,) , I I d{c)d(}^

= ir cos (v - V') + (//') + (/')](V ) + [r ^i"^ (V - v) + (//'), + {i-\] ^

+ [(5), 'A)] -[^,(5)],

(XIII)

di'l

+

dS
dv„

2 (-•) dv^ I -f S

dài , , -^9/ dy

^; + (i+//)-(^+4

^(.-f6rR(5'-3cosi/)-f^^

+ [r- (/O- (01(5) -[(/O, +(/),] 7^7

-[rcos(v-v') + (//') + (/')](3')
-[r«in(v-v') + (//')i+(n]^^-
+ [^5,(5)]-[(5).^^^5]-

532 Traité des Orbites des Planètes.

De ces équations, hi première se rapporte aux termes du type {B),
et la seconde conduit à déterminer les inégalités anastématiques.

Je ne tiens pas nécessaire de mettre en évidence, à cette place, les

expressions des fonctions {E) , . . . (/')i, vu qu'elles dérivent facilement

des formules que nous venons de donner précédemment. Mais il nous

faut ajouter une remarque relativement à l'apparition de deux espèces de

dérivées, les unes par rapport à v^, les autres par rapport à v et à v'.

Evidemment, si l'on avait introduit la variable v^ au lieu de v, on aurait

dû aussi remplacer la variable v par le nouvel argument v^ donné par la

formule

v„ = iK — G.

Il nous faut donc, dans les équations obtenues dans ce numéro, mettre v^,

dix)
au lieu de v et vô au lieu de v'. Mais la dérivée -^ peut être remplacée

immédiatement par V^ , sous réserve, toutefois, qu'on détermine la fonction
[C] de manière à remplir la condition

^^=icosU + (0.

On pourra aussi, dans toutes nos équations différentielles, changer la
variable indépendante v^ en.v^, en utilisant les formules générales

dF I dF

dv„ dG dVa

dv,,

(30)

d'G
d'F I d-F dvï dF

' + ^J V + dV.

Première Paitii'. Livre IV. 533

CHAPITRE II.
Début des (f2>i>ro.viin*itioiis successives.

117. FiguroDS-nous que le point de départ de nos études sur les
mouvements des planètes soit tel qu'il il'y ait rien de connu, excepté les
masses du soleil et des planètes, ainsi que les positions de ces astres à
une époque déterminée, av^ec leurs vitesses relatives: on demande comment
entamer les approximations successives?

Nous supposons, conformément aux idées qui nous guident dans le
présent travail, non seulement que les masses des planètes soient de petites
quantités relativement à celle du soleil, mais encore que les valeurs des

quantités - t, , ^ , - ~r; soient, à l'époque dont il s'agit, peu sensibles. La
■■■ r dt r r dt '■ ^ ^ ■ i

sujjposition mentionnée s'exprime d'ailleurs de la manière suivante.

Les positions et les vitesses des divei'ses planètes étant connues à une
époque donnée, les éléments képleriens osculateurs le sont aussi, vu qu'il
est seulement une simple question du calcul numérique de transformer les
coordonnées avec leurs variations en éléments elliptiques. Notre supposition
revient donc à admettre peu considérables les valeurs osculatrices des ex-
centricités et des inclinaisons mutuelles des orbites des diverses planètes.

Mais même avec cette restriction, il sera assez difficile de trouver
l'entrée aux approximations successives par lesquelles, s'opère l'intégration des
équations fondamentales, c'est-à-dire, des équations (I)— (XIII) du chapitre
précédent. En effet, si on les examine, on voit immédiatement qu'aucune
d'elles ne constitue une équation isolée et indépendante des autres. Par
là, ou serait généralement obligé de recourir à des équations, ou bien à
des systèmes d'équations d'un ordre plus élevé que le second, s'il ne se
présentait pas un moyen plus convenable, quand même il serait artificiel,
d'attaquer notre problème, en apparence peu accessible.

Qu'on ne 2)ense pas, en s'efforçant de tx'ouver un tel moyen, à la
substitution, au lieu des coordonnées vraies des différents corps, de leurs

534 Traité des Orbites des Planètes.

expressions elliptiques, les éléments ayant des valeurs osculatrices. De la
sorte, on ne saurait éviter des développements suivant les puissances du
temps, lesquels, bien qu'ils puissent être convergents pendant un intervalle
limité du temps, ne le sont certainement plus, lorsque la valeur du temps
aura excédé un intervalle déterminé. Mais de tels développements ne con-
stituent jamais des solutions absolues. Ce serait de même, si l'on admettait
les éléments elliptiques affectés des inégalités séculaires procédant suivant
les puissances du temps.

D'autre part, en exjjrimant les coordonnées moyennant les expressions
élémentaires, les constantes y entrant seront, au commencement du calcul,
inconnues, vu que les différences entre les éléments absolus et les éléments
képleriens sont, généralement, trop grandes pour être négligées, même à la
première approximation. Seulement les protomètres peuvent être considérés
comme approximativement déterminés, parce que l'écart entre cet élément
des diverses planètes et le demi grand axe de l'ellipse képlerienue est
certainement une quantité minime, tout au plus de l'ordre des masses
troublantes.

Avec les valeurs des protomètres ainsi obtenues, on pourra cependant
calculer les transcendantes d'où déj^endent les coefficients du développement
de la fonction perturbatrice, et, établir ces coefficients, les fonctions {p),
(/)') , jy, etc. y entrant étant encore indéterminées. On pourra, en d'autres
mots, mettre en évidence, numériquement, les équations fondamentales,
mais leur intégration ne paraît pas encore avancée d'un seul pas. Dans
cet embarras, nous allons mettre à profit une propriété spéciale des termes
du type {B).

En introduisant, dans l'équation (VI), les termes du type {B) d'après
la formule (24) du n° 103, et en écrivant v^ au lieu de i\, ou aura un
résultat de la forme

^'" .^sin(v-«)'--'+/")+ ...,^

(I +(S))

tj étant le coefficient A (0,1 ,0,0, i),,,,,^^' + ■ ■ • > et iiinsi de suite.

' On aperçoit ai.*émeiit (|ue tim? les termes, dont la somme forme le coefficient de
îin F , disparaissent, vu qu'ils sont multipliés par le facteur 11,

Première Partie. Livre IV. 535

Certes, il paraît superflu de retenir le dénominateur (i + (5"))% les
termes du second ordre étant surtout négligés: je Tai mis en évidence
seulement pour garder l'uniformité avec les équations que nous allons traiter
un peu plus tard. Quant aux arguments des termes du second membre,
on pourra remarquer qu'ils sont presque indépendants de V et, en consé-
quence, de U, fonction qui renferme la réduction du temps (voir les équa-
tions (3) du n° 40). Seulement dans l'angle ô)', si on l'exprime comme
fonction de la varial)le r„, les- réductions du temps T et T apparaîtront,
mais alors multipliées par des facteurs de Tordre des forces troublantes
(voir l'équation (14) du n° 41). Mais il faut encore observer que, si la
fonction ^ n'est pas égale à zéro, les arguments du second membre dé-
pendent de l'angle v = v^, -|- ;^, Dans l'aperçu présent, nous admettons
cette fonction négligeable, et nous écrivons, en con.séquence, v au lieu de
\\ , aussi dans le premier membre.

L'équation que nous venons de signaler s'intègre aisément: si les
£, cos (-' — F'), etc. sont des fonctions connues de v, on obtient le ré-
sultat tout de suite, mais, dans le cas opposé, on pourra signaler le résultat,
du moins quant à la forme, et en donner une valeur approchée. On y
suppose, toutefois, que les fonctions s^ cos (tt' — F'), etc. s'expriment moyen-
nant des agrégats périodiques ne renfermant que des termes du type [A).
Les valeurs approchées des résultats s'obtiennent tout simplement en mettant
en usage les procédés d'intégration que nous avons élucidés dans le n° 102.

Après avoir déterminé les termes sousélémentaires du type [B] faisant
partie de la fonction S, on va établir l'équation (VIII), c'est-à-dire, on
formera les expressions avec coefficients numériques des divers termes
entrant dans cette équation. On y doit observer la valeur de (c) découlant
de la formule (y5) du n° 103, savoir, en négligeant la partie (/i) qui est
inutile quant à présent,

On en tire:

, . _L^l(i) = _ 2 ''y' ^^^^ 'M

écjuation qui nous pourra être utile à diverses occasions

536 Traité des Orlntes des Planètes.

On obtiendra également des résultats semblables relativement aux
fonctions -S" , [p') et (c') ; et ensuite, on établira, d'après le modèle de l'équa-
tion (XII), deux équations, l'une en (5), l'autre en (j').

De la sorte, si le nombre des planètes est deux, on parviendra à un
système de quatre équations, chacune du second ordre et du troisième
degré. Mais si l'on considère, à la fois, toutes les huit planètes princi-
pales, le nombre des équations simultanées sera seize. Il s'entend que l'inté-
gration du système mentionné sera une affaire extrêmement compliquée:
cependant, en faisant usage d'une méthode de réduction que j'ai donnée
dans le mémoire «nouvelles recherches etc.)), on parviendra à accomplir
cette tâche moyennant des approximations successives, dont la première
s'opère par l'intégration d'un système de seize équations linéaires, équations
qui cependant jouissent de la propriété d'être horistiques, et qui en consé-
quence, se prêtent à chercher des solutions uniformément convergentes.
Considérées comme équations linéaires, les équations mentionnées se divisent,
du reste, en deux groupes, formant cliacun un système de huit équations.

Par ce que je viens de dire, il s'entend que notre point de départ
doit être l'étude de la fonction S.

118. Il s'agit avant tout de montrer que les termes du type [A)
qui apparaissent dans l'expression de la fonction S, sont sousélémentaires
du premier ordre tout au moins; autrement, c'est-à-dire, s'il y avait là des
termes élémentaires, la fonction ~T renfermerait des termes sm-élémentaires,
ce qui rendrait la solution impossible.

Dans le but proposé, reprenons l'équation (IVJ, et portons-y la valeur
de r exprimée en p et (c). Nous aurons, par un calcul assez simple les
expressions

;■ + <jY

1'-' \(^pV ^i+pd{,-)dp (1 +py /d{c) '1

Prcniiri'c I';ii'lic. Livre I\'. ','.\'

Posons, |)(nir siinplilier un [iimi,

1 + ,S'

1 + >
et encore:

p]n vertu de la formule (yî) du n° 103, laquelle, si ^ n'est pas étral
à zéro, et que v^, soit pris pour variable indépendante, s'écrit ainsi:

ou obtiendra, en rapjielant l'équation
le résultat:

"'+(:v^)'= '"+'''■

Maintenant, si nous formons la somme des trois premiers termes du
premier mend)re de l'écpiation (I\'.J, et (|ue nous désignions cette somme
par X, nous aurons:

(2) x=-^ + /^|(■+^.)^+(;^)'|(2l■+n+^;^(, + )V(.l+^')+;;:^^

Quant à la première intégrale du second mend)re de ré(iuation (IV.J,
voici quelques remarques.
Posons d'abord:

(3) ^-/(t +

dr <lr'

il s'agit d'intrnduire, dans cette formule, la variable indépendante \„ a
lieu de r

Traité des orbites absolues. (Jg

538 Traitii des Orbites des Planètes.

Pour y arriver, nous observons la relation

^' = v„ + / + G,
ainsi que celle-ci:

du d\\ '

en vertu desquelles la formule (3) se change en la suivante:

(30 ^'=/(:i+:-?>.+./¥(i.+i7>v

D'ailleurs, les valeurs

S = r cos(V(, + ;ir + '^); 7} =- r sin (v„ + / + O),

^ = cos(v„ + ;. + G)- - r,(i + j^^ + ^-^J,

§l=-(^o+^+^):^+<'+S-+S

donnent surle-ebani]), si l'on considère les équations (11') du n° 66, ainsi
tiue ré(juation (4) du chapitre proccdent, l'expression signalée de l'inté-
grale Ij

Maintenant, si l'on forme le produit des expressions

dr
dv^ "

py'dp r d{r)

on obtiendra :

3/2 dr _ dQ dp I dQ d (c)

dr c/v„ dp dv^ pr dp dv^

Ensuite, si l'on reprend l'équation (38) du ' n° 70, et qu'on y mette v^
au lieu de v, ce qvii est permis parce qu'on doit, en même temps, con-
sidérer p et (/) comme fonctions de v^, et non ])lus comme fonctions de
v, on j)arvi(>iidra i"i la relation

d\\. dp d\\, '■"" ' dp \d\„ ^

Première Partie. Livre IV. 539

Ayiint obtenu les relations deruièrement mentionnées, nous allons les
introduire dans l'expression (3'), ce qui nous amènera à l'expression

(3") i.'=D.i^ + ?^(f-(A)— ^^)+:^(f 4-"^'^

h' étant mis à la place de -p- •

Il convient de s'arrêter un moment à la formule trouvée pour la rap-
procher de l'expression de L' , qu'on era^jloie, à l'ordinaire, dans la théorie
de la variation des constantes arbitraires. On sait que cette fonction y joue
un rôle proéminent, et qu'elle y entre sous forme d'une dérivée partielle.
En désignant, en effet, par c l'élément elliptique longitude moyenne à
l'époque, on a établi l'expression

as

Les deux valeurs que nous venons d'assigner à />' devant être iden-
tiques, on demande si l'on peut toujours satisfaire à cette condition par
la seconde. Il s'agit, en d'autres mots, d'examiner si cette valeur est
toujours l'expression rigoureuse de la fonction L'.

Admettons, pour simplifier la question,

(/ = Ct = X — o,
ce qui nous permettra d'écrire

(4) 3„ + a, do ~ "^" ^ Sp [do ^^'> nrdo )

Mais quant au premier membre de cette équation, on voit facilement
qu'il ne peut pas être identi([uc avec la dérivée partielle mentionnée, à
moins qu'on n'ait:

re sin {v — /T,)(//T, + r cos(^' — 7t^)ile = d[a{\ — e')],

e étant l'excentricité elliptique, Tj , la longitude du périhélie, et r/ , le demi
grand axe. '

' Annales de l'observatoire de Paris, I, p. 235.

.")-10 Tniitc fie? Orliites ilrs l'ianèti's.

Cette couditiun ])eut être remplie de diverses manières; d'abord en
supposant les éléments constants, mais encore, en substituant, pour leurs
parties variables, l'ensemble des inégalités du premier ordre, ou bien, les
inégalités jusqu'à un ordre quelconque. Mais elle ne sera pas satisfaite,
si l'on y met, au lieu des variations totales des éléments, une certaine
portion de leurs inégalités, par exemple les inégalités séculaires. On voit
en effet que, si l'on remplace les éléments e , tTj et « par leurs expressions
séculaires, le premier membre de lécjuation signalée renfermera des termes
dépendant de 2V, termes qui ne seront pas compensés par de pareils termes
du second membre. Il ne sera donc pas légitime de représenter de la sorte

les fonctions mentionnées et en même temps mettre l'expression " à la place

de L' . Il jniraît découler par là (jue les formules données par Poisson dans
sou célèbre mémoire de 1816, se prêtent seulement aux développements
qui procèdent conséquemraent suivant les puissances des forces troublantes,
développements où apparaîti'a, inévital)lement, le temps bors des signes
trigonométriques, et qui, en conséquence, ne pourront pas constituer des
solutions absolues. En d'autres mots, après avoir détaché de la fonction
perturbatrice, la partie dite partie séculaii'e, les formules bien connues des
variations des éléments ne s'appliquent plus, les expressions séculaires étant
considérées comme une première ajiproximation.

119. Kevenons à notre équation (IV^) ([ui joue, en quebiue sorte,
le même rôle dans la théorie des orbites absolues que joue, dans la va-
riation des éléments képleriens, l'expression du demi grand axe.

En portant, dans léquation mentionnée les expressions (2) et {j"), il
viendra:

(=+''jl(^+^h

l'iviiiiciv l'nrtic. Livre IV, 541

Eu ii'iiitroiliiisimt S au lieu de ) , en l'cmphn'uiit la coii.staiitc d'iiitc-
i^ratiuu // par uiu' autre n, liin; à crlle-là par IVupiation

•/* =

et eu désignant tiualement par .1/ l'enseuible des ternies indépendants de S,
qui sont uii du second ordre ou déliarrassés du signe j , on tire de l'écpia
tien précédente le résultat que voici:

Evidemment, s'il se trouvait dans 21 des termes du type (^4), ceux-là
seraient tout au moins du premii'r ordre. Kn elTet, les termes (|ui y sont
encore atîectés du signe / appartiennent au second ordre et deviennent,
par l'intégration, du premier; les autres termes sont, par sui)positiou, du
premier ordre, (^uant à l'intégrale 1 D^iidy^, son expression ne renferme
pas de terme du type (A), et les autres termes seront du premier ordre.
Il en peut résulter par la multiplication avec les diverses puissances de p,

~ , A et 11, des termes du type (A), il est vrai, mais ces termes seront

partout sousélémentaires. Il s'ensuit que l'expression de 5' ne rent"ermera

aucun terme élémentaire, si toutefois /r est une (juantité du premier ordre.

En ditïéreutiaut l'équation (5), nous obtenons un résultat de la forme

ds

Q étant un agrégat où les termes du type (.1) sont nécessairement du
second ordre, vu que tout terme de ce genre contenu dans cet agrégat
est le résultat d'une difïércutiation par laquelle sera produit un facteur de
l'ordre des forces troublantes.

542 Traité des Orbites des Plauètes.

La fouction Q se met facileiueut sous la forme

(7) ^^- '-^h^nrv ^-'^' + ^-^

+

ï)+-'^-

(■ +r>r +{^l^y+ •■' + ^'

qu'oïl peut transformer ultérieurcnient moyeunaut 1 équation (i). Tl n'y a
pas, toutefois, des motifs d'entrer, quant à présent, dans les détails s'y
rapportant.

Quant à la constante «r, il y aura à remarquer qu'elle n'est pas ar-
bitraire, mais bien surabondante. Elle doit en effet être déterminée de

façon que l'expression de -j— , donnée par l'équation (25) du n° 115, soit

dépourvue de tout terme constant. Autrement, la fonction T renfermerait
un terme proportionel à l'angle y, et ou n'aurait pas fondé le calcul de
l'argument diastématique sur la vraie valeur du mouvement moyen.

Le résultat que nous venons de signaler par l'équation (5), ne jouit
pas d'un caractère absolu. La raison en est que la série trigonométrique
par laquelle sera représentée la quadrature / D^Jidv^, pourra finir par être
divergente. Nous aurons plus tard, il est vrai, en partant de l'équation
(X), un résultat plus rigoureux; néanmoins nous chercherons à montrer,
d'une manière fort simple que la fonction S, déterminée par l'équation (6),
est réelle et finie.

1 20. Supposons, en négligeant la fonction T dans les arguments des
divers termes, que le second membre de l'équation (6) ne renferme que
des termes tout connus. Admettons ensuite le développement

Q = y^ sin (A,v + L,) + y^ sin (A^v + LJ + . . . ,

Premii're Partie. Livre IV.

>43

;-, , Â, , Lj , ;-j , ... étant dos quantités constantes, et v, pour abréger, mis
à la place de_ v^. Nous supposons d'ailleurs que les coefficients ;*, , ^'.^ , •
convergent comme une progression géométrique.

Avec cette expression, on tire immédiatement de ré([uation (6) le
résultat suivant:

?:.eos(;,v + L,)-^'cos(À,v + 7..J-

. + .S)'

Ou peut toujours supposer la série du second membre convergente,
bien que la convergence ne soit pas uniforme Kn effet, si l'on pose:

K = K„ — -~ cos 7>, — -^ cos L., — ....

2r;

(I +

-, = I + 2 a; + -.'■ [cos(;,v + LJ - cos/>,] +

où les termes de droite forment, évidemment, une série convergente
Il en découle:

I + S =

v/;

2r,

I + 2A'„ + -, ' [ens(;,,v + L,) — am L,\ + . .
En développant le second membre, on obtient le résultat

(8) I + 5 =

V' + 2S'o ;,,(! + 2Kj'

j[cos(A,v + /.,) — cosLJ

+ — 1 [eos U,v + L,) - cos LJ +

2/;;(i + 2À'J'-'

Or, le terme constant du développement de la fonction <S' devant être
égal à une quantité donnée, que nous désignerons par ct, il faut qu'on

r. r.

établisse, en ne considérant ([uc les termes du dciiviriuc oi'di'e eu y , — , ..

544 Trait)'' des Orliites des Plaiièles.

et eu restituant K au lieu Je 7v„, ce (jui revient à omettre les ternies

y-'cosL, , etc., l'équation de condition que voici:

_ — I — rr + — -"

v'i + 2/1: 2(1 + 2A')-

011 l'on a désigné par 2 F, le développement

Evidemment, si F^ était, avec a, une petite quantité, la résolution
de l'équation que nous venons d'obtenir s'effectuerait très facilement, parce
que cette supposition entraîne celle que K soit aussi peu sensible. Or, si
l'on ne considère que les premières puissances de A' et de F^ , il résultera
l'équation

d'où l'on tire:

A' — <T + - F, = o,

2 '

'+m) + ('T) +

Maintenant, si l'on désigne par x, , Xj , . . . les coefficients des termes
périodiques du premier ordre du développement (8), nous aurons, en ne con-
sidérant touiours que les termes du deuxième ordre en ^ , -ê , ., l'expression

3,9
2'' + 8

(?)■-©

bien

An

Certes, le procédé qui nous a conduit- au résultat signalé n'étant
légitime qu'à certaines conditions, on doit accepter ce résultat sous toute
réserve. Néanmoins, tout incomplète que puisse être la formule du coeffi-
cient z,, elle révèle un fait que nous allons retrouver plus tard avec plus
de rigueur, savoir que de petites valeurs des coefficients A, ne tendent pas
à agrandir les coefficients /, hors des limites finies et inférieures à l'unité.

Prcmic'ie P.iifio. T^ivrc lA'. îî^S

12 1. La méthode d'étudier le développement de la fonction S que
nous venons d'e^xposer dans le numéro précédent, conduit, si imparfaite
qu'elle puisse être, aux règles du calcul qui s'appliquent avantageusement
aux cas des planètes principales. Néanmoins, la discussion de certains de
ses détails étant assez difficile, pour ne pas dire impossible, il convient de
la remplacer par une autre qui sous le rapport théorique paraît supérieure.
Je me restreins cependant à en indiquer le point de départ.

Dans ce but, différentions l'équation (6), après y avoir écrit v au lieu
de v^ ; ce qui nous donne immédiatement:

(«)

■.IS\ ■'

h) clQ.

(I + .s)' ,;v
Mais l'équation (6) nous fournit en outre la relation

en vertu de laquelle l'équation (a) prend la forme

Ensuite, si l'on observe que l'équation (6) s'écrit ainsi :

on sera à même de mettre l'équation précédente sous la forme suivante:

(PS

dv' _ ZQ{^ + S') dS_ , tlQ

(t + .sr (I + sr\h ' dy ■

On en déduit finalement l'équation c|ue voici:

(9) 'S-oQi^ + ^')'!^-\<m^ + ^y + §ii + 3s-\- s^)\s-:-^;^.

Traité des orhilca ahsohmi

09

54G

Traité des Orbites dos Planètes.

Tel est le résultat cherché. On pourra avantatreusemeut y attacher
le point de départ des approximations successives, et, par certaines con-
sidérations ultérieures, s'assurer de la convergence des développements qu'on
va obtenir. Je n'insiste cependant pas, quant à présent, sur l'étude de l'équa-
tion obtenue, vu que nous allons en envisager, dans le chapitre suivant, une
autre de la même nature, à peu près, mais dont l'usage paraît un peu plus
simple. Je me réserve toutefois de revenir, dans la continuation du travail
présent, sur l'équation (9).

122. En formant la quadrature de l'expression (28) du n° 103,
auparavant multipliée par dv , il importe de mettre le résultat sous la
forme fondamentale généralisée, vu que cette forme doit être employée
lorsqu'il s'agit de former les équations simultanées dont nous avons parlé
à la fin du n° 17. Pour y parvenu", nous établissons d'abord les formules
que voici :

(10)

J [/>' sin (v — v') — ^ cos (v — v')]^^

= — p' cos (v — v') /- sin (v — v') 4- V'' ,

((v '

:io

—

cos (v

-V')'

+

[('■'-

-m

\ , , dn dp
f, -f 2p -j- -j-.
' ' d\ d.\

sin (v

-V)

dv

lo\ ' \ dp

2pp

I '^P

sin (v — v')

+

, dp d,p

c.os(v— v') + '/;

l'iviiiièie l'allie. Livre IV.

547

(12)

+

[:

i ,1 /''/," \ ^ \ , ,dpiln

dp

COS 2(v V')

isin 2(v — v')

, dp

sin 2(v — v'

(h

C0S2(V — v') + '/■

Ensuite, uoiis allons montrer que les trois fonctions 'l'\ , V',^ et V'^
sont de petites quantités de l'ordre des forces perturbatrices. Or, les trois
intégrales que nous venons d'établir entrant, dans l'expression de S, multi-
pliées par des facteurs de l'ordre mentionné, les incréments dus aux fonc-
tions '/'", , V''.j et '/'"^ sont des quantités du second ordre.

En différentiant l'expression (lo), il vient tout d'abord:

(13)

-i:r=\iy^+p sin(v — v)

\dw'

Iv

Mais -j^, -(- p' est une quantité du premier ordre, et son produit par

sin (v — v') -T- ne renferme pas de terme sousélémentaire du premier ordre

et du type [A). Donc, il est visible (pie la fonction '/'", est une quantité
du premier ordre.

Le calcul des fonctions 1'.^ et '/'^ est un peu plus compliqué. Nous
parviendrons toutefois aux résultats eu différentiant les équations respec-
tives, (il) et (12).

548 Truilé. des Orbik-s des Phiuètes.

De l'équation (ii), il résultera:

lf)\ ^\dp , dp

— -P[>

dw

3s(v — v')

+ 2

dp^■\ , , dodo'

sin (v

=[i^-:!^)^l-©v-/v''g]-(v-v)

r/ d''n\dp , / '',''\ ' «'P , dp d-pl . ,.

+

+

+

— \\P

_("'-©'

)S-

>■-(!)■

>-

~' dv dv'

dv .

-- sin (v — V )

dv

sin V — V

df

cos (v

^ cos V — V + -^'

Admettons, pour abréger, les notations

/ ^ d'p , ,, f/^/> , , ,,,

N et iV' étant, comme ou sait, des quantités du premier ordre. En éli-
minant, avec les relations signalées, -~ et -r-W de l'équation précédente,

^ dv dv ■ i^ r

nous aurons:

l'rumiLTc Fuitie. Livre IV.

i49

'^5)

d'I'

dpdfi

j ) ]N' Slll V— V

^P -KT, '^V , A

— 2/? -|- iV -— COS V — V ).

FiiuileniL'iit, si l'on différeutie ruquatioii (12), il viendra:

, do

dp

COS 2(V v')

f>{f>''-

1 ,'k>(^f> • / 'i

+

d'p
d?

^■'-(1)")

,dpd>,

2(>

ds dv

''1" / li /'^P\\ 1 , d'p dp

dA^' ~W l + '^'d?!^-

sin 2(v — v')
COS 2(v — v')

+

dp ilp
dx dv

dv\

dp\-

2,0, ,^| +p'-^

i'n

siu 2(v

rfv

dv

dv \ \dv

dv

dv

JS 2(v v')

ti^'-(^ï)-y"4

COS 2(v v')

[,(,

, , dp dp

y-siri 2(v — V + — ^
dv ^ dv

550 Traité des Orbites des Planètes.

d'oîi l'on tire, en considérant les équations (14), la formule que voici:

(16) ^= 2/>'J,iVc0S2(v — V')

av ' dv ^ '

Il est donc démontré, par les formules^ (13), (15) et (16), que les trois

dérivées —r'- , — ~ et — — ^ sont des quantités du premier ordre, vu que

av u\ tlv ^ ^ '■

tous les termes en sont multipliés, ou par N, ou par N'. Mais les expres-
sions des dérivées dont il s'agit ne renfermant pas non plus des ternies
sousélémentaires du premier ordre et du type {Â), il est évident que les
fonctions '/'", , V'^ et V'"^, elles-mêmes et non seulement leurs dérivées, sont
des quantités du premier ordre.

123. On a supposé, dans les derniers numéros, que la fonction Q
était donnée par une suite de termes périodiques tout connus, (xénéralisons
maintenant un peu cette supposition, et admettons que l'expression de (J
soit composée de deux parties, dont l'une est multipliée par la fonction
encore inconnue ^, en sorte que nous ayons:

Q = Qo + 4>,c,

Qg et Ci;^, pétant, tous les deux, des agrégats périodiques connus.

En substituant cette expression dans l'équation (6), on obtiendra, par
l'intégration, un résultat de la forme

011 F^ , F^ et (p signifient des agrégats périodiques connus.

Ayant obtenu cette valeur de S, on mettra aisément l'équation fon-
damentale (IX) sous la forme

rdç

±y^+Y^+Y,S=Y^-2Ff0^dv,

Premii-re Partie. Livre IV. 551

équation qui se transforme en la suivante

(IX,) g + (r_,,-t,,)| + (j-+.7.-(i;i-Ff7,))e

la fonction Z7, étant déterminée en vertu de l'équation

dv' dv \ ^ dv

La transformation que je viens d'indiquer a été exposée la première fois
dans les comptes rendus de l'académie des sciences de l'institut de France,
Tome LXXXXV, et ensuite, dans mon troisième mémoire »undersôkningar
af theorien for hiralakropparnas rorelser». Dans le second tome de son
travail instructif ))les méthodes nouvelles de la mécanique céleste», M. Po-
incarp: en a donné un analyse remarquable.

II est aisé de voir qu'on pourra souvent, en partant de l'équation
(IX,), obtenir une solution relativement à la fonction ç dont l'erreur sera
une petite quantité du troisième ordre par rapport au.x forces troublantes.

552 Traité des Orbites des Planètes.

CHAPITRE III.
Termes critiques.

124. Le calcul des inégalités périodiques des planètes à été effectué, à
de très rares exceptions près, moyennant des quadratures directes, ou bieu,
en partant d'une équation différentielle linéaire, dont la solution a été
supposée connue. On a ainsi ramené les intégrations à l'application de la
règle bien connue: changer le cosinus en sinus, ou le sinus eu cosinus
avec signe contraire, et diviser le coefficient du terme considéré par le
facteur affectant, dans l'argument, la variable indépendante. Un diviseur
déterminé de la sorte sera nommé diviseur linéaire et le procédé mentionné,
intégration linéaire.

Cette manière de procéder, sans doute appliquable quant à la plupart
des termes apparaissant dans les seconds membres des diverses équations
fondamentales, cesse néanmoins d'être légitime lorsque le diviseur linéaire
s'abaisse au dessous d'une limite déterminée. En voici la raison.

Si l'on considère, ce qui n'est point interdit, le résultat essentiel de
l'intégration d'un terme distinct d'être ce qu'on obtient par l'application de
la règle mentionnée mais en employant un autre diviseur que j'appelle di-
viseur effectif, les deux diviseurs nommés ne sont jamais rigoureusement
identiques, bien que le diviseur linéaire puisse constituer la partie pré-
pondérante du diviseur effectif. Mettre le divisetir linéaire dans le dé-
nominateur du coeft'icieut demandé, au lieu du diviseur effectif, revient donc,
on s'en aperçoit facilement, à avoir entamé un développement suivant les
puissances du rapport de la différence entre les deux diviseurs par le di-
viseur linéaire. Or, il est facile de prévoir c^ue le rapport mentionné puisse
acquérir des valeurs assez grandes pour que le développement dont j'ai parlé
devienne divergent: il faut seulement que le diviseur linéaire prenne une
valeur suff'isamment petite. En conséquence, on peut attendre des cas où
le mode du calcul, en employant le.s diviseurs linéaires, devient impraticable.

Preiniolc l'artic. Livre IV. 503

Lors([u'im diviseur est telloiucnt petit ([u'il douue occasion à des dé-
veloppemei)ts peu convergents ou niciiie divergents, Je le nomme tciinC eri-
fifjtte. On peut donc dire (|ue la méthode de l'intégration linéaire ne se
prête ])lus aux ternies criti([ues.

Dans la note )>BeTnerkungen iiher die Convergent der nach den Po-
teuzen der storendon Khifte geordneten Annixherungen im Stôrungspro-
bleme>'/ on a montré, par des exemples numériques, combien peut s'écarter,
de la valeur (>xacte, la valeur d'une inégalité obtenue par l'intégration li-
néaire On y a, en ]iarticuli(M-, fait voir que, si la fraction -^.^ s'approche

I
de la valeur — y= , la convergence cesse du développement (|u'on a entamé

3v3

en admettant, pour approximation initiale, le résultat de l'intégration li-
néaire. Dans l'expression de la fraction signalée, A signifie le coefficient
du terme considéré, tel qu'il entre dans le second membre de l'équation
(X); s, un nombre entier, et A finalement, le diviseur linéaire.

Mais d'autre part, on a aussi mis hors de doute que les vrais résultats
relativement aux inégalités considérées dans la note citée, ne deviennent
point infinis, même si la valeur du diviseur linéaire s'évanouit. Ce fait-là,
étant d'une grande importance quant à l'étude des inégalités périodi(|ues,
on en a examiné soigneusement les détails dans le mémoire i^Untersucliungen
iiber die Convergenz etov'^

Cependant, les méthodes mises en usage dans le travail mentionné
n'étaient pas propres à faire reconnaître la vraie nature des termes élémen-
taires dans les cas où ils deviennent critiques. A cet égard, il fallait des
recherches ultérieures, ce qui m'a obligé de ])ublier le nu'moire -Nouvelles
recherches etc.».''

Dans le mémoire nommé, je me suis servi de certaines équations
dilTérentielles du second ordre, dont le degré était d'abord égal à 3. J'en
ai ensuite déduit de nouvelles écpiations ayant la forme d'écpuitions linéaires
et appartenant, ([uant i'i la forme, h la catégorie des é(iuations ([u'on peut
appeler, avec M. Poincark et d'autres savants, fquiiHoiis aux variations.

' .Vstl-dil. Xliclir. IM. 121.
' .\cla iiKith. 'Wiuw y.
^ A cl;! mal h. 'l'uiiics 15 et IJ.
TraitK des orbites absolues.

554 Traité des Orbites des Planètes.

Mais i'ai eu soin de (k'tei'miner les coefficients entrant dans ces nouvelles
équations d'une manière telle que leurs expressions renfermassent certaines
quantités constantes du second ordre relativement à la fonction cherchée.
De la sorte, j'ai obtenu des équations de forme linéaire mais conduisant
il des équations algébriques tout au moins du troisième degré, d'oi^i s'ob-
tenaient les coefficients du résultat représenté toujours par une série tri-
gonométrique. Les équations différentielles jouissant de cette ]iro|)riété ont
été appelées équafiovs differentieUes hnristiqnes.

Ow en |)ourra distinguer deux genres.

Considérons l'équation linéaire du second ordre:

d'il , j,

(0 ;^^+^-'' = ^'

3" étant une fonction de certains coefficients constants encore indéterminés,

et renfermant comme terme additif un agrégat périodique tout connu. La

fonction )', ])eut d'ailleurs renfermer une partie constante toute connue

L"é(niation ]iroi)osée a pour l'intégrale générale l'expression suivanti':

— v.r I

qui peut être remplacée par une autre ]>lus convenable, si y n'est pas une
(piantité très petite.

Dans l'expression signalée, les '/' signifient des agrégats périodiques qu'on
peut considérer comme tout connus, et u , un coefficient constant qu'on
appelle, avec M. PoincarÉ, exposant raractéristique. Quant aux équations
horistiques, l'exposant caractéristique est fonction des constantes indétermi-
nées entrant dans l'expression de Y^ L'exposant caractéi-istique ne s'obtient
donc pas, moyennant un calcul direct, des quantités toutes connues et don-
nées dans l'expression de la fonction F, , mais il entre comme inconnu
dans une équation algébrique ou transcendante, d'où Ton tire une valeur
réelle de son carré. Cette valeur pouvant être positive ou négative, on
distinguera par là les deux genres des équations horistiques:

1°. Equations horistiques à exposant caractéristique réel;

2°. Equations horistiques à exposant caractéristique imaginaire.

' Nouvelles recherches etc., S 7) ii° 5-

Première Partie. Livre IV. 555

n 11 est pus iiéccssiiirc du di.stiiii^Micr «cparcmiuit le cas intermédiaire
où rexpu.sant caractéristique disparaît, parce qu'alors rr(|iiati()ii linéaire perd
sa propriété d'être horisti(|ue.

Kepreuous l'équation (i6) du 11° 8, et admettons-y:

Supposons ensuite que la série

To +;', + ••

soit convergente pmir toutes les valeurs de 3 entre s — o et une limite
supérieure s = s„. En supposant £„ moindre ipie l'unité, on peut encore
admettre que les (îoefîicients p„ aillent en croissant, de sort<' (|u'on ait:

V

K>y^fr-

Ou en conclut que la série
est encore convergente, pourvu qu'on ait:

conditiou qui est remplie dans les théories des planètes principales. En
effet, le module s étant une quantité du second ordre par rapport aux
coefficients diastématiques et aux coeft'icients ana.stématiques, on aura toujours,
dans les théories de ces planètes, une valeur de £■' suffisamment petite pour
garantir la convergence des termes critiques apparaissant dans le second
membre de l'équation (16) du n° 8.

La dernière remarque a été faite, évidemment, pour préciser ce que
je viens de dire vers la tin du n° 8.

125. Admettons qu'on ait introduit, dans l'équation (VITI), la va-
riable indépendante v (ou v^) au lieu de v^ ; écrivons-y, pour abréger, p
et fj' au lieu de (/;) et (/>'), et supposons finalement (|ue les fonctions (6')
et (P) soient mises sous la forme fondamentale généralisée: ré(|uation men-
tionnée se met alors sous la forme suivante, où les termes du ciii(|uièiiie
degré et des degrés supérieurs sont supprimés.

55()

(2)

Traité des Orliitcs des Plaïu'-tep.
'f-'P 1 j, 'fp , ' Il \

+ ^v. (/+ Ci:)') +=^w *+'-('■' -c^)")

w.

J);in8 cette cquatidii, ni les P, ui les JV ne sont connus dès le délmt,
mais on sait que ceux-là sont des ([uautités du jn'einier ou deuxième ordre

1 ' ^ 1 ^ ' i-i /"/^ i ' ''/* ''/' 1 ■• j / ■' • ■

(k'peudant des expressions // — -r- » -'>,■, /' <'f . de t' et j^ ', anisi

' '- \i(v / ' <l\ (/v ' '

([ue de l'angle v — v'. En consultant les formules (27) et (28) du 11° 103,
ainsi que les fcjrinules (10), (11) et (12) du n° 122, on parviendra l'acile-
ment à représenter les fonctions d(.)nt il s'agit moyennant des expressions
de la forme que voici:

(3, a) P,,,

[r] f/v

,«;:;'[ v:

;%,,„(,.-,■■)-(,,/■'-(;;;:

sin 2(v — v')

(3, b)

(3,c)

(3,J)
(3,e)

(4)

('■)■' v '?v / ('■) dw-

/5^i" (/>"-(X) j--:^(v-v')+^//X^m2(v-v')

;9!^;;'[/>'cos(v-v')+^sin(v-v')],
;^/;,"[- p' sin (v - V') + 1;, cos (v - v')],
A,.. = y5!,*i"r(0' cos (v — v') + '£. sin (v — v') |,

dp

dv'

-■)].

Dans ces formules, où l'on a négligé quelques petits termes du second
ordre, et oii l'on n'a pas encore tenu compte des parties dues aux fonctions
anastcmatiques, les coefficients y5 et ;- sont des quantités du premier ordre,
ue dépendant, du reste, que des rapports entre les protomètres.

Piviuièir Partie. Livre IV. ■ ■'i-')"

Poiu- (listiiimuT les actions des diverses planètes, j'ai mis en évidenee
les indices /,■ et l . Ainsi la lettre I; se rapporte à la .planète attirée et /,
à la ])lanète attirante. Cej)endant, pour débarrasser le plus possible les
i'orniules de trop d'indices, j'écrirai, lorsque il ne s'agit (jue de donner un
aperçu général, ^?' , /5", . . . au lieu des y'?'"; '^5 , '/î". • ■ ■ «i" ''^'>i ^^^ z^"'''',
et ainsi de suite.

Si la planète à hujuelle se rapportent les (juantités /> ,-—,... et

l'angle v, est soumise à l'action de plusieurs autres ])lanètes, les expressions
signalées de 1' et de 11' seront com])létées ])ar de nouveaux ternies tout
semblables à ceux (pie nous a\nuis mis en évidence. Je vais écrire alors:

(5, H) ^.,o--^(:)f +^,

+ iKA - /'

+

;in 2(v — v')
sin 2(v — v")

' ~ ('!v ) ) '■'-" ■^'' ~ '''^ ^ "'"' S ''" -^"" ~ '''^

U/v'

[)s 2(v — v") + 2//' -j-, sin 2(v

(,S , tO n,. == /î;,.| />' cos (y — v') + 'JA sin (v — v') J

+ /5;,,'J //' cos (v — v") + "^.rsin (v — v") +

5 5 s

Ti'aité des (^rl)itc.s des Planètes.

(5 , fl) ^Vi -" f'ii — P' ^i" (^' — ^'') + ^l^v^ cos (v — v') I

+ A!,'i[ — -"" ^"1 (^' ~ ^'") + ;/v' ^^^^ (^' ~ ^'") +
(5 , e) P,,o = i%fi\ !>' «-'OS (v — v') + |£. 8iu ( v — v') I

+ /3-Vo| /'" t^«« (v — v") + ■^'^:: siii (v — 'v") + ■ •
Finak'iiiuut, l'expressiou complète de TK devient celle-ci:

W' = (r; + ;-■: '-/ '][/^' '^'^•^ (^' — V) + y^^ sin (v — V') I

(6)

'h>' .

+ (;-;' +r2''j"')| /'" «^«^ (^' — ^'") + 1^7 siu (v — v")J

+ . . . ,

(^luuul il s'agit d'une autre planète, par exemple de celle dont les
coordonnées s'expriment moyennant f/ , v' et j', j'emploierai les notations

(s'.^o i';,o

3 1 '/('-•), ,,

+ '/5i

+

.v>

-C^) — (v'-v)

+ 2/^' -COS 2(v' v)

/^///v'

(5', b) /;, = v^', + 'A'?" + 'M' + '/^i''?'" +
+ 'i\

+ . .

etc.

+ 2/> ;^C0S2(V —V )

i^') 1 L'OS 2 (v —V ) + 2« ,^'^_.,Sm2(v -V )

Prciiiière Partie. Livio [\'. r)59

Désignons eiu^ore par // , //', //", .. les partios oonstanfps dos fonc-
tions 55/ "\ ri'"' , r/'^ , . . , et ])osons:

(7) J\^ = /î, + 1% Il + /5; //' + /?:' //" + . . . + [/']„,, ,
(7') ]\, = 'p, + ';î, //' -f ',?,, // + 79:' //"+.. + [/']:,,

.'te,

en sorte (pii' [/'J„ 1 , [/'j',,,. «'te. soient des ag'récrats pério{li<|nes exprimant
les |)arties varial.)|ps de /^„ , , /',',, , . , . .

Cela étant, nous allons applicpier, à l'écpiation (2), la métliode de
transformation établie dans le sj 5 du mémoire «nouvelles reelierelies ete.n.
Or, si Ton pose:

(8) ,»-(. -<r„)K + fJ^ + -/.\{> -,»)'=' + ("')"]

les fii.i , f'i.iii/o,/! t't y., étant des fonctions (pi'il faut déternn'ner enin'enalile-
ment, et ^'9, uiii> ecuistante dont la valeur peut êtn- ehoisie de manière à
rendre certaines parties variables aussi petites (|ue possible, et cpiim mette:

(9) ^ + C-i5)^=^-

on arrivera à l'équation

(10) ^+[,-î,-^9,//-^^;//'-^r//"^. .]7r+ç,.,|^_ç.„,L+71/ = Tr,

on Ton a désijj'né par M un ag-rég'at périodique don! les ccielTicients sont
tout au moins du premier ordre et du troisième degré. ('"est de même

quant aux produits c.„-^ et Cn,L.

Evidemment, les // l'enfermant comme facteur la somme des carrés de
tous les coelîicieuts se trouvant dans les expirassions de ^o , //, etc., sont des
fonctions horisti(iues, et leur ])réscnce donne à l'équation si^-iialée son ca-
ractère horistique.

Ayant obtenu l'écpiation (10), nous allons la diviser en deux autres,
en supposant

(11) E=X+X^,

500 Traité des Orbites des Planètes,

la i'onrtiôii X citant fixée ;iu mi)yen de rr(|uation

(12) ;|^+[I -/9, -;?,//-.., ]X

-= (r; + r; in\x' f.,s (v - v) + ]j^ si,, (v — v') |

+ (/-;' + r'/Jn\^" '•ns(v — V") + -~- sin (v — v")'|

+ . . .

^ Quant aux fonctions X' , X", etc. (|ui appavaissent dans le second
menilire, elles sont données moyennant des équations tout analoqups à celles
que nous venons d'établir.

En effet, si, en considérant une seconde planète, nons réitérons les
transformations indiquées, nous serons obligés à, mettre:

, dE' , ,r, ,M 7v2 , /''/''A'

S') ,o' = (I -^i,)E' + çr:,'-^ + x:\{^-'i^E" + O/^)]

ce (jui entraîne l'équation suivante:

(lo') ;j!^' + [, _ '^, - 'I3J1' - 'pjl - 7?;' //"_...]//' + ç.; ,.;JZi

— ç-;,,// + M' - II''.

Maintenant, si l'on aibnet:

(II') 77'-A-' + x;,

on ]iourra établir l'erpiation

= Cr, + 'rJ^:^^ '■"^(\'' — ^') + \i[. ^'" i^'' — '') I

+ {'h + '/-" i'")\ X" cos(v'— v") + ,'J;^^ sin (v'-v")J
+ .. ..

Première Partie. Li\ie lY

501

De la même manière, on obtiendra facilement de pareilles éqnations en
X", X'", etc., qui, avec les deux que nous venons de mettre en évidence,
forment un système d'équations linéaires dont l'intégration ne présentera
pas de graves difficultés. Le seul inconvénient qu'il y reste, dépend de la
présence des diverses variables v , v', etc. Cependant, les rapports entre ces
variables étant à peu près constants, on parviendra facilement, en négligeant
d'abord des quantités du second ordre et du second degré, à établir les
intégrales du système des équations (12), (12'), etc.

On pourra aborder de diverses manières le problème dont nous venons
de parler. Voici la méthode qui conduit le plus promptement à des ré-
sultats, du moins dans les cas les plus fréquents.

126. Soient:

(U)

X = Je C0S(V (T)) + ^M COS(v (7),) +

X' -■= /.' cos (v' — (7/) + /,■; cos (v' — (7>;) -|-

les k étant des coefficients constants, qu'on peut identifier dans la première
approximation avec les x, et les co, des angles dont les dérivées par rapport
aux variables v , v' , . . , soient des ([uantités du premier ordre. Lorsque,
dans les expressions de ces dérivées, il y a des termes périodiques, les
coefficients de ces termes seront des quantités du premier ordre et. tout
au moins, du pi'emier degré.

Cela étant, nous allons différentier les équations (13), ce qui nous
conduira aux expressions de la forme ([ue voici:

( dX
dv

M)

= — k sin fv — îô)

dX' ., . . ,

v-7- = — A" sm ( V -
(XV ^

/ri.sin(v — w,) — ■ • — (0-
/,■[ sin (v' — wl) — ... — (/'),

où les (/) signifient des fonctions de la même nature que les (A), in-
troduites dans le n° 13, et dont les valeurs sont très petites du premier
ordre et du premier degré. En les négligeant d'al)ord, nous nous réser-
vons de les réintroduii-e dans les expressions rigoureuses.

Traité lifs orbites absolues 71

',62 Traité (lei= Orl)ites des Planètes.

On parvient maintenant aux formules

X' cos (v — v') -|- j^ sin (v — v') = ]c' cos (v — w) + k[ cos (v — û)[) +...,
A cos (v — V ) -f — -- sm (v — v ) = /, cos (v — w ) + /''i cos ( v — w, ) + -■,

X cos (v' — v) + y; sin (v' — v) = Jx cos (v' — ô)) + '■'i cos (v' — 03,) + -,
X"cos(v' — v") + y-r- sin (v' — v") = /o"cos(v' — â)")+/r"cos(v' — â5j') + -,

etc.

En introduisant les valeurs signalées dans les équations (12), (12'),
on arrivera sans peine à un système d'équations algébriques d'où s'ob-
tiennent, moyennant des approximations successives, et les valeurs des
coefficients /c , A:, , . . . , k' , k[ , . . . , et celles des vitesses des arguments co,
co^ , . . . , w' , a)[ , . . ; je dis expressément: par des approximations succes-
sives, ])arce que les H , H' , . . . sont inconnus et ne peuvent pas être
calculés, ni même approximativement, qu'après une première détermination
des X , X' , . . . . Je reviendrai, du reste, au système mentionné, qu'il
paraît inutile de mettre eu évidence quant à présent, avec des applications
aux planètes principales, dans la troisième partie du travail présent.

Afin de former, finalement, les équations eu A, , A'J , . . . , j'admettrai
avant tout les notations suivantes:

eu sorte que les [5^^] expriment des agrégats périodiques. Je poserai en-
suite, en omettant les termes du cinquième degré.

Première Partie. Livre IV. 563

ir, ==^„,,L— f-,_„ '^^^J — M + r'AV']\ ^'^' cos(v— v') + -^-.-sin(v— v') |
+ r'7['y"'][A"'«o.s(v— v") + ■~4sin(v — v")|
+ . . . ,
TF; =cr;,L' -ç-;,,,;!^'' -M' + 'r,[rn\l^ cos(v'^- v) + ~sm(v'- v)J

+ ';-ô'[>^"-'] E"cos (v' — v") + 'j-.r sin (v' — v")

+ . . . ;

alors, en retranchant l'équation (12) de l'équation (10), l'équation (12') de
l'équation (10'), et ainsi de suite, il viendra, en considérant les dénotations
(1 i) , (i i') , . . . , le système que voici:

(16) ^ + [i-/5,-A.^/-...]^\

= (ri + r'J^')[^l «os (v -y'}+'^ sin (v - V') j
+ {r\' + r;'/^")[^'^';'cos(v-v") + l^i' sin(v-v")]

+ TF„

(■6') ^ + [.-'/î,-'/5,//'-...]A';

= (V, + 'r, ^^)\^, cos (v' — v) + '^ sin (v' — v) I

+ i'h+'r'if^")] A7cos(v' — v") + _^^': sin(v'— v")

+ . ..

+ W{,
etc.

564 Traité des Orbites des Planètes.

Eu comparant les équations (12) et (16), on se convaincra tout de
suite que les deux systèmes sont tout semblables, à rexceptiou que les
équations (16), (16'), sont affectées de termes supposés tout connus, savoir
des termes désignés par W^ , W[ , . . . . Ayant obtenu les intégrales
du système des équations (12), on aura aussi celles des équations (16).
Les procédés analytiques y conduisant n'impliquent pas de difficulté, mais
l'application pourra entraîner des calculs épineux, toutes les fois que les
expressions des divers W renferment des termes critiques. Mais dans
un tel cas, il faut observer deux choses: d'abord que les W sont des
quantités du troisième degré, et ensuite que les dénominateurs introduits
par l'intégration renferment comme termes additifs les fonctions horistiques
II , H' , . . . chacune multipliée par un facteur de l'ordre des forces trou-
blantes. Par là, on est assuré que les termes résultant de l'intégration du
système (16) seront des quantités tout au plus du premier degré.

Dans le cas des termes critiques, par exemple dans celui des quatre
planètes inférieures, on est obligé de refaire, plusieurs fois, les approxima-
tions dès le début, mais on pourra aussi mettre à profit des méthodes de
tâtonnement conduisant plus promptement au but. Quant aux détails du
calcul, il me faut renvoyer le lecteur à la troisième partie de ce travail.'

127. Supposons qu'on ait déterminé les ternies élémentaires faisant
partie des expressions des divers p et 3, dont les derniers s'obtiennent
d'une manière tout analogue à celle que nous venons d'exposer dans le
iniméro précédent; on sera alors à même de calculer les inégalités diasté-
matiques et anastématiques. Je ne m'arrête cependant pas à ce point
quant à présent, parce que le calcul des dites inégalités n'entraîne pas de
difficultés sérieuses, pourvu qu'on ait eu soin de mettre en évidence les
termes principaux dépendant des fonctions horistiques. Mais ce qu'il ne
faut pas pourtant passer sous silence, c'est l'exposition de la manière de
calculer les termes critiques et les termes élémentaires entrant dans l'ex-
pression de la réduction du temps. Voilà aussi le point le plus délicat
de l'analyse des inégalités planétaires.

' Dans la thèse »Sur les termes élémentaires dans l'expression du rayon vecteur»,
M. !M.\x WoLF a donné une première application de la méthode que je viens d'esquisser
dans le texte.

Première Partie. Livre IV. 565

En inspectant les formes des divers arguments et notamment l'ex-
pression (i") du n° 95, et en se rappelant que les fonctions V et V y
entrant sont toujours accompagnées de U, respectivement de U', fonctions
dont les expressions sont données par les formules (3) du n° 40, il est
aisé de voir que tout argument peut être mis sous la forme

Arg. = 2/v -j- 2B — i'U,

A et ]J étant des constantes quelconques et s', à très peu près un nombre
entier. On y a toutefois supposé que le coefficient

^î'^';.'e.('.-<H.-/')+.(.-..(,.-/'>

soit mis sous la forme d'un agrégat périodique aux termes constants.
Maintenant, si dans l'expression

U = (1 - ç')[fi{nT~ X) - {n'T - A")],

ou supprime les termes dépendant de X , X' et T , ce qui n'altère pas
l'exposition de notre méthode d'intégration, l'argument dont il s'agit sera
donné moyennant la formule

Arg. = 2X\' + 2B + s'I\

où s signifie le produit — s'(i — ç')/in. Dans le cas d'un terme élémen-
taire, le nombre s sera toutefois une (juautité de l'ordre des masses trou-
blantes, ce qu'on voit facilement en consultant, par exemple, les formules
(14) et ( I 4') du n° 4 I .

Cela étant, nous reprenons l'équation fondamentale (A'), ou bien une
autre donnant la valeur de la seconde dérivée de la fonction 1\ T étant
mis au lieu de la lettre barrée T. En introduisant ensuite à la place de
3Qj le développement

-A^ sin(2;.„v + 2/>'„ + sj) - J, sin(2^,v + 2/>', + sj) -...,

et en omettant les termes dépendant de yy , ce cjui est permis parce cjue
ces termes ne sont pas essentiels, lorsqu'il s'agit d'élucider le principe de la

566 Traité des Orbites des Planètes.

méthode d'intégration, et en écrivant finalement G„ au lieu de 2 /,, v -)- 2 /?„ ,
il viendra:

(.7) ;[^'= - A siu(^o + <n - -1: sin(r/, + sj) -....

11 importe de voir qu'où peut toujours supposer les coefficients A„
positifs. P]n effet, s'il y en a des valeurs négatives, il ne faut qu'ajouter

- à l'angle constant B, après quoi on prendra la valeur positive.

Considérons en particulier l'équation

(18) 0' = - ^ sin [G + sT) — X,
*

X étant un agrégat périodique dont nous supposons les divers termes tout
connus.

L'intégration de l'équation proposée est en effet un problème assez
compliqué; pour le simplifier un peu, je mets d'abord

T = Z + ' V,

s
et je détermine la fonction Z en établissant l'équation

(19) 'g^^Asin{(r + sZ).

Il restera, pour évaluer la fonction F, l'équation suivante:

(20) '^^ = ~ s A cos {G + sZ) V + s A sin {G + sZ) V

+ ~sAcos{G + sZ)V' — . . . .—'-X. ^
3 -

L'intégrale de l'équation (19) s'obtient sur-le-champ. En effet, cette
équation sera satisfaite, si l'on admet:

(21) G. + sZ = 2 am ^^ {h + I^),

Première Partie. Livre IV. 567

lo module des foiicti()n.s elliptiques étaut détermiué moyennant la rcilation

Les résultats que nous venons de signaler entraînent quelques remarques.

Par la relation (22), il est visible que, même dans le cas où X acquiert
une valeur extrêmement petite, la valeur -de k peut être prise moindre que
l'unité; il s'ensuit que les valeurs de Z sont renfermées dans des limites
dont l'amplitude sera d'autant moins considérable, plus que le nombre s
sera plus grand. Dans le cas où s est négatif, la valeur du module devient
imaginaire; on réduira alors les formules à celles d'un module réel, en
employant quelques théorèmes bien connus de la théorie des fonctions
elliptiques.

S'il s'agit d'un terme élémentaire du type {A), le nombre s est une
quantité de l'ordre des forces troublantes; on en conclut, en suppo.sant
toujours A très petit, de sorte que le module s'approche de l'unité, que la
fonction Z sera représentée, par des termes surélémentaires. Mais une telle
solution n'étant pas admissible, on conclut que le point de départ des
approximations successives n'était pas bien choisi, si toutefois l'on ne veut
pas admettre la conclusion non fondée qu'une solution au moyen de fonc-
tions trigonométriques soit impossible.

Lorsqu'une synechie dont le degré est plus grand que zéro, renferme
un terme qui a l'apparence de donner naissance à l'inégalité dite libration,
les termes coordonnés paraissent d'abord par l'intégration devenir sur-
élémentaires. Cependant, si l'on aborde le calcul de l'inégalité naissant
d'un tel terme coordonné en appliquant les formules (21) et (22), on
trouvera des résultats acceptables, mais le module acquerra une valeur près
de l'unité, à moins que le terme dont il s'agit ne soit pas d'un degré
suffisamment élevé.

128. Considérons maintenant l'équation (20), et chei'chons les résultats
qu'on en peut tirer, en négligeant les termes eu V , T' , . . . et en ad-
mettant que la fonction X ne renferme qu'un seul terme, en sorte que
nous ayons :

A'^ = ^sin H,

H étant l'argument <tv + /;. Nous supposons que le coefficient /- soit une

568 Traité des Orbites des Planètes.

très petite quantité du deuxième ordre, mais nous admettons aussi le di-
viseur linéaire o très petit, disons une quantité du premier ordre. Nous
distinguons cependant deux cas: dans le premier, nous supprimons la fonc-
tion Z dans l'argument, ce qui revient à négliger les termes d'un ordre
plus élevé que le second; dans l'autre cas, nous n'admettons pas cette
simplification.

Cela supposé, nous avons dans le premier cas:

ârV
(23) -,— r = — ^-^ cos (t . V — ;- sin H .

En intégrant cette équation moyennant des approximations, on pourra
procéder de la manière suivante:

Si l'on admet le développement

y = Ho + .'/, + //. +

et que l'on détermine les diverses fonctions ?/, en intégrant successivement
les équations

—^ — — ;- sm 7/ ,

-^ = — s A cos G . Il ,

dont la somme évidemment équivaut à l'équation (23), il viendra:
.Vo = ^ siû ^^
V, = 1-t4^M (^^ + ^n -:;7TT^%r-,sin {G - II),

•1 2(2/< + ff)V ^ ' 2(2À — (T)-(r ^ '

|4(2/ -t- aYa'' 4(2/ — ^)'ff*|

Il ne sera pas nécessaire d'aller plus loin ; car les résultats déjà ob-
tenus montrent qu'on a entamé un développement suivant les puissances

Première Partie. Livre IV. 569

de la quantité ^ ,, développement qui peut souvent devenir divergent.

Ce résultat n'a cependant rien d'étonnant, vu que l'intégrale générale de
l'équation (23) a pour exposant caractéristique une quantité imaginaire dont

s'^A'
le carré e.st sensiblement égal à '-^t^ . Le dénominateur du terme faisant

partie de l'expression de F, qui est indépendant de l'argument G, e.-it donc
égal a -^ — <T', dénominateur, qui dans les résultats indi(|ués paraît dé-
veloppé suivant les puissances de la quantité mentionnée tout à l'heure.
Venons maintenant au second cas. En adoptant la notation

S = ^'(;v + B),

et en négligeant toujours les termes en F% F', . . . , l'équation (20) prend
la forme

(24) :!jr+^^cos2ame.F=-^(^)^lx.

Mais c'est une équation de L.\mk, et on sait mettre l'intégrale sous
la forme

0, et c^ étant les deux constantes d'intégration qui dans notre cas sont
surabondantes.

Voilà un résultat qui est bien différent de celui ([ue nous venons
d'obtenir par l'intégration de l'équation (23): l'exposant caractéristique est
devenu égal à zéro, et on obtient, en conséquence, le terme dépendant de
H seul, ou du moins sa partie principale, moyennant deux intégrations
linéaires.

Mais le résultat auquel on est parvenu de la sorte, doit-on le con-
sidérer comme une vraie approximation, c'est à dire comme une approxi-

Traité (ks orbites absolues. , 7'2

570 Traité des Orbites des Planètes.

mation par laquelle ou n'aura pas de développement divergent? En gé-
néral, ce n'est pas ainsi. En effet, si l'on revient à l'équation complète (20),
et qu'on y suppose toujours la fonction X consistant en un seul terme,
on verra naître des développements qui procèdent suivant les puissances
d'une fraction dont le numérateur est une quantité du quatrième ordre,
et le dénominateur, le carré du coefficient a. Ce développement peut être
convergent, il est vrai; mais dans le cas des termes élémentaires, où a est
une très petite quantité de l'ordre des masses troublantes, il peut facile-
ment être divergent.

Pour corroborer l'assertion que je viens de formuler, je rappelle une
équation que j'ai déduite à une autre occasion.' Cette équation, étant au
fond une transformation de l'équation (20), peut être mise sous la forme
suivante

OÙ l'on a, toutefois, négligé quelques termes insignifiants et inutiles.

Par cette équation, on est à même de conclure que les approximations
qu'on entame en intégrant l'équation (24), ne sont pas nécessairement
convergentes, et qu'elles forment, en effet, des développements de la nature
mentionnée.

Cette conclusion reste à fortiori en vigueur dans le cas où la fonction
X est représentée par un agrégat périodique. Si cet agrégat est infini,
déjà la première approximation peut donner naissance à un développement
divergent. En conséquence, le résultat obtenu par l'intégration de l'équa-
tion (24), ne convient pas toujours à une vraie approximation, bien qu'il
puisse, dans certains cas, être très approché du résultat exact. Surtout
lorsqu'il s'agit ou de termes élémentaires ou de termes critiques ou enfin de
termes en même temps élémentaires et critiques, l'équation (24) pourra
conduire à un résultat tout à fait erroné.

D'autre part, si l'on forme l'équatiou aux variations des divers termes
de l'équation (26), ou plus simplement, si l'on établit l'équation

' Nouvelles recherches elc, § 6, n° i i .

Premicic Parlio. Livre IV. 571

(27) 0 + r cos 2 am ^-f)^ = F.y-^(^^yX,

f étant une constante jjositive convenablement choisie, et F, la fonction
S96o(^)',y-„.iL,= | +,,,■(!)•_,,

cette équation nous fournit, si F est d'abord mis égal à zéro, le point de
départ qui conviendra aux approximations successives. La constante /" peut
être prise à volonté; il convient toutefois de la choisir suffisamment grande
pour rendre la valeur de F toujours négative.'

L'intégration de l'équation (27) s'opère, lorsque le second membre est
égal à zéro, suivant la méthode donnée par M. Hermite dans son célèbre
mémoire »Sur quelques applications des fonctions elliptiques».

129. Les procédés par lesquels on est parvenu, dans les ))nouvelles
recherches etc.» à l'équation (26) étant très compliqués, je vais les remplacer
ici par une méthode très simple, méthode qui ne nous conduira pas, il
est vrai, à l'équation (26), mais bien directement à l'équation (27).

D'abord, en mettant toujours T égal à Z -{- ~ V, je divise l'équation

(18) en deux autres de la manière siiivaute:

^=_^(i_2.y)sin(rV + sZ),

'P^= —sA cos {G + sZ) . V + s A .sin {G + sZ){V' — (/)

-\-^-sA cos {G + sZ)V' — . . . — "^ X,

(28)

fj étant une constante positive dont la valeur soit comprise entre o et

- , et qu'il faut choisir convenablement. Evidemment, la somme de ces deux

équations équivaut à l'équation (18).

Ensuite, eu déterininant le module elliptique moyennant la relation

(29) [-)^ = — r — '

' Nouvelles recherches etc., § 6, n° 12.

572 Traité des Orbites des Planètes,

nous aurons:

(30) G + sZ = 2 am "J- (^v + B)

= 2 am ^ .

Cela étant, nous allons introduire, dans la seconde des équations (28),
une nouvelle inconnue ij , en établissant la relation

(31) ^ = ^ + 4S'(à)^^"^'^^'^^'

d"où il s'ensuit

— = — 4 — -^ — r- sur 2 ain ç + -^v — r- 1^ sm 2 am f

dç' de /' \2A/ 2/,- V2A/

3 qsA / TT \ % 0 .

Avec ces expressions, et en considérant la relation

sA / rr \' k'^

/.' \2K/ I — 2;/

on obtiendra :

d'il , \ k' > I qk* I
-r*T + cos 2 am c -, — ^ -., y

I qk* ^ r ; ''■' • '-.2 1

= — ^ -, COS 4 am s ■ '/ + />■ sm 2 am ç • // + ■ • •

4(1-2^)' -^ 1--2;/

1 flfc* . „ S '/Z^-* . - I 'ik' . ^ ,
sin 2 am ç + t — «'" 4 'i^i ^ — ^:. / — ' ^ x» sin 4 am ç +

2 1 —27 ' 8 I — 2;/ ^ b I — 23

--.MsT^.

I ;//>•'

équation qui, eu désignant par ITV^' + "0 ^'^ partie constante du

-^é^, de la fonction ^^ 1

A ' 1 — 2(7

développement, suivant les multiples de -^,6, de la fonction -^^— ^ cos 2 am f ,

et en mettant:

Preinièie Partie. Livre IV. 573

prend la forme

(3 3) j^, + ^i ^oa 2 am >; — f)y = F .y —^^ j— --^- — .siii 2 uni ç + . . .

-5F(i)'^'

Nous voilà donc parvenus au résultat cherche. Sans doute, il mé-
riterait une étude soigneuse; je me restreins toutefois, (]uant à présent, au
deux remarques suivantes.

Premièrement, que le terme m est une quantité peu considérable
auprès de l'unité: or, eu la supprimant, on obtiendra l'expression très
simple de f que voici:

r _ \ '.IJI -il) ,.4

Notre seconde remarque concerne la fonction F . En n'y considérant
que le terme le plus important, nous aurons

2</

7,7 \ 3 /

i^ = ; COS Yr s

Cela étant, ou sera à même, sans craindre de provoquer des développe-
ments divergents, d'entamer les approximations successives, en omettant,
dans l'équation (33), les termes du second membre qui dépendent de y et
de ses puissances.

Quant à la convergence des approximations indiquées, le lecteur est
d'ailleurs renvoyé à la remarque de M. Poincaré dans sou ouvrage »Les
méthodes nouvelles de la mécanique céle.stew, T. II, p, 311.

Pages

Lignes

au lieu de

13

13

traité

24

7

eu remonlaiit

<•.

41

8

»

k

47

8

26'

na

10

dy

FAUTES ESSENTIELLES A CORRIGEE.

lisez

traitées

/;,

J

26
dz
"dt ^'Jt

22' 22

22' 22

22' 22

■^ cos ({I — ç) y — 7T))" + Tj fos ((I — e) y — ti)"
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en

remontant

70

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79

12

eu

remontant

101

S et 9

135

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141

2

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remontant

165

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eu

remoutaut

179

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»

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2

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»

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195

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remontant

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8
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1' + v' -

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Pages

I;igllPS

196

4

eu

remontant

197

1

230

6

288

11

292

7

en

remontant

299

2

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301

7

»

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(»->)v

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329 9 » »

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336 8 h , /;.' h , h^

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P'(o,o,i)

F(2,I,0)

343

3

344

11

373

6

408

12

eu remontant

413

1

»

481

6

»

TABLE DKS MATIEEES

DE LA PREMIÈRE PARTIE.

Pages.

LIVRE PREMIER.
Cinématique des orbites absolues.

Chapitrp: L Courbes périplégmatiques 3

» IL Divers systèmes de ooordoDnées 51

» III. Relations entre les arguments astr()norai(jues et le temps 78

» IV. Eléments absolus 109

LIVRE SECOND.
Relations entre les arguments appartenant à deux Planètes.

CH.\prrRK I. Relations entre les arguments diastématiques de deux planètes 134

» IL Expressions se rapportant à l'angle entre les rayons vecteurs de deux

planètes 154

III. Divers développements procédant suivant les puissances des fonctions

diastématiques et des fonctions anastématiques 198

LIVRE TROISIÈME.
Développement de la fonction perturbatrice.

Ch.\pitre I. Généralités sur la Fonction perturbatrice 322

» IL Déveloj)pement des ])uissances imp.aires de la fonction — 354

A
» III. Exposition détaillée du calcul des coefficients du développement de la

fonction perturbatrice ainsi que de ses dérivées partielles 404

» I\'. Forme diastémati(iue du développement de la fonction perturbatrice... 430

LIVRE QUATRIÈME.
Les équations différentielles des mouvements des planètes.

Ch.^piïrk I. Transformations générales 503

» IL Début des approximations successives 533

» III. Termes critiques 552

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